La storia della matematica A

La storia della matematica A
Nel corso della storia, l'umanità ha lottato per capire i meccanismi fondamentali del mondo materiale. Abbiamo cercato
di scoprire le regole e gli schemi che determinano la qualità degli oggetti che ci circondano, e il loro complesso rapporto
con noi e gli altri. Nel corso di migliaia di anni, le società di tutto il mondo hanno scoperto che una disciplina sopra tutte
le altre fornisce conoscenze certe circa le realtà che stanno alla base del mondo fisico.
Tale disciplina è matematica. Sono Marcus Du Sautoy, e io sono un matematico.
Mi vedo come un ricercatore di schemi, a caccia delle strutture nascoste che si celano dietro l'apparente caos e la
complessità del mondo che ci circonda.
Nella mia ricerca di schemi e regolarità, io attingo al lavoro dei grandi matematici che sono venuti prima di me, persone
appartenenti a culture di tutto il mondo, le cui innovazioni hanno creato il linguaggio con è scritto l'universo. Voglio
accompagnarvi in un viaggio nel tempo e nello spazio, e tracciare la crescita della matematica dal suo risveglio al
soggetto sofisticato che conosciamo oggi.
Utilizzando immagini generate computer, esploreremo le pioneristiche scoperte che hanno permesso alle prime civiltà a
capire il mondo matematico. Questa è la storia della matematica.
Il nostro mondo è fatto di schemi e processi. Sono tutti intorno a noi. Il giorno diventa notte. Animali in viaggio
attraversano la terra in formazioni sempre diverse. I paesaggi sono in costante evoluzione. Uno dei motivi che hanno
dato inizio alla matematica è stato perché avevamo bisogno di trovare un modo di dare un senso a questi modelli
naturali.
La maggior parte dei concetti di base della matematica - spazio e quantità - sono profondamente innestati nel nostro
cervello. Anche gli animali hanno il senso di distanza e il numero, valutando quando il loro branco è in minoranza, e se
combattere o volare, calcolare se la preda è a distanza elevata. Capire la matematica è la differenza tra la vita e la morte.
Ma è stato l'uomo che ha afferrato questi concetti di base e ha iniziato a costruire su queste fondamenta. Ad un certo
punto, l'uomo ha iniziato a delineare schemi, per effettuare connessioni, per contare e per ordinare il mondo intorno a
lui. Con questo, un intero nuovo universo matematico ha cominciato ad emergere.
Questo è il fiume Nilo. È stata la linea della vita dell' Egitto per millenni. Sono venuto qui perché è dove alcuni dei
primi segni della matematica come la conosciamo oggi sono emersi. L'umanità ha abbandonato la vita nomade e
cominciò a stabilirsi qui già nel 6000BC. Le condizioni erano perfette per l'agricoltura.
L'evento più importante per l'agricoltura egiziana ogni anno è stata l'inondazione del Nilo. Così questo è stato utilizzato
come marcatore per iniziare ogni nuovo anno. Gli Egiziani hanno fatto registrazioni di ciò che stava accadendo nei
passati periodi di tempo e così, al fine di generare un calendario come questo, era necessario contare quanti giorni, per
esempio, erano trascorsi tra le fasi lunari, o quanti giorni erano trascorsi tra due inondazioni del Nilo.
La registrazione di un schema per le stagioni era indispensabile, non solo per la gestione del loro territorio, ma anche la
loro religione. Gli antichi Egiziani che si stabilirono sulle rive del Nilo credevano che era il dio del fiume, Hapy, che
esondava il fiume ogni anno. E in cambio per l'acqua che dà la vita, il popolo offriva una parte del raccolto come
ringraziamento.
Appena gli insediamenti divennero più grandi, divenne necessario trovare il modo di amministrarli. Era necessario
calcolare le aree dei terreni, prevedere il rendimento di un raccolto, imporre e riscuotere tasse. In breve, la gente aveva
bisogno di contare e misurare.
Gli Egiziani usavano le parti del loro corpo per misurare il mondo, ed è come le loro unità di misura si sono sviluppate.
Un palmo è stata la larghezza di una mano, un cubito la lunghezza del braccio dal gomito alla punta delle dita. Cubiti
terrieri, strisce di terreno di un cubito per 100, sono stati utilizzati dagli ispettori del Faraone per calcolare le aree.
C'è un legame molto forte tra la burocrazia e lo sviluppo della matematica nell'antico Egitto. E possiamo vedere
realmente questo diretto legame fin dall'inizio, dall'invenzione di un sistema numerico e attraverso la storia egizia. Per il
Vecchio Regno, l'unica prova che abbiamo sono i sistemi metrologici, cioè le misure per le aree, per le lunghezze.
Questo indica una necessità dell'apparato burocratico a sviluppare queste cose.
È stato fondamentale conoscere l'area del terreno di un agricoltore in modo da poterlo tassare di conseguenza. Oppure,
se il Nilo rubava parte della sua terra, in modo da poter richiedere un rimborso. Ciò significava che gli ispettori del
faraone erano spesso a calcolare superfici di particelle di terreno irregolare. È stata la necessità di risolvere questi
problemi pratici che li ha fatti i primi innovatori matematici.
Gli egiziani avevano bisogno di un qualche modo per registrare i risultati dei loro calcoli.
Tra tutti i geroglifici che coprono i souvenir turistici sparsi in giro per il Cairo, ero a caccia di quelli che riportavano
alcuni dei primi numeri nella storia. Essi sono difficili da rintracciare. Ma li ho trovati alla fine.
Gli egiziani usavano un sistema decimale, motivata dalle 10 dita sulle nostre mani. Il segno di uno era un bastone, 10
l'osso del tallone, 100, un rotolo di corda, e 1.000, una pianta di Loto. Quanto costa questa maglietta? Er, 25. 25! Sì!
Così che sarebbero 2 ossa del ginocchio e 5 bastoni. Quindi tu non mi fai pagare più nulla da qui? Qui, un milione! Un
milione? Mio Dio! Questo un milione. Un milione, sì, è abbastanza grande!
I geroglifici sono belli, ma il sistema di numerazione egiziano era fondamentalmente difettoso.
