TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE
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TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE Francesca Pelosi e Salvatore Filippone Università di Roma “Tor Vergata” Problemi di diffusione-reazione http://www.mat.uniroma2.it/∼pelosi/ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.1/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D Consideriamo il problema −εu00 + σu = 0, u(0) = 0, 0<x<1 u(1) = 1 dove ε, σ sono costanti positive Anche in questo caso definiamo il numero di Péclet globale per un dominio di ampiezza L σL2 Peg := 6ε misura quanto il termine di reazione domina su quello diffusivo. La soluzione esatta u(x) = e √σ x e √σ −e −e − √σ − √σ x p è prossima a zero q.o. tranne che in un intorno di x = 1 di ampiezza ε/σ p dove si raccorda a 1: strato limite di ampiezza O( ε/σ) con derivata p dipendente da σ/ε. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.2/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D la sua forma debole: trovare u ∈ H 1 (0, 1), con u(0) = 0, u(1) = 1: Z 1 (εu0 v 0 + σuv) dx = 0 ∀v ∈ H01 (0, 1). 0 Applichiamo il metodo di Galerkin con elementi finiti lineari su una mesh uniforme: Z 1 0 trovare uh ∈ H 1 (0, 1), : (εu0h vh + σuh vh ) dx = 0 ∀vh ∈ H01 (0, 1). 0 Introducendo una base per lo spazio si ha arriva alle equazioni ui−1 ε Z xi xi−1 con ϕ0i−1 ϕ0i + σ Z xi xi−1 Z xi ϕi−1 ϕi xi−1 h ϕi−1 ϕi dx = , 6 ! + ui ε Z +ui+1 ε Z xi+1 xi−1 Z xi+1 xi−1 (ϕ0i )2 + σ Z xi+1 xi ϕ0i+1 ϕ0i + σ 2 (ϕi )2 dx = h, 3 Z xi+1 ϕi ϕi xi−1 Z ! xi+1 ϕi+1 ϕi xi xi+1 ϕi+1 ϕi dx = xi =0 h 6 si ottiene: TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.3/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D h ε σ− 6 h ui−1 + 2 2ε hσ + 3 h ui + h ε σ− 6 h ui+1 = 0 Dividiamo per ε/h e definiamo il numero di Péclet locale σh2 Pe := 6ε (Pe − 1) ui−1 + 2(1 + 2Pe)ui + (Pe − 1) ui+1 = 0 equazione alle differenze di tipo lineare che assume soluzioni di tipo esponenziale della forma ui = ρi , risolvendo si ottiene: i i √ √ 1+2Pe+ 3Pe(Pe+2) 1+2Pe− 3Pe(Pe+2) − 1−Pe 1−Pe ui = N +1 N +1 √ √ 1+2Pe+ 3Pe(Pe+2) 1+2Pe− 3Pe(Pe+2) − 1−Pe 1−Pe Se Pe > 1 ⇒ al numeratore compare una potenza con base negativa quindi la soluzione approssimata risulta oscillante Il problema risulta critico quando σ/ 1 ovvero il coefficiente di diffusione è molto piccolo rispetto a quello di reazione. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.4/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: DF Se risolviamo con il metodo alle Differenze Finite (DF) discretizzando con DFC (differenze finite centrate): u0 (xi ) = u00 (xi ) = u(xi+1 ) − u(xi−1 ) + O(h2 ), i = 1, . . . , N 2h u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 ) 2 + O(h ), i = 1, . . . , N h2 si ottiene −ε ui+1 −2ui +ui−1 + σu = 0, i h2 u0 = 0, u =1 i = 1, . . . , N N +1 Si nota subito che l’equazione sopra è la diversa da quella ottenuta con EF lineari sulla stessa partizione di [0, 1]. Per problemi di diffusione-reazione DFC6=EF lineari. La soluzione ottenuta con DFC non presenta oscillazioni qualunque sia h. Si può ottenere lo stesso risultato con EF usando la tecnica del mass-lumping TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.5/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: mass-lumping Tecnica del mass-lumping Si considera la matrice di massa: M = [mij ], mij = Z 1 ϕj ϕi 0 nel caso di elementi finiti lineari essa risulta tridiagonale; viene approssimata con una matrice diagonale M L detta matrice condensata o lumped, approssimando gli integrali con la formula dei trapezi: Z Z xi ' h [ϕi−1 (xi−1 )ϕi (xi−1 ) + ϕi−1 (xi )ϕi (xi )] = 0 2 ϕ2i dx ' h 2 2 2 ϕi (xi−1 ) + ϕi (xi ) = h 2 ϕi+1 ϕi dx ' ϕi−1 ϕi dx xi−1 Z xi+1 xi−1 xi+1 xi h [ϕi (xi )ϕi+1 (xi ) + ϕi (xi+1 )ϕi+1 (xi+1 )] = 0 2 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.6/7 DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: mass-lumping Tecnica del mass-lumping la matrice ML risulta diagonale avente per elementi le somme degli elementi di ogni riga della matrice M ; Grazie alla partizione dell’unità X ϕj (x) = 1, j ∀x ∈ [0, 1] gli elementi di ML risultano m e ii = Z 1 ϕi (x) dx 0 La soluzione ottenuta sostituendo M con ML coincide con quella ottenuta con DFC, e dunque risulta stabile inoltre l’ordine di accuratezza non viene ridotto. La tecnica del mass-lumping è generalizzabile anche al bivariato per elementi finiti lineari. Per elementi finiti di grado superiore necessita di opportuni aggiustamenti. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.7/7