La convergenza uniforme

La convergenza uniforme
1. Il tubo
Sia {fn (x)} una successione convergente a f (x) per x ∈ E:
• disegniamo il grafico della funzione limite f (x)
• assegnato ε > 0 disegniamo la striscia - il tubo - intorno al
grafico di f (x) di diametro ε
• la convergenza é uniforme se da un certo indice nε in poi i
grafici delle fn (x) sono interamente contenuti nel tubo.
• ... e questo avviene comunque si scelga l’ ε > 0.
Esempio 1.1. Consideriamo, nell’intervallo ∈ [0, 2π] la successione
fn (x) = sin(x) +
1
sin(nx),
n
successione certamente convergente a f (x) = sin(x). La Figura (1)
contiene
• il grafico della funzione limite sin(x)
• il tubo intorno a tale grafico con ε = 0.3
• i grafici delle tre fn (x), n = 4, 5, 6
Figura 1. Il tubo
1
2
LA CONVERGENZA UNIFORME
Si vede come i grafici delle f4 (x), f5 (x), f6 (x) siano ben contenuti dentro il tubo.
Naturalmente se avessimo scelto un tubo piú sottile, un tubetto..., avremmo forse dovuto attendere un po’ di piú per riconoscere che i grafici
delle fn (x) finissero interamente dentro tale tubetto !
Esempio 1.2. Consideriamo nell’intervallo |x| < 1 la successione
fn (x) = xn
successione convergente a f (x) = 0, naturalmente questo non accade
nei due estremi.
La Figura (2) seguente mostra il tubo realizzato intorno alla funzione
limite e di spessore ε = 0.1 : sono anche riportati i grafici delle
funzioni della successione x4 , x7 , x12 , x15 che, visibilmente non sono
interamente contenuti nel tubo....
Figura 2. I grafici non finiscono interamente nel tubo...!
Il motivo é evidente: i grafici delle xn per x = 1 devono prendere il
valore 1, quindi i loro grafici devono avere un tratto in salita che li porti
a raggiungere tale quota, tratto in salita che fuoriesce, naturalmente,
dal tubo disegnato.
Definizione 1.3 (Convergenza uniforme). La successione {fn (x)} converge per x ∈ E uniformemente alla funzione f (x) se per ogni ε > 0
esiste una stessa unica soglia nε valida per tutti i punti x0 ∈ E: cioé
tale che
|fn (x0 ) − f (x0 )| < ε ∀x0 ∈ E, ∀n > nε
La parola
uniforme
1. IL TUBO
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o meglio, uniforme rispetto ad x, significa che il tipo di convergenza
osservato per le successioni numeriche {fn (x0 )} ottenute per ogni scelta
di x0 ∈ [a, b] non varia, é appunto uniforme, rispetto al variare di x0 :
assegnato ε > 0 esiste una soglia nε tale che se n ≥ nε sono soddisfatte
le disuguaglianze
|fn (x) − f (x)| ≤ ε
qualunque sia il punto x ∈ [a, b] scelto.
Proposizione 1.4. Sia
∀x ∈ [a, b] : lim fn (x) = f (x)
n→∞
La convergenza é anche uniforme se e solo se
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0
n→∞ x∈[a,b]
Dimostrazione. Supponiamo che riesca
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0
n→∞ x∈[a,b]
allora ∀ε > 0 ∃nε tale che
∀n ≥ nε :
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
x∈[a,b]
disuguaglianza che implica
∀n ≥ nε : |fn (x) − f (x)| ≤ ε
per ogni x ∈ [a, b], cioé la convergenza uniforme.
Viceversa, supponiamo che la successione {fn (x)} converga uniformemente a f (x) in [a, b]: allora ∀ε > 0 esiste nε tale che se n ≥ nε si
ha
∀x ∈ [a, b] : |fn (x) − f (x)| ≤ ε
disuguaglianza che implica che, per n ≥ nε riesce
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
x∈[a,b]
cioé
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0
n→∞ x∈[a,b]
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LA CONVERGENZA UNIFORME
Proposizione 1.5. La successione {fn (x)} converga uniformemente
in [a, b] se e solo se per ogni ε > 0 esiste nε tale che se n, m ≥ ne
riesce
sup |fn (x) − fm (x)| ≤ ε
x∈[a,b]
Dimostrazione. Supponiamo che {fn (x)} converga uniformemente
in [a, b] e sia f (x) la funzione limite:
sup |fn (x) − fm (x)| ≤ sup |fn (x) − f (x)| + sup |f (x) − fm (x)|
x∈[a,b]
x∈[a,b]
x∈[a,b]
e pertanto essendo i due addendi a secondo membro infinitesimi, lo é
anche il primo.
Viceversa scelto ε > 0 sia nε tale che per n, m ≥ nε riesca
sup |fn (x) − fm (x)| ≤ ε
x∈[a,b]
Passando al limite ad esempio su m si ha, di conseguenza,
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
x∈[a,b]
cioé la convergenza uniforme.
Esempio 1.6. Nel caso di Figura (3) si vede che i grafici delle funzioni
Figura 3. x(1 − x)/n,
1
x(1 − x),
n
n = 1, 2, 3,
n = 1, 2, 3...
x ∈ [0, 1]
x ∈ [0, 1]
1. IL TUBO
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si stringono intorno a quello della funzione 0, loro limite.
