Corrente alternata

Capitolo 3
Corrente alternata
3.1
Grandezze utilizzate
Simbolo
Definizione
Unità di misura
Simbolo unità di misura
I
Corrente
ampere
A
V
Tensione
volt
V
R
Resistenza
ohm
Ω
C
Capacità
farad
F
L
Induttanza
henry
H
XL
Reattanza induttiva
ohm
Ω
XC
Reattanza capacitiva
ohm
Ω
X
Reattanza
ohm
Ω
Z
Impedenza
ohm
Ω
f
Frequenza
hertz
Hz
t
tempo
secondi
s
T
Periodo
secondi
s
ϕ
Sfasamento
gradi
◦
40
3.2. FORMULARIO
3.2
41
Simbolo
Definizione
Unità di misura
Simbolo unità di misura
p
Potenza istantanea
watt
W
P
Potenza attiva
watt
W
Q
Potenza reattiva
voltampere reattivi
VAr
A
Potenza apparente
voltampere
VA
Formulario
Grandezze alternate (è riportato come esempio il caso della corrente):
Simbolo
Definizione
i
Valore istantaneo
IM
Valore massimo
Im
Valore medio
I
Valore efficace
i = IM · sin (2 · π · f · t)
IM
I=√
2
IM =
(3.1)
√
(3.2)
2·I
Reattanze ed impedenza
XL = 2 · π · f · L
XC =
Z=
!
1
2·π·f ·C
f=
f=
XL
2·π·L
L=
1
2 · π · XC · C
C=
XL
2·π·f
1
2 · π · f · XC
(3.3)
(3.4)
X = XL − XC
XL = X + XC
XC = XL − X
(3.5)
!
!
!
R2 + X 2 = R2 + (XL − XC )2
R = Z2 − X2
X = Z 2 − R2
(3.6)
Legge di Ohm
V =Z ·I
VR = R · I
VL = X L · I
V
Z
VR
I=
R
VL
I=
XL
I=
V
I
VR
R=
I
VL
XL =
I
Z=
(3.7)
(3.8)
(3.9)
42
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
VC = X C · I
Sfasamento
ϕ = sin
−1
Potenze
"
X
Z
I=
!
P 2 + Q2 =
VC
I
(3.10)
" #
R
Z
(3.11)
XC =
#
ϕ = cos
−1
P = VR · I
I=
P
VR
VR =
P
I
(3.12)
QL = V L · I
I=
QL
VL
VL =
QL
I
(3.13)
QC = V C · I
I=
QC
VC
VC =
QC
I
(3.14)
Q = QL − QC
A=
VC
XC
!
A=V ·I
P 2 + (QL − QC )2
P = V · I · cos ϕ
I=
A
V
P =
(3.15)
QC = Q L − Q
QL = Q + Q C
V =
!
A
I
A2 − Q2
Q = V · I · sin ϕ
(3.16)
Q=
!
A2 − P 2
(3.17)
(3.18)
3.3. ESERCIZI
3.3
43
Esercizi
Grandezze alternate
Esercizio 3.1
Sia data una grandezza alternata (per semplicità si assuma la corrente). Sapendo che il suo valore
massimo è di 10 e la frequenza di 30 Hz, calcolare il valor medio, il valor minimo, il valore efficace
e il valore istantaneo dopo 15 s.
[IM in = −10; Im = 0; I = 7, 07; i = −8, 09]
Dati
IM = 10
f = 30 Hz
IM in = ?
Im = ?
I=?
i = ? a t = 15 s
Risoluzione
Il valor minimo è l’opposto del valor massimo:
IM in = −IM = −10
In una grandezza alternata il valor medio è nullo:
Im = 0
Il valor efficace si calcola dal valor massimo:
IM
10
I = √ = √ = 7, 07
2
2
Il valore istantaneo a t = 15 s:
i = IM · sin (2 · π · f · t) = 10 · sin (2 · 3, 14 · 30 · 15) = −8, 09
Esercizio 3.2
Sia data una grandezza alternata (per semplicità si assuma la tensione). Sapendo che il suo valore
efficace è di 14, 14 e la frequenza di 50 Hz, calcolare il valor medio, il valor massimo, il valore
minimo e il valore istantaneo dopo 12 s.
