Trasformata di Fourier

Capitolo 4
Trasformate Integrali
4.1
Trasformata di Fourier
Nel capitolo 1 abbiamo imparato a risolvere l’eq. (3.1) nel caso in cui il
termine noto sia periodico e abbiamo dovuto poi allargare il discorso per
dare un senso preciso alla convergenza puntuale della serie (trigonometrica)
di Fourier. Ma come possiamo risolvere l’eq. (3.1) quando il termine noto
non è periodico? Come fare a scriverlo come somma di termini della forma
eiωn t che sono invece periodici?
Il modo migliore è di considerare una funzione non periodica come caso
limite di una periodica con periodo L che tende a infinito. A questo scopo
scriviamo i coefficienti di Fourier
an =
nella forma
dove
1 Z L/2 −ikn x
e
f (x)dx ,
L −L/2
con kn ≡
2πn
L
(4.1)
1
an = √ F (kn )∆k ,
2π
(4.2)
1 Z L/2 −ikn x
F (kn ) ≡ √
e
f (x)dx ,
2π −L/2
(4.3)
e
∆k = kn − kn−1 =
2π
.
L
Allora la serie trigonometrica di Fourier (3.58) si può riscrivere come
97
(4.4)
∞
1 X
f (x) = √
eikn x F (kn )∆k .
2π n=−∞
(4.5)
A questo punto effettuiamo il limite L → ∞, nel quale ∆k → 0 e la serie a
secondo membro della (4.5) può riguardarsi come una somma integrale alla
Riemann per la funzione eikx F (k), estesa all’intervallo (−∞, +∞), diviso in
infiniti intervalli parziali di ampiezza ∆k → 0. Pertanto la (4.5) diventa
1 Z∞
f (x) = √
F (k)eikx dk ,
2π −∞
(4.6)
1 Z∞
F (k) = √
f (x)e−ikx dx .
2π −∞
(4.7)
dove, per la (4.3),
La funzione F (k) si chiama trasformata di Fourier (T.F.) della funzione
f (x) e la funzione f (x) antitrasformata di Fourier della funzione F (k).
Come è evidente allo studente più attento, i passaggi che abbiamo fatto
per giungere alle (4.6) e (4.7) sono un po’ disinvolti. Per essere precisi dobbiamo dimenticare le operazioni di limite e assumere la (4.7) come definizione
della Trasformata di Fourier, sotto la condizione che la f (x) sia sommabile
sull’asse reale; la (4.6) va invece scritta più correttamente come
Z R
1
f (x) = √
lim
F (x)eikx dk
R→∞
−R
2π
(4.8)
sotto la condizione (sufficiente) che nell’intorno del punto x la funzione f (x)
sia di classe C 1 ; naturalmente se l’integrale (4.6) esiste la (4.8) è equivalente
alla (4.8).
4.1.1
Esempi
• Esempio 1
98
La trasformata di Fourier della funzione
f (x) =
1
,
x 2 + a2
a ∈ R+
è
1 Z∞
e−ikx
F (k) = √
dx .
2π −∞ (x + ia)(x − ia)
Se k > 0 chiudiamo il cammino di integrazione nel semipiano Imz < 0 e
otteniamo:
1
e−ikz
F (k) = − √ 2πi Res
=
(z
+
ia)(z
−
ia)
2π
z=−ia
r
π e−ka
.
2 a
Se k < 0 chiudiamo invece nel semipiano Imz > 0 e otteniamo:
e−ikz
1
F (k) = √ 2πi Res
=
(z + ia)(z − ia) z=ia
2π
r
π eka
.
2 a
Pertanto
r
F (k) =
π e−|k|a
.
2 a
La verifica della (4.6) è immediata e coinvolge solo un integrale elementare.
