Elettromagnetismo: problemi - (INFN)

Elettromagnetismo: problemi
2016-2017
1. Elettrostatica nel vuoto
1.1 Date due particelle identiche di massa m e carica q uguale a quella
elementare, q = e. Calcolare: a) la forza di repulsione tra di
loro; e b) la massa delle particelle perche la forza elettrostatica
che risentono tra di loro sia uguale a quella gravitazionale.
1 e2
Soluzione a): F~elett = 4πε
2 r̂
0 r
e
= 1.85 × 10−9 kg (Nota: G =
Soluzione b): m = √4πε
0G
6.67 × 10−11 N m2 kg−2 ; ε0 = 8.85 × 10−12 F m−1 ; e = 1.6 × 10−19
C e me = 9 × 10−31 kg.)
1.2 Tre cariche q ugualli e puntiformi sono situate nei vertici di un triangolo equilatero di lato l. Trovare il campo e potenziale elettrico
a) a mettà di uno dei lati del
triangolo;
centro del triangolo.
e b) nel √
√
(4 3+2)q
q
~
√
Soluzione a): E =
3î + ĵ e V =
2
6πε0 l
~ = ~0 e V =
Soluzione b):E
√
3 3q
4πε0 l
4 3πε0 l
1.3 Due fili indefiniti, paralleli e rettilinei, sono carichi con una densità λ, eguale in modulo per entrambi, ma di segno opposto, pari a
10−8 C/m. La distanza tra i due fili è d = 5 cm. Calcolare il campo
elettrostatico E nel punto P distante R1 = 3 cm dal filo positivo e
R2 = 4 cm da quello negativo. Calcolare inoltre la forza per unità
di lunghezza con cui
i due filisi attragono.
~
Soluzione: E = 7.2î + 2.1ĵ × 103 N/C (o V/m)
2
F~l ≡ dFl = − λ î = 3.6 × 10−5 î N/m
dl
2πε0 d
1
2
1.4 Una carica è distribuita con densità uniforme σ su una superficie
cilindrica di raggio R e altezza 2a. Calcolare in un punto generico
dell’asse: a) il campo elettrico; b) il potenziale; e c) il valore del
campo per a → ∞).
~ ≥ 0) =
Soluzione a: E(z
σR
2ε0
√
1
(z−a)2 +R2
−√
1
(z+a)2 +R2
k̂ per
~ ≤ 0) = −E(z
~ ≥ 0)
simmetria E(z
√
z+a+ (z+a)2 +R2
σR
√
Soluzione b: V (z ≥ 0) = 2ε0 ln
per simmetria
2
2
z−a+
(z−a) +R
V (z ≤ 0) = V (z ≥ 0)
~ a → ∞)| → σRz2 → 0 (non solo lungo l’asse
Soluzione c: |E(z;
2ε0 a
ma anche per r < R) e quindi V = ctt. all’interno del cilindro.
1.5 a) Usando il Teorema di Gauss calcolare il campo elettrico dovuto
ad una carica distribuita uniformemente λ su un filo molto lungo
(z → ∞) e b) calcolare la differenza di potenziale tra i punti ~r1 ed
~r2 .
~
Soluzione a: E(r)
= 2πελ0 r r̂
r2
λ
ln
Soluzione b: V (r1 ) − V (r2 ) = 2πε
r1
0
1.6 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b) il
potenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente ρ su un
cilindro di raggio R. Prendete l’origine di potenziale a r = 0.
~ ≤ R) = ρr r̂ e E(r
~ ≥ R) = ρR2 r̂
Soluzione a: E(r
2ε0
2ε0 r
2 2
r
1
e
V
(r
≥
R)
=
− ρR
Soluzione b: V (r ≤ R) = − ρr
4ε0
2ε0 2 + ln R
1.7 Una sfera di raggio R = 3 cm possiede una distribuzione di carica con densità volumetrica ρ avente simmetria sferica e un andamento
in funzione
della distanza r dal centro dato da ρ(r) =
h
i
r 2
ρ0 1 − α R
con ρ0 = 8.85 × 10−7 C/m3 : a) assumendo α = 1
si calcoli il valore del potenziale al raggio R (prendere V (∞) = 0);
b) determinare il valore di α per il quale la carica totale è nulla.
Con questo valore di α calcolare il valore massimo del campo E e
la sua posizione radiale; e c) con il valore di α determinato al punto
2 calcolare il valore del potenziale al centro della sfera.
2 ρ0 R 2
Soluzione a: V (R) = 15
ε0
5
2 ρ0 R
Soluzione b: α = 3 , Emax = 9√
per r = √R3
3 ε0
3
Soluzione c: V (0) =
ρ0 R 2
12ε0
1.8 Calcolare il valore della forza d’interazione tra un dipolo elettrico
con momento dipolare p~ = q~l e una carica puntiforme Q considerando che il dipolo è orientato radialmente rispetto alla carica
situata ad una distanza a >> l del centro del dipolo.
pQ
Soluzione: F~ = 2πε
3 r̂
0a
1.9 Dimostrare che, posto un dipolo elettrico in un campo elettrico
~ 0 parallelo e concorde al momento elettrico del dipolo,
uniforme E
esiste nel campo risultante una superficie equipotenziale sferica con
~ nei punti di tale supercentro nel centro del dipolo. Calcolare il E
ficie.
1/3
Soluzione: Superficie equipotenziale sferica con raggio R = 4πεp0 E0
~ = 3E0 cos θr̂
dove p è il momento dipolare. E
Problemi supplementari
S.1.1 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b)
il potenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente σ su
una superficie cilindrica molto lunga (z → ∞) di raggio R. Prendete l’origine di potenziale a r = 0.
~ ≤ R) = ~0 e E(r
~ > R) = σR r̂
Soluzione a: E(r
ε0 r
r
Soluzione b: V (r ≤ R) = 0 e V (r ≥ R) = σR
ε0 ln R
S.1.2 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b)
il potenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente σ su
una superficie sferica di raggio R. Prendete l’origine di potenziale
a r = ∞.
~ ≤ R) = ~0 e E(r
~ > R) = σR22 r̂
Soluzione a: E(r
ε0 r
Soluzione b: V (r ≤ R) =
σR
ε0
e V (r ≥ R) =
σR2
ε0 r
2. Conduttori e campo elettrostatico
2.1 Una sfera conduttrice, isolata e scarica, di raggio R viene immersa
in un campo elettrico uniforme di modulo E0 ; il potenziale vale V0
nel punto coincidente col centro della sfera quando questa non c’è.
Calcolare il potenziale della sfera, la desnità di di carica indotta e il
4
campo elettrico sulla superficie. Ripetere il calcolo nel caso in qui
la sfera, pur restando isolata, posieda una carica Q.
~
Soluzione QTOT = 0: V (R) = V0 , E(R)
= 3E0 cos θr̂ e σ(R) =
3ε0 E0 cos θ.
Q
+ 3ε0 E0 cos θ, V (R) = V0 +
Soluzione QTOT 6= 0: σ(R) = 4πR
2
Q
Q
~
e E(R)
=
2 + 3E0 cos θ r̂.
4πε0 R
4πε0 R
2.2 Una carica puntiforme positiva q si trova a distanza x da un piano
conduttore indefinito a potenziale costante V = 0. Calcolare la
forza con cui la carica è attirata dal piano.
1 q2
Soluzione: F~ = − 16πε
2 î
0 x
2.3 Una sfera condutrice di raggio R è scarica e mantenuta a V =
0. A una distanza d dal centro della sfera viene posta una carica
puntiforme q. Calolare la forza di attrazione subita dalla carica q
e la denistà di carica indotta sulla sfera.
q2 R
1 Soluzione: |F~ | = 4πε
2
3 0d
R2
1−
σ(R, θ) =
2
1− d 2
R
d2
qR
4π (R2 +d2 −2dR cos θ)3/2
⇒ Q = − Rd q
2.4 Nei problemi precedenti abbiamo utilizzato il metodo della carica
immagine per risolvere problemi di elettrostatica in presenza di conduttori. Il conduttore del problema fisico veniva sostituito per una
carica immaginaria, che replicava le condizioni al contorno originarie. Questo metodo si basa nell’unicità dell’equazione di Poisson
r)
∇2 V (~r) = ρ(~
ε0 che descrive le proprietà di un sistema elettrostatico.
Dimostrare l’unicità dell’equazione di Poisson in una regione dello
spazio Ω delimitata dalla superficie S.
Indicazione: Dimostrare per assurdo. Assumere due possibili
soluzioni V1 (~r) e V2 (~r) che soddisfano la condizione al contorno
con potenziale costante V1 (~r = ~rS ) ≡ VS e V2 (~r = ~rS ) ≡ VS .
2.5 Data una sfera conduttrice carica con densità uniforme di carica σ
calcolare la forza esercitata su un elemento di superfice dal resto
del conduttore.
~|
F
σ2
Soluzione: dF~ = 2ε
dS r̂ ⇒ d|dS
= 12 ε0 E 2 ≡ ue
0
2.6 Si hanno due sfere concentriche conduttrici. Sulla sfera esterna di
raggio R2 , viene depositata una carica q2 e su quella interna di
raggio R1 viene depositata una carica q1 . Subito dope le cariche
sono depositate si produce l’induzione elettrostatica: a) calcolare il
potenziale nella superficie della sfera esterna considerando V (∞) =
5
0. Succesivamente si aggiunge sulla sfera esterna una carica −q2 :
b) calcolare la diferenza tra i potenziali prima e dopo aver aggiunto
la carica −q2 sulla sfera esterna; e c) calcolare anche il potenziale
sulla superficie della sfera interna.
q1 +q2
Soluzione a): Va (R2 ) = 4πε
0 R2
Soluzione b): Vb (R2 ) − Va (R2 ) = − 4πεq02R2
Soluzione c): Vb (R1 ) − Va (R1 ) = − 4πεq02R2
2.7 Due sfere conduttrici cariche, di raggio R1 e R2 , sono poste a distanza x, molto maggiore dei raggi delle sfere. La prima sfera è
isolata e ha una carica q1 , la seconda è mantenuta al potenziale
V2 rispetto al infinito. a) Calcolre il potenziale V1 , la carica q2 e
la forza tra le sfere; b) calcolare inoltre i coefficienti di potenziale,
capacità e induzzione.