Non avevano il concetto di valore posizionale, così un bastone potrebbe solo rappresentare una sola unità, non 100 o
1
1000. Sebbene sia possibile scrivere un milione con un solo carattere, piuttosto che i sette che usiamo, se si vuole
scrivere un milione meno uno, allora il povero vecchio scriba egiziano doveva scrivere nove bastoni, nove ossa del
tallone, nove rotoli di corda , e così via, per un totale di 54 caratteri.
Nonostante l'inconveniente di questo sistema numerico, gli egiziani sono stati brillanti risolutori di problemi.
Lo sappiamo a causa delle poche registrazioni che sono sopravvissute. Gli scribi egizi usavano fogli di papiro per
registrare le loro scoperte matematiche. Questo materiale delicato di canne decade nel corso del tempo e molti segreti
sono scomparsi con esso.
Ma c'è un documento rivelatore che è sopravvissuto.
Il Papiro Matematico di Rhind è il documento più importante che abbiamo oggi per la matematica egiziana. Noi
otteniamo una buona visione di quali tipi di problemi gli egiziani avrebbero affrontato con la loro matematica. Abbiamo
anche saputo esplicitamente come le moltiplicazioni e le divisioni venivano effettuate.
I papiri mostrano come moltiplicare insiemi due grandi numeri.
Ma per illustrare il metodo, prendiamo due numeri piccoli. Facciamo tre volte sei. Lo scriba avrebbe preso il primo
numero, tre, e metterlo in una colonna. Nella seconda colonna, avrebbe posto il numero uno. Poi avrebbe cominciato a
raddoppiare i numeri di ogni colonna, cosicchè da tre diventano sei ... .. e sei diventerebbero 12. E poi, nella seconda
colonna, uno diventa due, e due diventano quattro. Ora, ecco la parte davvero intelligente. Lo scriba vuole moltiplicare
tre per sei. Così prende le potenze di due nella seconda colonna aggiungendole fino a sei. Cioè due più quattro. Poi si
torna alla prima colonna, e prende solo le righe corrispondenti al due e al quattro. Cioè le sei e le 12. Egli li aggiunge
insieme per ottenere la risposta di 18. Ma per me, la cosa che maggiormente colpisce di questo metodo è che lo scriba
ha effettivamente scritto il secondo numero in binario. Sei è un gruppo di quattro, un gruppo di due, e nessuna unità. Il
quale è 1-1-0. Gli egiziani hanno capito la potenza del sistema binario oltre 3.000 anni prima il matematico e filosofo
Leibniz ne avrebbe rivelato il loro potenziale. Oggi, l'intero mondo tecnologico dipende stessi principi che sono stati
usati nell'antico Egitto.
Il Papiro di Rhind è stato scritto da uno scriba chiamato Ahmes intorno 1650BC. I suoi problemi sono incentrati nel
trovare soluzioni a situazioni quotidiane. Molti dei problemi menzionano pane e birra, che non è sorprendente perchè
lavoratori egiziani sono stati pagati in cibi e bevande. Uno riguarda il modo di dividere in parti uguali tra nove pagnotte
10 persone, senza che scoppi un litigio.
Ho qui nove pagnotte di pane. Comincio a prendere cinque di loro e tagliarle a metà. Naturalmente, nove persone
potrebbero escludere la decima dal loro pane e dare il mucchio di briciole alla decima persona. Ma gli egiziani hanno
sviluppato una soluzione molto più elegante - prendere i prossimi quattro e si dividerli in tre parti . Ma due delle tre
parti ora li sto andando a tagliare in cinque parti, così ogni pezzo sarà un quindicesimo (della pagnotta intera). Ogni
persona riceve poi una metà, un terzo e un quindicesimo. È attraverso tali problemi apparentemente pratici che si
comincia a vedere lo sviluppo di una matematica più astratta. Improvvisamente, nuovi numeri sono sulla scena frazioni - e non passa troppo tempo prima che gli Egiziani cominciano ad esplorare la matematica di questi numeri.
Le frazioni sono chiaramente di importanza pratica per chiunque dividendo quantità per il commercio nel mercato. Per
registrare tali operazioni, gli Egiziani hano sviluppato segni grafici che hanno registrato questi nuovi numeri. Una delle
prime rappresentazioni di queste frazioni proveniva da un geroglifico che aveva un grande significato mistico. Si
chiama l'occhio di Horus. Horus era un dio del Vecchio Regno, raffigurato come un mezzo uomo e mezzo falco.
Secondo la leggenda, il padre di Horus stato ucciso dall'altro suo figlio, Seth. Horus era determinato a vendicare
l'omicidio. Durante una battaglia particolarmente feroce, Seth strappò l'occhio di Horus , lo squartò e lo sparse sopra l'
Egitto. Ma gli dei stavano guardando favorevolmente Horus. Hanno raccolto i cocci sparsi e hanno ricomposto l'occhio.
Ciascuna parte dell'occhio rappresentava una frazione diversa. Ognuno, la metà della prima frazione. Anche se l'occhio
originale rappresenta un tutto unitario, l'occhio riassemblato è 1/64 più piccolo. Anche se gli Egiziani si sono fermati a
1/64, implicita in questa immagine è la possibilità di aggiungere ulteriori frazioni, dimezzando ogni volta, la somma va
sempre più vicini a uno, ma non la raggiunge quasi mai. Questo è il primo indizio di qualcosa che si chiama una serie
geometrica, e sembra a un certo numero di punti nel Papiro di Rhind. Ma il concetto di serie infinite sarebbe rimasto
nascosto fino a quando i matematici di Asia lo hanno scoperto secoli più tardi.
Dopo aver elaborato un sistema numerico, includendo queste nuove frazioni, era il momento per gli Egiziani di
applicare le loro conoscenze per la comprensione delle forme che si incontrano giorno per giorno. Queste forme sono
state raramente quadrati o rettangoli regolari, e nel Papiro di Rhind, troviamo l'area di molte forme organiche, il cerchio.
Ciò che è stupefacente nel calcolo della superficie del cerchio è l'esattezza, davvero. Come avrebbero trovato il loro
metodo è aperto alla speculazione, perché i testi che abbiamo non ci mostrano come i metodi sono stati trovati.
Questo calcolo è particolarmente sorprendente perché dipende nel vedere come la forma del cerchio può essere
approssimata con forme che gli egiziani avevano già capito. Il Papiro di Rhind afferma che un campo circolare con un
diametro di nove unità è vicino all' area di un quadrato con lati di otto unità. Ma come questo rapporto è stato scoperto?
