5. Il moto rettilineo uniforme

5. Il moto rettilineo uniforme
In quale condizone il moto di una particella si dice “uniforme”?
Si dice che un punto materiale si muove di moto uniforme quando esso si sposta
percorrendo spazi uguali in tempi uguali.
In un moto uniforme pertanto, qualunque sia la lettura di orologio ti alla quale si
decide di far iniziare l’intervallo t , lo spostamento corrispondente s ha sempre lo
stesso valore, una volta che si è fissato t . E se si raddoppia l’intervallo temporale
raddoppia pure lo spostamento, se lo si triplica o lo si dimezza, si triplica o si
dimezza anche s . In un moto uniforme la velocità media sarà quindi la stessa
per ogni intervallo t quale che sia la lettura d’orologio t da dove inizia, e
coinciderà con la velocità istantanea v . Dalla definizione di velocità media abbiamo:
vm  v 
s f  si
s

t
t f  ti
 La Controfisica
Il filosofo greco Zenone propose un
paradosso secondo cui una freccia non
raggiunge mai il bersaglio, dato che
dopo aver percorso metà del tragitto,
deve fare ancora metà del rimanente, e
poi procedendo di metà in metà le ci
vorranno infiniti passi. Tuttavia, per
fare infiniti passi, non necessariamente
occorre un intervallo di tempo
infinito. Se infatti i passi sono sempre
più brevi, ma la velocità è uniforme,
ognuno durerà la metà del precedente,
e la somma di pezzi sempre più piccoli
produce un valore finito, cioè quello
del tempo totale di percorrenza.
Il moto uniforme può avere luogo su qualsiasi traiettoria, un caso particolare si ha
quando questa è rettilinea, e si dice allora che il moto è rettilineo uniforme.
Come possiamo semplificare questa notazione per il moto rettilineo uniforme?
Assumiamo che la lettura d’orologio iniziale sia ti  0 s . Visto che siamo lungo
una retta, indichiamo semplicemente con x , anziché con s f , la posizione ad
un generico istante successivo, ed indichiamo con t anziché t f le successive
letture d’orologio. Sia inoltre x 0 la posizione iniziale. Abbiamo allora:
v
x  x0
t
Da tale espressione possiamo ricavare una relazione che esprime la posizione x
in funzione del tempo t trascorso a partire dall’istante iniziale
x (t )  x 0  vt
Una relazione che esprime una grandezza fisica in funzione del tempo si dice
legge oraria. Quella sopra è pertanto la legge oraria dello spostamento per il
moto rettilineo uniforme: essa fornisce la posizione del punto materiale lungo la
retta ad ogni lettura d’orologio t . Su di una traiettoria curva scriveremo
analogamente s(t )  s 0  vt .
Esempio 30
Un ciclista si trova su di una strada rettilinea a 500 m da casa sua e procede
verso il centro del paese, che dista 800 m dalla sua posizione, pedalando ad
una velocità istantanea costante di 4.00 m/s . Quanto dista da casa quando è
21
8.00m/s
0
4.00m/s
x 0 500 m
1300 m
x
trascorso un minuto? Quanto tempo dopo giunge a destinazione? Se
contemporaneamente parte anche la moglie del ciclista dalla loro casa sempre
verso il centro del paese, pedalando ad una velocità costante di 8.00 m/s , dopo
quanti secondi lo avrà raggiunto? A quale distanza da casa si incontrano?
Contrassegniamo il ciclista con 1 e la moglie con 2. Scriviamo la legge oraria
per la posizione del ciclista:
x1 (t )  x 0  vt  500  4.00t
Troviamo la sua posizione dopo 60.0 s semplicemente sostituendo questo
valore del tempo:
x1 (60.0 s)  (500  4.00  60.0) m  740 m
Imponiamo che la sua posizione sia x  1300 m e ricaviamo il tempo che gli
occorre per arrivare:
1300  500
1300 m  500  4.00t  t 
 200 s
4.00
Scriviamo la legge oraria per la posizione della moglie, per la quale risulta
x 0  0.00 m
x 2 (t )  x 0  vt  8.00t
Nell’istante in cui la moglie raggiunge il ciclista le loro posizioni sono uguali,
cioè x1 (t )  x 2 (t ) . Imponiamo tale condizione per trovare il tempo d’incontro e
risolviamo rispetto a t :
500
s  125 s
8.00  4.00
Per avere la loro distanza da casa scegliamo una delle due leggi orarie ed
inseriamo il valore trovato, che verrà uguale nei due casi, come abbiamo
imposto:
x1 (125 s)  (500  4.00  125) m  1000 m x 2 (125)  (8.00  125) m  1000 m
x1 (t )  x 2 (t )
vS 10 m/s
0.0 m
vA
vG 7.0 m/s
x m
x0  ?
vB
150km
600km
0.00km
x

