NONLINEAR ANALYSIS IN SOIL MECHANICS

DEVELOPMENTS IN GEOTECHNICAL ENGINEERING 53
NONLINEAR ANALYSIS
IN SOIL MECHANICS
Theory and Implementation
W .F. CHEN
School of Civil Engineering, Purdue University, West Lafayette, IN 47907, U.S.A .
and
E. MIZUNO
Department of Civil Engineering, Nagoya University, Nagoya 464, Japan
ELSEVIER
Amsterdam - Oxford- New York - Tokyo 1990
\li
CONTENTS
Prda~e
l'art 1:
ClwptN I
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Fundamental" . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INT RO OUCTIO
Introduction ................. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charactcnstics of soil behavior
ldca lit.ations and mat.:rial modd ing ....
Historical r.:vicw o f p lasticity in soil mechanics . . . . . . . . . . . . . .
Nonlincar stress analyses in gcotcchni ca l engineeri ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Need. objectives and scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . .......
References 0 . .. 0 . ••• 0 0 0 0 0 0 ••.•••...• .•••..•. .•• 0 . 0 0 ..• 0 • 0 • • • . • • • • • • • •
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Chapter 1
2. 1
202
1.3
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PART 11:
Material modeling-Uasic concepts
Chapter 3
ELASTIC ITY AND MO D ELI NG
3.1
3.2
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Introduction .. . ............ 0 0 0 ..•...•.•.••• . ..• . ... . .•. .. •.••••.• 0 • •
Notations ........ 0 0 •• 0 0 0 ••••• 0 0 0 • 0 ......... 0 0 .. 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 •••. 0 • •
Stresses in three dimensions ........ 0 •• 0 .• 0 0 0 •.•.••• 0 • •• 0 • • • • • • • • . • • • . • • •
203. 1 De fin itions and no tation . 0 0 •••.••• 0 •.• .••...•..•••.••• 0 • 0 0 0 • 0 • .• 0 • •
2.3.2 Cauchy's formulas. index notmion. a nd summatio n convention ..
2.303 Principa l axes of strc~scs .. 0 •••.•••••••• .•••. •.•••••••• 0 0 •• 0 0 ••• 0
2.3.4 Deviatoric stress . 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 .•••.••••. 0 0 0 0 •• 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2.3.5 Geometrical rt!presenta tion o f s tresses 0 •• 0 0 0 0 0 • . . • • • • • • . • • • . . . • . • . • • • • • •
Strains in three dimensions .... 0 . 0 0 0 .•• 0 • •• ••••• • .••.•. •• 0 0 •• 0 0 •• . 0 . 0 0 0 0
2.4. 1 Deri nitions a nd notations . 0 .••••••••••••••• 0 • 0 0 0 • • • • • • • • • • • . • • • . • • • •
2.402 Deviatoric s trai n ... . .. .... . .... 0 0 •• •••••.•••••••.•• •. •.•••.•••• 0 •
2.4.3 Octahedral strai ns and principa l shear s trains 0 •••.•••••• ••• 0 • 0 •.• 0 • 0 • 0 • • • •
Equati on~ o f solid mechanics ... .. ......
2.501 Equa tions o r eq uilibrium (or mo tion) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ••
2.5.2 Geometric (compatibi lity) conditions .
2.5.3 Constitutive rela tio ns . 0 •. 0 •• ...••..••.•••••• 0 0 . 0 ••••.••••• 0 • • . • • • • •
Summary . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .•.... • ... 0 ... 0 0 0 • 0 0 •• 0 0 • • • . • • • • • • • . • • • • • • . • • • • •
Referenc~ . ... . ........... • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • ... . . .. •
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BAS IC CONCEPT OF CONTINUUM MEC HAN ICS
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Introd uc tion 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .•.•••..• • .••• • 0 0 • • 0 •• • • 0. 0 ••• ••• 0. ... .... . .
Elastic modeb in g.:otcchnical engineering . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.20 1 Linear clastic model (generalized Hooke's law) 0 •••••••••• •••••••••••.. 0 . 0 .
302.2 Cauchy clastic modd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302.3 Hypcrclastic model 0 . 0 0 0 • 0 •• •• •• • •. • ..••. 0 • .. 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 •
302.4 Hypoelastic model ... 0 •••••••••••••..•• 0 • .••. •• •••••••••.••• . •.• 0 •
13
13
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JO
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J.J
3.4
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3.6
3.7
3.8
Uniqucn~"· 'tah tlll\ . normalit\. :md co nvc\tt\ f0r clu,lll.' mah:n;ll'
. . . . . . ••.