Soluzione a): q2 = 4πε0 R2 V2 − q1 Rx2
R2 V2
2
V1 = 4πεq01R1 1 − Rx1 R
+ x ≈ 4πεq01R1 + R2xV2
2
q2 R
F~12 = − q1 R22 V2 − 1 23 î
x
4πε0 x
Soluzione b): I coefficienti cii sono detti di capacità, cij d’induzione
e i bij di potenziale. Essi dipendono esclusivamente della geometria
del sistema e hanno le proprietà: cij = cji ; bij = bji ; cii > 0; cij < 0
e bii ≥ bij > 0
b11 = 4πε10 R1 ; b12 = b21 = 4πε10 x ; b22 = 4πε10 R2
2
0 R1 R2 ; c22 = 4πεR0 R
c11 = 4πεR01RR12 ; c12 = c21 = − 4πε
R1 R2
1 R2
1−
x2
x 1−
1−
x2
2.8 Nel sistema di condensatori in
figura le armature sono connesse ai
potenziali fissi V1 = 100 V, V2 = C1
200 V e V3 = 300 V. Calcolare il
potenziale V del conduttore centrale se C1 = 5µF, C2 = 8µF e
C3 = 3µF.
Soluzione:
2 V2 +C3 V3
V = C1 VC1 +C
= 187.5 V
1 +C2 +C3
x2
V1
V2
C2
V
C3
V3
6
2.9 Nel circuito in figura la batteria
C1
C2
fornisce una d.d.p V0 = 12 V.
Le capacità dei condensatori sono
C1 = 330pF, C2 = 470pF, C3 =
560pF e C4 = 1000pF. DeterS
C3
C4
minare la carica di ciascun condensatore e l’energia elettrostatica del
sistema a seconda che l’interruttore
S sia aperto o chiuso. Nel caso in
V0
cui la capacità di uno dei condesatori sia molto più grande degli alU
tri, dimostrare che USS aperto
= 34 .
chiuso
C2
Soluzione interruttore aperto: q1 = q2 = CC11+C
V0 = 2.33 nC;
2
C
C
C4
C3 C4
V02 =
q3 = q4 = C3 +C4 V0 = 4.31 nC; U = 21 C11+C22 + CC33+C
4
39.8nJ
1 (C2 +C4 )
Soluzione interruttore chiuso: q1 = C1C+C
V0 = 2.466
2 +C3 +C4
C3 (C2 +C4 )
C2 (C1 +C3 )
C1 +C2 +C3 +C4 V0 = 4.185 nC; q2 = C1 +C2 +C3 +C4 V0 = 2.126
1 +C3 )(C2 +C4 )
4 (C1 +C3 )
2
V0 = 4.525 nC; U = 21 (C
q4 = C1C+C
C1 +C2 +C3 +C4 V0 =
2 +C3 +C4
nC; q3 =
nC;
39.9nJ
2.10 In un condensatore piano con armature di superficie S e separate
una distanza h, viene inserita una lastra conduttrice con la stessa
superfice e spessore d. Calcolare di quanto varia la capacità del
condensatore C e quanto lavoro viene speso per inserire la lastra,
prima assumendo che la carica Q rimane costante e poi assumendo
che la differenza di potenziale V tra le armature rimane costante.
ε0 S
1
1 Q2
1 d/h ε0 S 2
Soluzione: C = 1−d/h
h ; LQ=ctt = 2 ε0 S d; LV =ctt = 2 1−d/h h V
1
e si può comprovare che Lq=ctt = 1−d/h
LV =ctt
7
2.11 Le armature superiori di due condensatori piani sono collegate in△
sieme da un conduttore e costituiscono i piati di una bilancia. L’area
di ogni armatura è S e la distanza
x

tra di loro è h. Si porta il sisx


 h1 = h + x i
tema nella posizione h1 = h + xi
y h2 = h − x i
y
e h2 = h − xi e lo si carica con a
Vi . Il generatore viene poi staccato
e il sistema (isolato) lasciato libero
di muoversi fino a xf .
In questa posizione calcolare la d.d.p. ai capi del sistema, le cariche
Q1f e Q2f dei due condensatori, la risultante delle forze elettrostatiche sulle armature superiori specificando quale è scesa, in fine,
il lavoro nel passaggio dalla posizione iniziale a quella finale.
Soluzione: Vf =
h2 −x2f
V;
h2 −x2i i
dove Q1i = Q2i ≡ Qi =
ε0 Vi2
Sh(x2f −x2i )
(h2 −x2i )2
Q1f = 12 Qi (1 − xf /h) e Q2f = 12 Qi (1 + xf /h)
2ε0 Sh
V;
h2 −x2i i
Shx
∆F = 2ε0 Vi2 (h2 −xf2 )2 ; L =
i
8
figura
2.12 Due condensatori piani hanno le
armature con la stessa superficie
S, le loro capacità sono C1 = 30
pF e C2 = 100 pF, e nel secondo
condensatore le armature distano
d2 = 9 mm. I due condensatori
vengono collegati in serie ad un
generatore da V = 100 V come
figura
nella figura (1), poi vengono staccati dal generatore e collegati in
parallelo come nella figura (2). a)
Si determinino cariche e differenze
di potenziale dei condensatori sulle
armature quando sono collegati in
serie al generatore; b) cariche e
figura
differenze di potenziale dei condensatori sulle armature quando il d1x, S, C1
generatore è staccato e i conden- 

satori sono collegati in parallelo, il 
y
valore dell’energia elettrostatica in
tale situazione;
(1)
C1
C2
V
(2)
C1
C2
(3)
ld
x

d , S, C
2
 2
y
c) se nel primo condensatore si vuole ora inserire tra le armature
una sottile lastra di conduttore di spessore d = 1 mm [figura (3)], di
quanto cambia l’energia elettrostatica del sistema? quanto lavoro
viene compiuto dall’esterno?
1
2
V = 25 V; V2 = C1C+C
V = 75 V;
Soluzione a): V1 = C1C+C
2
2
C1 C2
Q1 = Q2 ≡ Q = C1 +C2 V = 750 pC
′
1 C2
Soluzione b): V1′ = V2′ ≡ V ′ = (C2C
2 V = 37.5 V; Q1 =
1 +C2 )
2C12 C2
V
(C1 +C2 )2
= 1125 pC; Q′2 =
28.12 nJ
Soluzione c): U ′′ =
−(U ′′ − U ′ ) =
2C1 C22
V
(C1 +C2 )2
(C1 +C2
2C12 C22
)2
d2
C +C2
d2 −3d 1
2C13 C22 d 3d
2 −3d
V 2
d2
C1 +C2
(C1 +C2 )3 d −3d
2
= 375 pC; U ′ =
V 2
2C12 C22
V2
(C1 +C2 )3
= 20.45 nJ; L =
= 7.67 nJ
=
9
2.13 Un elettrometro è uno
strumento per misurare
△
la differenza di potenV
ziale. È formato da
x

due cilindri conduttori
z
y
concentrici di altezza
l, raggi R1 e R2 con
m
R2 > R1 . Il cilin

dro interiore è spostato
y
l
seguendo la verticale
F~g = mg k̂
rispetto a quello esteriR1
ore, essendo h = l − z
il pezzo di cilindro inR2
terno che rimane dentro quello esterno.
Il cilindro interno viene collegato ad una bilancia, dove dall’altra
parte si possono mettere dei pesi (vedere figura). Quando si applica una differenza di potenziale tra i due cilindri conduttori si
può equilibrare il sistema aggiungendo una massa m. Determinare
l’espressione di V q
in funzione di m, R1 e R2 .
Soluzione: V =
mg ln(R2 /R1 )
πε0
2.14 Una carica puntiforme positiva è posta a distanza x da un piano
conduttore indefinito a potenziale V = 0. Calcolare l’energia elettrostatica della carica. Se questa parte con velocità nulla dalla
posizione iniziale x con che enrgia cinetica arriva nella posizione
x/2?
q2
q2
Soluzione: U = − 8πε
;
∆K
=
x
16πε
0
0x
2.15 Calcolare l’energia elettrostatica di due dipoli coplanari di momenti
p~1 e p~2 posti ad una distanza r. Studiare le gemoetrie più noteboli.
Soluzione
2.16 Le armature di un condensatore piano hanno superficie S e sono distanti z0 . Il condensatore è mantenuto ad una diffenza di potenziale
V0 . Tra le armature, esiste una distribuzione volumica di carica
negativa ρ = −ρ0 z/z0 . Determinare il potenziale in qualsiasi punto
dello spazio tra le armature del condensatore e la carica superficiale
di carica di entrambe armature.
i
h
ρ0 z 0
ρ0
V 0 ε0
2 − z2) ; σ
(z
Soluzione: V (z) = zz0 V0 + 6ε
inf =
0
6 − z0 ;
0
10
σsup =
ρ0 z 0
3
+
V 0 ε0
z0
2.17 Determinare il potenziale in qualsiasi punto dello spazio tra le armature di un condensatore cilindrico di raggi Ra e Rb (Ra < Rb ) e
altezza h.
V 0 ε0
Soluzione: V (r) = ln(RVb0/Ra ) ln (r/Ra ); ; σRa = − Ra ln(R
; ;
b /Ra )
σ Rb =
V 0 ε0
Rb ln(Rb /Ra )
2.18 Due sfere metalliche e concentriche di raggi Ra e Rb (Ra < Rb )
sono collegate (entrambe a terra) e nello spazio
tra di loro esiste
Ra2
una distribuzione volumica di carica ρ = ρ0 1 + r2 . Calcolare la
carica della sfera interna. Soluzione: QRa = 34 πRa3 ρ0 4 +
1 Rb
2 Ra
−
1
2
Rb
Ra
2
−
ln(Rb /Ra )
1−Ra /Rb
Problemi supplementari
S.2.1 Dato un cilindro conduttore carico con densità uniforme σ calcolare
la forza esercitata su un elemento di superfice dal resto del conduttore.
~|
F
σ2
dS r̂ ⇒ d|dS
= 12 ε0 E 2 ≡ ue
Soluzione: dF~ = 2ε
0
S.2.2 Su una sfera conduttrice carica con densità σ di raggio R si appoggia un piccolo disco conduttore di raggio ρ << R e massa 1g.
Si scriva la relazione tra la densità di carica σ e il potenziale V a
cui la sfera si trova. Supponendo di aumentare progressivamente il
valore di tale potenziale, si calcoli a quale valore il disco inizierà ad
sollevarsi.
q
Soluzione: V ≥ Rρ 2mg
πε0
S.2.3 Determinare la capacità di un condensatore piano dove le armature
hanno una superficie S e sono distanti una dall’altra una distanza
d.