• Esempio 2
La trasformata di Fourier della funzione
(
f (x) =
|x| < a
|x| > a
1
0
(4.9)
è
1 Z +∞
1 Z +a −ikx
−ikx
√
√
F (k) =
f (x)e
dx =
e
dx
2π −∞
2π −a
s
1 eika − e−ika
2 sin ka
= √
=
.
ik
π k
2π
99
(4.10)
Per verificare che l’antitrasformata di (4.10) sia effettivamente la (4.9) dobbiamo calcolare l’integrale
Z +R
Z +R
1
1
sin(ka) ikx
ikx
√
I(x) ≡
lim
F (k)e dk =
lim
e dk
R→∞
R→∞
π
k
−R
−R
2π
"
#
Z +R
1
eik(x+a) eik(x−a)
=
lim
−
dk
(4.11)
2πi R→∞ −R
k
k
deformando il cammino di integrazione come nell’esempio 4 del paragrafo
1.6.4, aggirando per esempio l’origine nel semipiano immaginario positivo.
Se x > a entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α > 0 del lemma
di Jordan e pertanto si può chiudere il cammino d’integrazione con una semicirconferenza nel semipiano superiore; all’interno del cammino d’integrazione
l’integrando è regolare e pertanto:
I(x) = 0 se x > a .
Analogamente, se x < −a conviene aggirare l’origine nel semipiano immaginario negativo, perché entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α < 0
del lemma di Jordan e pertanto si può chiudere il cammino d’integrazione
con una semicirconferenza nel semipiano inferiore, ottenendo di nuovo zero:
I(x) = 0 se x < −a .
Se invece |x| < a, e si aggira l’origine nel semipiano immaginario positivo, il
primo integrale, che si può chiudere nel semipiano superiore, dà zero, mentre
il secondo, che va chiuso nel semipiano inferiore, dà:
1
eik(x−a) I(x) = −
(−2πi)Res
=1.
2πi
k k=0
Abbiamo cosı̀ dimostrato che I(x) = f (x) per ogni x 6= a. Per x = a
1
I(a) =
lim
2πi R→∞
Z
+R
−R
e2ika
1
−
dk .
k
k
(4.12)
Deformando di nuovo il cammino come prima, il primo integrale si chiude nel semipiano
immaginario positivo e si annulla per il teorema di Cauchy, mentre il secondo dà:
"Z
#
Z R
Z
−
1
dk
dk
dz
I(a) = −
lim
+
+
,
(4.13)
2πi R→∞ −R k
+ k
γ z
dove γ è una semicirconferenza di raggio e centro k = 0 che giace nel semipiano Im k > 0.
I primi due integrali si elidono perché la funzione integranda è dispari, e il terzo si calcola
passando a coordinate polari:
Z 0
1
ieiθ
1
f (a−) + f (a+)
I(a) = −
dθ = =
.
(4.14)
2πi π eiθ
2
2
100
Questo mostra che nei punti di discontinuità di prima specie la situazione è analoga a
quella vista per le serie di Fourier: l’antitrasformata dà il valor medio tra i limiti destro e
sinistro della funzione.
• Esempio 3
La trasformata di Fourier della funzione gaussiana
f (x) = e−x
2 /a2
è
2
e−(ka) /4 Z +∞ −(x/a−ika/2)2
1 Z +∞ −(x/a)2 −ikx
e
dx
F (k) = √
e
dx = √
−∞
2π
2π −∞
2
a
e−(ka) /4 Z +∞ −t2
2 2
√
a
e dt = √ e−a k /4 ,
(4.15)
=
−∞
2π
2
cioè ancora una gaussiana, di larghezza inversamente proporzionale a quella
della funzione trasformanda. 1
La verifica della (4.6), che dà l’antitrasformata di F (k), è immediata: non
si tratta che di rifare lo stesso conto con a → A = 2/a.
4.1.2
Proprietà della trasformata di Fourier
Elenchiamo alcune importanti proprietà delle trasformate di Fourier. Per
comodità introduciamo il simbolo Fk (f ) per indicare la trasformata di Fourier
della funzione f (x):
1 Z +∞
Fk (f ) ≡ √
f (x)e−ikx dx .
2π −∞
(4.16)
• Linearità:
Fk (a1 f1 + a2 f2 ) = a1 Fk (f1 ) + a2 Fk (f2 ) , ∀a1 , a2 ∈ C . (4.17)
1
Con il cambiamento di variabile x → t = x/a − ika/2, il cammino di integrazione
nel piano complesso di t non è più l’asse reale ma è diventato una retta ad esso parallela;
tuttavia, usando la teoria dell’integrazione in campo complesso, è facile mostrare che ciò
non fa differenza.