La mia teoria preferita vede la soluzione nell'antico gioco di mancala. Tavole di mancala sono stati trovati scolpite sui
tetti dei templi. Ogni giocatore inizia con un uguale numero di pietre, e lo scopo del gioco è quello di muoverle intorno
la tavola, catturando le pedine del vostro avversario nel percorso.
Mentre i giocatori sono seduti intorno in attesa di fare la loro prossima mossa, forse uno di loro si rese conto che a volte
le palle riempiono i fori circolari della tavola di mancala in un modo piuttosto piacevole. Potrebbe aver fatto un
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esperimento provando di costruire cerchi più grandi. Forse ha notato che 64 pietre, il quadrato di 8, possono essere usate
per fare un cerchio con diametro di nove pietre. Riordinando le pietre, il cerchio è stato approssimato ad un quadrato. E
poiché l'area di un cerchio è pi-greca volte il raggio al quadrato, il calcolo egiziano ci dà il primo valore preciso per pigreca.
L'area del cerchio è 64. Dividere questa per il raggio al quadrato, in questo caso 4,5 al quadrato, e si ottiene un valore di
pi-greca. Così 64 diviso per 4,5 al quadrato è 3,16, appena un po' meno di due centesimi di distanza dal suo vero
valore. Ma la cosa davvero brillante è che gli Egiziani stanno utilizzando queste forme più piccole per riuscire ad
afferrare le forme più grandi.
Ma c'è un imponente e maestoso simbolo della matematica egiziana che noi non abbiamo cercato di svelare ancora - la
piramide. Ho visto così tante foto che non riuscivo a credere che sarei rimasto impressionato da loro. Ma incontrandole
faccia a faccia, si capisce perché si chiamano una delle Sette Meraviglie del Mondo Antico. Sono semplicemente
mozzafiato. E quanto più impressionante devono essere state a loro tempo, quando le facce erano lisce come il vetro,
che riflettono il sole del deserto.
A me sembra che ci potrebbero essere piramidi specchio nascoste in fondo al deserto, che completerebbero le forme per
renderle ottaedri perfettamente simmetrici. A volte, nel luccichio del calore del deserto, si può quasi vedere queste
forme.
È l'indizio della simmetria nascosta all'interno di queste forme che li rende così impressionanti per un matematico. Le
piramidi sono solo un pò corte per creare queste forme perfette, ma alcuni hanno suggerito un altro importante concetto
matematico che potrebbe essere nascosto dentro le proporzioni della Grande Piramide - il rapporto aureo.
Due lunghezze sono in rapporto aureo, se il rapporto della più lunga con la più breve è lo stesso della somma delle due
con quella più lunga. Tale rapporto è stato associato con le perfette proporzioni che si trovano in tutto il mondo naturale,
così come nel lavoro di artisti, architetti e disegnatori per millenni.
Se gli architetti delle piramidi sono stati consapevoli di questa importante idea matematica, o sono stati istintivamente
attratti verso di essa a causa delle sue proprietà nel soddisfare l'estetica, non lo sapremo mai. Per me, la cosa più
impressionante di piramidi la genialità matematica che è venuta fuori nell'averle fatte, tra cui la prima vaga idea di uno
dei più grandi teoremi del mondo antico, il teorema di Pitagora.
Al fine di ottenere angoli retti perfetti angolo retto nei loro edifici e nelle piramidi, gli Egiziani avrebbero usato una
corda con nodi legati al suo interno. Ad un certo punto, gli Egiziani si resero conto che se prendevano un triangolo con
lati contrassegnati con tre nodi, quattro nodi e cinque nodi, questo garantiva loro un perfetto angolo retto. Questo è
perché tre al quadrato, più quattro al quadrato, è uguale a cinque al quadrato. Quindi abbiamo un perfetto triangolo
pitagorico. In realtà ogni triangolo i cui lati soddisfano questa relazione mi darà un angolo di 90 gradi. Ma sono
abbastanza sicuro che gli Egiziani non avevano questa generalizzazione dai loro 3, 4, 5 triangoli.
Non ci si aspetterebbe di trovare la dimostrazione generale, perché questo non è lo stile della matematica Egiziana.
Ogni problema è stato risolto utilizzando numeri legati alla realtà e poi se una dimostrazione dovrà essere effettuata alla
fine, si usa il risultato e questi concreti numeri dati, non c'è nessuna generale dimostrazione nei testi matematic
Egiziani.
Sarebbero circa 2.000 anni avanti che i Greci e Pitagora dimostreranno che tutti i triangoli rettangoli condividono
alcune proprietà. Questa non era la sola idea matematica che gli Egiziani avrebbero anticipato.
In un documento vecchio di 4.000 anni, chiamato il papiro di Mosca, troviamo una formula per il volume di una
piramide con il suo picco mozzato, che mostra il primo accenno del suo calcolo in opera.
Per una cultura come l'Egitto che è famosa per le sue piramidi, ci si aspetterebbe problemi come questo sia stato un
elemento costante nei testi matematici. Il calcolo del volume di una piramide tronca è una delle punte più avanzate, in
base ai nostri principi moderni della matematica, che abbiamo dell'antico Egitto.
Gli architetti e gli ingegneri avrebbero certamente voluto tale formula per calcolare la quantità di materiali necessari per
costruirla. Ma è un segno del grado di sofisticazione della matematica Egiziana che erano in grado di produrre questo
meraviglioso metodo.
Per capire come essi hanno ricavato la loro formula, iniziamo con una piramide costruita in modo che il punto più alto
si trova direttamente su un angolo. Tre di queste possono essere messe insieme per fare un box rettangolare, in modo
che il volume della piramide asimmetrica è un terzo il volume della scatola. Cioè, l'altezza, moltiplicata alla lunghezza,
moltiplicata alla larghezza, diviso per tre.
Ora arriva un'argomentazione che mostra proprio il primo accenno del suo calcolo in opera, migliaia di anni prima che
Gottfried Leibniz e Isaac Newton sarebbero arrivati con la teoria.