Dati
V = 14,14
f = 50 Hz
VM =?
VM in =?
Vm = ?
v = ? a t = 12 s
[VM = 20; VM in = −20; Vm = 0; v = 4, 16]
44
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
Risoluzione
Il valor massimo si ricava dal valore efficace:
VM =
√
2·V =
√
2 · 14, 14 = 20
Il valor minimo è l’opposto del valore massimo:
VM in = −VM = −20
In una grandezza alternata il valor medio è nullo:
Vm = 0
Il valore istantaneo a t = 12 s:
v = VM · sin (2 · π · f · t) = 20 · sin (2 · 3, 14 · 50 · 12) = 4, 16
Reattanze ed impedenze
Esercizio 3.3
Calcolare l’induttanza di un induttore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la
sua reattanza vale 35 Ω.
[L = 111 mH]
Dati
f = 50 Hz
XL = 35 Ω
L=?
Risoluzione
L=
XL
35
=
= 0, 111 H
2·π·f
2 · 3, 14 · 50
0, 111 H = 111 mH
Esercizio 3.4
Calcolare la capacità di un condensatore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la
sua reattanza vale 35 Ω.
[C = 91 µF]
Dati
f = 50 Hz
XC = 35 Ω
C=?
Risoluzione
C=
1
1
=
= 91 · 10−6 F
2 · π · f · XC
2 · 3, 14 · 50 · 35
3.3. ESERCIZI
45
91 · 10−6 F = 91 µF
(3.19)
i = IM · sin (2 · π · f · t)
Analisi di circuiti
Esercizio 3.5
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 15
Ω, l’induttore un’induttanza L1 da 25 mH, scorre una corrente di 8 A alternata a 50 Hz, calcolare
la reattanza dell’induttore, l’impedenza equivalente, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento
tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla
corrente.
a
[XL1 = 7, 85 Ω; Z = 16, 9 Ω; VR1 = 120 V; VL1 = 62, 8 V; V = 135, 2 V anticipo; ϕ = 27, 68◦ ]
Dati
R1
R1 = 15 Ω
L1 = 25 mH
L1
I=8A
f = 50 Hz
XL1 = ?
Z=?
VR 1 = ?
VG
˜
VL 1 = ?
V =?
ϕ=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
25 mH = 25 · 10−3 H
Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l’induttanza e la frequenza:
XL1 = 2 · π · f · L = 2 · 3, 14 · 50 · 25 · 10−3 = 7, 85 Ω
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
$
!
!
!
Z = R12 + XL2 1 = 152 + 7, 852 = 225 + 61, 62 = 286, 62 = 16, 9 Ω
Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm:
VR1 = R1 · I = 15 · 8 = 120 V
46
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
VL1 = XL1 · I = 7, 85 · 8 = 62, 8 V
V = Z · I = 16, 9 · 8 = 135, 2 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
"
#
"
#
XL1
7, 85
ϕ = sin−1
= sin−1
= 27, 68◦
Z
16, 9
Esercizio 3.6
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 5
Ω, l’induttore un’induttanza L1 da 8 mH, la tensione massima erogata dal generatore è 325 V
alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell’induttore, l’impedenza equivalente, la corrente del
circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la
corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione.
a
[XL1 = 2, 5 Ω; Z = 5, 6 Ω; I = 41 A ritardo; VR1 = 205 V; VL1 = 102, 5 V; ϕ = 26, 5◦ ]
Dati
R1
R1 = 5 Ω
L1 = 8 mH
L1
VM = 325 V
VG
f = 50 Hz
XL1 = ?
Z=?
I=?
˜
VR 1 = ?
VL 1 = ?
ϕ=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
8 mH = 8 · 10−3 H
Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l’induttanza e la frequenza:
XL1 = 2 · π · f · L = 2 · 3, 14 · 50 · 8 · 10−3 = 2, 5 Ω
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
Z=
$
R12 + XL2 1 =
!
