DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI Simboli

DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI
Simboli usati per le derivate:
d
f ( x) :
dx
"derivata di effe rispetto a x" o "de effe su de x"
f'x ( x ) "effe primo di x" o " effe primo rispetto a x"
Equivalentemente :
dy
o y'x
dx
Derivate di funzioni elementari e relativi esempi:
– Derivata di una costante:
( k) = 0
Esempio : ( 7 ) x = 0
'
'
x
– Derivata di potenze della variabile x:
( xn ) x
'
= nx n-1 ;
a) ( x ) x =
'
e)
(x
(x
(x
(x
f)
(
f)
(
g)
(
3
h)
(
4
b)
c)
d)
2
3
4
5
)x
'
)x
'
)x
'
)x
'
( x1 ) x
'
Esempi :
= 1x 1-1 = 1x 0 = 1
= 2x 2-1 = 2x 1 = 2x
= 3x 3-1 = 3x 2
= 4x 4-1 = 4x 3
= 5x 5-1 = 5x 4
1
'
)x
1 2 -1
1 - 12
1
 1
=  x2 ÷ =
x
=
x
=
2
2
2 x

x
x3
)
3 2 -1
3 12
3
 3
=  x2 ÷ =
x
=
x =
2
2
2 x

x
x
2
)
x
7
x
'
'
x
'
)
x
'
x
'
3
'
2
2 3 -1
2 − 31
2
 2
=  x3 ÷ =
x
=
x
=
3
3
33 x

x
'
7
7 4 -1
7 43
7
 74 
= x ÷ =
x
=
x =
4
4
4

x
4
x3
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-1\8
'
(
)
'
1
-1
x
= -1x-1-1 = -x-2 = - 2
x
x
'
'
1 
2

l)  2 ÷
= x-2
= -2x-2-1 = -2x-3 = - 3
x
 x x
x
'
'
1 
3

m)  3 ÷
= x-3
= -3x-3-1 = -3x-4 = - 4
x
 x x
x
'
3
7
 -3 
'
- -1
 1 

÷
3
n) 
= x 4÷ = - x 4
= -3x 4 = ÷
4 3
4
 x x

÷

x
 1
i)  ÷
=
 x x
(
)
(
)
4
3
x7
– Derivata di esponenziale e di logaritmo:
'
'
= a x × Log ea ; Se a = e si ha : ( e x ) x = e x ;
'
Esempio : ( 10 x ) x = 10 x × Log e 10
'
'
1
1
( Log a x ) x = xLog a ; Se a = e : ( Log e x ) x = x
e
'
1
Esempio :
Log x
=
3 x
xLog e 3
( ax ) x
(
)
Derivata della somma di funzioni:
'
'
'
+ g ( x)]x = [f ( x)]x + [g ( x) ]x
Esempi :
'
'
'
 4x 2 + 5x 3 
=  4x 2  +  5x 3 
= 8x + 15x 2

x

x

x
'
'
'
3
 3 + 10 x 
-1


= 3x
+  e x  x = -3x-2 + e x = - 2 + e x
 x
 x

x
x
1 '

'
'
3
 -2Log e x + 3 x 
=

 x =  -2Log e x  x +  x 

 x
2
1
1 -3
2
1
= -2
+
x
= +
3
x
3
x
3 x2
[f ( x)
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-2\8
- Derivata del prodotto fra numero e funzione:
'
× f ( x)]x = k
'
 3 × x2 
= 3 ×

x
[k
'
× [f ( x) ]x
; Esempio :
'
 x2 
= 3 × [ 2x ] = 6x

x
- Derivata del prodotto fra due funzioni:
[f ( x)
'
'
'
× g ( x ) ] x = [ f ( x ) ] x [ g ( x ) ] + [ f ( x ) ] [ g ( x ) ] x ; Esempi :
'
'
'
 x 3 × 2 x  =  x 3   2 x  +  x 3   2 x  = 3x 2 2 x + x 3 2 x Log e 2

x

x
 x 
  
'
'
'
 Log e x × x 2  x = [ Log e x ] x ×  x 2  + [ Log e x ] ×  x 2  x =
1
=
× x 2 + Log x × 2x = x + 2x × Log e x
x
e
- Derivata del quoziente fra due funzioni:
'
'
'
 f ( x) 
[f ( x) ]x [g ( x) ] - [f ( x) ] [g ( x)]x
=