101
• Trasformata di Fourier di funzioni a parità definita
Cosı̀ come la serie trigonometrica di Fourier di una funzione pari (dispari) contiene solo coseni (seni), le trasformate di Fourier di funzioni
a parità definita si possono semplificare come segue:
1 Z∞
f (x)[cos(kx) − i sin(kx)]dx
F (k) = √
2π −∞
s ( R
∞
2
se f (−x) = f (x)
0R f (x) cos(kx)dx
=
(4.18)
∞
se f (−x) = −f (x) .
π −i 0 f (x) sin(kx)dx
Una ovvia conseguenza delle (4.18) è che la Trasformata di Fourier di
una funzione pari (dispari) è una funzione pari (dispari).
• La trasformata di Fourier della derivata f 0 (x) (ammesso che f 0 (x)
esista e sia sommabile) è legata alla trasformata di f (x) dalla relazione:
Fk (f 0 ) = ikFk (f )
(4.19)
Infatti integrando per parti si ottiene:
1 Z∞ 0
f (x)e−ikx dx
Fk (f 0 ) = √
2π −∞ ∞
f (x) −ikx ik Z ∞
= √ e
+√
f (x)e−ikx dx
2π
2π −∞
−∞
Z ∞
ik
= √
f (x)e−ikx dx = ikFk (f ) ,
2π −∞
dove il termine integrato deve essere nullo affinché la trasformata di
Fourier esista.
La relazione (4.19) può essere iterata per ottenere le trasformate delle
derivate successive:
Fk (f 00 ) = ikFk (f 0 ) = (ik)2 Fk (f )
Fk [f (n) ] = (ik)n Fk (f ) ,
(4.20)
(4.21)
ovviamente supponendo che la funzione f (x) ammetta derivate fino
all’ennesima e che f (n) (x) sia sommabile sull’asse reale.
102
Moltiplicando ambo i membri della (4.19) per −i e usando la linearità della Trasformata di Fourier si può simbolicamente stabilire la
corrispondenza:
−i
d
↔k
dx
(4.22)
fra l’operatore derivata nello spazio delle funzioni f (x) e la semplice
moltiplicazione per k nello spazio delle funzioni F (k); tale corrispondenza è di grande importanza in Meccanica Quantistica.
• Dalla disuguaglianza
1 Z +∞
|f (x)|dx = cost.
|Fk (f )| ≤ √
2π −∞
(4.23)
segue che la T.F. di una funzione sommabile è sempre una funzione
limitata. Dalla(4.21)
segue quindi che la T.F. di una funzione n volte
1
derivabile è O kn per k → ∞; in breve, quanto più una funzione
è liscia tanto più velocemente la sua T.F. va a zero all’infinito.
• Se l’argomento della funzione f (x) viene traslato di una costante reale a, per la F
vale la seguente relazione:
Fk [f (x + a)] = eika Fk [f (x)].
(4.24)
Infatti
Z ∞
1
Fk [f (x + a)] = √
f (x + a)e−ikx dx
2π −∞
Z ∞
Z
0
0
1
eika ∞
= √
f (x0 )e−ik(x −a) dx0 = √
f (x0 )e−ikx dx0
2π −∞
2π −∞
ika
= e Fk (f ) .
• Se si moltiplica la funzione f (x) per un esponenziale, la trasformata di Fourier è:
Fk e−iαx f (x) = Fk+α [f (x)] , ∀α ∈ R
come si può facilmente verificare a partire dalle definizioni di F.
• Se si moltiplica la funzione f (x) per x, le trasformata di Fourier diventa:
103
Fk [xf (x)] = i
d
Fk [f (x)]
dk
(4.25)
come si può facilmente verificare derivando sotto il segno, nell’ipotesi
che la funzione xf (x) sia ancora sommabile sull’asse reale. Come la
(4.19), anche la (4.25) si può iterare, ottenendo
n
Fk [x f (x)] =
d
i
dk
!n
Fk [f (x)]
(4.26)
sempre nell’ipotesi che la funzione xn f (x) sia ancora sommabile sull’asse reale.
La (4.25) stabilisce la corrispondenza, duale della (4.22),
x↔i
d
,
dk
(4.27)
fra moltiplicazione per x nello spazio delle f (x) e la derivata nello spazio
delle F (k).