52 + 2, 52 =
!
!
25 + 6, 25 = 31, 25 = 5, 6 Ω
La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della
tensione:
VM
325
V = √ = √ = 230 V
2
2
3.3. ESERCIZI
47
V
230
=
= 41 A
Z
5, 6
Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in
I=
serie sono attraversati dalla stessa corrente:
VR1 = R1 · I = 5 · 41 = 205 V
VL1 = XL1 · I = 2, 5 · 41 = 102, 5 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
"
#
"
#
−1 XL1
−1 2, 5
ϕ = sin
= sin
= 26, 5◦
Z
5, 6
Esercizio 3.7
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 5 Ω, il
condensatore una capacità C1 da 1 mF, scorre una corrente di 4 A alternata a 50 Hz, calcolare la
reattanza del condensatore, l’impedenza equivalente, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento
tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla
corrente.
a
[XC1 = 3, 2 Ω; Z = 5, 94 Ω; VR1 = 20 V; VC1 = 12, 8 V; V = 23, 76 V ritardo; ϕ = 32, 6◦ ]
Dati
R1
R1 = 5 Ω
C1 = 1 mF
I=4A
VG
f = 50 Hz
XC1 = ?
Z=?
VR 1 = ?
˜
VC 1 = ?
V =?
ϕ=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
1 mF = 1 · 10−3 F
Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l’induttanza e la frequenza:
XC1 =
1
1
=
= 3, 2 Ω
2·π·f ·C
2 · 3, 14 · 50 · 1 · 10−3
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
$
!
!
!
Z = R12 + XC2 1 = 52 + 3, 22 = 25 + 10, 24 = 35, 24 = 5, 94 Ω
C1
48
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm:
VR1 = R1 · I = 5 · 4 = 20 V
VC1 = XC1 · I = 3, 2 · 4 = 12, 8 V
V = Z · I = 5, 94 · 4 = 23, 76 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
"
#
"
#
3, 2
−1 XC1
−1
ϕ = sin
= sin
= 32, 6◦
Z
5, 94
Esercizio 3.8
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 130
Ω, il condensatore una capacità C1 da 12 µF, la tensione massima erogata dal generatore è 325
V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell’induttore, l’impedenza equivalente, la corrente del
circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la
corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione.
a
[XC1 = 265, 4 Ω; Z = 295, 5 Ω; I = 0, 78 A anticipo; VR1 = 101, 4 V; VC1 = 207 V; ϕ = 63, 9◦ ]
Dati
R1
R1 = 130 Ω
C1 = 12 µF
VM = 325 V
VG
f = 50 Hz
XC1 = ?
Z=?
I=?
C1
˜
VR 1 = ?
VC 1 = ?
ϕ=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
12 µF = 12 · 10−6 F
Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza:
XC1 =
1
1
=
= 265, 4 Ω
2·π·f ·C
2 · 3, 14 · 50 · 12 · 10−6
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
Z=
$
R12 + XC2 1 =
!
1302 + 265, 42 =
√
16.900 + 65.741 =
√
82.641 = 295, 5 Ω
3.3. ESERCIZI
49
La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della
tensione:
VM
325
V = √ = √ = 230 V
2
2
I=
V
230
=
= 0, 78 A
Z
295, 5
Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in
serie sono attraversati dalla stessa corrente:
VR1 = R1 · I = 130 · 0, 78 = 101, 4 V
VC1 = XC1 · I = 265, 4 · 0, 78 = 207 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
"
#
"
#
−1 XC1
−1 265, 4
ϕ = sin
= sin
= 63, 9◦
Z
295, 5
Esercizio 3.9
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 5 Ω,
l’induttore un’induttanza L1 da 15 mH, il condensatore una capacità C1 da 300 µF, scorre una
corrente di 3 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell’induttore, l’impedenza equivalente,
la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione
totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente.
a
a
[XL1 = 4, 7 Ω; XC1 = 10, 6 Ω; X = −5, 9 Ω; Z = 7, 7 Ω; VR1 = 15 V;
VL1 = 14, 1 V; VC1 = 31, 8 V; V = 23, 1 V ritardo; ϕ = 50◦ ]
Dati
R1
R1 = 5 Ω
L1 = 15 mH
C1 = 300 µF
I=3A
f = 50 Hz
XL1 = ?
