Esami del 2 Luglio 2007 ´E fatto assoluto divieto di usare appunti e
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Esami del 2 Luglio 2007 ´E fatto assoluto divieto di usare appunti e
Esami del 2 Luglio 2007 É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato dalla prova. Si possono usare invece tabelle e calcolatrici tascabili. Esercizio 1. I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali del 3% e 7% rispettivamente. I due tipi di difettositá si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si puó assumere che le presenze dell’uno o dell’altro siano indipendenti tra loro. a. Qual’é la probabilitá che un componente presenti entrambi i difetti ? b. Qual’é la probabilitá che un componente sia difettoso (cioé che presenti almeno uno dei due difetti) ?. c. Qual’é la probabilitá che il componente presenti il difetto 1, sapendo che esso é difettoso ? d. Qual’é la probabilitá che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo che esso é difettoso? Soluzione. Se indichiamo con A e B gli eventi corrispondenti rispettivamente alla presenza del primo e del secondo difetto, allora P (A) = 0.03, P (B) = 0.07 ed inoltre gli eventi A e B devono risultare indipendenti. a. la probabilitá che entrambi i difetti siano presenti é P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0.03 · 0.07 = 0.0021. b. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.03 + 0.07 − 0.0021 = 0.0979 c. La probabilitá che un pezzo abbia il primo difetto sapendo che é difettoso é P (A|A ∪ B) = P (A ∩ (A ∪ B)) P (A) 0.03 = = = 0.306 = 30% P (A ∪ B) P (A ∪ B) 0.0979 (infatti A ⊂ A ∪ B e quindi A ∪ (A ∪ B) = A). 1 d. La probabilitá che vi sia uno solo dei difetti sapendo che il pezzo é difettoso é uguale a 1 meno la probabilitá che entrambi siano difettosi (sempre sapendo che il pezzo é difettoso). Dunque, poiché A ∪ B ⊂ A ∪ B, la probabilitá richiesta é 1 − P (A ∩ B|A ∪ B) = 1 − P (A ∩ B) 0.0021 =1− = 0.978 = 97.8% P (A ∪ B) 0.0979 Esercizio 2. Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da 20 e un altro da 10 posti. Poiché si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano con una probabilitá del 10%, e vengono sempre accettate 22 prenotazioni sui voli da 20 posti e 11 su quelli da 10. In quale dei due tipi di aereo é maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato per un volo in cui si é accettato il massimo di prenotazioni? Soluzione. Supponiamo che il comportamento di ogni singolo passeggero sia indipendente da quello di altri e poniamo Zi = 1 se lo i−esimo passeggero si presenta alla partenza e Zi = 0 altrimenti. Il numero di passeggeri che si presenta alla partenza é dunque lo stesso che il numero di successi in uno schema di Bernoulli e dunque segue la legge binomiale. Il numero di passeggeri che si presenta su un volo in cui si é accettato il massimo di prenotazioni é quindi una v.a. X1 di legge B(22, 0.9) per il primo tipo di aereo ed una v.a.a X2 di legge B(11, 0.9) per il secondo. La probabilitá di lasciare a terra almeno un passeggero nel volo da 20 posti vale à ! à ! 22 22 P (X1 ≥ 21) = 0.921 · 0.1 + 0.9922 = 0.339 21 22 mentre vale à ! 11 P (X2 = 11) = 0.911 = 0.314 11 per l’altro tipo di aereo. Il rischio é maggiore per il volo da 20 passeggeri. Esercizio 3. Consideriamo una v.a. X avente f.r. seguente 0, se t < 0 1 t2 , se 0 ≤ t ≤ 5 F (t) = 50 1 2 2 − 50 t + 5 t − 1, se 5 ≤ t ≤ 10 1, se t ≥ 10 2 a) Quali sono i possibili valori di X. b) Mostrare che X ha densitá e calcolarla. c) Quanto vale E(X). Soluzione. a) La v.a. X prende i suoi valori, con probabilitá 1, nell’intervallo [0, 10]: infatti P (0 ≤ X ≤ 10) = F (10) − F (0) = 1. b) La f.r. F é derivabile a tratti continua. Dunque X ha densitá che si ottiene derivando la f.r.. La densitá é dunque data da f (t) = 1 25 t, 1 t − 25 + 0, 2 , 5 se 0 ≤ t ≤ 5 se 5 ≤ t ≤ 10 altrimenti la densitá f é lineare a tratti. c) E(X) = Z +∞ tf (t)dt = Z 10 Z 5 2 1 2 1 t dt + ( − t2 + )tdt = 25 25 5 125 1000 125 100 25 − + + − = 5. 3 · 25 3 · 25 3 · 25 5 5 −∞ 0 5 Esercizio 4. Una officina meccanica fabbrica biglie con un diametro di 0.8cm. Idifetti di lavorazione producono un errore di diametro come una v.a. normale X = N (m, σ), con m = 0, σ = 0, 001cm. Il controllo rifiuta le biglie con diametro inferiore a 0, 798cm o superiore a 0, 802cm . Determinare la probabilitá che una biglia qualsiasi sia rifiutata. Soluzione. Denotando con A l’evento: una biglia qualsiasi é rifiutata, abbiamo P (A) = P (0, 798 < D < 0, 802) = P (|D − 0, 8| < 0, 002), dove D é il diametro della biglia. Ma D − 0, 8 = X, dunque la v.a. Y = 1 (D − 0, 8) 0, 001 3 é una v.a. N (0, 1). Allora P (A) = P (|Y | < 0, 002 ) = P (|Y | < 2) = 0, 001 = P (−2 < Y < 2) = Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) − 1. Abbiamo Φ(2) = 0, 9772, P (A) = 0, 9544. Risulta P (A) = 1 − P (A) = 0, 0456. Rispondere in modo esauriente e completo alle seguenti domande: T1 . Descrivere il modello aleatorio dato dalla variabile aleatoria normale unidimensionale. Scrivere la densitá di probabilitá, specificare e spiegare mediante dimostrazione il significato probabilistico dei parametri che compaiono nella densitá della v.a. suddetta. T2 . Mostrare che se le v.a. ξ1 , . . . , ξn hanno rispettivamente le densitá di probabilitá f1 (x) · · · , fn (x), allora ξ1 , . . . , ξn sono indipentendi se e solo se.... (completare l’enunciato e dimostrare). T3 . Siano X una v.a. normale N (0, σ) e χ2 (n, σ) una v.a. di Helmert √ nX Pearson con n gradi di libertá. Allora la v.a. T = χ si chiama v.a. di T student. Determinare la densitá di probabilitá di T . T4 . Il teorema del limite centrale, enunciare e dimostrare. 4