LA SPIRALE LOGARITMICA

LA SPIRALE LOGARITMICA
“La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani
alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto questa armoniosa figura
come proprio ornamento favorito”
Mario Livio
La spirale logaritmica (a sinistra) può essere distinta dalla spirale di Archimede (a destra)
perchè nella prima le distanze fra i bracci aumentano in progressione geometrica, mentre
in quella archimedea tali distanze sono costanti.
La spirale logaritmica fu scoperta da Cartesio nel 1638; egli dimostròche è una “spirale
equiangola”, cioè caratterizzata dal fatto che tracciando una linea dritta dal polo a un punto
qualunque della spirale, questa intercetta la
curva formando sempre lo stesso angolo
(cioè in tutti i suoi punti l’angolo formato dal
raggio e dalla retta tangente è costante). In
seguito venne analizzata da Torricelli nella
sua opera De infinitis spiralibus che risale
al 1645.
Circa cinquant’anni dopo Jacob Bernoulli
(1654-1705) ne studiò le proprietà e ne
rimase talmente affascinato da definirla
Spira mirabilis (spirale meravigliosa) e da
chiedere che sulla sua tomba ne fosse
scolpita una (ma in realtà scolpirono una
spirale archimedea).
ll legame tra spirale logaritmica e rapporto aureo è
assai stretto. Se all’interno di un rettangolo aureo si
disegna un quadrato con lato uguale al lato minore
del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso
un rettangolo aureo (è necessario ripetere
l’operazione per almeno cinque volte per avere un
effetto visivo adeguato). Se puntiamo la punta del
compasso sul vertice del quadrato, che giace sul lato
lungo del rettangolo, e si traccia l’arco che unisce gli
estremi dei due lati che formano l'angolo scelto, e si
ripete l’operazione per ogni quadrato disegnato, si
ottiene proprio la spirale aurea, che si sviluppa
asintoticamente proprio attorno al cosiddetto “occhio
di Dio”.
La spirale logaritmica è ricavabile anche da un
triangolo aureo, continuando infinitamente a bisecare
gli angoli alla base e formando quindi un “vortice” di
triangoli sempre più piccoli, e collegando con una
curva i vertici di tali figure ottenute.
UN PO’ DI STORIA: LEONARDO FIBONACCI
La storia della sezione aurea è strettamente legata al nome di un
grande matematico italiano del Duecento, Leonardo da Pisa (11701240), meglio conosciuto come Leonardo Fibonacci. Egli fu l’autore
dell’importante trattato di matematica Liber abaci, che permise la
diffusione in tutta Europa delle cifre indo-arabe. Fu proprio quest’opera
a dare al suo autore una così grande notorietà, da fare in modo che
Federico II lo volesse presso la sua corte. I contributi diretti di
Fibonacci alla letteratura sul rapporto aureo ci vengono da un breve
libro di argomento geometrico (Pratica geometriae, 1223), nel quale
descrive i nuovi metodi per il calcolo di diagonali e aree di figure strettamente legate a phi.
Tuttavia, il suo contributo più importante deriva da un problema apparentemente banale
esposto nel Liber abaci, quello celebre dei conigli, che lo porterà a formulare la celebre
successione di Fibonacci, in cui
Posti i primi due termini pari a 1, a partire dal terzo ciascun termine è uguale alla somma
dei due termini precedenti: F0:= 1 ed F1:= 1, Fn := Fn-1 + Fn-2 con n>1
I primi termini della successione sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…..
Ma dove sta il legame di quest’ultima con phi? Per individuarlo, è necessario guardare al
rapporto degli elementi continui che la compongono. Procedendo lungo la successione
infatti, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla (risultando ora in eccesso, ora
in difetto) intorno a un numero che si avvicina sempre di più a phi.
-
Qualsiasi numero di Fibonacci diviso per il suo precedente da come risultato
un’approssimazione del numero aureo(1,618…);
ad esempio 3:2=1.5
5:3=1.66…
8:5=1.6
13:8=1.625
34:21=1.61…
…..144:89=1,61797…..
-
Qualsiasi numero della successione diviso per il suo successivo da come risultato
un approssimazione del numero 0,618… ;
ad esempio 2:3=0.66.. 3:5=0.66..
5:8=0.265.. 8:13=0.61..
21:34=0.61..
…89:144=0,61805…
Questa sorprendente proprietà fu scoperta nel 1611 dall’astronomo tedesco Keplero, il
quale si sarebbe imbattuto in quella sequenza senza però leggere il Liber abaci. Tuttavia,
trascorsero altri 100 anni prima che la relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto
aureo fosse definitivamente dimostrata dal matematico scozzese Robert Simson (16871768).
