Lezione 18 Ideali primi e massimali. Elementi primi ed irriducibili.

Lezione 18
Prerequisiti: Lezioni 14, 15, 16, 17.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.2; [H] Sezione 3.5, [PC] Sezione 4.5
Ideali primi e massimali. Elementi primi ed irriducibili.
In questa sezione, A indicherà sempre un anello commutativo unitario.
Estenderemo alcune nozioni date nell’anello degli interi all’anello A.
Definizione 18.1 Dati a, b ∈ A , si dice che a divide b (in simboli: a|b) se esiste x ∈ A tale che b =
ax.
Nota Equivalentemente, a divide b se b ∈ (a ) .
Definizione 18.2 Un elemento x non invertibile e non nullo di A si dice primo se, per ogni a, b ∈ A,
x | ab ⇒ x | a oppure x | b.
L’aggettivo “primo” si applica anche agli ideali:
Definizione 18.3 Un ideale proprio I di A si dice primo se per ogni a, b ∈ A,
ab ∈ I ⇒ a ∈ I oppure b ∈ I .
È possibile caratterizzare questa nozione in termini di anelli quoziente:
Corollario 18.4 L’ideale proprio I di A è primo se e solo se l’anello A/I è integro.
Dimostrazione: Basta osservare che la condizione della Definizione 18.3 si può riformulare,
equivalentemente, come segue: per ogni a, b ∈ A,
(a + I )(b + I ) = I ⇔ a + I = I oppure b + I = I .
Questa non è altro che la legge di annullamento del prodotto per l’anello A/I, in cui l’elemento zero
è I.
Osservazione 18.5 Essendo, in base all’Osservazione 14.5, A/(0) isomorfo ad A, segue che l’anello
A è integro se e solo se l’ideale (0) è primo.
Corollario 18.6 Sia x ∈ A un elemento non invertibile e non nullo. Allora
( x) è primo ⇔ x è primo.
Dimostrazione: In base alla Definizione 18.3, il primo membro dell’equivalenza significa che, per
ogni a, b ∈ A,
ab ∈ ( x) ⇒ a ∈ ( x) oppure b ∈ ( x).
Ma questa, alla luce della definizione di divisibilità in A, non è altro che la Definizione 18.2.
Esempio 18.7 Gli ideali primi non nulli di sono tutti e soli del tipo ( p ) = p , con p primo.
Dal Corollario 18.4 si deduce allora un risultato già noto dal corso di Algebra 1: l’anello
n = / n è integro se e solo se n è primo.
Introduciamo ora un altro tipo di ideale:
Definizione 18.8 Un ideale proprio I di A si dice massimale se non è contenuto in nessun altro
ideale proprio di A (è, cioè, massimale rispetto all’inclusione di ideali propri). Equivalentemente: gli
unici ideali di A contenenti I sono I ed A.
Esempio 18.9 L’ideale I = 2 di è massimale. Infatti, se J è un ideale di contenente I, allora
J = n per qualche numero naturale n tale che n | 2. Quindi n ∈ {1, 2} , ossia
J = oppure J = 2. È chiaro che un ragionamento del tutto analogo si applica ad ogni ideale
I = p , con p primo: questi ideali sono tutti massimali. Tale proprietà si generalizza: ciò seguirà
dai prossimi due risultati.
Proposizione 18.10 L’ideale I di A è massimale se e solo se A/I è un campo.
Dimostrazione: Per il teorema di corrispondenza per gli anelli (Teorema 15.6), l’ideale I è
massimale se e solo se gli unici ideali di A/I sono l’ideale nullo I/I = (0+I) e l’anello A/I stesso. Ma
ciò, in base al Corollario 14.9, equivale ad affermare che A/I è un campo. €
Esempio 18.11 Dato un campo K, l’ideale (x) di K[x] è massimale: infatti K [ x ] /( x ) ≅ K (perché?).
Corollario 18.12 Ogni ideale massimale è primo.
Dimostrazione: Se l’ideale I di A è massimale, allora A/I è un campo, quindi, in particolare, è un
anello integro, e dunque I è primo in virtù del Corollario 18.4.