Immaginiamo che si potrebbe tagliare a fette la piramide, si potrebbe quindi far scorrere gli strati per rendere più
simmetrica la piramide che vedete in Giza. Tuttavia, il volume della piramide non è cambiato, nonostante il riassetto
degli strati. Così la formula funziona lo stesso. Gli Egiziani sono stati innovatori stupefacenti, e la loro capacità di
generare nuova matematica è stata sconcertante. Per me, hanno rivelato la potenza della geometria e dei numeri, e
hanno fatto i primi passi verso alcune delle emozionanti scoperte matematiche che sono arrivate. Ma c'era un'altra
civiltà che aveva una matematica che rivaleggiava con quella dell'Egitto. E noi sappiamo molto di più riguardo i suoi
risultati.
Questa è Damasco, vecchia 5.000 anni, e ancora oggi vibrante e vivace. È stata usata per essere il punto più importante
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per le rotte commerciali, che collega la vecchia Mesopotamia con l'Egitto. I Babilonesi controllavano gran parte del
moderno Iraq, l'Iran e la Siria, da 1800BC. Al fine di ampliare e gestire il loro impero, sono diventati maestri di gestire e
manipolare i numeri.
Noi abbiamo codici di leggi, ad esempio, che ci raccontano il modo cui la società è ordinata. Le persone che
conosciamo di più sono gli scribi, persone professionalmente letterate e contabili che hanno tenuto registrazioni per le
famiglie benestanti e per i templi e palazzi.
Scuole di Scribi esistevano da circa 2500BC. Scribi aspiranti sono stati mandati lì da bambini, e hanno imparato a
leggere, scrivere e lavorare con i numeri. Le registrazioni degli scribi sono stati conservate su tavolette d'argilla, che
hanno permesso ai Babilonesi di gestire e far avanzare il loro impero. Tuttavia, molte delle tavolette che abbiamo oggi
non sono documenti ufficiali, ma esercizi per bambini. Sono queste fortunate reliquie ci danno una rara visione di come
i Babilonesi si sono avvicinati matematica.
Quindi, questo è un libro di testo di geometria del secolo diciottesimo ac.. Spero che si può vedere che ci sono un sacco
di immagini su di esso. E sotto ogni immagine vi è un testo che pone un problema riferito all'immagine. Così, per
esempio questo qui dice, ho disegnato un quadrato, 60 unità lungo, e dentro, ho disegnato quattro cerchi - quali sono le
loro aree ? Questa piccola tavoletta è stata scritta 1.000 anni almeno dopo la tavoletta qui, ma hanno un legame molto
interessante. Ha anche quattro cerchi entro un quadrato, più o meno elaborato, ma questo non è un libro di testo, è un
esercizio scolastico. Lo scriba adulto che sta insegnando allo studente gli ha dato questo come esempio di compiti
completati o qualcosa di simile.
Come gli Egizi, i Babilonesi sono appari interessati a risolvere problemi pratici che hanno a che fare con la misurazione
e la pesatura. Le soluzioni babilonesi a questi problemi sono scritte come ricette di matematica. Uno scriba dovrebbe
semplicemente seguire e registrare una serie di istruzioni per ottenere un risultato. Ecco un esempio del tipo di problema
che avevano risolvere.
Ho un fascio di bastoncini di cannella qui, ma non ho intenzione di pesarli. Invece, sto per prendere quattro volte il loro
peso e aggiungerli alla bilancia. Ora sto andando aggiungere 20 gin. Gin era la misura babilonese del peso. Ora sto
prendendo la metà di tutto ciò che qui e li aggiungo di nuovo ... Ecco due fasci, e 10 gin. Tutto su questo lato è uguale a
1 mana. Un mana era di 60 gin. E qui, noi abbiamo una delle prime equazioni matematiche nella storia, tutto su questo
lato è uguale a 1 mana. Ma quanto un fascio di bastoncini di cannella pesa? Senza un linguaggio algebrico, sono stati in
grado di manipolare i quantitativi in modo da essere in grado di dimostrare che la cannella pesava 5 gin.
Nella mia mente, è questo tipo di problemi che dà alla matematica un po' una brutta fama. Si può biasimare quegli
antichi Babilonesi per tutti quei tortuosi problemi che hai avuto a scuola. Ma gli scribi antichi babilonesi eccellevano in
questi tipi di problemi.
Curiosamente, loro non usavano le potenze di 10, come gli Egiziani, loro usavano potenze di 60. I Babilonesi hanno
inventato il loro sistema di numerazione, come gli Egiziani, utilizzando le dita. Ma invece di contare attraverso le 10
dita sulla mano, Babilonesi trovato un modo intrigante per contare di più parti del corpo. Hanno usato le 12 falangi da
un lato, e le cinque dita, dall'altro per poter contare 12 volte 5, vale a dire 60 numeri diversi.
Così, per esempio, questo numero sarebbe stato 2 volte 12, 24, e poi, 1, 2, 3, 4, 5, per fare 29.
Il numero 60 ha un'altra proprietà potente. Può essere perfettamente diviso in una moltitudine di modi. Qui sono 60
fagioli. Sono in grado di disporli in 2 righe di 30. 3 file di 20. 4 file di 15. 5 file di 12. o 6 righe di 10. La divisibilità di
60 rende una base ideale in cui far di conto.
Il sistema a base 60 ha avuto così tanto successo, che ne usiamo elementi ancora oggi. Ogni volta che vogliamo parlare
del tempo, riconosciamo unità di 60 - 60 secondi in un minuto, 60 minuti in un'ora.
Ma la caratteristica più importante del sistema di numerazione dei Babilonesi è che ha riconosciuto il valore
posizionale. Proprio come il nostro sistema numerico decimale in cui contiamo quanti gruppi di decine, centinaia e
migliaia si stanno registrando, la posizione di ogni numero babilonese riporta una potenza di 60.
Invece di inventare nuovi simboli per i numeri sempre più grandi, loro avrebbero scritto 1-1-1, quindi questo sarebbe il
numero 3.661. Il catalizzatore di questa scoperta è stato il desiderio dei Babilonesi di tracciare il moto del cielo
notturno .
I calendario dei Babilonesi era basato sui cicli della luna. Avevano bisogno di un modo per registrazione
astronomicamente grandi numeri. Mese dopo mese, anno per anno, questi cicli sono stati registrati. Da circa 800BC,
c'erano liste complete di eclissi lunari.
Il sistema babilonese di misura era abbastanza sofisticato per quel tempo. Avevano un sistema di misura angolare, 360
gradi in un cerchio completo, ogni grado è stato diviso in 60 minuti, un minuto è stato ulteriormente suddiviso in 60
secondi. Così hanno avuto un regolare sistema per la misura, ed era in perfetta armonia con il loro sistema di
numerazione, quindi è adatto non solo per l'osservazione, ma anche per il calcolo.
