La crisi della evidenza intuitiva: una occasione di educazione al

La crisi della evidenza intuitiva:
una occasione di educazione al pensiero razionale.
Esempi e strategie didattiche
a cura di Gianfranco Metelli
Questo elaborato è indirizzato agli studenti del primo anno della scuola superiore che non sono
particolarmente attratti (almeno inizialmente) da discipline scientifiche come la Matematica, la
Geometria e la Fisica. Mi sono così impegnato a trovare tecniche per trasmettere contenuti in modo
stimolante, cercando di attirare l’attenzione su materie scientifiche attraverso lo stupore e la
curiosità, sottoponendo anche approfondimenti in collaborazione con i colleghi di altre discipline.
Tutto ciò per raggiungere un obiettivo che ritengo importante nelle mie materie: far capire agli
studenti che fare matematica non vuol dire imparare a memoria formule su formule e dimostrare
teoremi, ma osservare che l’esperienza umana ha quotidianamente a che fare con i numeri e le
figure, anche in modo divertente.
Ciò che deve trasparire è che, al di là di ogni spiegazione convincente, per l’insegnante è importante
portare esempi, che facciano vedere che non ci si deve fidare dell’evidenza. Dal punto di vista
formativo, deve passare la convinzione che “non basta intuire, occorre argomentare. L’evidenza si
rivela non così sicura e affidabile come può sembrare”.
A tal proposito intendo riportare un articolo di Alberoni da titolo “Basta quiz, spot, zapping:
torniamo al pensiero razionale” apparso tempo fa sul “Corriere della Sera”:
“Bisogna tornare alla filosofia. Bisogna ricostruire l'abitudine ad analizzare, confrontare,
argomentare, a pensare in modo profondo, sistematico. Ad usare le parole con un significato
preciso, indispensabile per comprendere ciò che accade e comunicare in modo logico.
[..] Il pensiero razionale sistematico è un prodotto maturo dell'Occidente. Serve per
organizzare le impressioni, le esperienze disordinate dell'attività esplorativa in un insieme
coerente, che permette di fare previsioni e progetti.
Oggi diventa, per la prima volta, possibile, anche a livello di massa, l'attività esplorativa, la
curiosità in tutte le direzioni sotto la spinta di stimoli casuali. Lo vediamo nella impressionante
espansione di Internet. Però, oggi, questa mentalità è poco diffusa. Prevalgono il pensiero
frantumato, la curiosità, l'impulso, l'immagine. La gente clicca, chiacchiera al telefonino, fa
zapping alla televisione fra un talk show, un quiz, uno spot e l'altro. Ha disimparato a pensare
in modo sistematico. E questo è pericoloso.
Il pensiero razionale deve essere ricostruito dal basso, nelle scuole, nei rapporti
interpersonali, nei mass media. Bisogna ritornare alla filosofia.
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Sono stati i giovanissimi ad esplorarne le possibilità, ad usarla come strumento di ricerca e di
comunicazione. E l'hanno fatto sotto forma di gioco, cliccando tutto ciò che incuriosiva,
sperimentando le più incredibili possibilità, seguendo l'impulso, il capriccio. Così hanno
inventato attività economiche nuove. Risultato: gli istituti di ricerca economica, nell'ultimo
anno, hanno sbagliato tutte le previsioni di sviluppo.
[..] Ma l'imprevedibilità e il disordine crescono dovunque. In Europa c'è una emigrazione
selvaggia. In Africa guerre e lotte religiose. In India crescono la popolazione e la miseria.
L'equilibrio ecologico del pianeta è in pericolo. L'attività esplorativa, ludica non basta.
Occorre anche il pensiero sistematico, profondo per capire che cosa accade e agire in modo
responsabile.”
Questo mio elaborato si sviluppa in tre parti:
-
un discorso introduttivo sulla geometria e sui paradossi
-
un accenno a Euclide e ai suoi postulati
-
una collaborazione con la disciplina di Storia dell’Arte
da proporre, come scrivevo precedentemente, al primo anno superiore all’inizio dell’anno
scolastico, prima di affrontare le unità didattiche e i contenuti della disciplina.
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Discorso introduttivo sulla Geometria
Parlando inizialmente della Geometria, ribadisco agli studenti che non è lecito fidarsi dell’evidenza
intuitiva come criterio di fondazione degli assiomi di una teoria matematica, perché soggettivo e
legato alla fantasia.