Soluzione: C = ε0dS
S.2.4 Determinare la capacità di un condensatore sferico di raggi Ra e
Rb (Ra < Rb ).
0 Ra Rb
Soluzione: C = 4πε
Rb −Ra
S.2.5 Determinare la capacità di un condensatore cilindrico di raggi Ra
e Rb (Ra < Rb ) e altezza h.
2πε0 h
Soluzione: C = ln(R
b /Ra )
11
3. Elettrostatica in presenza di materiali dielettrici
3.1 Una sfera di costante dielettrica relativa εr e raggio R ha una distribuzione volumica di carica ρ. La polarizzazione dentro della sfera
è P~ = krr̂. a) Determinare le densità di carica di polarizzazione;
b) la densità volumica di carica; e c) il potenziale dentro e fuori
della sfera prendendo V (r = ∞) = 0.
Soluzione a): σP = kR e ρP = −3k
r
Soluzione b): ρ = ε3kε
r −1
3
k
2
2
rR
Soluzione c): V (r ≥ R) = ε0kε
(εr −1)r e V (r ≤ R) = 2ε0 (εr −1) (2εr + 1)R − r
~ 0 , s’introduce una lastra di costante dielet3.2 In un campo uniforme E
trica relativa εr . Determinare il campo elettrico all’interno ed
all’esterno della lastra se a) è messa perpendicolare al campo e
b) è messa parallela al campo.
~e = E
~0
~ i = E~ 0 e E
Soluzione a): E
εr
~e = E
~i = E
~0
Soluzione b): E
3.3 Determinare la capacità di un condensatore cilindrico di raggi Ra
e Rb (Ra < Rb ) e altezza h.
2πεh
Soluzione: C = ln(R
b /Ra )
3.4 Un condensatore piano di superficie S, distanza tra le armature d
e capacità C0 ha come dielettrico il vuoto. Esso viene caricato connettendolo a un generatore V0 e poi isolandolo. Successivamente lo
spazio tra le armature viene riempito con un dielettrico di costante
dielettrica relativa εr . a) Determinare la variazione dello stato elettrico del sistema e b) ripetere il calcolo se invece il generatore resta
sempre connesso.
~ = E~ 0 , P~ = ε0 εr −1 E
~ 0 , σP = ± εr −1 σ0 ,
Soluzione a): V = Vεr0 , E
εr
εr
εr
~ =D
~ 0 e u = u0
D
ε0
~ = E
~ 0, D
~ = εr D
~ 0,
Soluzione b): Q = εr Q0 , σ = εr σ0 , E
σP = ±(εr − 1)σ0 e u = εr u0
3.5 Un sistema costituito da due condensatori piani uguali, connessi
in serie, ciascuno di capacità C, viene caricato connettendolo ad
un generatore V0 e poi isolato (condensatori collegati in parallelo). Successivamente uno dei condensatori viene riempito com-
12
pletamente con una lastra dielettrica εr . Calcolare a) i valori della
differenza di potenziale ai capi dei due condensatori alla fine, b) il
lavoro fatto dalle froze del campo nel processo di riempimento, c)
la carica di polarizzazione che compare sulle superficie della lastra.
3.6 Un condensatore piano ha le armature quadrate di lato l, distanti
d, e viene caricato con un generatore V0 . Un blocco di dielettrico
εr a forma di parallelepipedo con basi quadrate di lato l e altezza d
può scorrere senza attrito tra le armature del condensatore. Calcolare, a carica costante e a potenziale costante, a) la forza che agisce
sul blocco quando esso è entrato per una distanza x e b) il lavoro
che tale forza compie per fare entrare completamente il blocco nel
condensatore.
2
1 ε0 l
2
r −1
Soluzione a): FQ = 12 Qε0 ld [x(εrε−1)+l]
2 e FV = 2 d (εr − 1)V0
Soluzione b): LQ = −∆U =
1 Q2 d εr −1
2 ε0 l 2 ε r
e LV =
1 ε0 l
2 d (εr
− 1)V02
3.7 Lo spazio tra le armature di un condensatore piano con armature
separate una distanza d è parzialmente riempito da un liquido εr
di densità di massa ρ. Calcolare di quanto si alza il liquido se si
collegano le armature a un generatore V0
ε (εr −1)V02
Soluzione: x = 0 4ρgd
2
3.8 Due condesnatori piani eguali di capacità C0 quando hanno il vuoto
come dielettrico, con armature quadrate di lato l e distanti d. Entrambi sono collegati in parallelo ad un generatore V0 . In uno dei
condensatori viene inserita parzialmente un tratto x una lastra conduttrice di base l2 e spessore s < d. Nell’altro condensatore viene
inserita parzialmente un tratto y una lastra dielettrica di base l2
e spessore d. Le forze con cui i condensatori attirano le lastre è
eguale. Calcolare la suscettività del dielettrico, il lavoro fatto dal
generatore per attirare entrambe le lastre, le cariche presenti sulle
armature dei due condensatori quando le lastre sono completamente
inserite e la polarizzazione del dielettrico nella stessa condizione.
Soluzione: χ =
s V0
P = ε0 d−s
d
s
d−s ,
Wgen =
ε0 l 2 V 0 s
d
d−s ,
Q1 = Q2 =
ε0 l 2
d−s V0
e
3.9 Un piccolo cilindro di materiale dielettrico è posto ad una distanza
l = 2R dal centro di una sfera conduttrice di raggio R. Le dimen-
13
sioni del cilindro sono trascurabili rispetto a R e il suo volume è V.
Quando la sfera viene portata a V0 , la forza con cui il cilindro viene
attratto è F . Calcolare la polarizzazione del cilindro e la costante
relativa dielettrica.
Soluzione: P =
4R2 F
VV0
e εr = 1 −
4P R
V 0 ε0
−1
3.10 Lo spazio tra le armature di superfice S e distanti d di un condensatore piano viene riempito da un dielettrico non omogeneo la
cui costante dielettrica relativa varia in modo lineare da εr1 fino a
εr2 passando dall’armatura positiva a quella negativa. Calcolare la
capacità del condensatore e le densità di carica di polarizzazione se
ai capi del condensatore c’è una differenza di potenziale V0 .
ε0 S(εr2 −εr1 )
d ln(εr2 /εr1 ) ,
εr1 −1
r1
= 0) = − εr1 ε0 εr2 −ε
V0 ln(εr21/εr1 )
d
εr2 −εr1
−1
V0 ln(εr21/εr1 )
= d) = εr2
εr2 ε0
d
(εr2 −εr1 )2 1
dove εr (x) = εr1
− ε0dV2 0 ln(ε
2
r2 /εr1 ) εr (x)
R
Soluzione: C =
σP (x
σP (x
ρP =
RNota: dielettrico neutro ⇒
ρP dV = 0
r1
x
+ εr2 −ε
Rd
σP (x = 0)dS + σP (x = d)dS +
3.11 Due condensatori di capacità C1 = 10 pF e C2 = 40 pF, il primo
vuoto e il secondo riempito completamente con un dielettrico di
costante dielettrica relativa εr = 4, sono collegati come nel circuito in figura. Utilizzando un generatore che fornisce una d.d.p.
V0 = 250 V, si realizzano dei cicli nei quali l’interruttore T viene
spostato dalla posizione A alla posizione B e viceversa, attendendo
ogni volta un tempo sufficiente perchè la carica sui condensatori
raggiunga il valore di equilibrio.
14
Determinare:
1. le cariche libere Q1 e Q2 , la carica di polarizzazione QP , e le
d.d.p. presenti sui due condensatori alla fine del primo ciclo
(l’interruttore e’ inizialmente in A con i condensatori entrambi
scarichi, viene spostato in B e poi di nuovo in A).
2. l’energia immagazzinata nei condensatori alla fine del primo
ciclo e il lavoro fatto dal generatore durante il primo ciclo.
3. i valori della carica e della d.d.p dei condensatori e il lavoro
complessivo fatto dal generatore dopo un numero N motto
grande di cicli (N → ∞)
Soluzione 1: Q1 =
20 × 10−10 C, QP =
C1
C1 +C2 V0 = 50V
C12
C1 +C2 V0 = 5 ×
εr −1 C1 C2
εr C1 +C2 V0 =
C2
10−10 C, Q2 = CC11+C
V0 =
2
−10
15 × 10
C e V1 = V2 =
C2
1
V 2 = 6.25 × 10−8 J e Wgen = C1 V02 =
Soluzione 2: U = 21 C1 +C
2 0
6.25 × 10−7 J.
Soluzione 3: Q1 = C1 V0 , Q2 = C2 V0 , V1 = V2 = V0 e Wgen =
(C1 + C2 )V02 = 3.125 × 10−6 J
3.12 Un condensatore C1 , in cui è inserita una lastra di dielettrico con
εr = 4 che ne riempie completamente lo spazio tra le armature,
viene inizialmente caricato ad una d.d.p V0 = 250 V. Viene poi
staccato dal generatore e collegato come in figura ad un altro condensatore identico C2 vuoto e inizialmente scarico. Entrambi i condensatori hanno armature quadrate di lato a = 40 cm a capacità a
vuoto C0 = 100 pF.
15
Ad equilibrio raggiunto, calcolare:
1. la carica libera sulle armature dei 2 condensatori, la carica di
polarizzazione in C1 e la d.d.p di ciascuno.