Ma al fine di calcolare e far fronte a questi grandi numeri, ai Babilonesi era necessario inventare un nuovo simbolo. E
così facendo, hanno preparato il terreno per una delle grandi conquiste nella storia della matematica – lo zero.
In quei tempi remoti, i Babilonesi, al fine di segnare un posto vuoto nel bel mezzo di un numero, semplicemente
lasciavano uno spazio vuoto. Così avevano bisogno di un modo di rappresentare nulla nel bel mezzo di un numero.
Quindi hanno usato un segno, come una sorta di segno evanescente, un segno di punteggiatura, e egli significava zero
nel bel mezzo di un numero.
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Questa era la prima volta che lo zero, in qualsiasi forma, era apparso nell'universo matematico. Ma sarebbero passati
1.000 anni avanti prima che questo piccolo posto occupato sarebbe diventato un numero a se stante. Dopo aver stabilito
un sistema così sofisticato di numeri, essi si sono rafforzati a domare la terra arida e inospitale che attraversava la
Mesopotamia. Ingegneri e geometri Babilonesi hanno trovato modi ingegnosi per accedere all'acqua, e canalizzarla nei
campi di grano. Ancora una volta, hanno usato la matematica per trovare soluzioni. La valle Oronte, in Siria è ancora un
centro agricolo, i vecchi metodi di irrigazione sono oggetto di sfruttamento oggi, proprio come erano migliaia di anni fa.
Molti dei problemi nella matematica babilonese si occupano di misurazione del territorio, ed è qui che vediamo per la
prima volta l'uso di equazioni di secondo grado, uno dei più grandi lasciti della matematica babilonese.
Le equazioni di secondo grado coinvolgono le cose in cui si la quantità sconosciuta che noi proviamo ad identificare è
moltiplicata con sé stessa. Noi chiamiamo questo quadratura perché dà l'area di un quadrato, ed è nel contesto del
calcolo della superficie di terreno che queste equazioni di secondo grado sorgono naturalmente.
Ecco un tipico problema. Se un campo ha una superficie di 55 unità e un lato è di sei unità più lungo dell' altro, quanto è
lungo il lato più corto? La soluzione babilonese è stato quello di riconfigurare il campo come un quadrato. Tagliare tre
unità alla fine e spostare queste ruotandole. Ora, c'è un pezzo tre per tre mancante, quindi cerchiamo di aggiungere
questo dentro. L'area del campo è aumentata di nove unità. Questo rende la nuova area 64. Quindi, i lati del quadrato
sono otto unità. Il risolutore sa che sono stati aggiunti tre unità da questa parte. Quindi, la lunghezza originale deve
essere cinque unità. Può non sembrare, ma questa è una delle prime equazioni quadratiche nella storia. In matematica
moderna, vorrei utilizzare il linguaggio simbolico dell'algebra per risolvere questo problema. La straordinaria impresa
di Babilonesi è che stavano usando questi giochi geometrici per trovare il valore, senza alcun ricorso a simboli o
formule. I Babilonesi si stavano godendo la risoluzione di problemi nella loro natura intima . Loro si stavano
innamorando della matematica.
L'attrazione dei Babilonesi con i numeri ha presto trovato un posto nel loro tempo libero, anche. Erano appassionati
giocatori. I Babilonesi e i loro discendenti hanno giocato ad una versione del Backgammon per oltre 5.000 anni.
I Babilonesi giocavano con giochi da tavolo, dai giochi da tavolo molto eleganti in tombe reali a piccoli pezzi di giochi
da tavolo trovati nelle scuole, a giochi da tavolo incisi sugli ingressi dei palazzi, in modo che le guardie potevano
giocare quando erano annoiati, e hanno usato i dadi per spostare il loro turno a giro. Le persone che hanno giocato i
giochi hanno utilizzato i numeri nel loro tempo di attesa per cercare di sconfiggere i loro avversari, facendo calcoli
mentali molto veloci, e quindi calcolavano nel loro tempo di attesa, senza nemmeno pensarci come un matematico
impegnato.
Adesso è la mia occasione. 'Io non avevo giocato backgammon da tempo, ma ho calcolato che la mia matematica mi
avrebbe dato una possibilità di combattere.' Tocca a voi. Sei ... Ho bisogno di spostare qualcosa. 'Ma non è stato facile
come pensavo.' Ah! Che diavolo è stato? Yeah. Questo è uno, questo è due. Ora sei nei guai. Quindi non posso spostare
niente. Non è possibile spostare questi. Oh, gosh. Ci si va. Tre e quattro.
'Proprio come gli antichi babilonesi, i miei avversari erano maestri di tattica matematica'. Yeah. Mettete lì. Buon gioco. I
Babilonesi sono riconosciuti come una delle prime culture ad usare figure matematiche simmetriche per fare i dadi, ma
vi sono dibattiti più accesi sul fatto che potrebbero anche essere stato i primi a scoprire i segreti di un'altra figura
importante. Il triangolo rettangolo.
Abbiamo già visto come gli Egiziani utilizzavano un 3-4-5 triangolo rettangolo. Ma ciò che i Babilonesi conoscevano
riguardo questa forma e altre simili è molto più sofisticato. Questa è la antica tavoletta più famosa e controversa che
abbiamo. Si chiama Plimpton 322. Molti matematici sono convinti che mostra che i Babilonesi potrebbero aver
conosciuto il principio che riguarda i triangoli rettangoli, che il quadrato sulla diagonale è la somma dei quadrati sui lati,
e conosciuto questo secoli prima che i Greci lo enunciavano.
Questa è una copia della probabilmente più celebre tavoletta babilonese, che è Plimpton 322, e questi numeri qui
riflettono la larghezza o l'altezza di un triangolo, essendo questa la diagonale, l'altro lato sarebbe finito qui, e il quadrato
di questa colonna più il quadrato del numero in questa colonna è uguale al quadrato della diagonale. Essi sono disposti
in un ordine di costantemente decrescente angolo, su una base molto uniforme, mostrando che qualcuno aveva molta
comprensione di come i numeri combaciano insieme.
