Esercitazione 06. Teoria dei Giochi - Soluzioni - e-Learning

Principi di economia – Microeconomia
Esercitazione 6 - Teoria dei Giochi
Soluzioni
Novembre 2016
1. Considerate il gioco “matching pennies”. Ci sono due giocatori che devono
scegliere fra “testa” o “croce”: se entrambi dicono “testa” o entrambi dicono
“croce” il giocatore A vince 1 euro e il giocatore B lo perde; se le scelte sono
diverse, il giocatore A perde 1 euro, mentre il giocatore B lo vince.
(a) Rappresentate il gioco in forma normale.
B
T
C
T 1,-1 -1,1
A
C -1,1 1,-1
(b) Esiste un equilibrio in strategie dominanti? Esistono equilibri di Nash in
strategie pure? Commentate.
Questo tipo di gioco è detto di “competizione pura”: gli interessi dei due
giocatori sono contrapposti. Infatti, quando A gioca “testa”, B preferisce
“croce” e viceversa.
In questo gioco quindi non ci sono strategie dominanti, in quanto non
esiste una strategia che assicuri al giocatore un payoff più elevato di quello
ottenibile con ogni altra strategia indipendentemente dalla strategia
adottata dalla controparte.
In questo gioco non esiste neanche alcun equilibrio di Nash in strategie
pure, non esiste cioè nessuna coppia di strategie tale che ogni giocatore
gioca una risposta ottima alla strategia dell’altro.
2. Considerate un gioco in cui due individui, moglie (giocatore B) e marito
(giocatore A), devono decidere (simultaneamente e indipendentemente) dove
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passare la serata, ma hanno gusti diversi: lui preferisce la boxe, lei l’opera.
Tuttavia, entrambi preferiscono essere in compagnia dell’altro che da soli.
(a) Rappresentate il gioco in forma normale, assumendo che ciascun giocatore
ottenga un payoff pari a 2 nella sua situazione ideale (spettacolo preferito
in compagnia), 0 nella sua situazione peggiore (spettacolo meno gradito da
solo) e 1 altrimenti.
B
O B
O 1,2 0,0
A
B 1,1 2,1
(b) Esistono strategie strettamente dominanti? Esistono equilibri di Nash?
E’ semplice osservare che non esistono strategie strettamente dominanti: il
giocatore A preferisce la boxe all’opera se anche B va a vedere la boxe,
ma è indifferente altrimenti, e la situazione è speculare per il giocatore B.
In questo gioco ci sono 3 equilibri di Nash: (O,O), (B,B) e (B,O). Questi
equilibri sono definiti deboli, poiché ogni giocatore ha una possibilità di
deviare dall’equilibrio che lo rende indifferente.
(c) Supponiamo ora che i payoff cambino nel seguente modo: quando i due
giocatori si trovano in posti diversi il loro payoff è 0, a prescindere dallo
spettacolo a cui assistono. Cosa cambia rispetto al caso precedente?
B
O
B
O (1,2) (0,0)
A
B (0,0) (2,1)
Non esistono strategie dominanti.
Inoltre, a differenza di prima, (B,O) non è più un equilibrio Nash e gli altri
due equilibri di Nash ora sono stretti (non esiste alcuna deviazione
profittevole né indifferente).
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Nota: questo gioco è chiamato “battaglia dei sessi” e fa parte della
categoria dei giochi di coordinamento: i due giocatori hanno scopi
analoghi, ma possono trovarsi in equilibri non Pareto-efficienti.
(d) Consideriamo ancora il gioco al punto (c), ma assumiamo che ora il marito
(giocatore A) faccia scegliere alla moglie per prima, e poi faccia la sua
scelta di conseguenza. Rappresentate il gioco in forma estesa e trovate gli
eventuali equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi.
Ragionando per induzione a ritroso, la moglie sa che, se sceglierà di
andare all’opera, il marito andrà all’opera, e se lei sceglierà di andare a
vedere la boxe, lo stesso farà il marito.
La moglie può quindi considerare il gioco ridotto (in cui sono eliminate le
strategie che il marito non seguirà mai):
A questo punto è chiaro che la moglie (giocatore B) sceglierà l’opera (O),
che le dà un payoff di 2, invece della boxe (B), che la dà un payoff di 1.
(O,O) è l’unico equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi.
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3. Supponete di essere nella vostra macchina nel parcheggio della vostra
università e di star aspettando che si liberi un posto per parcheggiarvi l’auto.
Qualcuno sta uscendo, ma contemporaneamente un autista vi supera, con il
chiaro intento di parcheggiare prima di voi nell’unico posto che si sta
liberando. Supponete che questo autista sia disposto a pagare fino a 10 euro
per occupare quel posto e 30 euro per evitare di discutere con voi. Allo stesso
tempo, l’autista suppone che anche voi siate disposti a pagare 10 euro per
occupare quel posto e 30 euro per evitare di discutere.
In altri termini: entrambi otterreste un beneficio di 10 euro dall’aver
parcheggiato e subireste una perdita di 30 euro da un’eventuale discussione.
(a) Rappresentate questa situazione come un gioco in forma estesa a due stadi:
la mossa iniziale dell’altro autista (giocatore I) consiste nel lasciarvi il
posto (strategia A) oppure tentare di rubarvelo (strategia F); voi siete il
giocatore II e le strategie a vostra disposizione sono invece: protestare (f) o
non protestare (a). Le regole del gioco prevedono che, se voi protestate,
l’altro autista vi deve lasciare il posto.
(b) Qual è l’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi?
Ragionando per induzione a ritroso, partite dal vostro turno (giocatore II):
se decidete di non protestare ottenete un payoff pari a 0; al contrario, se
protestate, ottenete un beneficio di 10 euro dall’aver parcheggiato, ma
subite anche una perdita di 30 euro legata al fastidio della discussione,
ottenendo una perdita pari a -20. La vostra scelta sarà quindi di non
protestare.
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L’altro guidatore (giocatore I) sa che, se decide di tentare di rubarvi il
posto, voi sceglierete di non protestare. Il suo payoff in questa situazione è
quindi di 10 euro (ha ottenuto il posto senza discutere). Se invece vi
lasciasse il posto, non dovrebbe discutere con voi, ma non otterrebbe
neanche il posto. Il suo payoff in questa situazione sarebbe nullo. L’altro
autista, quindi, alla luce della vostra scelta, deciderà di tentare di rubarvi il
posto.
L’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi è: il giocatore I vi ruba il
posto e voi non protestate.
(c) Quale sarebbe per voi il vantaggio di convincere l’altro autista che non
protestare avrebbe per voi un costo psicologico significativo?
Supponete, ad esempio, di far credere all’altro guidatore che subite un
costo psicologico di 30 euro non solo in caso di disputa, ma anche se non
protestate contro il suo comportamento ingiusto. In questo caso il gioco
diventerà:
A questo punto, per voi diverrà più conveniente discutere piuttosto che
accettare passivamente il furto di parcheggio (infatti, -20 > -30).
Se quindi riuscite a indurre l’altro autista a credere che ci sia un tale costo
psicologico legato alla non-protesta, lui sceglierà di lasciarvi il parcheggio.
In questa situazione, infatti, l’altro guidatore non avrà niente da
guadagnare nel cercare di prendere il vostro parcheggio, poiché, se vi
lascia il posto, ottiene un beneficio nullo, ma se intraprende la disputa
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finisce con il perdere il parcheggio comunque e pagare il prezzo della
discussione.
In questo caso l’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi sarà quello in
cui I gioca A sotto la minaccia (questa volta credibile!) che II giochi f in
caso I giocasse F.
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