3.3.1 U niqucnc,., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J.:u Drud..c(, ,l.thilil\' poMula tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 F\l,tcncc of Wand !l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Rc,tn..:uo n' normal it) ami con' c!\tt\ . . . . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • •
Lmea r d.hll~ 'tre"·'tr:tin rclauon'
3.4.1 Gcncr.tlttcd Hool..e·~ la\\ . .
3.4.2 A plane of :.vmmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 '1\\() plunc~ of ~) mmctr) (ort ho tropil' ~ymmetr)) ...... . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Tranwcr;,c and cubic iso tropic, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Full botropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l.otropic ltncur elastic strcss-stmin relation' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. 1 Ten,or form~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Thrcc-dimcn:.ionul matri' fo rm' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Planc ~trc-;s case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Plane :.tram case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 A.Ai,ymmctric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotropic non linear clastic strc.<>~·strai n relatio ns based on tow I fo rmula tion . . . . . .
3.6. I No nlincur clastic model with secan t moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Cuuchy elastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Hypcrcla.'>tic (Green) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotropic non linear clastic stress-strain relations based on incremental formulation .
3.7.1 :-Jonlincar elastic model \\ith secant moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Cauchy clastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 HypcrclaMic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Hypoclast ic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reference~ . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 4
4. 1
4.2
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PERFECT PLASTICITY A D MODEU. G
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deforma ti on theory . . . . . . . . . . . .
4.2. I An illustrative example . . . . . .
4.2.2 Variable moduli models . . . . .
4.3 Flow the.ory . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Yield criteria . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Flow rule . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Basic requirements ..... ....
4.4 Perfect plaMicity models . . . . . . . . .
4.5 Trescn and von Mi ses models . . . . .
4.6 Coulomb model . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Drucker- Pragcr model . . . . . . . . . .
4.8 Prandti-Rcuss Mrc.<>s-stra in rel ation~ .
4.9 Generalized Mrcss-strain relations . .
4. 10 Stiffness formulation . . . . . . . . . . .
4. 10.1 General description . . . . . . . .
4.10.2 Stiffness coefficients . . . . . . .
4. I I Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Refcr~nc.:s . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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( lwprcr 5
5. 1
5.:!
HA RD !: ' ING PLAST ICTI Y AND MODELI NG
lnt w<.lu<·tio n . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . .
thcon . . . . . . . . . . • . • • . . . • . . • • . .
5.2. 1 L<J:Idi ng funcu on . . . • . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Hartkning rule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.:2.3 Flow rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Dru c kcr·~ pos tula te . . . . . . . . . . . . . • .
5.3 HarJ~nmg plasti city models . . . . . . . . . . . . .
5.~. 1 b otropic ha n~kni ng mo<.lel . . . . . . . . . .
5.3.:! Ki n.;matic ha rdening modd . . . . . . . . .
5.3.3 Mixed harden ing mod el . . . . . . . . . . . .
5.4 La<.lc- Dunca n mo<.lc l . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Lad.: mod el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
.:,t.:d yield surface models . . . . . . . . . . . . .
5. 7 Gcn.:ralized multi-surface modds . . . . . . . . .
5.8 Bound ing surface mod els . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Pra nd ll- Rcuss s tress-s trai n rela tions . . . . . . . .
5.9.1 Pra ndti-Rcuss equa tions . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Matri x form o f Prandti-Re uss .:.q ua tio ns .
5. 10 Ge neral ized stress-stra in relations . . . . . . . . .
5. 10. 1 Inc remental stress-strain relations . . . . .
5. 10.2 Isotropic hardening . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3 Kinematic ha rdening . . . . . . . . . . . . . .
5. 10.4 Mixed hardening. . . . . . . . . . . . . . . . .
5. 11 Stiffness formula tio n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. 11.1 Genera l d escription . . . . . . . . . . . . . . .
5. 11.2 Stiffness coefficients . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Sumrn ury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I-I•"'
Part Ill:
Chapter 6
6. 1
6.2
6.3
6.4
b.5
6.6
6.7
b.8
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196
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2 10
2. 17
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246
255
259
Material nonlinearity-Cap model'l .......... . ........ .. . . . . . . . . . . . . . .