Qui c'erano 15 triangoli perfetti pitagorici, in cui tutte le parti avevano lunghezze in numeri interi. Si sarebbe tentati di
pensare che i Babilonesi furono i primi custodi del teorema di Pitagora, ed è una conclusione che ha sedotto generazioni
di storici. Ma ci potrebbe essere una spiegazione molto più semplice per i set di tre numeri che soddisfano il teorema di
Pitagora.
Non c'è una spiegazione sistematica delle terne pitagoriche, è semplicemente un insegnante di matematica che facendo
alcuni calcoli molto complicati, ma allo scopo di produrre alcuni numeri molto semplici, al fine di definire ai suoi
studenti problemi su triangoli rettangoli, e in questo senso si tratta di triple Pitagoriche solo incidentalmente.
Gli indizi più importanti di quanto hanno capito potevano stare altrove. Questa piccola tavoletta di esercizio scolastico è
quasi 4.000 anni e svela proprio quello che i Babilonesi sapevano su triangoli rettangoli. Esso utilizza un principio del
teorema di Pitagora per trovare il valore di un nuovo numero incredibile.
Tracciata lungo la diagonale è un'approssimazione davvero molto buona per la radice quadrata di due, e così che ci
mostra che era conosciuta e utilizzata in ambienti scolastici. Perché è così importante? Perché la radice quadrata di due
è quello che noi oggi chiamiamo un numero irrazionale, cioè, se lo scrivere in decimali, o anche in luoghi sessagesimali,
5
non finiscono i numeri in avanti dopo la virgola.
Le implicazioni di questo calcolo sono di vasta portata. In primo luogo, significa che i Babilonesi sapevano qualcosa del
teorema di Pitagora 1000 anni prima di Pitagora. In secondo luogo, il fatto che essi possono calcolare questo numero
con una precisione di quattro cifre decimali mostra una stupefacente dimestichezza aritmetica, così come la passione
per i dettagli matematici.
Le abilità matematiche dei Babilonesi erano sorprendenti, e per quasi 2.000 anni hanno guidato il progresso intellettuale
nel mondo antico. Ma quando il loro potere imperiale cominciò a diminuire, così ha fatto il loro vigore intellettuale.
Dal 330BC, i Greci avevano avanzato la loro portata imperiale nella vecchia Mesopotamia. Questa è Palmyra nella
Siria centrale, una anticamente grande città costruita dai Greci. Le competenze matematiche necessarie per costruire
strutture con una tale perfezione geometrica sono impressionanti. Proprio come i Babilonesi prima di loro, i Greci erano
appassionati di matematica.
I Greci erano coloni intelligenti. Hanno preso il meglio dalle civiltà che hanno invaso per far avanzare il proprio potere
e influenza, ma ben presto diedero contributi loro stessi. A mio parere, la loro più grande innovazione ha a che fare con
un cambiamento nella mentalità. Quello che hanno avviato avrebbe influenzato l'umanità per secoli. Ci hanno dato il
potere della dimostrazione.
In qualche modo hanno deciso che dovevano avere un sistema deduttivo per la loro matematica e il tipico sistema
deduttivo è stato quello di iniziare con certi assiomi, che si assumono essere veri. È come se si assume un certo teorema
vero senza dimostrarlo. E poi, usando i metodi logici e passaggi molto attenti, da questi assiomi si dimostrano teoremi e
da quei teoremi si dimostrano altri teoremi, proprio come un proceso a valanga.
La dimostrazione è ciò che dà alla matematica la sua forza. È la forza della dimostrazione che ci dice che le scoperte dei
Greci sono vere oggi come lo erano 2000 anni fa. Avevo bisogno di dirigermi a ovest nel cuore del vecchio impero
greco per saperne di più.
Per me, la matematica greca è sempre stato eroica e romantica. Sono sulla mia strada per Samos, a meno di un miglio
dalla costa turca. Questo posto è diventato sinonimo della nascita della matematica greca, ed è stato assorbito dalla
leggenda di un uomo.
Il suo nome è Pitagora. Le leggende che circondano la sua vita e la suo attività hanno contribuito allo status di celebrità
che ha acquisito nel corso degli ultimi 2.000 anni. È accreditato, a torto o a ragione, con l'inizio della trasformazione
dalla matematica da strumento per la contabilità analitica al soggetto che noi riconosciamo oggi.
Pitagora è una figura controversa. Poichè non ha lasciato scritti di matematica, molti si sono chiesti se egli davvero
aveva risolto qualcuno dei teoremi a lui attribuiti. Ha fondato una scuola a Samos nel VI secolo aC, ma i suoi
insegnamenti sono stati considerati con sospetto e i Pitagorici una setta bizzarra.
Vi è buona evidenza che vi erano scuole di Pitagorici, e possono essere sembrate più simili a sette di quello che noi
associamo con le scuole filosofiche, non solo a causa della condivisione delle conoscenze, loro hanno anche condiviso
un modo di vita. Ci può essere stata vita comunitaria e tutti sembravano essere stati coinvolti nella politica della loro
città. Una caratteristica che li rende insoliti nel mondo antico è che includevano anche le donne.
Ma Pitagora è sinonimo della comprensione di qualcosa che sfuggiva a Egiziani e Babilonesi - le proprietà dei triangoli
rettangoli. Ciò che è noto come teorema di Pitagora che afferma che se si prende un qualsiasi triangolo rettangolo,
costruiti i quadrati su tutti i lati, allora l'area del quadrato più grande è uguale alla somma dei quadrati su i due lati più
piccoli.
È a questo punto per me che la matematica è nata e si apre un abisso tra le altre scienze, e la dimostrazione è tanto
semplice quanto devastanti sono le sue implicazioni.
Poni quattro copie di un triangolo rettangolo sopra questa superficie. Il quadrato che ora vedete ha i lati uguali
all'ipotenusa del triangolo. Facendo scorrere questi triangoli in giro, vediamo come possiamo dividere l'area del
quadrato grande in una somma di due quadrati più piccoli, i cui lati sono dati dai due lati corti del triangolo. In altre
parole, il quadrato sulla ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri lati. Il teorema di Pitagora.
Esso illustra uno dei temi caratteristici della matematica greca - il ricorso a belli argomenti di geometria piuttosto che un
ricorso ai numeri.
Pitagora potrebbe essere caduto in disgrazia e molte delle scoperte accreditate a lui sono state contestate di recente, ma
c'è una teoria matematica che io sono restio a portare via da lui. Ha a che fare con la musica e con la scoperta della serie
armonica.