2
 g ( x)  x
[g ( x)]
;
La formula si applica per funzioni derivabili e g ( x ) ≠ 0
Esempio 1 :
'
'
'
 x 2 + 1  x [ 3x - 1] -  x 2 + 1  [ 3x - 1] x
 x + 1
=
=
 3x - 1 
2

x
[ 3x - 1]
2
=
=
[ 2x ] [ 3x - 1] -  x 2 + 1  [ 3 ]
6x 2 - 2x - 3x 2 - 3
=
=
2
2
3x
1
3x
1
[
]
[
]
3x 2 - 2x - 3
2
[ 3x - 1]
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-3\8
Esempio 2 :
'
'
'
 x 4  x  x 2 - 1  -  x 4   x 2 - 1  x
 x4 
=
2
 x2 - 1 =
2

x
 x - 1 
 4x 3   x 2 - 1  -  x 4  [ 2x ]
4x 5 - 4x 3 - 2x 5
2x 5 - 4x 3
=
=
=
2
2
2
 x 2 - 1 
 x 2 - 1 
 x 2 - 1 
Esempio 3 :
'
 2x + 1 

x  x
=
'
'
[ 2x + 1] x  x  - [ 2x + 1]  x  x
=
=
 x


2 x - [ 2x + 1]
x
x -
1
2
2 x -
2 x =
x x
1
2 x =
1
2 x = 2x - 1
x
2x x
- Derivata della funzione reciproca.
Si ottiene la formula da quella della derivata del
quoziente sostituendo al numeratore il numero uno:
'
'
'
 1 
[ 1 ] x [ g ( x ) ] - [ 1] [ g ( x ) ] x
=


2
 g ( x)  x
[g ( x)]
'
'
 1 
[g ( x)]x
=


2
 g ( x)  x
[g ( x)]
;
'
[ 1] x
= 0
; Deve essere g ( x ) ≠ 0;
'
 x2 + x 
1



 x = - 2x + 1
esempio :  2
=
2
2
 x + x  x
 x2 + x 
 x2 + x 




'
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-4\8
- Derivata di funzione di funzione (composta):
Si consideri una funzione il cui argomento (variabile
principale Z) è a sua volta una altra funzione di(variabile finale
X) ed entrambe le funzioni siano derivabili nei loro domini:
la derivata è data dal prodotto della derivata della funzione
rispetto alla variabile principale per la derivata di questa
rispetto alla variabile X.
y = f ( z ) , z = g ( x ) : y'x = y'z × z'x ; Esempi :
3
a) y = 2x 2 + 3
; z = 2x 2 + 3 , y = z3 :
(
)
(
)
2
'
'
'
3
2
2
2






yx = z
× 2x + 3
= 3z
× 4x = 12 2x + 3
x
 z 
x

 [ ]
b) y = x 3 - 2x ; z = x 3 - 2x , y = z :
'
'
3x 2 - 2
 1   2
'
3





y x =  z  × x - 2x
= 
× 3x - 2 =
z 
x

 2 z  
2 x 3 - 2x
1 2x+1
1 z
c) y =
e
; z = 2x + 1; y =
e ;
2
2
'
1 z
1 z
'

'
yx =
e
× [ 2x + 1 ] x =
e × 2 = e 2x+1
 2
 z
2
d) y = Log e x 2 - 2x ; z = x 2 - 2x ; y = Log e ( z )
'
'
 1  × 2x - 2 = 2x - 2
y'x =  Log e ( z )  z  x 2 - 2x 
=
]
 z  [

x
x 2 - 2x
(
)
(
e) y = 3 x 2 + 1
)
2
; riscriviamo y =
(
2
2
3
x + 1
;
)
quindi poniamo come variabile principale : z = x 2 + 1
2
3
e, di conseguenza, y = z ; infine, come negli altri esempi,
applichiamo la formula : y'x = y'z × z'x
2 '
'

