rr ⋅ rrr ∧= a r b r

Nome……………………Cognome……………………
15 Dicembre 2009
classe 3B
Verifica di fisica
Domanda n.1
Dai la definizione di velocità scalare istantanea ed indica il legame tra tale velocità e lo
spazio percorso. Specifica inoltre cos’è un moto uniforme.
Un corpo si muove di moto uniforme con vs=2 m/s sulla pista rappresentate in figura.
Sapendo che il corpo parte da A e si muove in senso antiorario, determina spazio
percorso e spostamento nei primi 14 secondi. Specifica l’angolo tra lo spostamento e la
direzione orizzontale.
30 m
10 m
A
Domanda n.2
Illustra il moto rettilineo uniforme, specificando equazione e grafico della legge oraria.
Un ciclista si muove di moto rettilineo uniforme secondo la seguente legge oraria: x = 100 − 7t
(espressa nel sistema internazionale) nel riferimento in figura. Determina i parametri caratteristici
del moto e rappresenta il grafico della legge oraria e della velocità in funzione del tempo. Il ciclista
raggiungerà il gelataio? Quando? E l’albero? Quando?
70 m
O
Domanda n. 3
Spiega cosa sono la legge oraria e la traiettoria di un punto materiale.
Una lumaca si muove sulla parete verticale in figura, secondo la legge oraria rappresentata:
x (mm)
3
2
1
-1
-2
-3
2
4
6
8
10
12
14
16
t (s)
Determina:
a) posizione e velocità iniziale
b) velocità nell’istante t=8 s
c) quando sale, quando scende e quando è ferma
d) lo spazio percorso nei primi 12 secondi
e) lo spostamento nei primi 12 secondi
Domanda n. 4
Considera i vettori rappresentati in figura di moduli uguali pari a 5 e determina:
r r
r r
r r
a) a + b
b) a − b
c) a ⋅ b
r r r
d) Il verso del vettore c = b ∧ a
r v
e) il modulo del vettore c − a
r v v
f) l’angolo tra il vettore c − a e a
Verifica di Fisica 3B 15/12/2009
r
b
60°
r
a
1
Soluzioni verifica 15 dicembre 3B
Domanda n.1
Dai la definizione di velocità scalare istantanea ed indica il legame tra tale velocità e lo spazio
percorso. Specifica inoltre cos’è un moto uniforme.
La velocità scalare istantanea è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo,
calcolato su un intervallo di tempo tanto piccolo da poter considerare l’andatura costante.
∆s
Utilizzando la scrittura di limite si ha: v s = lim
.
∆t →0 ∆t
vs
In tale grandezza non è contenuta alcuna informazione sulla direzione del
moto. La velocità scalare istantanea è funzione del tempo e dato il grafico è
possibile determinare lo spazio percorso calcolando l’area individuata
dall’asse delle ascisse, dalla curva della velocità stessa e dalle rette verticali
t = t1 e t = t 2 .
t
Quando la velocità scalare istantanea non cambia nel tempo, cioè l’andatura
è costante, il moto si dice uniforme.
Un corpo si muove di moto uniforme con vs=2 m/s sulla pista rappresentate in figura. Sapendo che
il corpo parte da A e si muove in senso antiorario, determina spazio percorso e spostamento nei
primi 14 secondi. Specifica l’angolo tra lo spostamento e la direzione orizzontale.
Trattandosi di un moto uniforme vs è costante, quindi lo spazio percorso si può calcolare
semplicemente: ∆s = v s ∆t = 28 m .
Rifacendo il disegno in scala, dopo 14 s il corpo occuperà la posizione B in figura.
Lo spostamento rappresentato avrà modulo (calcolabile con il teorema di Pitagora) pari a:
r
∆r = 10 2 + 18 2 = 20,6 m
v
Dalla trigonometria si ricava che l’angolo tra ∆r e la direzione orizzontale è:
 18 
θ = tan −1   ≈ 61°
 10 
30 m
B
18 m
A
10 m
Domanda n.2
Illustra il moto rettilineo uniforme, specificando equazione e grafico della legge oraria.
Il moto rettilineo uniforme è il moto più semplice, si tratta infatti di un moto con traiettoria rettilinea
ed andatura costante. Fissato come riferimento una retta orientata coincidente con la traiettoria e
fissata un’origine, la legge oraria del moto rettilineo uniforme è:
x = x0 + vt , dove
x0 = posizione iniziale
v = componente cartesiana della velocità.
Poiché la legge oraria è espressa da ua funzione di primo grado il suo grafico è
rappresentato da una retta che ha x0 come intercetta e v come coefficiente
angolare.
x
t
Un ciclista si muove di moto rettilineo uniforme secondo la seguente legge oraria: x = 100 − 7t
(espressa nel sistema internazionale) nel riferimento in figura. Determina i parametri caratteristici
del moto e rappresenta il grafico della legge oraria e della velocità in funzione del tempo.