Non ha senso parlare di assiomi veri o falsi: l’assioma è solo punto di partenza convenzionale. Il
matematico deve derivare teoremi partendo da ipotesi (assiomi) preoccupandosi della loro coerenza
logica con le premesse e non della loro “evidenza intuitiva”. La geometria perde la sua valenza di
scienza “descrittiva” della realtà spaziale e diviene scienza puramente formale frutto di una rigorosa
astrazione.
Gli alunni che incontro in classe non sono nuovi allo studio della geometria. Infatti, già nella Scuola
Media è stato loro insegnato a distinguere e a definire le principali figure del piano e dello spazio e
a riconoscere le loro proprietà. Anticipo loro che nel corso dell’anno ritroveremo formule, figure e
nomi che già hanno incontrato nello studio fatto negli anni precedenti. Da adesso, comunque, si
avrà un nuovo approccio con la geometria, approfondendo punti che sono stati appena sfiorati, o del
tutto trascurati, durante gli anni della Scuola Media e, in secondo luogo, d’ora in poi passeremo dal
metodo di studio intuitivo a quello razionale.
Cerchiamo di chiarire la differenza fra questi due metodi.
La geometria intuitiva (cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le
proprietà dei corpi e delle figure in base all’esperienza che viene dai nostri sensi, cioè in base
all’osservazione attenta e ripetuta di corpi aventi forma particolare e di figure aventi certe
caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni
come generalizzazione - suggerita dall’intuizione - delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè la geometria studiata con il metodo razionale) si riferisce, invece, a
figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo, nella realtà
fisica, solo delle imitazioni grossolane e approssimate. Le proprietà di queste figure non vengono
stabilite in base all’esperienza, ma solo in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che
di particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal
modo il ragionamento assume un carattere universale; cioè, esso risulta valido, senza possibilità di
errore, tanto per quella figura, quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
Non altrettanto generale è, invece, uno studio della geometria condotto con metodo intuitivo; se non
altro perché non sempre ciò che appare intuitivo ad una persona può sembrare tale anche ad
un’altra.
Inoltre, occorre tener presente che il metodo sperimentale comporta necessariamente un certo
margine di imprecisione. (Ad esempio, se chiediamo a dieci alunni di determinare con una riga
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graduata la lunghezza in centimetri di un lato della cattedra, è molto probabile che fra i dieci valori
ottenuti ve ne siano alcuni che - sia pur di poco - differiscono fra loro). D’altra parte, anche se
questi inconvenienti di imprecisione non sussistessero, non arriveremmo mai, facendo leva soltanto
sull’esperienza, a conseguire risultati che valgano sicuramente in generale. Anche quando avessimo
verificato per mille triangoli che la somma dei loro angoli interni è uguale ad un angolo piatto, ci
resterebbe sempre il dubbio che tale proprietà possa non valere per un ulteriore triangolo di forma
diversa da quelli prima considerati.
Dobbiamo, dunque, affrontare lo studio della geometria con metodo razionale. Come dobbiamo
regolarci per conseguire questo obiettivo? Faccio capire agli studenti che tale approccio sarà
assemblato gradualmente durante l’anno scolastico. Per le lezioni di esordio mi limito a far
comprendere loro che, comunque, è importante non fare troppo affidamento sul loro intuito. Spesso
si sente dire dagli studenti, di fronte ad una rappresentazione grafica di un problema: “E’ inutile
verificare una certa proprietà perché essa si vede, è evidente! Basta guardare la figura!”
Proprio per questo propongo loro alcuni casi, in cui l’evidenza risulta ingannevole.
In tutte le materie, ma in particolare nella matematica, occorre molta cautela nel passare da una
situazione ad un’altra (che consegue dalla prima); perché può accadere, per mancanza di attenzione,
di pervenire a conclusioni erronee. Per convincere chi si sentisse troppo sicuro di sé propongo due
paradossi nei quali, con l’aiuto di una piccola dose di faciloneria, si arriva a dimostrare nell’uno che
un angolo retto ed uno ottuso sono uguali e nell’altro che due poligoni di aree 60 e 59 sono
equivalenti.
Primo paradosso
D
Dato il rettangolo ABCD (figura 1), si faccia ruotare il
H
lato AB attorno a B di un angolo α, esterno al
A
F
E
α
rettangolo, fino a portarlo in BE. Ovviamente si ha:
DC = AB = BE.