• L’equazione (4.26) mostra che quanto più rapidamente una funzione decresce all’infinito, tanto più la sua T.F. è liscia.
• Se chiamiamo S lo spazio lineare delle funzioni di prova, rapidamente
decrescenti e infinitamente derivabili:
S = {f ∈ C ∞ ; xn f (x) limitata su R, ∀n ∈ N} ,
(4.28)
le (4.21) e (4.26) implicano che la T.F. manda le funzioni di prova (nella
variabile x) in funzioni di prova (nella variabile k):
Fk (f ) ∈ S , ∀f ∈ S .
(4.29)
• Teorema di convoluzione.
Definiamo la convoluzione g = f1 ∗ f2 di due funzioni f1 e f2 :
g(x) =
Z
∞
−∞
f1 (x0 )f2 (x − x0 )dx0 .
104
(4.30)
È immediato vedere che il prodotto convolutivo è commutativo e associativo:
f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1
f1 ∗ (f2 ∗ f3 ) = (f1 ∗ f2 ) ∗ f3 .
(4.31)
(4.32)
Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di Fourier della
convoluzione di due funzioni è (a parte una costante moltiplicativa) il
prodotto delle trasformate di Fourier delle due funzioni:
Fk (g) =
√
2πFk (f1 )Fk (f2 ) .
(4.33)
Dimostrazione.
1 Z∞
dxg(x)e−ikx
Fk (g) = √
−∞
2π
Z ∞
1 Z∞
= √
dx
dx0 f1 (x0 )f2 (x − x0 )e−ikx
−∞
2π −∞
Z ∞
1 Z∞
0
0
√
dx
dx0 f1 (x0 )e−ikx f2 (x − x0 )e−ik(x−x ) .
=
−∞
2π −∞
Se ora passiamo dalle variabili (x, x0 ) alle variabili (z = x − x0 , x0 ) e
scambiamo l’ordine di integrazione usando il Teorema di Fubini Tonelli
(vedi eq.(E.5) in Appendice E), otteniamo:
Z ∞
√
1 Z∞ 0
0 −ikx0
Fk (g) = √
dx f1 (x )e
dzf2 (z)e−ikz = 2πFk (f1 )Fk (f2 ) .
−∞
2π −∞
[q.e.d.]
4.1.3
Soluzione di equazioni differenziali mediante la
trasformata di Fourier
La proprietà (4.22) trasforma un’equazione differenziale a coefficienti costanti in un’elementare equazione algebrica lineare; chiamando U (k) e F (k)
105
le Trasformate di Fourier dell’incognita u(x) e del termine noto f (x), l’equazione differenziale
au00 (x) + bu0 (x) + cu(x) = f (x),
(4.34)
diventa semplicemente:
− ak 2 U (k) + ibk U (k) + c U (k) = F (k),
(4.35)
da cui è immediato ricavare U (k); infine antitrasformando si ricava la funzione incognita u(x).
Notare come questo procedimento per risolvere equazioni differenziali a
coefficienti costanti mediante la trasformata di Fourier sia l’esatto parallelo di quello illustrato nel Capitolo 2, dopo l’eq.(3.37), per l’uso della Serie
trigonometrica di Fourier; allora richiedevamo che termine noto e soluzione
fossero funzioni periodiche, ora abbiamo lasciato cadere questa richiesta; va
tuttavia osservato che la procedura appena descritta per risolvere l’equazione
(4.34) ha senso solo se il termine noto e la soluzione sono sommabili e ciò è
molto restrittivo.
Torneremo su questo punto quando parleremo della Trasformata di Laplace; per ora limitiamoci a illustrare un esempio di soluzione di un’equazione
differenziale (alle derivate parziali) mediante la trasformata di Fourier.
• Esempio: l’equazione del calore
Risolviamo l’equazione di diffusione del calore
1 ∂T (x, t)
∂ 2 T (x, t)
=
2
∂x
κ ∂t
(4.36)
con la condizione iniziale
T (x, 0) = f (x) .
Fisicamente T (x, t) rappresenta la distribuzione di temperatura al tempo t
in una sbarra di lunghezza infinita, se la temperatura iniziale è f (x) 2 . La
costante κ è la conducibilità termica. Moltiplicando l’equazione (4.36) per
e−ikx e integrando su x da −∞ a ∞ si ottiene:
2
È ovvio che lo zero della scala delle temperature va scelto in modo che limx±∞ f (x) =
0.