XC1 = ?
X=?
Z=?
VR 1 = ?
VL 1 = ?
VC 1 = ?
V =?
ϕ=?
L1
VG
˜
C1
50
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
15 mH = 15 · 10−3 H
300 µF = 300 · 10−6 F
Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l’induttanza e la frequenza:
XL1 = 2 · π · f · L = 2 · 3, 14 · 50 · 15 · 10−3 = 4, 7 Ω
Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza:
XC1 =
1
1
=
= 10, 6 Ω
2·π·f ·C
2 · 3, 14 · 50 · 300 · 10−6
La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze:
X = XL1 − XC1 = 4, 7 − 10, 6 = −5, 9 Ω
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
$
!
!
!
Z = R12 + X 2 = 52 + (−5, 9)2 = 25 + 34, 8 = 62, 2 = 7, 7 Ω
Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm:
VR1 = R1 · I = 5 · 3 = 15 V
VL1 = XL1 · I = 4, 7 · 3 = 14, 1 V
VC1 = XC1 · I = 10, 6 · 3 = 31, 8 V
V = Z · I = 7, 7 · 3 = 23, 1 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
" #
"
#
−1 X
−1 −5, 9
ϕ = sin
= sin
= −50◦
Z
7, 7
La tensione è in ritardo rispetto alla corrente perché:
• XC1 > XL1
• X<0
• ϕ<0 (calcolato utilizzando la reattanza e sin−1 )
3.3. ESERCIZI
51
Esercizio 3.10
Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R1 da 100
Ω, l’induttore un’induttanza L1 da 1 H, il condensatore una capacità C1 da 20 µF, la tensione
massima erogata dal generatore è 325 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell’induttore,
l’impedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra
tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione.
a
[XL1 = 314 Ω; XC1 = 159, 2 Ω; X = 154, 8 Ω; Z = 184, 3 Ω; I = 1, 25 A ritardo;
a
VR1 = 125 V; VL1 = 392, 5 V; VC1 = 199 V; ϕ = 57, 1◦ ]
Dati
R1
R1 = 100 Ω
L1 = 1 H
L1
C1 = 20 µF
VG
VM = 325 V
f = 50 Hz
XL1 = ?
XC1 = ?
˜
C1
X=?
Z=?
I=?
VR 1 = ?
VL 1 = ?
VC 1 = ?
ϕ=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
20 µF = 20 · 10−6 F
Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l’induttanza e la frequenza:
XL1 = 2 · π · f · L = 2 · 3, 14 · 50 · 1 = 314 Ω
Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza:
XC1 =
1
1
=
= 159, 2 Ω
2·π·f ·C
2 · 3, 14 · 50 · 20 · 10−6
La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze:
X = XL1 − XC1 = 314 − 159, 2 = 154, 8 Ω
L’impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza:
$
!
√
√
Z = R12 + XC2 1 = 1002 + 154, 82 = 10.000 + 23.963 = 33.963 = 184, 3 Ω
52
CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA
La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della
tensione:
VM
325
V = √ = √ = 230 V
2
2
I=
V
230
=
= 1, 25 A
Z
184, 3
Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in
serie sono attraversati dalla stessa corrente:
VR1 = R1 · I = 100 · 1, 25 = 125 V
VL1 = XL1 · I = 314 · 1, 25 = 392, 5 V
VC1 = XC1 · I = 159, 2 · 1, 25 = 199 V
Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l’impedenza:
" #
"
#
−1 X
−1 154, 8
ϕ = sin
= sin
= 57, 1◦
Z
184, 3
La corrente è in ritardo rispetto alla corrente perché:
• XL1 > X C1
• X>0
• ϕ>0 (calcolato utilizzando la reattanza e sin−1 )