LA SPIRALE LOGARITMICA IN NATURA
Molte piante mostrano i numeri di Fibonacci nella disposizione
occupata dalle foglie intorno allo stelo. Osservando una pianta
dall’alto ci si accorge
che le foglie non sono disposte
casualmente ma secondo una sorta di spirale (logaritmica), si
distanziano infatti dalla successiva con un angolo di 137°,
l’angolo aureo. Questo ordine rende massima l’esposizione
delle foglie al sole, alla pioggia e all’aria: ogni foglia può ricevere
la quantità di luce sufficiente per compiere il proprio ciclo vitale
regolarmente e l’acqua della pioggia può raggiungere
rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Dalla figura a lato si
può notare la spirale costruita dalle foglie.
Il fenomeno ha il nome scientifico di fillotassi, un sostantivo coniato nel 1754 dal
naturalista svizzero Charles Bonnet. La storia della vera fillotassi matematica inizia però
nel XIX secolo con gli studi dei botanici Schimper e Braun, i quali scoprirono la regola
generale secondo cui i quozienti di fillotassi si possono esprimere come quozienti dei
numeri di Fibonacci. Furono inoltre proprio questi studiosi a notare la comparsa di tali
numeri anche nelle disposizioni a spirale delle squame dell’ananas e delle pigne d’abete.
Contando le scaglie dell’ananas in
senso orario o antiorario si otterranno
due numeri della successione. Su
2000 ananas sono state contate le
scaglie ed è risultato che il 95% dei
frutti segue questa legge.
Analogamente anche una pigna è costituita
da scaglie disposte lungo due insiemi di
spirali come mostrato in figura, di 8 e 13
involuzioni.
Anche il cavolo e il cavolo romano, spesso
esempi di frattali, presentano in loro una
forma a spirale, o meglio una in senso orario,
l’altra in senso antiorario.
Successivamente, nel 1837 venne scoperto dai fratelli Bravais che in alcuni vegetali, le
foglie più giovani avanzano lungo una circonferenza formando un angolo pressappoco
costante, prossimo a 137,5°. Esso venne denominato “angolo aureo” perché corrisponde
all’angolo minore in cui l’angolo giro viene diviso secondo il rapporto aureo.
Analogie di questo tipo sono rintracciabili nella
disposizione dei petali nella rosa e in quella dei semi
nel girasole, nonchè nei germogli di alcune piante
che utilizzano lo spazio nel modo più efficiente
proprio se separati da angoli aurei.
Osservando per esempio l’inflorescenza del
girasole, è possibile notare la presenza di due famiglie
di spirali nella disposizione dei semi, che si avvitano in
senso orario e antiorario. I numeri di spirali delle due
famiglie tendono a essere numeri consecutivi di
Fibonacci, perciò il loro rapporto si avvicina a quello
aureo.Non bisogna comunque dimenticare che le
regole della fillotassi non valgono in ogni circostanza,
in quanto possono venire sconvolte da anomalie
ambientali e interventi esterni. Si tratta piuttosto, per
usare le parole del matematico canadese Harold
Coexeter, di “affascinanti e prevalenti tendenze”.
La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle
immense spirali galattiche, sembra che essa abbia scelto quest’armoniosa figura come
proprio ornamento preferito.
Per esempio, proprio in relazione alla definizione di Cartesio, è
possibile spiegare la ragione che spinge il falco pellegrino a
raggiungere la sua preda con una velocità di 300 km/h, seguendo
una traiettoria che coincide con la spirale logaritmica. Il suo
apparato visivo, con i due occhi posti lateralmente, ha la possibilità
di non perdere di vista la preda e nel contempo di tenere la testa
diritta massimizzando la velocità, proprio grazie alle proprietà
equiangolari di tale spirale.
Un altro esempio lo si può ritrovare nella conchiglia del
Nautilus, piccolo mollusco la cui “dimora” col passare del
tempo aumenta in grandezza, costruendo camere
sempre più spaziose, seguendo la forma della spirale
logaritmica: ogni nuova crescita viene realizzata con
aggiunta di materiale che si trova a 137,5° da quello
precedente, se consideriamo il guscio paragonato a una
circonferenza. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione cosicché
la figura del guscio rimane immutata.
Anche per mammiferi la crescita delle
corna (nell’ariete e nel montone), delle
zanne (ad esempio degli elefanti), degli
artigli e delle code di alcune specie,
segue lo stesso principio di crescita
delle conchiglie dei gasteropodi, anche
se questa si sviluppa su più piani e non
sempre sul medesimo.
Ancor più stupefacente è il fatto che questa figura si trovi in quei “sistemi di stelle riunite
insieme su un piano comune, come quelle della Via Lattea”, attorno ai quali il filosofo
Immanuel Kant (1724-1804) ragionò a lungo. Tali formazioni sono gigantesche galassie
formate da centinaia di miliardi di stelle simili al nostro Sole. Esse presentano braccia
arcuate che iniziano vicino al centro galattico e si protendono all’esterno attraversando
gran parte del disco, seguendo un andamento corrispondente proprio alla spirale aurea.
Molte forme naturali mostrano la loro
struttura a spirale logaritmica, come
cicloni e uragani. In figura si vedono
venti
e
correnti
d’aria
che
scontrandosi tra loro generano
interferenza e vortici a forma di spirale
aurea.