I parte 02.07.13 - Dipartimento di Matematica

Prova di Matematica e Statistica - Prima Parte
c.l. in Biotecnologie - 2 luglio 2013
Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Es.1
Es.2
Es.3
Es.4
Es.5
(1) Sia f : Z → Z l’applicazione definita ponendo, per ogni x ∈ Z,

 x − 6 se x è multiplo di 3
f (x) =
3
2x + 1 altrimenti
Es.6
Tot
.
a) Si discuta se l’applicazione f è iniettiva.
b) Si discuta se l’applicazione f è suriettiva.
c) Si dica se esiste, e in caso affermativo si determini esplicitamente, una funzione g : Z → Z tale
che l’applicazione composta g ◦ f sia l’identità di Z.
1
(2) Si consideri la funzione reale di variabile reale
y = f (x) =
x − 2 −x
e .
x−3
Se ne studino: dominio, segno, limiti significativi, continuità, eventuali asintoti, derivabilità, crescenza,
eventuali massimi e minimi, grafico.
2
(3) Dopo aver calcolato il polinomio di Taylor di grado 5 di f (x) = ex − e−x nel punto x0 = 0, si
discuta al variare del parametro reale λ > 0 la convergenza dell’integrale generalizzato
Z 1
tg2λ x
dx.
x
−x
0 2x − e + e
3
(4) Si calcolino i seguenti integrali:
Z
a)
0
1
1
dx,
ex + e−x
Z
b)
1
dx,
sin x cos x
4
Z
c)
1
e
ln x
dx.
x3
(5) Sia f : R → R un’applicazione continua, e sia
1/x
Z
g(x) =
f (t) dt.
0
a) Si spieghi per quale motivo la funzione g(x) è infinitesima per x → +∞.
b) Si dimostri che lim x g(x) = f (0).
x→+∞
c) È vero che la funzione x g 0 (x) è infinitesima per x → +∞? Perchè?
5
(6) Un serbatoio cilindrico con sezione di base avente area pari a 1 dm2 contiene dell’acqua piovana
che raccoglie dalla sua sommità aperta. Dal fondo poroso esso perde una quantità d’acqua la cui
portata oraria è direttamente proporzionale al livello raggiunto al suo interno secondo una costante di
proporzionalità pari a 1/10. Sapendo che immediatamente prima dell’ultima pioggia esso conteneva
1 dm3 d’acqua, e che dopo 10 ore di pioggia il suo contenuto è divenuto pari a 2 dm3 d’acqua, stabilire
la portata media dell’acqua piovana entrata nel serbatoio durante le 10 ore di pioggia.
(Suggerimento: se y = y(t) esprime il volume d’acqua - espresso in dm3 - presente nel serbatoio al
tempo t - espresso in ore - e se p esprime la portata media dell’acqua piovana entrata nel serbatoio,
allora y 0 (t) = p − y(t)/10 - si spieghi perchè; risolvendo l’equazione differenziale e tenendo conto dei
dati iniziali e finali...)
6