26 1
CAP MODEL FORM ULATION AN D CALIBRATION
Introd uc tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
His tori cal developments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. 1 Ca mb ridge mod els (concept o f c rit ical state}
6.2.2 Cap models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mod ified Cam-clay model . . . . . . . . . . . . . . . • .
Generalized cap models . . . . . . . . . . . • . . . • • .
6.4.1 Elliptic cap model . . . . . . . . . . . • . . . • . .
6.4.2 Simple plane: cap model . . . . . . . • . . . • . .
Stress-s train relatio ns . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .
Stifrncss rormulati on . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .
6.6.1 Gene ra l description . . . . . . . . . . • . . . • . .
6.6.2 Stiffness coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . .
Cap model in fitting procedure . . . . . . . . . . . . .
6.7. 1 Stress pa ths in experiments . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Determination o f material cons tants . . . . .
Cap model in simple tests . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Uniaxial strain test . . . . . . . . . . • . . . . . . .
6.8.2 Isotro pic consolida tio n test . . . . . . . . . . . .
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279
280
280
282
285
285
29 1
294
294
296
'2'17
11 '4 l nJrau11:J ""'"·" •heM tc•t
.. . ....... ..
( .1p mudd m t~p1cul f1dd "''ndllulll'
• . • • • • . • . . . . • . . . • • , • , . . . ........ .
< .1p lll<xkl m ll<hton llluc (. l,1\
. . . . . . . . •. . . , •
6 10.1 Sunul.tth>n ,, f pore prc,,urc . . . . . . .
. . .. ..... . ..... .
6 Ill.:! (.',Hnmcnl' o n "mulathlll<lf umll.uncd rc•pnn,.: In C;,p nwd.:l ... . . .. . .. ..... .
11. 10.3 ;\1odcl calibra tion .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .• . . ..... .
6 10.4 Anal)~c" o f three cmh :ml..mcm' ..... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . ... . .
6 10.5 ( \ mc lud1ng r..:marl..' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . ... . ... . ... ...... . .
(l ,ll Summa!"\ . .
. .. . ...•.••• .. • .. .•. .. •..... . ... . . . .• .......
Rdcrcnc.:' ....... . . ... .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... ..••
Clwpta -
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7.2
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7.5
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117
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.147
IMPLI \11 ' I \ 110 . A, D PRI-DI<. 110'-:S
lntmducuon . . . . . . . . .
................ .. ...........
Gcn.:r.1l implcmcnuuion<)f d :hllc·pl.l,tic mo;:kl,. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 tl:t>IIC M re's increment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . .
7.2.2 Scaling facwr .
................•.......•..........
7.2.3 Plu,tic Mre.,s incrcmclll . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Stn:>" sca ling hacl.. to yidd :.urfacc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l mpkmcnt:nion of Cnulomh and Drm:ker·Pragcr modd< . . . . . . . . . . . . .
7.3. 1 lmplcmentauon for mid·incrcmcnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 I mplemcntation for ful l incrcmo:nt . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . .
7.3.3 T\\o-dimen,ion:tl fimtc-clcment 'ubroutinc. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Utilization of the moJcl 'uhrouunc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lm;~\I.JI strain bcha\-ior: do:mo n,trauon o f SlJBRO Tl E CDP~ IDI . . .
7.4. 1 Initialization of mpu1 dnt:t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Calculation step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 .4.3 ' umerical result., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lmph.:mcnt:ni on of cap model, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. 1 Load ing function~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 .5.2 El:lstic trial Mrcssc> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Elastic coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .
7.5.4 Yield surface coding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.5 Corner coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.6 l lardening surface coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.7 r.:nJ.ilecoding ....... .. ..
. . .. .. .. . .. . .. ..
.. ..
7 .5.8 Model ,ubroutine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L.m.l\tal ~train behavior: d.:mo n,trution or S BRO Tl E CAP~ IDL . . .
7.6. 1 Input data ..... . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 umcrical results . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summaf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rdcn:nc.:s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Part IV:
8. 1
8.2
CA P
'Ill
)tl'l
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J51
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356
356
35H
35R
36H
370
382
383
383
Geo metric nonlincnrity- Lar~:e·ddonnation amtlyscs ..... • .... • ........ .. ..
43 3
31\5
38tt
393
J94
395
397
J\18
402
405
41 0
411
422
422
423
429
43 1
LARGE-DEFORMATION FORMULATlO. A D SIMPLiriCATION
lntroducuor . . . . . . . . . . . . . . . . .