Se ad un certo istante si estrae la lastra di dielettrico da C1 e la si
inserisce in C2 per metà della sua lunghezza, determinare:
2. i nuovi valori delle cariche e delle d.d.p sui condensatori e la
variazione di energia elettrostatica del sistema;
3. la forza F (direzione, verso e modulo) che agisce sulla lastra
nella posizione finale. [Nota: il processo è a carica totale Q
2
costante, quindi conviene scrivere U (x) = 21 QC . Si uno vuole
usare l’espressione U = 21 CV 2 si deve considerare la variazione
2
2
(εr C0 V0 )
di C e V al variare x. Quindi, usando U (x) = 12 QC = 12 C
1 +C2 (x)
dove C1 = C0 , C2 (x) = C0 (1 − x/a + εr x/a) e derivare questa
~ ]
estpressione di U (x) per trovare la forza F~ = −∇U
2
r
r
C0 V0 = 8 × 10−8 C, Q2 = εrε+1
C 0 V0 = 2 ×
Soluzione 1: Q1 = εrε+1
εr
εr −1
−8
−8
10 C, QP = εr +1 εr C0 V0 = 6 × 10 C e V1 = V2 = εr +1 V0 = 200
V
r
Soluzione 2: Q1 = ε2ε
C0 V0 = 2.86×10−8 C, Q2 = εεrr +1
+3 εr C0 V0 =
r +3
εr −1
2εr
1
−8
7.14×10 C, V1 = V2 = εr +3 V0 = 285.7 V e ∆U = 2 C0 V02 ε2r (εr +3)(ε
=
r +1)
−6
4.29 × 10 J
ε2r (εr −1)
−5 N. DieletSoluzione 3: F~ (x = a2 ) = 2C0 V02 a(ε
2 = 3.06 × 10
r +3)
trico si muove verso destra, tende alla configurazione di minima
energia dove il dielettrico occupa tutto lo spazio tra le armature.
3.13 Due condensatori piani C1 e C2 in parallelo sono collegati ad un
generatore di f.e.m. V0 = 1200 V. Le armature di ciascun condensatore hanno area S = 20 cm2 e distano tra loco d = 5 mm. Tra le
armature di C1 c’è’ il vuoto, mentre tra quelle di C2 , inizialmente
vuoto, viene immesso del liquido dielettrico, di costante dielettrica
16
relativa εr = 3.5, facendone variare l’altezza h a velocità costante
dh/dt = 0.1 mm/s.
Determinare:
1. la variazione della carica presente su C2 tra quando a vuoto e
quando è completamente riempito di dielettrico e la carica di
polarizzazione finale;
2. la variazione della carica con il tempo (corrente elettrica) fornita dal generatore durante il riempimento calcolandone il valore per h = d/2;
3. la variazione di energia elettrostatica dei condensatori a riempimento completato e il lavoro totale fatto dal generatore.
ε0 S(εr −1)
V0 = 1.062 × 10 −8 C
d
−1
dh dQ ε0 εr SV0 [h+εεrr(d−h)]
2 dt , dt h=d/2
Soluzione 1: ∆Q2 =
Soluzione 2:
dQ
dt
=
C/s ≡ A (Ampere)
Soluzione 3: ∆U =
1.27 × 10−5 J
1 ε0 (εr −1)S 2
V0
2
d
e QP = ∆Q2
= 1.47×10−10
= 6.37×10−6 J, W =
ε0 S(εr −1) 2
V0
d
3.14 Un condensatore cilindrico isolato di raggi Ra e Rb (Ra < Rb ),
carica Q, e altezza h >> Rb ha un materiale dielettrico lineare e
omogeneo di permittività relativa εr tra le sue armature. Il campo
elettrico massimo al quale può resistere il dielettrico senza iniziare
a condurre è Em ∗ . Determinare: a) la capacità del condensatore; b)
l’energia immagazzinata in funzione del campo elettrico e il suo valore a campo elettrico massimo; e c) nella situazione in qui il campo
elettrico è massimo, determinare il valore di Ra per il quale l’energia
immagazinata è massima, determinare anche il valore dell’energia
in questo caso.
[∗ Il fenomeno della rottura dielettrica si ha quando un materiale
che in condizioni ordinarie è dielettrico cessa di essere isolante
perchè sottoposto ad un campo elettrico sufficientemente elevato.
In genere la rottura dielettrica è seguita da una scarica che per-
=
17
corre il materiale. Attraverso i gas si possono avere scariche in
seguito a ionizzazione, come accade ad esempio nel caso dei fulmini o dei tubi al neon. Esempio: se consideriamo localmente il
sistema nuvola-superficie della Terra come un condensatore piano
V = Ed, la differenza di potenziale ai capi del fulmine dipendera
dalla lunghezza d dello stesso e del campo di rottura dielettrica
dell’aria (3 × 106 V/m). Quindi un fulmine lungo 3 km sarà generato da una differenza di potenziale attorno ai 9 × 109 V.]
Soluzione a): C =
2πhε0 εr
ln(Rb /Ra )
2 ln(R /R )
Soluzione b): U = πhε0 εr Ra2 Em
a
b
Soluzione c): Ra = Rb exp(−1/2); Umax ( Ra = Rb exp(−1/2) ) =
1
2 2
2 πhε0 εr Rb Em exp(−1)
3.15 Due condensatori sferici sono costituiti da tre sfere di raggi 2a, 3a
e 6a. La prima e l’ultima sfera sono collegate a terra (V = 0).
Tra le armature del condensatore c’è un dielettrico di permittivita
relativa εr e campo di rottura dielettrica Em . Determinare: a) la
capacità del condensatore equivalente; e b) la massima differenza di
potenziale che si può applicare senza che inizii la rottura dielettrica.
Soluzione a): C = 48πε0 εr a
Soluzione b): Vmax = 23 aEm
Problemi supplementari
S.3.1 Un condensatore sferico con R1 < R2 ha l’intercapedine riempita
da un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativa
varia secondo la legge εr (r) = a/r con a una costante. Sulla sfera
interna c’è la carica Q e l’armatura esterna è a potenziale zero.
Calcolare il potenziale a una distanza R1 ≤ R ≤ R2 dal centro e
determinare la densità delle cariche di polarizzazione.
Q
Q
ln (R2 /R1 ), σP (R1 ) = − 1 − Ra1 4πR
Soluzione: V (R) = 4πε
2,
0a
1
Q
Q
R2
σP (R2 ) = 1 − a 4πR2 e ρP = 4πr2 a
2
R
R
R
Nota: dielettrico neutro ⇒ σP (R1 )dS+ σP (R2 )dS+ ρP dV = 0
18
S.3.2 Una sfera di raggio R e materiale dielettrico con εr è immersa in un
~ 0 . Calcolare il campo elettrico dentro
campo elettrico uniforme E
della sfera e la densità delle cariche di polarizzazione.
εr −1 ~
~
~ = 3 E
Soluzione: E
εr +2 0 , σP = 3ε0 εr +2 E0 · r̂ e ρP = 0 (dielettrico
lineale e omogeneo non essendoci cariche libere)
S.3.3 Il momento di dipolo p~ degli atomi o molecole di un dielettrico
~ si può approssimare per campi
sottoposti ad un campo elettrico E
~ dove α è la polarizzabilità del
esterni non molto intensi p~ = αε0 E,
dielettrico. Inoltre, nei casi in qui il dielettrico eè un gas con εr
molto vicino a 1, εr − 1 = nα dove n è il numero totale di dipoli per
unita di volume, cioè, il numero di atomi o molecole che si sono polarizati per l’azione del campo elettrico esterno divisi per il volume
No Avogadro
occupato. Per un gas, n = Massa
Molare ρ —esssendo ρ la densità
del gas.
Supponendo che il nucleo di un atomo possa considerarsi come una
carica puntiforme positiva Ze posta nel centro di una nube elettronica che occupa un volume sferico di raggio R e che ha carica
−Ze, calcolare la polarizzabilità del atomo quando esso viene immerso in un campo elettrico uniforme. Assumendo ora un insieme
di questi atomi che si trovanno in forma ti gas, determinare anche
il raggio del atomo.
r −1
Soluzione: α = 4πR3 e R = ε4πn
. Nota: prendendo εr (He) =
1.000074, e considerando l’elio in condizioni normali il raggio del
2
0 h̄
atomo deve venire dell’ordine del raggio di Bohr a0 = 4πε
=
me c 2
−11
5.3 × 10
m dove h̄ è la costante di Plank ridotta, me è la massa
dell’elettrone e c è la velocità della luce.
4. Correnti continue e circuiti
4.1 L’elemento riscaldante di una stufa elettrica, progettata per dissipare P1 =1000 W† a V1 =220 V, è costituito da una lunga spirale
di filo con resistività ρ = 10−6 Ωm e diametro d = 4 mm. Calcolare
a) la potenza dissipata se la stufa viene alimentata a V2 =110 V, e
b) la lunghezza del filo.
[† La variazione dell’energia per unità di tempo define la potenza
(P ) che ha come unità il Watt [W] = Joule [J]/ secondo [s]. Per
una differenza di potenziale fissata, dU = dqV e quindi P = dU
dt =
dq
dt V = iV . Il prodotto iV è detto potenza trasferita. Nel caso
19
specifico di un resistore caratterizzato da una resistenza R, dove si
2
verifica la Legge di Ohm, P = i2 R = VR . Quest’ultima relazione
definisce invece la potenza resistiva]
V2
Soluzione a): P2 = P1 V22 = 250 W
1
Soluzione b): L =
2
πd2 V1
4ρ P1
= 608.2 m
4.2 Calcolare a) la resistenza interna Ri + di una batteria d’automobile
che ha una f.e.m di V =12 V sapendo che quando il motorino di
avviamento assorbe I =50 A la d.d.p. ai suoi morsetti diminuisce
a Vmorsetti 10.5 V; b) la resistenza del motorino, la potenza erogata
dalla batteria e la potenza dissipata all’interno di essa in queste
condizioni.
[+ Una batteria, senza essere collegata ad un circuito ha un certo
valore di f.e.m.. Dopo colegarla ad un circuito, anche usando un
filo conduttore di resistenza nulla, c’è una caduta del potenziale.
Questa caduta di potenziale è dovuta alla resistenza interna della
batteria.]
Soluzione a): Ri = V −Vmorsetti
= 0.03Ω
I
= 0.21Ω; Perogata = IVmorsetti = 525
Soluzione b): R = Vmorsetti
I
W; Pdissipata = I 2 Ri = 75 W
4.3 Il circuito in figura si trova in condizioni stazionarie. Calcolare: a)
La corrente che attraversa la resistenza R1 e la potenza P dissipata in R2 ; b) La carica Q depositata sul condensatore C. Dati:
V = 20 V, R1 = 18 Ω, R2 = 12 Ω,
R3 = 8 Ω, C = 14 pF.
Soluzione a): i1 =
7.5 W
Soluzione b): Q =
V R2
R3 (R1 +R2 )+R1 R2
CV
R1 R2
3 (R1 +R2 )
1+ R
= 0.53 A; P2 =
= 147 pC
V 2 R2 R12
[R3 (R1 +R2 )+R1 R2 ]2
=
20
4.4 Consideriamo un circuito RC, cioè,
un condensatore di capacità C collegato in serie ad una resistenza di
valore R. I due elementi sono collegati ad una batteria che eroga una
differenza di potenziale costante
V0 . Il circuito può essere chiuso o
aperto tramite un interruttore.