 2 -1 
'
2
3
yx =  z  ×  x + 1 
=  z 3  × [ 2x ] =

x

 z
 3

4x
 2 
=  3  × [ 2x ] =
3
3 z
3 x2 + 1
(
)
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-5\8
- Esercizi da svolgere sul calcolo delle derivate.
Derivate di somme, prodotti e quozienti:
1) y =
1 3
x - 2x 2 + 5x - 4 ;
3
2) y = 2 x +
3 2
x ;
 S. y'x = x 2 - 4x + 5 



'
 S. y x =

3) y =
( x 2 - 1 ) × ( x3 + 1 ) ;
4) y =
( 2x3 - 3x + 7 ) × ( x5 ) ;  S. y'x
5) y = ( 3x + 1 ) × Log e x
x2
6) y =
;
4x 2 + 3
x 5 + 8x
7) y =
;
x + 1
8) y =
Log e x - 1
x2
9) y =
1
;
- 3x
x2
2
10) y =
;
3
x + 1
1
x
2 

3 2
3 x 
+
 S. y'x = 5x4 - 3x 2 + 2x 


;  S.

= 16x7 - 20x 5 + 35x4 

3x + 1 
y'x = 3Log e x +

x

 S. y'x =




2
+ 3 ) 
6x
( 4x 2

4x 5 + 5x 4 + 8 
'
 S. y x =

2
( x + 1)


 S. y' = 3 - 2Log e x 
x


x3

 S. y'x =



 S. y'x =


-2x + 3 

2
2
( x - 3x ) 


2
+ 1 ) 
-6x 2
( x3
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-6\8
-
Derivate di funzioni composte:
1) y =
(x
2) y =
(
3
 S. y' = 3 ( x + 2 ) 2 
x


;
)
x2 - 1
1
2


'
 S. y x =

;
2
e x -2x
;
x3
5) y = 10 3
;
(


x

2
x - 1 
 S. y' = e x 2-2x ( x - 1 ) 
x


3
 S. y' =

x

3x + 1 
)
1
x + 1 

Log e x 2 + 2x ;  S. y'x =

2

x 2 + 2x 
8) y =
9) y =
)
x3


'
2
3
 S. y x = x × 10
× Log e 10 




6) y = Log e ( 3x + 1 ) ;
7) y =
(
4
3


2
'
2
2x - 3x + 1 ;  S. y x = 4 2x - 3x + 1 ( 2x - 3 ) 
3) y =
4) y =
+ 2)
(
( 2x
- 3)
x +
x
 x + 1
10)y = 
÷
 x - 1
)
3
2
;
 S. y'x = 3 2x - 3 


;
 S. y'x = 2x + 3 x + 1 


;

4 ( x + 1) 
'
 S. y x = 3 

( x - 1 ) 
2
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-7\8
-
Derivate successive:
Le derivate successive alla prima sono
semplicemente le derivate delle derivate:
Esempio : calcolo delle derivate seconda e terza
della funzione : y ( x ) = 2x 3 - 3x 2 + x + 1
Derivata prima :
y'x = 6x 2 - 6x + 1
Derivata seconda :
y''
x = 12x - 6
Derivata terza :
y'''
= 12
x
Esercizi: calcola le derivate seconde e terze:
1) y = 4x - x 3  S. y''
 S. y''
x = -6x  ; 2) y = ( x + 1 )
x = 6 ( x + 1 ) 
1 
3x
3x
 S. y''

3) y = Log e x  S. y''
x = x = 9e
2  ; 4) y = e
x 

3
– Derivata di funzione inversa:
La derivata della funzione inversa di una
funzione invertibile è data semplicemente dal
reciproco della derivata della funzione:
Esempio 1 : calcolo della derivata della funzione
inversa della y = x 3 : x'y =
1
1
1
=
=
2
y'x
3x 2
3 3y
(
)
Esempio 2 : calcolo della derivata della funzione
inversa della y = e 2x : x'y =
1
1
1
=
=
2y
y'x
2e 2x
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-8\8