Cinematica grafica

Cinematica grafica
Come già evidenziato in precedenza, in alternativa alla formulazione analitica e limitatamente ai
problemi piani, è possibile dare del problema cinematico una formulazione grafica, che in qualche
caso risulta più agevole e sintetica. Poiché ogni spostamento rigido piano è una rotazione intorno al
centro di rotazione, la conoscenza del centro istantaneo di rotazione è di fondamentale importanza.
Infatti, la generica configurazione di un sistema di corpi rigidi è nota non appena si conoscono le
posizioni dei centri e le ampiezze degli angoli di rotazione di ogni corpo.
Dato un corpo rigido piano se si considerano due generici punti P1 e P2 di cui sono note le direzioni
dei rispettivi spostamenti (rette a1 e a2), per l’ipotesi di spostamenti infinitesimi tracciando per P1 la
normale n1 alla retta a1 e per P2 la normale n2 alla retta a2 si ottiene il Centro di rotazione C.R.
nell’incontro delle due normali. Tale centro può appartenere al corpo, essere esterno al corpo,
oppure coincidere con il punto improprio delle due normali.
a1
a1
P1
n1
C.R
P1
n1
n2
C.R
n2
a2
P2
P2
a2
∞
C.R
n1
a1
P1
n2
P2
a2
Nell’ultimo caso le rette a1 e a2 sono parallele, così come n1 e n2.
Nell’ambito degli spostamenti infinitesimi risulta quindi evidente che il C.R. può essere interpretato
come il punto attorno al quale una rotazione θ genera gli spostamenti dei punti P1 e P2 nelle
direzioni delle rette ortogonali alle congiungenti i punti stessi con il centro di rotazione.
Nel caso in cui il C.R. coincide con il punto improprio, lo spostamento che si ottiene è una
traslazione.
Qualsiasi spostamento rigido è quindi riconducibile ad un’unica rotazione attorno al centro
istantaneo di rotazione C.R.
Nel caso di spostamento rototraslatorio, il centro C del moto rotatorio non coincide con il centro
istantaneo di rotazione C.R., mentre nel caso di rotazione pura tali punti sono coincidenti.
1
Conoscendo le componenti sPx e sPy dello spostamento sP di un generico punto P(xP; yP) e il centro
istantaneo di rotazione C.R.(xCR; yCR), si possono derivare le componenti dello spostamento di un
punto qualsiasi del corpo. Proiettando infatti il C.R. nelle direzioni orizzontale e verticale si
determinano i punti CRx e CRy. Essendo le componenti dello spostamento proporzionali a θ, i
diagrammi delle componenti dello spostamento di tutti i punti del corpo sono individuate dalle rette
inclinate dell’angolo θ rispetto agli assi x e y.
sP*x
sP*x
−
sP*
θ
P*
CRy
CR
θ
A
y
sDx
sP*y
D
sPx
sPy
P
C
Diagramma spostamenti
orizzontali
(secondo asse x)
θ
sP
sPx
+
B
sBx
+
θ
sAy
−
CRx
sPy
sP*y
sCy
x
Diagramma spostamenti verticali (secondo asse y)
CR è il centro istantaneo di rotazione del corpo; A, B, C, D sono i punti estremi del contorno del
corpo.
sPx = (yCR – yP) θ
sPy = (xCR – xP) θ
Le rette risultano determinate dal punto di nullo definito dai punti CRx e CRy e dai valore sPx e sPy
corrispondenti alle componenti dello spostamento del punto P secondo gli assi x e y.
Dai diagrammi si evince che:
1. Gli spostamenti verticali sono uguali per tutti i punti che hanno la stessa ascissa.
2. Gli spostamenti orizzontali sono gli stessi per tutti i punti che hanno uguale ordinata.
Circa la determinazione dei centri di rotazione di sistemi articolati di corpi rigidi è di grande utilità
la nozione di centro di rotazione relativa Cij tra due corpi. Per il centro relativo tra due corpi vale la
seguente proprietà: il centro relativo Cij ed i due centri assoluti di rotazione, Ci e Cj, di due corpi
rigidi sono allineati. Il centro relativo è determinato unicamente dai vincoli che collegano i due
corpi in esame e non da quelli che collegano i due corpi ad altri corpi o al suolo. Così il centro
relativo è univocamente determinato se i due corpi sono collegati da una cerniera o da un glifo e
deve appartenere ad una retta se i due corpi sono collegati da una biella.
Cij
Cij∈r
Cij→∞
r
2
Riguardo le informazioni che i vincoli esterni danno sul centro di rotazione assoluto del corpo (o dei
corpi) cui sono applicati vale quanto osservato in precedenza per i vincoli interni ove uno dei due
corpi venga riguardato come il suolo. Così il centro assoluto è determinato se il corpo è collegato al
suolo da una cerniera (coincide con la cerniera) o da un glifo (si trova sul punto improprio dell’asse
del glifo), mentre deve appartenere ad una retta (asse del carrello o della biella) se è collegato al
suolo da un carrello (o biella).