Si consideri prima la situazione appena dopo la chiusura dell’interruttore
(diciamo al tempo t = 0): il condensatore è inizialmente scarico e
l’unico elemento a limitare la corrente nel circuito è la resistenza
R: a) determinare intensità, differenza di potenziale tra le armature
del condensatore e carica del condensatore in funzione del tempo.
Il condensatore, viene poi scaricato staccandolo dal circuito e chiudendolo su di una resistenza R (come in figura ma senza la batteria):
b) determinare intensità, differenza di potenziale tra le armature
del condensatore e carica del condensatore in funzione del tempo.
Soluzione a) per la carica: i(t) = VR0 exp(−t/RC), Vc (t) =
V0 [1 − exp(−t/RC)], Q(t) = CV0 [1 − exp(−t/RC)]
Soluzione b) per la scarica: i(t) = − VR0 exp(−t/RC) nella scarica l’intensita va nel senso opposto a quello della carica, Vc (t) =
V0 exp(−t/RC), Q(t) = CV0 exp(−t/RC)
5. Magnetostatica nel vuoto
5.1 Trovare le equazioni del moto per
una particella con carica q e massa
m somessa all’azione di un campo
magnetico uniforme lungo la di~ = B k̂. Conrezione dell’asse z, B
siderare che all’istante t = 0 s la
particella è nell’origine di coordinate: x(t = 0) = 0, y(t = 0) = 0,
z(t = 0) = 0; e ha una velocità
~v (t = 0) = 0î + v0 ĵ + 0k̂.
Soluzione:
qB
mv0
0
x(t) = − mv
qB cos( m t) + qB
qB
0
y(t) = mv
qB sin( m t)
z(t) = 0
21
Questa soluzione corrisponde ad un moto circolare nel piano XY
mv0
0
con centro in x = mv
qB e raggio R = qB .
5.2 Dimostrare che la frequenza di rotazione della particella del problema precedente non dipende dalla velocità o dal raggio dell’orbita.
Trovare la relazione tra raggio dell’orbita e velocità della stessa particella. Nella figura (sopra) c’è disegnato lo schema di un ciclotrone,
calcolare la velocita di uscita della stessa particella considerando
prima che questa sia un eletrone e, poi, un protone. L’intensità
del campo magnetico è di B = 10−4 T e il ciclotrone ha un raggio
R = 1 m. Discuttere se l’approccio non relativistico adottato per
descrivere il moto della particella nel ciclotrone è realistico.
qB
ωc
Soluzione: fc = 2π
= 2πm
; v = qRB
m ; ve = 0.6c e vp = 0.0003c
dove c è la velocità della luce.
5.3 Considerare due elementi d~l1 e d~l2 di un circuito percorso da una
intensità I. Nel caso in cui esista un piano di simetria tra loro, dimostrare che il campo magnetico creato nei punti di questo piano
è perpendicolare (o zero) al medessimo piano.
Soluzione: Considerando la distanza al punto del piano di simetria
generico ~r ≡ ~a +~b, dove 2~a è il vettore che unisce d~l1 e d~l2 e, quindi,
µ0 I
~b è contenuto nel piano di simmetria: dB
~ piano =
|~b ×
2
2 3/2
4π[(a +b )]
(d~l1 + ~l2 )|ê⊥ .
5.4 Calcolare il campo magnetico creato da un filo infinito percorso da
un conrrente I: a) per calcolo diretto; e b) applicando il Teorema
di Ampere.
~ = µ0 I θ̂
Soluzione: B
2πr
5.5 Una spira rettangolare di lati a e b è appesa dal punto medio del
lato b. Per la spira circola un corrente I e c’è un campo magnetico
~ che define il piano
uniforme che forma un angolo α con il vettore S
della spira (nota: prendere alpha contenuto nel piano perpendicolare a quello della spira): a) determinare la forza in ogni lato della
~ e b) la forza risultante e il mospira dovuta al campo esterno B;
~
~
~
mento orientatore (M = m
~ × B dove m
~ = I S).
Soluzione a): F~a1 = −F~a2 = IaB e F~b1 = −F~b2 = IbB cos α
~ | = IabB sin α
Soluzione b): F~tot = 0 e |M
22
5.6 Calcolare il campo magnetico creato da una spira circolare di raggio
R e percorasa da un corrente I nei punti del suo asse (che prendiamo
sia l’asse Z).
~ = µ0 I 2 R22 3/2 k̂
Soluzione: B
2 (R +z )
5.7 Dimostrare che il campo magnetico dentro di un solenoide è uniforme (non dipende della posizione) e diretto lungo l’asse del solenoide
~ = 0î + 0ĵ + B k̂).
(B
Aiuto: i) usare il teorema di Ampere per dimostrare che non c’è
componente θ̂, poi ii) usare il fatto che il campo magnetico attraverso una superfice chiusa è zero per dimostrare che non ha
componente in r̂; infine iii) usare di nuovo il teorema di Ampere
per dimostrare che il campo deve essere uniforme.
5.8 Calcolare il campo magnetico lungo l’asse di un solenoide di raggio
R, lunghezza l (l = z2 − z1 ), percorso da una intensità I e densità
lineare di spire n = N/l. Trovare la soluzione nel caso in cui il
solenoide sia infinito e usare il teorema di Ampere per comprovare
quest’ultimo risultato.
µ0 In
z
z
2
1
~
~ ∞ = µ0 Ink̂
√ 2 2 − √ 2 2 k̂; B
Soluzione: B = 2
R +z2
R +z1
5.9 Un disco di raggio R, ha una densità superficiale di carica σ. Il
disco gira, attorno ad un’asse che passa per il suo centro ed è perpendicolare, con una frequenza angolare ω costante. Calcolare a) il
campo magnetico in un punto generico del suo asse; e b) il momento
~
magnetico m
~ = I S.
2 2
2z +R
~ = µ0 ωσ √
− 2|z| k̂
Soluzione a): B
Soluzione b): m
~ =
2
R2 +z 2
1
4
4 πωσR k̂
5.10 Considerare un piano infinito a z = 0 percorso da un corrente
superficiale ~js = js~i uniforme. Calcolare il campo magnetico lungo
l’asse z per z > 0.
~ = − µ0 js ĵ
Soluzione: B
2
23
5.11 Una spira rettangolare rigida, di lati
a e b = 2a, ha una masa per unità
di lunghezza ρ = 0.05 g/cm. Essa
può ruotare attorno ad uno dei latti
di lunghezza a ed è percorsa di un
corrente i = 10 A in senso antiorario
(vedere figura). La spira ruota verso
il lettore dovuto alla presenza di un
campo magnetico B = 10−3 T, uniforme e parallello all’asse y. Calcolare
l’angolo di equilibrio, l’energia e il
lavoro compiuto dal campo sulla spira
per produrre detta rotazione.
Soluzione: tan α =
iB
1
gρ 1+b/a ;
W = iΦ = iBab sin α; L = iBab sin α
5.12 Una sbarra metallica condutrice, prismatica a sezione rettangolare
(a, b) è percorsa da un corrente i ed è immersa in un campo magnetico uniforme B (vedere figura). Calcolare modulo e verso del
campo elettrico traverso EH , diretto secondo l’asse y, che compare
nella sbarra. Il numero di elettroni di conduzione per unità di volume è n.
~ H = − iB ĵ dove e è
Soluzione: E
enab
il modulo della carica del elettrone.
Questo effetto corrisponde al cosidetto
Effetto Hall trasverso.
Misurando
la differenza di potenziale (lungo y)
∆V = EH b, l’intensità i e secondo il
valore del campo B, si può determinare
esperimentalmente la desnità di portaiB
tori di corente n = e∆V
a.
24
5.13 Due fili rettilinei indefiniti paralleli
distanti d sono percorsi in versi opposti
dalle correnti i1 e i2 . Tra i due fili e
coplanare con essi si trova una spira
quadrata, di lato a, percorsa dalla
corrente i3 . Determinare le eventuali
posizioni di equilibrio della spira per il
caso in qui i2 = 2i1 .
P~
Soluzione:
F = 0 ⇒ yeq. =
1
2
h
i
√
2
2
−(a + 2d) ± a + 8d
5.14 Due fili indefiniti paralleli all’asse z,
distanti 2l, sono percorsi entrambi da
una stessa corrente i concorde all’asse
z. Un tratto di filo, lungo a, è posto
sull’asse x ad una distanza a del piano
che contiene i due fili ed è percorso da
un corrente i′ diretta verso î. Calcolare
in modulo, direzione e verso la forza F
sul tratto di filo su l’asse x.
Soluzione: F~ =
µ0 ii′
2π
ln
4a2 +l2
a2 +l2
k̂
5.15 Un cavo coassiale indefinito è costituito da un conduttore cilindrico rettilineo di raggio R1 , contenuto entro una guaina conduttrice cilidrica, coassiale al conduttore interno, di raggi R2 ed R3
con R2 < R3 . Calcolare e fare il grafico del campo magnetico B in
tutto lo spazio se il conduttore interno è percorso da una corrente
i, nei casi a) la corrente è distribuita uniformemente su tutta la
sezione del conduttore e b) la corrente è distribuita uniformemente
sulla superficie del conduttore. Si assuma che la stessa corrente
percorre in senso uguale e verso opposto la guaina, uniformemente
distribuita su la sezione di questa. Calcolare l’energia totale per
unità di lunghezza e la pressione risentita dal conduttore esterno
25
(assumendo R3 → R2 per il calcolo della pressione).
µ0 ir
; B(R1 <
2πR12
µ0 i 2
Wb
Wa
L = 16π + L
Soluzione a): B(r < R1 ) =
B(R2 < r < R3 ) =
µ0 i R32 −r 2
2πr R32 −R22 ;
r < R2 ) =
µ0 i
2πr ;
µ0 i
Soluzione b): B(r < R1 ) = 0;nB(R
r < R2 ) = 2πr
1 <
; B(R
2 <2
4
R
R3
µ0 i 2
µ0 i R32 −r 2 Wb
R3
R2
3
+ (R2 −R
r < R3 ) = 2πr R2 −R2 ; L = 4π ln R
2 )2 ln
R2 − R2 −R2 +
1
3
P =
2
3
2
3
B 2 (r=R2 )
2µ0
5.16 Entro un conduttore cilindrico di raggio R è praticato un foro cilindrico parallelo all’asse, di raggio r. L’asse del foro dista dall’asse
del conduttore d. Se il conduttore è percorso da una corrente di
densità j, uniforme su tutta la sezione, dare l’espressione del campo
magnetico lungo la congiungente i due centri e in particolare nel
centro del foro.
