Sapienza - Universit`a di Roma Facolt`a di Ingegneria

Sapienza - Università di Roma
Facoltà di Ingegneria - A.A. 2012-2013
Analisi Matematica 2 - Secondo foglio di esercizi
a cura di Antonio Cigliola
Esercizio 1. Calcolare l’area della regione racchiusa tra i grafici delle funzioni f e g nell’intervallo indicato:
(i) f (x) = sin x e g(x) = cos x con x ∈ [ π4 , 34 π];
(ii) f (x) = xn e g(x) = xn+1 con x ∈ [0, 1] ed n ⩾ 1;
√
(iii) f (y) = y 2 e g(y) = 3 y con y ∈ [0, 1];
(iv) f (y) = − ln y e g(y) = −y + 3 con y ∈ [1, 4].
Esercizio 2. Determinare l’area della regione di piano racchiusa tra i grafici delle curve:
(i) xy = 2 e y + x − 4 = 0;
(ii) y − x3 = 0 e x − y 3 = 0;
(iii) y − 2x − 1 = 0, y + x − 4 = 0 e 4y − x − 2 = 0;
(iv) 2y = 5, y = ex + 2 e y = −ex−3 + 4;
(v) y = 2, y = 2x e y = 2−x−3 .
Esercizio 3. Utilizzando il principio degli indivisibili di Cavalieri, dimostrare la formula per il calcolo
dell’area del triangolo, del parallelogramma, del cerchio e dell’ellisse. Usando lo stesso principio dimostrare
la formula per il calcolo del volume del cono, del cilindro, della sfera e della piramide retta.
Esercizio 4. Utilizzando la formula per il calcolo del volume dei solidi di rotazione, calcolare il volume del
cono, del cilindro, della sfera, dell’ellissoide di rotazione (distinguendo il caso schiacciato ed il caso allungato),
del tronco di cono, del segmento sferico ad una base, del segmento sferico a due basi.
Esercizio 5. Sia S la regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni x = ey ed x = ln(y + 1) per
y ∈ [0, 2]. Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di S attorno all’asse y.
Sia T la regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = 2 sin(x) e l’asse x per x ∈ [0, π].
Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di T attorno all’asse x.
Sia U la regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = 2 sin(x) e l’asse x per x ∈ [ π2 , π].
Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di U attorno all’asse y.
Sia W il triangolo di vertici (0, 1), (0, 3) e (2, 2). Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione
di W attorno all’asse x.
Esercizio 6. Sia A la regione dei punti del piano di ascissa negativa appartenenti al cerchio di centro l’origine
e raggio 1. Si calcolino s
i seguenti integrali doppi
il dominio disintegrazione prima normale in
s considerando
y
x e poi normale in y:
xy
dx
dy;
dx
dy;
sin x cos y dx dy.
2
A (x +1)(y+2)
A
A
Esercizio 7. Sia B la regione del piano delimitata dalla parabola x = y 2 , dall’asse y e dalla retta y = 1. Si
calcolino i seguenti integrali doppi considerando il dominio di integrazione prima normale in x e poi normale
in y:
x
x
x
x
y
ex (1 + y) dx dy;
dx dy;
y arcsin x dx dy;
(x + y) ln(1 + x) dx dy.
1+x+y
B
B
B
B
2
2
Esercizio 8. Determinre il baricentro della regione E compresa tra l’ellisse di equazione x9 + y4 = 1 e dalla
circonferenza di raggio 1 e centro P (1, 0). Determinare il volume del solido ottenuto ruotando E attorno
alla retta y = 3.
Esercizio 9. Sia H la regione dello spazio definito dalle diseguaglianze 0 ⩽ x ⩽ 2y ⩽ 2 e 0 ⩽ z ⩽ y + 1.
Calcolare:
y
y
y
y
ex (1 + y)z dx dy dz;
xyz dx dy dz;
dx dy dz;
(x + y) dx dy dz.
H
H
H
H
Esercizio 10. Sia K la regione dello spazio delimitata dalla superficie cilindrica di raggio 1 ed asse di
simmetria l’asse z, dal piano xOy e dal piano di equazione x + y2 + z = 3. Calcolare:
y
y
y
y
(1 − y)zx dx dy dz;
x sin y dx dy dz;
dx dy dz;
z 2 exy dx dy dz.
K
K
K
K