C→∞
C∈r
r
C
Se il cinematismo possiede un solo grado di libertà, la classe di configurazioni cinematicamente
ammissibili è una sola e tale cinematismo prende comunemente il nome di catena cinematica. La
configurazione variata può essere trovata sfruttando le proprietà dei centri di rotazione.
Esempio:
Si consideri il seguente sistema articolato di corpi rigidi soggetto ad un cedimento vincolare nel
punto A pari a δ. I centri di rotazione sono tre, uno del corpo ABDC (corpo 1), uno del corpo DEF
(corpo 2) ed un centro relativo tra i due corpi. Il centro relativo corrisponde alla cerniera interna
(punto D). Il centro di rotazione assoluto del corpo DEF si trova in F, essendo questo una cerniera
fissa. Per determinare il centro di rotazione del corpo ABDC (corpo 1) si farà ricorso alle proprietà
cinematiche del carrello in C e alla relazione esistente tra centri di rotazione assoluta e centro di
rotazione relativa tra due corpi. Il carrello in A, avendo subito un cedimento non fronsice nessuna
informazione sulla posizione del centro di rotazione assoluta del corpo 1. Innanzitutto si può
affermare che il centro di rotazione assoluta del corpo 1 si troverà sull’asse del carrello in C, ovvero
sulla retta perpendicolare alla direzione di spostamento consentito dal carrello stesso, in accordo
all’ipotesi di spostamenti infinitesimi.
δ
δ
A
C
B
D
δ/2
E
F≡C1≡C2
δ
δ/2
3
Inoltre i centri di rotazione assoluta dei due corpi ed il centro di rotazione relativo dovranno essere
allineati. Per cui il centro di rotazione del corpo 1 dovrà trovarsi sulla retta passante per C2≡F e D
(centro relativo). Dovendo inoltre trovarsi sull’asse del carrello in C, il centro di rotazione del corpo
1 (C1) si collocherà nel punto F.
Le componenti dello spostamento di un generico punto Pi di coordinate (xi, yi) nel riferimento Axy
sono fornite dalle seguenti espressioni:
siy = ϑ xi
six = - ϑ yi
dalle quali è possibile individuare l’angolo ϑ in funzione degli spostamenti noti del sistema. In
questo caso è noto lo spostamento orizzontale in A, per cui so ottiene dalla prima delle due
relazioni:
ϑ1 =
δ
== ϑ 2
2L
Noto l’angolo ϑ 1= ϑ 2 è possibile determinare gli spostamenti di tutti i punti del sistema.
Valori assoluti degli spostamenti
sAx=δ
sAy=δ
sA= 2 δ
sBx=δ
sBy=δ/2
sB=
sCx=δ
sCy=0
s C= δ
sDx=δ/2
sDy=δ/2
s D=
sEx=δ/2
sEy=0
sE=δ/2
5
δ
2
2
δ
2
Si noti che lo spostamento orizzontale del punto A, del punto B e del punto C sono uguali in quanto
hanno la stessa ordinata, analogamente tutti i punti con uguale ascissa subiscono lo stesso
spostamento verticale. Noti le componenti orizzontali e verticali degli spostamenti dei punti A e C,
e la posizione dei centri di rotazione è possibile tracciare il diagramma delle componenti di
spostamento di tutti i punti ricordando che gli spostamenti verticali devono variare linearmente con
l’ascissa x e che gli spostamenti orizzontali devono variare linearmente con l’ordinata y (six = - ϑ yi
e siy = ϑ xi). Proiettando il centro di rotazione e lo spostamento orizzontale del punto A su una retta
verticale si ottengono le componenti orizzontali di spostamento indicati in figura. Si può così
ricavare immediatamente l’angolo di rotazione. Analogamente proiettando il centro di rotazione e lo
spostamento verticale del punto A su una retta orizzontale si ottiene il diagramma degli spostamenti
verticali indicato in figura.
Una volta noti gli spostamenti dei corpi si può determinare la configurazione variata del sistema
articolato di corpi rigidi. Si noti che gli angoli formati dall’asta ABC e l’asta BD, e dall’asta DE e
l’asta DF devono rimanere retti.
4
ESERCIZIO 1
Con riferimento alla Fig. 1, assegnata la rotazione antioraria θ :
a) determinare la posizione dei centri istantanei di rotazione;
b) determinare i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli spostamenti;
c) calcolare la rotazione di ciascun corpo;
d) determinare gli spostamenti dei punti A, B, C, D, E
e) disegnare la nuova configurazione del sistema.
p
θ
A
p
E
L
p
D
C
B
L
L
Fig. 1
Soluzione
θ
A
E≡C1≡C2
L
θ
B
D
C
θL
θL
θ 2L
L
L
5