500  4.00t  8.00t

t
Esempio 31
Giulia e Stefano decidono di fare una gara con i motorini. Stefano si muove con
una velocità costante vS  10 m/s mentre Giulia con una velocità costante di
vG  7.0 m/s . Dato che il motorino di Stefano è più veloce, egli decide di dare a
Giulia un vantaggio partendo 5.0 s dopo di lei. Ce la farà Stefano a superare
Giulia prima di aver percorso 100 m ? Quanti secondi gli occorrono per
raggiungerla?
[R: no; 12 s ]
Esempio 32
Un’automobile parte da Roma verso Alessandria con una velocità costante vA e
contemporaneamente un’altra parte da Alessandria verso Roma con velocità
costante vB . Si sa che dopo 50 min la prima dista da Roma 90.0 km e che dopo
y m
vU 13.0m/s
vP 300 m/s
x ?
x m
67 min la seconda dista da Alessandria 110 km . Assumendo che la distanza
Roma-Alessandria sia 600 km , dopo quanto tempo la distanza fra le due auto è
di 150 km ? Risolvere utilizzando ore e chilometri con tre cifre significative.
[R: 2.18 h ]
Esempio 33
Un cacciatore prende di mira verticalmente un uccello che si muove con
velocità costante vU  13.0 m/s volando all’altezza di 31.5 m . Supponendo che
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i pallini salgano con una velocità costante vP  300 m/s , calcolare di quanti
metri l’uccello deve distare dalla verticale al momento dello sparo.
[R: 1.37 m ]
xB m
vB
Esempio 34
Due corridori partono in direzioni perpendicolari con velocità costanti
vA  5.0 m/s e vB  7.0 m/s . Dire quanti secondi occorrono affinché la loro
distanza sia 100 m .
d
x A m 
[R: 10.9 s ]
vA
Esempio 35
Un treno lungo d attraversa completamente una stazione lunga 500 m in un
tempo di 20 s . Sapendo che gli occorrono 5.0 s per passare il semaforo, si
trovino il valore di d e la velocità del treno. Suggerimento: si scriva la legge
oraria della punta P del treno.
[R: 167 m ; 33.3 m/s ]
P
v
x
Esempio 36
Due treni lunghi 150 m , che marciano in senso opposto, impiegano 15 s per
attraversarsi. Sapendo che la velocità del secondo è doppia di quella del
primo, calcolarle entrambe.
[R: 20 m/s ]
Esempio 37
Due treni, A e B, entrambi lunghi d , che marciano nello stesso senso,
impiegano 30 s per attraversarsi. Sapendo che A ha una velocità di 25 m/s e
che B viaggia davanti ad esso con una velocità pari ad 1/ 3 di questo valore, si
dica quanto sono lunghi i treni.
[R: 250 m ]
Qual è il significato grafico della velocità nel moto uniforme?
Come sappiamo la velocità media vm vin questo caso coincide con la velocità
posizione x
istantanea v . La legge oraria dello spostamento per il moto rettilineo uniforme,
x  x 0  vt , riportata in un diagramma cartesiano posizione-tempo, con la
coordinata di posizione x sulle ordinate ed il tempo t sulle ascisse, è rappresentata
da una retta. Infatti la retta è il solo luogo di punti dove sia costante il rapporto
x / t . La costanza di questi rapporti implica infatti che tutti i triangoli rettangoli
di base t ed altezza x debbano essere simile, e quindi che l’angolo fra
l’ipotenusa ed il cateto orizzontale sia sempre lo stesso, cosa che avviene solo se tutte
le ipotenuse sono segmenti staccati sulla medesima retta. Quando il punto si
allontana verso le ascisse positive si ha v  x / t  0 e la retta ha una pendenza
positiva, cioè al crescere della variabile t cresce la variabile x , viceversa se
v  x / t  0 il punto si allontana verso le ascisse negative e la retta si dice che
ha pendenza negativa.
Esercizi
sull’interpretazione grafica
23
v0
x
x0
t
tempo t
t
v 0
x
vS 10 m/s
0.0 m
vG 7.0 m/s
x0  ?
x m
Esempio 31
Per poter confrontare le due posizioni debbo utilizzare lo stesso istante iniziale,
che sarà quello in cui parte Stefano. Dovremo allora scrivere due volte la legge
oraria per Giulia, la prima volta solo per calcolare lo spazio percorso durante il
tempo di vantaggio, facendola partire da x 0  0.0 m :
xG (t )  x 0  vt  7.0t
t  5.0 s

xG (5.0)  7.0  5.0  35 m
La seconda volta iniziamo a contare i secondi dall’istante in cui parte Stefano,
ed ora la posizione iniziale di Giulia è 3.5 m :
xG (t )  x 0  vt  35  7.0t
Scriviamo quindi la legge oraria di Stefano:
x S (t )  x 0  vt  10t
I due amici s’incontrano quando x S (t )  xG (t ) :
35
 12 s
10  7.0
quindi Stefano raggiunge Giulia dopo 5.0 s  12 s  17 s . Nella durata di 12 s
x S (t )  xG (t )

10t  35  7.0t

t
Stefano ha percorso:
x S (12)  10  12 m  120 m
quindi raggiunge Giulia dopo i 100 m .
vA
150km
vB
600km
0.00km
Esempio 32
Calcoliamo il valore delle velocità delle due auto in km/h :
50 min  (50 / 60) h  0.833 h
67 min  (67 / 60) h  1.12 h :
x
vA 
90.0 km
90.0 km