La storia racconta che, passando un fabbro, un giorno, Pitagora ha sentito colpire incudini, e ha notato come le note
prodotte risuonavano in perfetta armonia. Egli credeva che ci deve essere qualche spiegazione razionale per dare un
senso perché le note suonavano in modo così attraente. La risposta è stata la matematica.
Facendo esperimenti con uno strumento a corda, Pitagora scoprì che gli intervalli tra le note musicali armoniche sono
sempre rappresentate come rapporti di numeri interi. Ed ecco come avrebbe potuto costruire la sua teoria.
In primo luogo, suoniamo una nota sulla corda libera. (un uomo suona una nota). Poi, prendete la metà della lunghezza.
La nota suona quasi allo stesso modo della prima nota. In realtà si tratta di un'ottava più alta, ma la relazione è così
forte, che diamo a queste note lo stesso nome. Ora prendete un terzo della lunghezza. Otteniamo un'altra nota la cui
armonica suona tra i primi due, ma prendere una lunghezza di corda che non è in un rapporto di numero intero tutto
quello che otteniamo è dissonanza.
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Secondo la leggenda, Pitagora era così eccitato da questa scoperta che ha concluso che tutto l'universo è stato costruito
con i numeri. Ma lui e i suoi seguaci erano in una piuttosto scombussolante sfida per la loro visione del mondo e
avvenne come conseguenza del teorema che porta il nome di Pitagora.
La leggenda vuole che, uno dei suoi seguaci, un matematico chiamato Ippaso, ha cercato di trovare la lunghezza della
diagonale di un triangolo rettangolo con due lati che misurano una unità. Il teorema di Pitagora implica che la lunghezza
della diagonale è un numero il cui quadrato era due. I pitagorici presumevano che la risposta dovrebbe essere una
frazione, ma quando Ippaso cercò di esprimerla in questo modo, non importa come ha provato, non riusciva a trovarla.
Alla fine ha capito il suo errore. È stato il presupposto che il valore era di una frazione per cui tutto era sbagliato. Il
valore della radice quadrata di due è il numero che i Babilonesi hanno inciso nella tavoletta di Yale. Tuttavia, essi non
riconobbero il carattere particolare di questo numero. Ma Ippaso lo ha fatto. Era un numero irrazionale.
La scoperta di questo nuovo numero, e altri simili, è simile a un esploratore alla scoperta di un nuovo continente, o di un
naturalista scoperta una nuova specie. Ma questi numeri irrazionali non si adattavano alla visione pitagorica del mondo.
Più tardi commentatori greci raccontano la storia di come Pitagora giurò di mantenere il segreto della sua setta, ma
Ippaso lasciò sfuggire la scoperta e lo è stato prontamente affogato per i suoi tentativi per trasmettere la loro ricerca.
Ma queste scoperte matematiche non potevano essere facilmente eliminate. Scuole di filosofia e scienza cominciarono a
fiorire in tutta la Grecia, costruite su queste basi. La più famosa di queste fu l'Accademia.
Platone fondò questa scuola ad Atene nel 387 aC. Anche se pensiamo di lui oggi come un filosofo, fu uno dei mecenati
più importanti della matematica. Platone era estasiato dalla visione del mondo dei Pitagorici e considerava la
matematica il fondamento della conoscenza.
Qualcuno potrebbe dire che Platone è la figura più influente per la nostra percezione della matematica greca. Egli ha
sostenuto che la matematica è una forma importante di conoscenza e ha una connessione con la realtà. Quindi con la
conoscenza dalla matematica noi sappiamo di più sulla realtà.
Nel suo dialogo con Timeo, Platone propone la tesi che la geometria è la chiave per svelare i segreti dell'universo, una
visione ancora mantenuta da scienziati di oggi. Infatti, l'importanza attribuita da Platone alla geometria è incapsulata nel
segno che è stato montato sopra l'Accademia, "Nessuno ignorante di geometria entra qui".
Platone ha proposto che l'universo potrebbe essere croncretizzato in cinque regolari forme simmetriche. Queste forme,
che noi oggi chiamiamo i solidi platonici, erano composte da poligoni regolari, assemblati per creare oggetti simmetrici
tridimensionali. Il tetraedro rappresentava il fuoco. L'icosaedro, fatto da 20 triangoli, rappresentava l'acqua. Lo stabile
cubo era la Terra. L'ottaedro a otto facce era l' aria. E il quinto solido platonico, il dodecaedro, fatto di 12 pentagoni, è
stato riservato per la forma che ha catturato la visione di Platone dell'universo.
La teoria platonica avrà uno sconvolgente influsso e ha continuato a ispirare matematici e astronomi per oltre 1.500
anni.
In aggiunta ai progressi realizzati in Accademia, trionfi matematici erano anche emergenti dai confini dell'impero greco,
dovuti sia al patrimonio matematico degli Egiziani, che dei Greci. Alessandria divenne un polo di eccellenza
accademica sotto il dominio dei Tolomei nel 3° secolo aC, e la sua famosa biblioteca guadagnò presto la reputazione di
rivaleggiare con l'Accademia di Platone.
I re di Alessandria erano pronti a investire nelle arti e nella cultura, nella tecnologia, nella matematica, nella
grammatica, perché il patrocinio alle attività culturali è stato un modo di dimostrare che erano governanti più
prestigiosi, e avevano più diritto ad essere grandi.
L'antica biblioteca e il suo prezioso contenuto furono distrutte quando i musulmani conquistarono l'Egitto nel 7° secolo.
Ma il suo spirito è vivo in un nuovo edificio. Oggi, la biblioteca resta un luogo di scoperta e di studio.
Matematici e filosofi accorrevano a Alessandria, spinti dalla sete di conoscenza e dalla ricerca dell'eccellenza. I patroni
della biblioteca sono stati i primi scienziati professionisti, individui che sono stati pagati per la loro dedizione alla
ricerca. Ma di tutti questi primi pionieri, il mio eroe è l'enigmatico matematico greco Euclide
Si sa molto poco sulla vita di Euclide, ma i suoi più grandi successi sono stati come un cronista della matematica. Circa
300 aC, ha scritto il libro di testo più importante di tutti i tempi – Gli Elementi. Negli Elementi, troviamo il culmine
della rivoluzione matematica che aveva avuto luogo in Grecia.