Si costruiscano, ora, gli assi dei segmenti DA e DE.
C
B
Tali assi sono perpendicolari a rette che si incontrano
e, quindi, anch’essi si incontrano in G.
I triangoli DCG ed EBG hanno: DC = BE come detto
figura 1
sopra; DG = EG perché GF è asse di DE;
CG = BG perché HG, asse di AD, è pure asse di BC.
G
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Per criterio di uguaglianza, i due triangoli sono uguali e, in particolare, hanno DCˆ G = EBˆ G .
Togliendo ad ambo i membri gli angoli uguali BCˆ G e CBˆ G si perviene a concludere che
DCˆ B = CBˆ E .
Con ciò si dimostra che un angolo retto è uguale ad un angolo ottuso.
L’errore consiste nell’inesattezza della figura, in quanto l’angolo EBG disegnato convesso
è, invece, concavo. Ovvero il segmento EG è totalmente esterno al rettangolo. Disegnando
la figura in modo esatto si possono ripetere i ragionamenti già fatti senza cadere in alcun
assurdo.
Secondo paradosso
Su un foglio di carta quadrettata, colorata nella parte anteriore e grigia nella parte posteriore, si
disegni il triangolo isoscele rappresentato nella figura 2, con la base di lunghezza 10 e l’altezza di
lunghezza 12, quindi di area 60. Ritagliando il triangolo in sei parti, come indicano le linee in figura
2a, rovesciandone tre e riaccostando le sei parti come è indicato in figura 2b (le parti in grigio sono
quelle rovesciate) si ottiene un poligono che, ovviamente, è equivalente al triangolo primitivo.
Tuttavia, contando i quadretti, si trova che l’area di questo poligono è 59.
figura 2a
figura 2b
Senza dire troppo, si invitano gli alunni a riprodurre con molta accuratezza il disegno del
triangolo isoscele.
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Un accenno a Euclide
Per discutere ancora sulla poca affidabilità dell’evidenza intuitiva, racconto agli alunni di Euclide,
matematico che sicuramente hanno già incontrato alla Scuola Media e di cui, anticipo, sentiranno
spesso parlare nel corso dell’anno. Ricordo loro che Euclide, grazie ai suoi postulati, ha costruito la
geometria con cui quotidianamente abbiamo a che fare.
Sappiamo che Euclide, tra le altre cose, afferma che “è possibile condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro”.
L’affermazione risulta strana, dicono gli alunni, nel senso che loro stessi ribattono dicendo che è del
tutto evidente che si possa, dati due punti, tracciare una linea tra essi. E perché c’è bisogno di
dichiararlo? E’ come una sorta di tacita evidenza di origine “intuitiva”.
Se con intuizione facciamo riferimento alla concretezza dell’esperienza, allora l’affermazione di
Euclide non è così evidente: infatti, tra un punto A ed un altro punto B io non potrei tracciare
proprio nessuna linea (retta) se tra A e B ci fosse un muro. A tal proposito mi è anche capitato di
discutere con gli alunni che, comunque, gli oggetti in questione ai postulati di Euclide facciano
parte di un altro mondo: i punti e le rette sono oggetti di genere interamente nuovo, sono oggetti che
appartengono ad un altro universo, e questa diversità comincia a sussistere proprio nel momento in
cui io enuncio che tra essi si può sempre tracciare una retta: è possibile perché all’universo a cui
appartengono i punti non può appartenere qualcosa come un muro.
Pensiamo poi al quinto postulato: Per un punto passa una sola parallela ad una retta data.
Questo è un fatto che ci appare intuitivamente evidente, anche perché sembra che le cose stiano
effettivamente in questo modo basandosi sulla propria intuizione spaziale: sembra impossibile che
per uno stesso punto passino più parallele ad una retta data. E’ come se, parlando di evidenza
intuitiva, si deve richiamare il buon senso.
A tale proposito non propongo nessuna dimostrazione, ma espongo una provocazione: se disegno
un punto molto grande, allora per quel punto potrei farci passare almeno due parallele alla retta
data:
Dato che potevo adottare un punto di vista intuitivo, ho potuto effettuare questa rappresentazione.
Ma tutti questi “giochi” mettono in crisi gli studenti e questo mi permette di ribadire loro che va in
crisi l’evidenza intuitiva, a favore quindi di un pensiero più razionale.