~ = 1 µ0 j y +
Soluzione: 0 < y < d − r → B
2
1
~
d − r < y < d + r → B = 2 µ0 jdk̂
~ = 1 µ0 j y + r2 k̂
d+r <y <R → B
22
d−y
2
R
r
1
~ = µ0 j
y>R→B
2
y + d−y k̂
r2
d−y
k̂
5.17 Una sfera conduttrice di raggio R, massa M, carica q ruota con
velocità angolare costante ω attorno ad un asse che passa per il
suo centro. Calcolare il valore del campo magnetico nel centro,
il momento magnetico e il rapporto tra il momento magnetico e
il momento angolare, detto anche rapporto giromagnetico g della
sfera.
q
~ = µ0 qω k̂; m
Soluzione: B
~ = 31 qωR2 k̂; e g = 35 2M
6π R
6. Magnetostatica nella materia
6.1 Un cilindro di materiale omogeneo ed isotropo, di diametro molto
piccolo rispetto alla sua altezza è disposto parallelamente alle li~ 0 (nel vuoto).
nee di forza di un campo di induzione magnetica B
~ H
~ eM
~.
Discuttere la configurazione assunta dai campi vettoriali B,
2
R34 −R24
4(R32 −R22 )2
o
26
~ e il flusso di
Soluzione: considerando che la circuitazione di H
~
B uscente da una superficie chiusa sono nulli, si ottengono le condizioni di raccordo tra due mezzi di queste quantità: B1n = B2n
~ = µH
~ si ottengono B1t = B2t e
e H1t = H2t . Poi usando B
µ1
µ2
H1n µ1 = H2n µ2
~ 0, M
~0 = 0 e H
~0 =
Esternamente al materiale: B
Nel materiale: H0t = Ht = H0 ; Hn =
~ = µr −1 B
~ 0.
Bt = µ B0t = µr B0 e M
µ0
µ0
µ H0n
B~0
µ0 .
= 0; B0n = Bn = 0;
µ0
6.2 Un cilindro molto lungo di ferro (e quindi un matteriale ferromagnetico), lungo d ≡ z2 − z1 e di raggio R, è magnetizzato uniformemente, con magnetizzazione M e parallela all’asse del cilindro. Determinare come varia il campo B generato da questo cilindro e in
particolare nel limite d → ∞. Calcolare la circuitazione di B, H e
M lungo una linea chiusa Γ1 che attraversa il cilindro in tutta la
sua lunghezza e lungo un’altra linea chiusa Γ2 che passa nel materiale solamente per metà della sua lunghezza. In fine discuttere
~ eH
~ assumanedo
la configurazione assunta dai campi vettoriali B
~ H)
~ è nel secondo quadrante del ciclo di isteresi dove B
~ eH
~
che B(
hanno versi opposti.
z
z
1
2
1
~
~ ∞ = µ0 M k̂;
Soluzione: B = 2 µ0 M √ 2 2 − √ 2 2 k̂; B
z2 +R
z1 +R
H
~ = 0;
~ · dl
H
HΓ1,2
H
~ ~
~ ~
Γ1 M · dl = M d; Γ2 M · dl = M d/2;
H
H
~ ~
~ ~
Γ1 B · dl = µ0 M d; Γ2 B · dl = µ0 M d/2;
27
6.3 Un cilindro di lunghezza indefinita
possiede una magnetizzazione permanente M = 6 × 105 A/m uniforme e
diretta ortogonalmente al proprio asse.
In figura è rappresentata una sezione
del cilindro. Determinare: a) le densità
volumetriche e superficiali delle correnti
~ e H
~
di magnetizzazione; b) i vettori B
~
~
sull’asse del cilindro; e c) i vettori B e H
nei punti A e C indicati in figura, posti
immediatamente all’esterno del cilindro,
~ e H
~ siano uniformi
supponendo che B
all’interno del cilindro.
Soluzione a): j~v = 0 e j~s = −M cos θk̂
~ eH
~ = −1M
~
~ = µ0 M
Soluzione b): B
2
2
~; H
~ A = 1M
~; B
~ C = − µ0 M
~; e H
~C =
~ A = µ0 M
Soluzione c): B
2
2
2
~.
−1M
2
6.4 Un avvolgimento di N spire, percorse dalla corrente i, è disposto
su di una superficie toroidale circolare a sezione quadrata di area
S e lunghezza media l. Lo spazio interno a tale solenoide e completamente riempito di un materiale con permeabilità relativa µr
~ Calcolare i valori
costante per un largo intervallo di valori di H.
~ H
~ and M
~ entro il solenoide nonché il flusso di B.
~
dei campi B,
2S
µiN
µiN
~ = iN θ̂, B
~ =
~ = (µr − 1) iN θ̂ and Φ =
Soluzione: H
θ̂, M
l
l
l
l
6.5 Ripetere il problema 6.4 nel caso in cui il mezzo presenti un taglio
~ di lunghezza d. Si suponga
con le facce ortogonali alle linee di B,
trascurabile il flusso disperso e si considerino i campi uniformi sulla
sezione.
iN
~ = µiN θ̂, H
~ es = µr iN θ̂, H
~ in =
Soluzione: B
l−d+µr d
l−d+µr d
l−d+µr d θ̂,
~ = (µr − 1) iN θ̂ and Φ = µiN 2 S
M
l−d+µr d
l−d+µr d
6.7 Un cilindro di lunghezza l e raggio R è magnetizzato uniformemente
lungo la direzione del suo asse (k̂). Il suo momento magnetico è m.
~ al interno del cilindro.
Fare una stima di B
~ = µ0 m 2 k̂ = µ0 m k̂
Soluzione: B
V
lπR
6.8 Un magnete permanente è costituito da un anello tagliato di materiale ferromagnetico in cui il traferro ha spessore d = 5 mm. Si vuole
ottenere nel traferro un campo di induzione B = 0.3 T diretto per-
28
pendicolare alla superficie del taglio. I materiale ha le seguenti proprietà: lunghezza media del matteriale l, magnetizzazione residua
Mr = 3 × 105 A/m, campo coercitivo Hc = 7.5 × 104 A/m, ciclo
di isteresi lineare nella zona di interesse. Determinare, assumendo
~ a) H
~ nel materiale; b) la lunghezza media l;
positivo il verso di B:
~ e la corrente totale di magnetizzazione.
e c) M
~ in = −Hc + Hc B θ̂ = −1.53 × 104 θ̂ A/m
Soluzione a): H
µ0 M r
~
1
= 83
Soluzione b): l = 1 + |H~ est | = d 1 + µB0
c B|
|−Hc + µ HM
|Hint |
0 r
mm
i
h
~ = Hc + B 1 − Hc θ̂ = 2.5 × 105 θ̂ A/m e
Soluzione c): M
µ0
Mr
i = M (l − d) = 2.1 × 104 A.
7. Induzione elettromagnetica
7.1 Una sottile sbarra conduttrice, lunga l, si muove di moto traslatorio
nel piano xy con velocità v costante; la normale alla sbarra forma un
angolo α con l’asse x. La sbarra è immersa in un campo magnetico
uniforme e costante di modulo B, che non ha componente lungo
l’asse y e forma un angolo β con l’asse x. Calcolare la tensione che
compare ai capi della sbarra in seguito al moto.
Soluzione: ε = vBl sin β cos α
7.2 Una sottile sbarra rettilinea conduttrice, lunga l, è incernierata ad
un estremo attorno al quale ruota con velocità angolare costante
ω. Essa è immersa in un campo magnetico uniforme e costante, di
modulo B, parallelo e concorde a ω. Calcolare il valore e il segno
della tensione che compare ai capi della sbarra.
Soluzione: ε = − 12 ωBl2 (carica negativa si concentra nel estremo
incernierato e carica positiva nel estremo opposto)
7.3 Un conduttore metallico di resistenza trascurabile è piegato a U
e contenuto nel piano xy; i tratti paralleli distano l. Su di esso
può spostarsi senza attrito una sbarra conduttrice di resistenza R
ortogonale ai tratti paralleli. Se tale conduttore viene mantenuto
in moto secondo il verso positivo dell’asse x con velocità costante
di modulo v e se il dispositivo è immerso in un campo magnetico
uniforme e costante, ortogonale al circuito e diretto verso z positivi,
di modulo B, calcolare il valore della corrente indotta nel circuito
e la potenza che occorre spendere per mantenere in movimento il
conduttore mobile.
29
Soluzione: i =
Blv
R
eP =
B 2 l2 v 2
R
7.4 Nella stessa configurazione del problema 7.3, la sbarra viene messa
in moto, con velocità parallela all’asse x, tramite l’applicazione in
un tempo trascurabile di un impulso J~ = J î. Dare l’equazione del
moto della sbarra e la legge di variazione nel tempo della corrente
indotta nel circuito. La massa della sbarra vale m. Calcola l’energia
dissipata per effetto Joule.
2 2
B 2 l2
J
exp − BmRl t ; i = JBL
exp
−
t
e W =
Soluzione: v = m
mR
mR
1
J 2
2m m
7.5 Una spira conduttrice quadrata contenuta nel piano xy, di lato l,
massa m e resistenza R, si muove con velocità costante v0 (per
x < 0) lungo l’asse x. Nel semipiano x ≥ 0 esiste un campo
magnetico B, uniforme e costante, lungo l’asse z e con verso positivo. Nel semipiano x < 0 il campo magnetico è zero. Si calcoli
la velocita v della spira dopo che essa è entrata completamente nel
semipiano x ≥ 0 e il tempo t che occorre perché ciò avvenga, a
partire dell’istante t = 0 in cui la spira entra nella zona con campo
magnetico. Discuttere l’andametento della velocità nelle diverse
zone.