106
Z
∞
−ikx ∂
e
−∞
2
T (x, t)
1 Z ∞ −ikx ∂T (x, t)
dx =
e
dx .
∂x2
κ −∞
∂t
Chiamando F R(k, t) la trasformata di Fourier rispetto a x della T (x, t), ovvero
+∞ −ikx
F (k, t) = √12π −∞
e
T (x, t) dx, e ricordando la (4.20) si ottiene
− k 2 F (k, t) =
1 ∂
F (k, t) .
κ ∂t
Questa è un’equazione differenziale del prim’ordine in F (k, t), la cui soluzione
è
2
F (k, t) = F (k, 0)e−κk t .
Dalle condizioni iniziali si ha
1 Z∞
1 Z∞
−ikx
√
√
f (x)e−ikx dx ≡ F (k)
T (x, 0)e
dx =
F (k, 0) =
2π −∞
2π −∞
da cui
1 −κk2 t Z ∞
√
e
f (x)e−ikx dx .
F (k, t) =
−∞
2π
Per ricavare T (x, t) antitrasformiamo secondo Fourier
1 Z∞
√
T (x, t) =
F (k, t)eikx dk
2π −∞
Z ∞
1 Z∞
0
2
=
dk
dx0 f (x0 )e−ikx eikx e−κk t
2π −∞
−∞
Z ∞
1 Z∞
2
0
=
dke−κk t
dx0 f (x0 )e−ik(x −x) ,
2π −∞
−∞
integriamo su k
Z
∞
−κk2 t−ik(x0 −x)
dke
=
Z
−∞
h
∞
− κk2 t+ik(x0 −x)−
dke
(x0 −x)2
(x0 −x)2
+ 4κt
4κt
−∞
−
= e
(x0 −x)2
4κt
Z
dke
−∞
r
=
π − (x0 −x)2
e 4κt ,
κt
107
√
− k κt+ 2i
h
∞
0 −x 2
x√
κt
i
i
e giungiamo finalmente al risultato:
s
T (x, t) =
(x0 −x)2
1 Z∞
f (x0 )e− 4κt dx0 .
4πκt −∞
2
Si può arrivare più facilmente allo stesso risultato osservando che e−κk t è la
2
1
T.F. di √2κt
e−x /(4κt) ; quindi F (k, t) è il prodotto di due T.F. e l’antitrasfor2
1
mata è la convoluzione di f (x) e √2κt
e−x /(4κt) .
La funzione3
s
1 − (x0 −x)2
0
G(x, x , t) =
e 4κt θ(t),
4πκt
(4.37)
detta nucleo del calore (heat kernel), è la funzione di Green o propagatore
dell’eq. (4.36) ed è tale che la
T (x, t) =
∞
Z
G(x, x0 , t)f (x0 )dx0
(4.38)
−∞
descrive la propagazione del calore dal punto x0 al punto x al tempo t > 0.
Se, per esempio, la sorgente è puntiforme (cioè diversa da zero solo nell’origine):
f (x) = δ(x)
(per la definizione della delta di Dirac δ(x), vedi più avanti, paragrafo 5.2.2) allora il calore
si propaga in modo
√ che la temperatura assume una distribuzione gaussiana di larghezza
proporzionale a t:
Z
∞
T (x, t) =
r
0
0
0
G(x, x , t)δ(x )dx = G(x, 0, t) =
−∞
1 − x2
e 4κt .
4πκt
È anche interessante notare che per t → 0+ il nucleo del calore (4.37) tende alla delta
di Dirac (vedi eq. (5.69)):
lim G(x, x0 , t) = δ(x − x0 ),
(4.39)
t→0+
come deve essere affinché la (4.38) riproduca le condizioni iniziali per t → 0+.
3
Con
θ(t) =
0
1
t<0
t>0
denotiamo la funzione a gradino di Heaviside. È necessario introdurla perché tutto
2
il discorso fatto perde completamente senso per t < 0: e−κk t da gaussiana diventa
furiosamente crescente per k → ±∞ se t < 0.
108