Nel caso di Figura 4 invece i grafici di
3 (x−1/n)2
Figura 4. e−n
3 (x−1/n)2
e−n
,
,
n = 4, 8, 12, 16 x ∈ [0, 1]
n = 1, 2, 3, ...e−n
3 (x−1/n)2
,
n=
sono delle campane di Gauss centrate su n1 e via via piú magre: esse costituiscono una successione con limite 0 ma evidentemente i loro grafici
non sono mai completamente contenuti in un tubo intorno all’asse x :
piú guardiamo ad un x0 ' 0 piú per avere fn (x0 ) piccolo occorre riferirsi
a n alto.
• Il caso di Figura 3 rappresenta un caso di convergenza uniforme,
• quello di Figura 4 un caso di convergenza non uniforme.
Osservazione 1.7. Ogni dichiarazione di convergenza o di uniforme
convergenza di una successione di funzioni deve essere fatta precisando
dove si consente di variare la x.
La successione di Figura 4 possiede il requisito di convergenza uni3
2
forme se invece di considerare le funzioni e−n (x−1/n) su tutto [0, 1] le
si considera in un intervallo [0.5, 1].
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LA CONVERGENZA UNIFORME
2. Test di convergenza uniforme per le serie
Definizione 2.1. Una serie di funzioni
∞
X
gk (x)
k=0
si dice uniformemente convergente per x ∈ E se é tale la successione
delle sue somme parziali
Sn (x) =
n
X
gk (x)
k=0
Teorema 2.2 (Condizione sufficiente). La serie
∞
P
gk (x) é uniforme-
k=0
mente convergente per x ∈ E Pse é possibile maggiorare
∞
|gk (x)| ≤ ck , ∀x ∈ E, ∀k essendo
k=0 ck convergente.
La condizione sufficiente del teorema si chiama condizione di Weierstrass o condizione di convergenza totale.
Dimostrazione. Sia S(x) la somma della serie: dette Sn (x) le
somme parziali riesce
m
X
|S(x) − Sn (x)| = lim |Sm (x) − Sn (x)| = lim gk (x)
m→∞
m→∞ n+1
Tenuto conto che
|gk (x)| ≤ ck
→
m
m
X
X
ck
gk (x) ≤
n+1
n+1
P∞
e che la serie k=0 ck é convergente per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste
nε ∈ N tale che
m
X
n > nε →
ck ≤ ε
n+1
Ne segue pertanto che, ∀x ∈ E
n > nε
→
|S(x) − Sn (x)| ≤ ε
ovvero la convergenza uniforme della successione Sn (x) delle somme
parziali.
2. TEST DI CONVERGENZA UNIFORME PER LE SERIE
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2.1. Il test per le successioni. Per decidere se la successione
{fn (x)} converga o meno uniformemente basta esaminare se converge
o meno uniformemente la serie associata
f0 + {f1 (x) − f0 (x)} + {f2 (x) − f1 (x)} + ...
Pertanto, servendosi del criterio precedente,
Teorema 2.3. La successione {fn (x)} converge uniformemente se
|fn+1 (x) − fn (x)| ≤ cn
P
essendo convergente la serie
cn .
Esempio 2.4. Sperimentiamo il teorema precedente sulla successione
xn per 0 ≤ x < 1: la serie associata ha, tenuto conto del modulo, i
seguenti termini
n+1
x
− xn = xn (1 − x)
I termini da maggiorare hanno i seguenti grafici, Figura (5), in corrispondenza ad n = 4, ..., 8
Figura 5. I termini della serie associata
I massimi raggiunti in Figura (5) si possono anche calcolare facilmente
0
n
xn+1 − xn = 0 → x =
n+1
massimi che pertanto valgono
1
1
1 1
1 n '
n + 1 (1 + n )
en+1
Gli ultimi termini costituiscono una maggiorazione non ulteriormente
scontabile dei termini della serie associata, e si tratta di maggiorazioni
che non corrispondono ad una serie convergente (somigliano molto alla
serie armonica...)
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LA CONVERGENZA UNIFORME
Non c’é da stupirsi che la successione xn per 0 ≤ x < 1 non sia
uniformemente convergente...!
2.2. Un teorema di Dini.
Il nome di Ulisse Dini é legato ad importanti risultati d’Analisi Matematica, che gli sono riconosciuti a livello internazionale: fra tali risultati
la seguente condizione di convergenza uniforme
Teorema 2.5. Sia {fn (x)} una successione di funzioni continue nell’intervallo chiuso e limitato I = [a, b] tali che
• fn (x) ≤ fn+1 (x), ∀x ∈ I
• lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ Icon f (x) continua in I,
n→∞
allora {fn (x)} converge uniformemente ad f (x) in I.
Il risultato, pur apparendo quasi evidente, é, invece nella sua generalitá assai profondo: la sua dimostrazione non é opportuna in un corso
iniziale.
In altri termini il teorema di Dini permette di riconoscere che l’esempio
delle funzioni
3
2
fn (x) = e−n (x−1/n)
illustrate in Figura 4, successione di funzioni convergente alla funzione
continua f (x) = 0 su I = [0, 1] non uniformemente é un esempio base.
La convergenza non uniforme di successioni {fn (x)} di funzioni continue ad una funzione f (x) continua in un intervallo chiuso e limitato
[a, b] si incontra solo in presenza di successioni di tipo non monotono.