Soluzione: v = v0 −
B 2 l3
mR
et=
mR
B 2 l2
ln
1
B 2 l3
1− mRv
0
7.6 Due sbarre condutrici di massa m e resistenza R si possono muovere
lungo la direzione dell’asse x sopra a due fili conduttori, che non
hanno resistenza, e con attrito trascurabile. Il circuito è contenuto
nel piano xy e la sbarra a sinistra si muove verso quella di destra,
inizialmente ferma, con velocità costante v. Il circuito è anche
immerso in un campo magnetico uniforme di modulo B e diretto
lungo valori positivi dell’asse z. Calcolare la velocità della seconda
sbarra.
i
h
B 2 l2
t
Soluzione: v = v0 1 − exp − 2mR
7.7 Un cilindro di materiale conduttore, inizialmente neutro, di raggio
R = 5 cm viene posto in rotazione attorno al proprio asse con
frequenza f = 50 Hz. È presente un campo magnetico costante
B = 0.1 T diretto lungo l’asse del cilindro. Determinare: a) il
campo elettrico E nel materiale e la ddp tra un punto sull’asse e
il bordo del cilindro; b)la distribuzione di carica di volume e di
superficie; e c) la energia elettrostatica per unità di lunghezza.
30
~ = 2πf B~r e ∆V = πf BR2 (carica negativa si
Soluzione a): E
concentra nel centro e la positiva nella superficie laterale del cilindro)
Soluzione b): ρ = −4πε0 f B e σ = 2πε0 f BR (e la carica totale
Q = 0).
Soluzione c): Wl = π 3 ε0 f 2 B 2 R4
7.8 Una spira circolare di raggio R1 = 10 cm giace sul piano xy, ed è
percorsa in verso antiorario da una corrente stazionaria I1 = 50 A.
Sull’asse z della spira, a distanza z0 = 1 cm, si trova una seconda
spira il cui raggio R2 = 0.5 cm può essere preso come molto piccolo
rispetto a R1 . La seconda spira ha una resistenza R = 0.01 Ω. a)
Si calcoli quanto vale il campo magnetico nel punto in cui si trova
la spira; b) La seconda spira viene trascinata da z0 = 1 cm a z1 =
11 cm. Si calcoli quanta carica totale ha attraversato la seconda
spira in questo intervallo di tempo. Si calcoli la corrente media
che attraversa la spira in questo intervallo assumendo che la spira
è stata trascinata a velocità costante v = 0.02 m/s; e c) Si scriva
l’espressione della corrente nella seconda spira (assumendo velocità
costante v = 0.02 m/s), e se ne calcoli il valore quando la stessa si
trova a z2 = 2 cm.
R12
~ = µ0 i 1
Soluzione a): B
3/2 k̂
2
(z02 +R12 )
R12 R22
R12 R22
π µ0 i 1
2v
e ī2 = zQ
Soluzione b): Q2 = 2 R
3/2 −
3/2
1 −z0
(z02 +R12 )
(z12 +R12 )
Soluzione c): i2 =
2 2
3π µ0 i1 v R1 R2 z2
5/2
2
R
(z22 +R12 )
7.9 Una spira quadrata di lato l = 5 cm e massa m = 60 g si trova sul
piano xy, e nella stessa regione è presente un campo B, ortogonale
al piano, con modulo non uniforme ma variabile secondo la legge
B(x) = B0 x/x0 con B0 = 2 T e x0 = 10−2 m. La spira quadrata si
muove con velocità v = 1 m/s (costante) nella direzione dell’asse x
partendo all’istante t = 0 completamente nel semipiano x > 0 ma
con un lato perpendicolare a x e nella posizione x = 0. a) Calcolare
la corrente indotta nella spira sapendo che la resistenza della stessa
è 0.25 Ω; b) Calcolare le forze agenti sui lati della spira a causa della
presenza di B, e la forza necessaria dall’esterno per mantenere v
costante; e c) Calcolare la carica totale che fluisce nella spira nel
tragitto tra 0 e 20 cm, la potenza dissipata per effetto Joule e il
lavoro compiuto dall’esterno.
31
Soluzione a): i =
B0 vl2
x0 R
2
4
B vl
Soluzione b): F~TOT = − x02 R î e F~EST = −F~TOT
0
Soluzione c): Q =
B0 l 2
x0 R ∆x;
P =
B02 v 2 l4
;
x20 R
eL=
B02 vl4
∆x
x20 R
7.10 Una lamina sottile di conduttore, le cui basi A e B sono parallele al
piano yz ed hanno superficie S =100 cm2 , e il cui spessore è d =0.5
cm, si muove con velocità v = 0.3 m/s sull’asse y. Lungo l’asse z
è presente un campo di induzione magnetica B = 1 T, uniforme e
costante. Si determini, assumendo che non vi siano effetti di bordo
nella lamina: a) la distribuzione di carica elettrica presente nella
lamina; b) la differenza di potenziale elettrostatico che si crea tra
le basi A e B; e c) ad un dato istante t0 il moto della lamina viene
interrotto. Sapendo che la resistività del materiale è ρ = 3.010−8
Ωm, si scriva la corrente elettrica che si crea nella lamina in funzione
di t > t0 .
Soluzione a): σA = ε0 vB; σB = −ε0 vB (non c’è distribuzione
volumica di carica)
Soluzione b): VA − VB = vBd
0
Soluzione c): i = ε20 vBSρ exp − t−t
ε0 ρ
7.11 La sbarretta conduttrice AB di lunghezza L = 5 cm scivola priva di
attrito con velocità costante ~v = 2î m/s lungo due guide conduttrici
a U, mantenendosi ortogonale ad esse. La guida condutrice ad U ha
resistenza R = 2 Ω, mentre la sbarretta ha resistenza trascurabile.
A distanza d = 3 cm da una delle guide è posto un filo rettilineo
indefinito che giace nel piano del sistema guida-sbarreta, è parallelo alle guide ed è percorso da una corrente I =100 A verso −î.
Calcolare: a) il valore e il verso della corrente indotta nella sbarretta; b) la forza da applicare alla sbarretta per mantenere costante
la sua velocità; c) l’energia dissipata sulla resistenza R e il lavoro
fatto dalla forza applicata, nel tempo impiegato dalla sbarretta a
percorrere una distanza pari a 10 m.
0 Iv
ln L+d
Soluzione a): i = µ2πR
d
2 2
v
L+d 2
0I
Soluzione b): F~app = µ2π
ln
î = i vR î
R
d
Soluzione c): W = i2 R ∆x
v e L = Fapp ∆x (i due risultati coincidono)
7.12 Una sbarra conduttrice di massa m= 100 g e resistenza lineare RL =
0.2 Ω/m scorre nel piano xy su due guide conduttrici, di resistenza
32
trascurabile, connesse nellorigine degli assi e formanti un angolo
α= 20o . In tutto lo spazio è presente il campo magnetico lungo
l’asse z B0 = 0.1 T. Allistante iniziale t =0 la sbarra si trova nella
posizione x0 = 0.5 m con velocità v0 = 1 m/s. Determinare: a)
la corrente indotta in funzione della distanza e indicarne il verso
(orario o antiorario); b) lespressione della velocita v(x) in funzione
della distanza e la posizione di arresto della sbarra; e c) la energia
dissipata durante il percorso da x0 a x0 +2m.
h
i
B
Bv
B 2 tan α
2 − x2
=
Soluzione a): i = R
v
−
x
(orario)
0
0
RL
mRL
L
q
2 tan α
2 − x2 e x
L v0
x20 + BmR
Soluzione b): v(x) = v0 − BmR
=
x
arresto
2 tan α
0
L
Soluzione c): W = 21 m v02 − v 2
7.13 Nel circuito in figura, all’istante t = 0
s, l’interruttore S viene chiuso nella posizione A. Una volta raggiunta la condizione di regime esso viene spostato
A
in un tempo trascurabile nella poS
sizione B. Dare l’andamento nel tempo
V0
B
della corrente attraverso l’induttore se
si conoscono V0 , R1 , R2 e L. DeterR2
L
minare inoltre nella prima connessione
R1
l’espressione dell’energia spesa dal generatore e verificare che, avvenuta la
chiusura nella posizione B, nel resistore
R2 viene dissipata tutta l’energia magnetica immagazzinata nell’induttore.
V0
Soluzione: S chiuso nella posizione A: i(t) = R
1 − exp − RL1 t
1
V02 R1
V0
R1
per la condizione di regime i(t → ∞) ≡ i∞ = R
L
;
W
=
t
+
exp
−
t
−
1
gen
2
L
L
R1
1
S chiuso nella posizione B (prendendo t = 0 s nel momento
subito
V0
exp − RL2 t , WR2 =
dopo la chiusura nella posizione B): i(t) = R
1
V02
L
2R12
= 12 Li∞
7.14 Su un piano orizzontale si trovano un filo indefinito percorso da una
corrente i1 , e una spira quadrata di lato L percorsa da una corrente
i2 . La spira ha un lato parallelo al filo che si trova ad una distanza
d dal filo stesso; su questo lato, le correnti nel filo e nella spira sono
concordi. a) Si calcolino le forze che il filo esercita sui diversi lati
della spira, e la risultante di tale forza; b) Si scrivano le espressioni
33
analitiche del coefficiente di mutua induzione e dell’energia magnetica di interazione tra filo e spira; c) Si mostri che dall’energia
magnetica scritta al punto b) si ricava la stessa espressione della
forza risultante sulla spira già ricavata a a).
µ0 i 1 i 2 L 2
î dove la forza per ogni pezzo di
Soluzione a): F~tot = − 2πd(d+L)
filo della spira è:
• Filo spira parallelo al filo indefinito e lontano d: F~ = − µ0 i1 i2 L î
2πd
• Filo spira parallelo al filo indefinito e lontano L + d: F~ =
µ0 i 1 i 2 L
2π(d+L) î
1 i2 L
ln d+L
ĵ
• Filo spira perpendicolare (sotto) al filo indefinito: F~ = − µ0 i2π
d
µ0 i 1 i 2 L
d+L
~
• Filo spira perpendicolare (sopra) al filo indefinito: F = 2π ln d ĵ
1 i2
0L
ln d+L
e Wint (d) = µ0 Li
ln d+L
Soluzione b): M12 = µ2π
d
2π
d
~ int (x).
Soluzione c): F~ = ∇W
7.15 Un cavo coassiale di raggi a e b è percorso da una corrente I. Calcolare l’energia immagazzinata per unità di lunghezza nei casi: a)
il conduttore interno è vuoto; e b) il conduttore interno è riempito
(materiale con permitività relativa µr ) e la corrente che lo percorre
e’ volumica; c) se il coefficiente di auto induzione Lb = 2La determinare il valore di µr .