\1ca,urc' or \train . . . . . . . . . . . . .
8.2. 1 Small ,tram~ . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Finite strain~ . . . . . . . . . . . . .
Rate or deformation and ~•rain rat<!-'
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435
436
436
442
454
X.7
S.S
\h:J,ur.:' ttf ,ur:,,
SA. I Strc" tcn,ur'
1-l.-1.2 Strc" rate'
\ 'a rtu;ol ""r~ cquataon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• • • . • . . . • • . . ..• • ....
X.5. 1 lnt.al Lagr.mgaan o~'locrtptton 111 gcncr.tl
• . • • • • • • • . • . . . . . . . . . . . . ....
X.5.2 l pd.ned I .agr.mgt.an t.k,enpttt.lll an g~n.:ral .
• ••• •....•••..........
( ,,n,tuutt\C rd.uton, fo r largc·ocfnrm.ltlnn ft.>rmulatuln'
•.••. ... •••.•....
X.6. 1 c•• n,IIIUtl\C rd.uinn fo r tllt.tll .tgr.angt;lll ft.•rmulattllll
••.•• . .. . ... .. ...
1\.6.:! (nn,lllull\e rclauon for upd.u~d I .tgrang.tan formul.ntun
•.•••••. . . . .......
l pd.ucd I .tgr.lllgtan fnnnulatinn and ,jmplification . . .
. .... • . • . ..•.. . •..
1'.7. 1 Ma~cd an.:rcmcn tal formu l at~<m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • .. . .......
ll.7.2 l.nH!.trit.ed ancrcmental cquatl\ll1 (large ,trai n and large rtl t:tta on) . . .. ••.. . .. . • ..
11.7.3 Lmcaritcd ancrcmcntal cquatit.•n ('mall 'tr.1in and large r<lt!llllln) . . . . • •.• . •••.
Summar: .......... . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... .
Reference;,
(Jrupter 9
'), 1
lJ.:!
'>.3
9.4
9.5
9.6
Lf\RG I:- D I: FOR~IATIOI"
I IPI E:'-IF. 1TATION A
1 1)
Int roduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di;plm:cmcnt model > and shape function:. . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Gcncralitcd c(l{>rd inat.: di,pl:tccment model . . . . . . . . . . .
9.2.2 I ntcrpolation d isplaccmcm model . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Shape function> for \':lriou> fimte clement<. . . . . . . . . . . . .
lncrcmcntal finuc-clcmcnt cquauon' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 General equa tion based on tot.ll Lagrangian dc.,criptton . .
9.3.2 General ~'<.JU:t tion based on updated Lagrangia n de;cription
9.3.3 Updated Lagrangian formulation equati on . . . . . . . . . . . .
umerica l procedures fo r clas tic-pla, tic problem; . . . . . . . . . . .
9.4. 1 I nc rcmcnwl procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 ltera til'c proc..,J ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 lteratil'c 'olution technique.\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.4 Applic.thiht) of the finite-clement m.:thod . . . . . . . . . . . .
Large-Jcformauo n finite-clement pr~-dicuom. o r \Crtical \lOpe .
9.5. 1 Analy,c> of \Crtical slopes with Drucker-Prager model> . . .
9.5.2 Load·dbpl:.tccmc:nt cur\'e~ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 ocrormcd ' hape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.4 Limit load , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.5 Stn!~' di,tributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.6 Yielded /one> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.7 VdOCII\ ftdd' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.8 Condudmg remark, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referen ce~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pa rt V:
Clwptl!r /0
Cll~C ~tUd)
4611
460
-167
474
47ll
41\1
-11{-1
-185
-190
491
492
41)5
504
504
508
J>REDICTIO a S
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5 12
5 12
5 19
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585
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595
598
599
60 I
.... .. ......... .. . ......... ..• . ........ .. . . . . . . . . . . . .
603
570
CAS1· STUD ifoS
10. 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 bamp1c I. rlc\tblc :md smooth , trip ft.1ntang.~ on stratum or da\
10.2.1 Drudcr-Pragcr model~ with dtHcrcnt ma terial constant' ..
10.2.2 Druckcr- Pragcr modcb with non-a:o.clCia tcd now rule . . . .
10.2.3 Cap model> wi th associa ted flow rule . . . . . . . . . . . . . . .
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