 108 km/h
50 min
0.833 h
vB 
110 km 110 km

 98.2 km/h
67 min
1.12 h
Scriviamo la legge oraria della due auto, tenendo conto che la velocità
istantanea di B è negativa poiché si muove contro il verso scelto come positivo:
x A (t )  x 0  vt  108t
x B (t )  x 0  vt  600  98.2t
Imponiamo che la distanza fra di loro sia x B (t )  x A (t )  150 km :
x B (t )  x A (t )  600  98.2t  108t  600  206t
600  150
600 km  206t  150 km  t 
h  2.18 h
206
y m
Esempio 33
Scriviamo la legge oraria del proiettile, adoperando la y come si fa per i moti
verticali ed assumendo che parta da terra, dove y 0  0.00 m :
y(t )  y 0  vt  300t
vP 300 m/s
Imponendo che la quota sia 31.5 m si trova il tempo che occorre al proiettile
per raggiungere l’altezza dell’uccello:
31.5
x  ? x m
y(t )  300t  31.5 m  t 
s  0.105 s
300
vU 13.0m/s
42
Scriviamo ora la legge oraria dell’uccello assumendo che sia x 0  0.00 m
nell’istante in cui parte lo sparo:
x (t )  x 0  vt  13.0t
Sostituendo al posto del tempo il valore 0.105 s trovato sopra si trova lo spazio
che l’uccello percorre dal momento in cui parte lo sparo:
x (0.105)  13.0  0.105 m  1.37 m
e questa è proprio la distanza dalla verticale alla quale deve stare l’animale nel
momento in cui parte il colpo se si vuole fare centro.
Esempio 34
Scriviamo le leggi orarie prendendo le rette di riferimento in modo che partono
entrambi da posizioni iniziali nulle:
x A (t )  x 0  vt  5.0t
x B (t )  x 0  vt  7.0t
la loro distanza d si calcola attraverso il teorema di Pitagora:
2
d 2  x A2  x B2  5.0t 2  7.0t   84t 2
Imponendo che sia d  100 m e scartando la soluzione che produce un tempo
xB m
vB
d
x A m 
negativo, in questo caso privo di significato fisico, si ha:
84t 2  1002

t 
2
100
s
84

Esempio 35
Scriviamo la legge oraria della punta del treno, assumendo di iniziare a contare
i secondi nell’istante in cui inizia a passare davanti al semaforo, dove mettiamo
la posizione 0.0 m :
x (t )  x 0  vt  vt
Quando tutto il treno ha attraversato il semaforo la sua punta si trova nella
posizione x (5.0 s)  d , da cui sostituendo si trova:
d
x (5.0 s)  v  5.0 s  d  v 
5.0 s
Ripetiamo il ragionamento ponendo ora la posizione 0.0 m all’istante 0.0 s
proprio dove inizia la stazione. Quando l’avrà oltrepassata tutta la sua punta
sarà nella posizione x (20 s)  500  d . Imponiamo questa condizione nella
legge oraria:
x (t )  x 0  vt  vt

vA
t  10.9 s
P
0.0 m
mentre per la velocità: v  (167 / 5.0) m/s  33.3 m/s
Esempio 36
Indichiamo con vA e vB i valori assoluti delle velocità dei due treni. Scriviamo
la legge oraria della coda del treno A e quella della coda del treno B:
x A (t )  x 0  vt  0  vAt
43
x
P
x 0.0m
v
x d
x
P
x (20 s)  v  20 s  500 m  d
ma abbiamo già trovato che v  d / 5.0 s . Sostituendo otteniamo:
d
(20 s)v 
 20 s  500 m  d
5.0 m
 20 s

500
d 
 1  500 m  d 
m  167 m
 5.0 s

(20 / 5.0)  1
v
x
x 0.0m
P
x 0.0m
x 500 d
vB
vA
x B (t )  x 0  vt  300  vB t  300  vB t  300  2vAt
x  300 m
0.0 m
vB
treni per attraversarsi, si ha x A (15 s)  x B (15 s) :
x A (15)  x B (15)
vA
x 2d
vB
vA
15vA  300  30vA

vA 
300
m/s  20 m/s
15
Indichiamo con vA e vB i valori assoluti delle velocità dei due treni. Scriviamo
vB
vA

Esempio 37
x A (15 s)x B (15 s)
0.0 m
Come si vede dalla figura (visione dall’alto), trascorsi i 15 s che occorrono ai
la legge oraria della coda del treno A e della punta del treno B iniziando a
contare i tempi dall’istante in cui A inizia ad attraversare B e ponendo la
posizione iniziale di A come riferimento:
x A (t )  x 0  vt  0  vAt  25t
x B (t )  x 0  vt  2d  vB t  2d  25 t
3
Come si vede dalla figura(visione dall’alto), trascorsi i 30 s che occorrono ai
treni per attraversarsi, si ha x A (30 s)  x B (30 s) :
x A (30)  x B (30)

25  30  2d  25
3  30
x A (30 s)x B (30 s)
44

d
25  20
m  250 m
2