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Collaborazione con Storia dell’Arte
Come parte conclusiva, è fattibile una collaborazione con il collega di Storia dell’Arte, con il quale
si forniscono agli studenti ulteriori esempi che sottolineano che non ci si può sempre affidare
all’evidenza intuitiva.
Per cominciare, mostriamo alcuni disegni impossibili, come il trilatero di Penrose e il cubo di
Necker: alla verifica sperimentale queste figure sembrano in ogni loro parte costruite secondo
corrette tecniche di rappresentazione, ma la nostra esperienza della realtà spaziale ci suggerisce che
sono sbagliati. In particolare, il cubo di Necker (dallo studioso svizzero Louis Albert Necker) si
ottiene disegnando un cubo in prospettiva, con tutti i lati in evidenza: così facendo si crea
un’ambiguità su quale delle facce sia davanti e quale dietro, e due possibili cubi si alternano nella
percezione.
trilatero di Penrose
cubo di Necker
Si può proporre anche il seguente esercizio.
Osservando la figura a fianco, dove si trova il puntino rosso?
Nella faccia anteriore o posteriore del cubo?
La figura è ambigua e dà origine a un’inversione di
profondità, permettendo due prospettive orientate in direzioni
differenti. Diversamente dalla rappresentazione prospettica di
un cubo in cui la superficie della faccia anteriore è più grande
di quella della faccia posteriore, il cubo di Necker è disegnato in modo che le due facce siano di
uguali dimensioni. Questa situazione produce sulla retina un’immagine che il cervello può
interpretare in due modi, che corrispondono a una proiezione del cubo visto da posizioni diverse. Di
fronte al problema di quale sia la posizione in cui si trova il cubo, il cervello non “sceglie” e
continua a oscillare tra l'una e l'altra.
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Alcune delle opere più famose di Maurits Cornelis Escher sono perfette illustrazioni di alcuni
paradossi percettivi, basati sul contrasto tra la percezione e l’interpretazione di dati sensoriali, e sul
condizionamento fisiologico e culturale che spinge a considerare figure bidimensionali come
rappresentazioni di oggetti tridimensionali. Visioniamo alcune di queste opere.
Belvedere è ispirato a due paradossi, che sono anche esplicitamente raffigurati nell'opera. Il primo è
il cubo di Necker, mentre il secondo paradosso è il cubo impossibile, in cui l'ambiguità viene risolta
fondendo le due possibilità e creando così un cubo localmente corretto, ma globalmente
impossibile.
Anche Convesso e Concavo illustra due paradossi. Il primo, detto dei cubi reversibili, era già noto ai
romani, che l’hanno usato in vari mosaici: tre rombi adiacenti sono visti come le facce di un cubo,
ma possono essere interpretati sia come facce esterne che come facce interne. Inoltre, se ci sono più
di tre rombi, quelli non estremi possono appartenere a più di un cubo, facendo apparire l'immagine
ora convessa e ora concava. Il secondo paradosso, detto scala di Schröder, consiste nel disegnare
una scala in maniera ambigua, in modo che possa sembrare sia ascendente a partire dal pavimento,
che discendente a partire dal soffitto. Ossia, in modo che sembri possibile percorrerla stando sia
sopra i gradini, che sotto di essi.
In Cascata si ha un uso spettacolare del triangolo impossibile, con tre angoli retti. Esso appare tre
volte consecutive nella rappresentazione di un canale, che sembra localmente in piano, ma è
globalmente in salita. Escher crea così l'impressione doppiamente paradossale, da un punto di vista
fisico, di un moto perpetuo generato dall'acqua che scorre all'insù.
In Salita e Discesa Escher rappresenta infine la scala di Penrose, in cui un moto perpetuo è generato
in modo opposto a quello di Cascata: non mediante un percorso in salita che dovrebbe essere in
piano, ma da un percorso in piano che dovrebbe essere in salita. Che la scala sia in piano lo si
intuisce tenendo l'immagine non perpendicolarmente al campo visivo, come normalmente la si
osserva, ma (quasi) parallelamente ad esso. Paradosso a parte, Escher vide qui una metafora
dell'assurdità della vita, non solo del “come è duro calle lo scendere e 'l salir per l'altrui scale”, ma
anche di quanto tale affanno sia inutile, e non porti in realtà da nessuna parte.
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Convesso e Concavo
Belvedere
Cascata
Salita e Discesa
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