È costruita su una serie di ipotesi matematiche, chiamate assiomi. Ad esempio, una linea può essere tracciata tra due
punti qualsiasi. A partire da questi assiomi, sono fatti delle deduzioni logiche e dimostrati teoremi matematici.
Gli Elementi contengono le formule per il calcolo dei volumi di coni e cilindri, dimostrazioni sulle serie geometriche,
sui numeri perfetti e numeri primi. Il culmine degli Elementi è la dimostrazione che ci sono solo cinque solidi platonici.
Per me, questo ultimo teorema afferra la potenza della matematica. È una cosa costruire cinque solidi simmetrici,
un'altra è trovare come una tenuta stagna, un argomento logico per cui non ci può esserci un sesto. Gli Elementi si
snodano come un meraviglioso, logico romanzo giallo. Ma questa è una storia che trascende il tempo. Teorie
scientifiche sono state confutate, da una generazione alla successiva, ma i teoremi negli Elementi sono veri oggi come
lo erano 2000 anni fa.
Quando ti fermi e ci pensi, è davvero sorprendente. Sono gli stessi teoremi che noi insegnamo. Possiamo insegnarli in
modo leggermente diverso, potremmo organizzarli in modo diverso, ma è la geometria euclidea, che è ancora valida, e
anche in matematica superiore, quando si va a spazi di dimensione superiore, stai ancora utilizzando la geometria
euclidea.
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Alessandria deve essere stato un luogo di ispirazione per gli studiosi antichi, e la fama di Euclide avrebbe attirato
ancora più impazienti, giovani intellettuali al porto egiziano. Un matematico a cui è piaciuto particolarmente l'ambiente
intellettuale di Alessandria fu Archimede. Sarebbe diventato un matematico visionario.
I migliori matematici Greci, cercavano sempre di spingere i limiti, superare i limiti. Così, Archimede ... ha fatto quello
che poteva con i poligoni, con i solidi. Poi è passato ai centri di gravità. Ha poi proseguito con le spirali. Questo istinto
di provare e matematizzare tutto ciò è qualcosa che io vedo come una eredità.
Una delle specialità di Archimede sono state le armi di distruzione di massa. Sono state usate contro i romani quando
hanno invaso la sua casa di Siracusa nel 212 aC. Ha anche progettato specchi, che hnno sfruttato la potenza del sole, per
mettere il fuoco nelle navi romane. Ma ad Archimede, questi sforzi sono stati semplici divertimenti di geometria. Aveva
più alte ambizioni.
Archimede fu rapito dalla matematica pura e ha creduto nello studio della matematica per se stessa e non per l'ignobile
commercio con ingegneria o la sordida ricerca a scopo di lucro. Una delle sue più belle indagini in matematica pura è
stata quella di produrre formule per calcolare le aree di forme regolari.
Il metodo di Archimede era quello di catturare nuove forme utilizzando forme egli aveva già capito. Così, per esempio,
per calcolare l'area di un cerchio, lo racchiudeva all'interno di un triangolo, e poi raddoppiando il numero dei lati del
triangolo, la forma che lo racchiude era sempre più vicina al cerchio. Anzi, a volte noi chiamiamo cerchio un poligono
con un numero infinito di lati.
Ma stimando l'area del cerchio, Archimede ha, di fatto, ottenuto un valore di pi-greca, il numero più importante in
matematica.
Tuttavia, è stato nel calcolo del volume di corpi solidi dove Archimede eccelleva. Ha trovato un modo per calcolare il
volume di una sfera affettandola e di approssimando ogni sezione ad un cilindro. Ha poi aggiunto i volumi delle fette
per ottenere un valore approssimato per la sfera. Ma il suo atto di genio è stato quello di vedere cosa succede se si fanno
le fette sempre più sottili. Al limite, l'approssimazione diventa un calcolo esatto.
Ma è stato l'impegno di Archimede nella matematica ad essere la sua rovina.
Archimede stava contemplando un problema su cerchi tracciati nella sabbia. Quando un soldato romano gli si avvicinò,
Archimede era così preso dal problema che ha insistito che gli fosse permesso di finire il suo teorema. Ma il soldato
romano non era interessato al problema di Archimede e lo uccise sul posto. Anche nella morte, la devozione Archimede
per la matematica è stata incrollabile.
Entro la metà del primo secolo aC, i Romani avevano la loro morsa nel vecchio impero greco. Essi sono stati meno
colpiti dalla bellezza della matematica, ed erano più interessati con le sue applicazioni pratiche. Questo atteggiamento
pragmatico segnò l'inizio della fine per la grande biblioteca di Alessandria. Ma un matematico era determinato a
mantenere viva l'eredità dei Greci. Ipazia era eccezionale, un matematico donna, e un pagano nell'impero romano
devotamente cristiano.
Ipazia era molto prestigiosa e molto influente nel suo tempo. Era un insegnante con un sacco di studenti, un sacco di
seguaci. Lei era politicamente influente in Alessandria. Quindi è questa combinazione di ... elevata conoscenza e di alto
prestigio che possono aver fatto di lei una figura di odio per ... la folla cristiana.
Una mattina durante la Quaresima, Ipazia fu trascinata via su un carro da una folla zelante cristiana e portata in una
chiesa. Lì, fu torturata e brutalmente uccisa. Le circostanze drammatiche della sua vita e della morte hanno affascinato
generazioni successive. Purtroppo, il suo status di culto ha oscurato i suoi successi matematici. Era, infatti, una brillante
insegnante e teorica, e la sua morte fu un colpo finale per il patrimonio greco matematico di Alessandria.
I miei viaggi mi hanno portato in un viaggio affascinante per scoprire la passione e l'innovazione dei primi matematici
del mondo. È stata la svolta fatta da quei primi pionieri di Egitto, Babilonia e della Grecia che sono le fondamenta su
cui è il mio oggetto di studio è costruito di oggi. Ma questo è solo l'inizio della mia odissea nella matematica. La
prossima tappa del mio viaggio si trova a est, nel profondo dell'Asia, dove i matematici hanno scalato vette sempre più
alte in ricerca della conoscenza. Con questa nuova era è venuto un nuovo linguaggio di algebra e numeri, più adatto a
raccontare il prossimo capitolo della storia della matematica. Si può imparare di più sulla storia della matematica con la
Open University a ...
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