I parametri caratteristici del moto sono:
posizione iniziale x0 = 100 m ,
componente cartesiana della velocità v = −7 m / s
Verifica di Fisica 3B 15/12/2009
2
Si hanno quindi i seguenti grafici:
x(m)
v(m/s)
15
100
10
5
80
t(s)
10
60
20
30
40
50
−5
−10
40
−15
20
−20
t(s)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110 120
−25
130
−30
Il ciclista raggiungerà il gelataio? Quando? E l’albero? Quando?
70 m
O
Il gelataio si trova nel punto di coordinata x=0, quindi quando x=0 il ciclista l’avrà raggiunto:
100
0 = 100 − 7t ⇒ t =
≈ 14,29 s
7
L’albero occupa il punto di coordinata x=70, quindi quando x=70 il ciclista l’avrà raggiunto:
30
70 = 100 − 7t ⇒ t =
≈ 4,29 s .
7
Domanda n. 3
Spiega cosa sono la legge oraria e la traiettoria di un punto materiale.
La legge oraria è la funzione che ad ogni istante t associa la posizione occupata dal corpo in un
r
r r
prefissato riferimento, cioè detto r il vettore posizione si ha r = r (t ) . La traiettoria è il luogo dei
punti occupati dal corpo durante i moto, si tratta cioè di una curva che, fissato il sistema di
riferimento, è esprimibile in genere attraverso un’equazione.
Una lumaca si muove sulla parete verticale in figura, secondo la legge oraria rappresentata:
x (mm)
3
2
1
-1
-2
-3
2
4
6
8
10
Verifica di Fisica 3B 15/12/2009
12
14
16
t (s)
3
Determina:
a) posizione e velocità iniziale
la posizione iniziale si legge direttamente dal grafico x(0) = 1 mm ,
la velocità iniziale è invece il coefficiente angolare del segmento che rappresenta la legge oraria
∆x 3 − 1
da 0 s a 3 s, cioè: v =
=
mm / s = 0,67 mm / s
∆t 3 − 0
b) velocità nell’istante t=8 s
la velocità nell’istante t=8 s è il coefficiente angolare del segmento che rappresenta la legge
∆x 0 − 5
oraria per esempio da 4 s a 12 s, cioè: v =
=
mm / s = − 0,63 mm / s
∆t 12 − 4
c) quando sale, quando scende e quando è ferma
ricordando che il segno della componente della velocità indica il verso del vettore velocità e
quindi del moto si ha che:
da t=0 s a t=4 s v>0 quindi la lumaca sale
da t=4 s a t=14 s v<0 quindi la lumaca scende
da t=14 s in poi v=0 quindi la lumaca è ferma.
d) lo spazio percorso nei primi 12 secondi
la lumaca parte da x=1 mm e sale fino ad x=5 mm percorrendo 4 mm verso l’alto, comincia poi a
scendere arrivando alla posizione x=0 mm (nell’istante t=12 s) percorrendo altri 5 mm verso il
basso. In totale, quindi nei primi 12 s lo spazio percorso è ∆s = 9 mm
e) lo spostamento nei primi 12 secondi
poiché la posizione in t=0 è x(0)=1 mm e in t=12 s è x(12)=0 mm, lo spostamento è il vettore di
componente ∆r = −1 mm , cioè un vettore di modulo 1 mm, verso il basso.
Domanda n. 4
Considera i vettori rappresentati in figura di moduli uguali pari a 5 e determina:
r r
a) Poiché si viene a formare un triangolo equilatero: a + b = 5
r
b
r r
a +b
60°
r
a
r
a
r
r r
−
b
b) Costruendo il vettore
e quindi a − b dalle relazioni trigonometriche si ricava che
r r
3
a − b = 2⋅5⋅
=5 3
2
r
b
c) Osservando che l’angolo tra i due vettori è 120° e ricordando la 60°
r r r r
r
definizione di prodotto scalare si ha: a ⋅ b = a b cos 120° = −12,5
a
r r
60° a − b
r
−b
d) Ricordando la regola della mano destra (da applicare dopo aver traslato i vettori in modo che
r r r
abbiano l’origine in comune) si deduce che il verso del vettore c = b ∧ a è uscente.
r r r
e) Dalla definizione di prodotto vettoriale si ricava che c = a b sin 120° ≈ 21,65 e il
r
vettore c è perpendicolare al foglio. I due vettori da sottrarre sono tra loro
Verifica di Fisica 3B 15/12/2009
r
−a
r
c
4
perpendicolari, il modulo si determina quindi con il teorema di Pitagora
r v
r2 r2
c − a = c + a ≈ 22,22
r
c
r
r
f) considerando il piano individuato da c ed a è possibile determinare l’angolo tra il
r v v
vettore c − a e a utilizzando le relazioni trigonometriche, infatti:
r
−1 c
α = tan r ≈ 77° , quindi l’angolo richiesto, che è il supplementare di α, è:
a
180°-77°=103°
r r
c −a
r
a
Verifica di Fisica 3B 15/12/2009
α
r
−a
5