2
2 µ
b
r
0I
0I
Soluzione a): Wl = µ4π
ln ab Soluzione b): Wl = µ4π
ln
4
a
Soluzione c): µr = 4 ln sb
7.16 Per due induttori qualsiasi percorsi da una corrente diversa, determinare a) il valore massimo del coefficiente di mutua induzione; e
b) l’energia massima d’interazione.
√
Soluzione
a): M ≡ M12 = M21 ≤ L1 L2 Soluzione b): Wint ≤
√
L1 L2 i 1 i 2
7.17 Due solenoidi coassiali molto lunghi sono percorsi da intensità diverse ma costanti e nello stesso verso. I due solenoidi hanno sezioni
diverse e densità di spire per unità di lunghezza anche diverse. Il
solenoide con sezione più piccola è messo un tratto x dentro l’altro
solenoide di sezione maggiore. Determinare la forza con cui si attragono/respingono assumendo che il campo magnetico creato dai
solenoidi fuori sia trascurabile.
Soluzione: F = µ0 n1 n2 S1 I1 I2
8. Fenomeni dipendenti del tempo
34
8.1 Un condensatore piano con armature cicolari di sezione S e distanti h, viene caricato a una d.d.p. V0 , poi viene lasciato scaricare
attarverso un resistore di resistenza R0 . Calcolare il flusso totale
di energia, atraverso il calcolo del vettore di Poynting, dall’interno
all’esterno del conduttore durante la scarica.
2
Soluzione: W = ε0 πhR2 Vh0
8.2 Ad un capo di un cavo coassiale (R1 < R2 ) viene applicata tra i due
conduttori una tensione V (t) = V0 cos(ωt). Trovare le equazioni
differenziali a cui obediscono la tensione tra i conduttori e la corrente lungo di essi in un punto generico del cavo (prendere l’asse
del cilindro lungo z).
V0
Soluzione: V (z, t) = V0 cos(ωt + ω zc ) e i(z, t) = cL
cos(ωt + ω zc )
0
dove L0 è il coefficiente
di autoinduzione per unità di lunghezza
µ0
R2
L0 = 2π ln R1 .
8.3 Un condensatore piano con armature circolari di raggio R distanti
d, tra le quali è presente un dielettrico di costante dielettrica εr , è
inizialmente carico e la d.d.p. tra le armature vale ∆V0 . A partire
dall’istante t = 0 s la d.d.p. viene fatta variare con la legge ∆V =
∆V0 − αt con α costante. Utilizzando un sistema di coordinate
cilindriche il cui asse z è perpendicolare alle armature e passa per il
suo centro, calcolare all’istante t generico: a) il campo elettrico nel
condensatore; b) la corrente di spostamento e il campo d’induzione
magnetica per 0 < r < R; e c) il vettore di Poynting e il flusso
totale di energia per unità di tempo ai bordi del condensatore.
Soluzione a): E(t) = ∆V0d−αt
~ = − 1 = µ0 ε α rθ̂
Soluzione b): ~js = −ε αd k̂ e B
2
d
~=
Soluzione c): S
1 ∆V0 −αt α
ε d rr̂
2
d
e φ(R) =
∆V0 −αt
πR2 εα
d
35
8.4 Alle armature circolari di un
condensatore piano di raggio R e distanza reciproca
d è applicata come in figura
una d.d.p.
VA − VB =
V0 sin(ωt) con V0 costante e
T = 2π/ω. Trascurando gli
effetti di bordo e utilizzando
un sistema di coordinate cilindriche, determinare: a) il vettore induzione magnetica e il
vettore di Poynting all’interno
del condensatore; b) il valore del flusso totale di energia (specificando se entrante o
uscente) attraverso la superficie delimitante il condensatore
dall’istante t = 0
all’istante t = T /4; e c) l’espressione della f.e.m. indotta nella spira
rettangolare orientata come in figura di altezza h e base R posta tra
le armature del condensatore con il lato minore sull’asse di questo
calcolandone il valore a t = T /2.
2
~ = − 1 ωr2 V0 cos(ωt)θ̂ e S
~ = − 1 ε0 ωr V02 cos(ωt) sin(ωt)r̂
Soluzione a): B
2 c
d
V2
2
d
Soluzione b): ∆φ = − 12 πR2 ε0 d0 (flusso entrante)
2 V hR2
0
sin(π) = 0
Soluzione c): f.e.m. = ω 4c
2d
9. Onde elettromagnetiche
9.1 Un’onda elettromagnetica piana si propaga lungo x in
un mezzo con εr = 1.5. Il
campo magnetico dell’onda è
dato dalla relazione: By =
B0 cos(8×108 t−4x), con B0 =
1.8 × 10−6 T e x e t espressi,
rispettivamente, in m e s. Determinare: a) i valori di
frequenza e lunghezza d’onda della radiazione, nonché la sua velocità di propagazione e il valore della permeabilità magnetica del
mezzo; b) l’equazione del campo elettrico in funzione di x e t, e
36
il valore della sua ampiezza; e c) la potenza che incide su di una
superficie piana di area A = 2.3m2 , perpendicolare al piano xz e
che forma un angolo di θ = 30 gradi col piano xy. Si calcoli anche la pressione di radiazione sulla stessa superficie, supponendola
perfettamente riflettente.
Soluzione a): f = 1.27 × 108 s−1 , λ = 1.57 m, v = 2 × 108 m/s e
µr = 1.5
~ = −vB0 cos(ωt − kx)k̂
Soluzione b): E
vB 2
B2
Soluzione c): P = 21 µ 0 sin θA = 198 W e p = µ0 sin θ = 8.6 ×
10−7 N/m2
9.2 Il campo di induzione magnetica di un’onda piana, che propaga in
un dielettrico caratterizzato da εr e µr , con lunghezza d’onda λ, ha
la seguente espressione:
h
i
~
B(y,
t) = B0 cos(ky − ωt)î − sin(ky − ωt)k̂ con B0 costante e uniforme
Determinare: a) la frequenza, il tipo di polarizzazione dell’onda e
l’espressione del campo elettrico; b) la quantità media di energia
elettromagnetica che è contenuta nel volume (parallelepipedo di
sezione A perpendicolare all’asse y e altezza h) e quella che l’onda
trasporta attraverso la base A in un tempo ∆t; e c) la forza esercitata dall’onda sulla base A nell’ipotesi che essa sia totalmente
assorbente.
Soluzione a: f = λ√εcr µr , polarizzazione circolare,
h
i
cB0
~
√
e E = εr µr sin(ky − ωt)î + cos(ky − ωt)k̂
Soluzione b: hWvol i = huiV =
Soluzione c: F =
2
1 B0
2 µ A
2
1 B0
2 µ Ah
e hWsup (∆t)i =
2
1 B0 √ c
2 µ
εr µr A∆t
9.3 Il campo elettrico di un’onda piana, di frequenza f , che propaga in
un dielettrico trasparente caratterizzato da εr e µr , ha la seguente
espressione: h
i
~
E(x,
t) = E0 sin(kx − ωt)ĵ − cos(kx − ωt)k̂
Determinare: a) il vettore d’onda k e le espressioni del campo
~
~ t); b) il valore di E0 sapendo
B(x,
t) e del vettore di Poynting S(x,
che nell’intervalo di tempo ∆t, su una superficie di area A giacente
nel piano x = 0 incide una quantità di energia W ; e c) la forz esercitata sulla superficie del punto b) supponendo che la stessa sia
totalmente assorbente.
37
√
ε µ
r r
Soluzione a):
h k = 2πf c
i
~
B(x,
t) = Ev0 cos(kx − ωt)ĵ + sin(kx − ωt)k̂
q
~ t) = ε E 2 î
S(x,
µ 0
h
i1/4
2
Soluzione b): E0 = µε AW
2 ∆t2
√ W
Soluzione c): F = εµ ∆t
9.4 Un’onda elettromagnetica propaga nella direzione positiva dell’asse
x, e il campo elettrico associato ha l’espressione:
~
E(x,
t) = E0 cos(kx − ωt)ĵ + E0 sin(kx − ωt)k̂,
e il valore della pulsazione è ν. La propagazione dell’onda avviene
in un mezzo assimilabile al vuoto. Determinare: a) i valori di k
e λ, nonché l’espressione analitica del campo B in funzione di x e
t; b) sapendo che una misura dell’intensità media della radiazione
sul piano x = 0 fornisce il valore I, si determinino i valori del
modulo dei campi E e di B; e c) una sbarretta di metallo è disposta
lungo la bisettrice del piano yz, ovvero ha come estremi (yA , zA ) =
(0, 0) e (yB , zB ) = (l, l). Si calcoli l’espressione della differenza di
potenziale VA − VB in funzione del tempo e il suo valore massimo.
c
Soluzione a): k = 2πν
c e λ= ν
~
B(x,
t) = − Ev0 sin(kx − ωt)ĵ + Ev0 cos(kx − ωt)k̂,
Soluzione b): E0 =
2I
ε0 c
1/2
e B0 =
2µ0 I
c
1/2
Soluzione c): VA −VB = −E0 l sin(ωt−π/4) e il suo valore massimo
sarà per valori del sin(ωt − π/4) = ±1 e quindi ωt = −π/4, 3π/4 ...
e VA − VB |max = ±E0 l.
9.5 Un’onda piana di frequenza ν
propaga in un mezzo dielettrico, caratterizzato da εr µr ,
nel verso positivo dell’asse y.
L’onda è polarizzata linearmente lungo una direzione che
forma un angolo α = 30
rispetto all’asse x e ha intensità (media) I. Assumendo
che in y = 0 a t = 0 il campo elettrico dell’onda sia nullo determinare: a) le espressioni del campo elettrico E e del campo
38
magnetico B dell’onda e il valore delle ampiezze; b) il valore della
lunghezza d’onda λ; c) la f.e.m. indotta in una spira quadrata di
lato a = λ/2 disposta come in figura.
√
~
Soluzione a): E(y,
t) = E0 sin(ky − ωt) 23 î + 12 k̂ ,
√ ~
B(y,
t) = Ev0 sin(ky − ωt) 12 î − 23 k̂ ,
1/4
e B0 = Ev0
E0 = 4I 2 µε
Soluzione b): λ = ν1 √εcr µr
Soluzione c): f.e.m. = −
√
3 E0 v
2 ν
sin(ωt)