Osservazione 18.13 In generale, non vale il viceversa del Corollario 18.12. Infatti l’ideale (0) di è primo (in base al Corollario 18.4 e all’Osservazione 18.5, perché è integro), ma non è
certamente massimale: basta notare che (0) ⊂ 2 ≠ . Un altro esempio è dato dall’ideale
principale ( x ) di [ x ] : è primo, perché [ x ] /( x ) è integro, però, in virtù della Proposizione
18.10, non è massimale, perché tale anello quoziente non è un campo. Vale però:
Proposizione 18.14 Se A è un dominio ad ideali principali, ed I è un suo ideale proprio diverso da
(0), allora I è primo se e solo se è massimale.
Dimostrazione: Basta verificare il “solo se”. Supponiamo che I sia primo, sia a ∈ A tale
che I = ( a ). Allora a ≠ 0. Sia J un ideale di A contenente I, sia b ∈ A tale che J = ( b). Allora
a ∈ (b), cioè esiste x ∈ A tale che a = xb. Quindi a | bx , e dunque, essendo a primo, segue che
a | b oppure a | x. Nel primo caso b ∈ ( a ) , dunque I = ( a ) = (b) = J . Nel secondo caso esiste
y ∈ A tale che ay = x. Allora xby = x , da cui, data l’integrità dell’anello A, ed essendo
x ≠ 0, segue che by = 1. Dunque b è invertibile, per cui, in base alla Proposizione 14.8, si ha che
J = A. €
Esempio 18.15 Gli ideali massimali di sono tutti e soli gli ideali p, con p primo. Gli ideali
massimali di K [ x ] , dove K è un campo, sono tutti e soli quelli del tipo ( f ( x )) , ove f ( x ) ∈ K [ x ] è
un polinomio irriducibile.
Generalizziamo ora un’altra nozione data nel corso di Algebra 1:
Definizione 18.16 Un elemento non invertibile e non nullo di A si dice irriducibile se, per ogni
a, b ∈ A
x = ab ⇒ a è invertibile oppure b è invertibile
Proposizione 18.17 Se A è un dominio ad ideali principali, allora per ogni elemento x non
invertibile e non nullo di A
x è irriducibile ⇒ (x) è massimale .
Dimostrazione: Sia x irriducibile e sia J = ( a ) un ideale contenente (x). Allora x = ab per un
opportuno b ∈ A . In base alla Definizione 18.16, ciò implica che a o b è invertibile. Nel primo caso,
secondo la Proposizione 14.8, J = A, nel secondo caso, in virtù del Lemma 17.5, si ha che J = (x).
Osservazione 18.18 Negli anelli e K[x], le nozioni di elemento primo e di elemento irriducibile
sono equivalenti. In generale, invece, nessuna delle due implicazioni vale.
x irriducibile
⇒
{
}
x primo: sia A = [i 5] = u + i 5v u , v ∈ , che è un sottoanello di (verificarlo!). Sia a ∈ [i 5] , a ≠ 0. Allora, nel campo , l’inverso di a è
a −1 =
a
a
2
,
che appartiene a [i 5] se a = 1.
2
2
2
Siano a, b ∈ A tali che 2 = ab. Allora, passando alla norma, 4 = 2 = a b . Ma non può essere
2
2
a = 2, oppure b = 2. Segue che uno tra a e b è uguale a 1. Ma allora uno tra a e b è
invertibile. Ciò prova che 2 è irriducibile. Però:
2 ⋅ 3 = (1 + i 5)(1 − i 5),
e
(
)
(
)
2 | 1+ i 5 , e 2 | 1− i 5 ,
perché
2
2
2
2 = 4 non divide 1+i 5 = 1-i 5 = 1 + 5 = 6.
Ciò prova che 2 non è primo.
x primo
⇒
x irriducibile: sia A = / 6. Allora l’elemento 2 + 6 è primo: infatti l’ideale
(2 + 6) = 2 / 6
è primo, in quanto, in virtù dell’Esercizio 15.9, l’anello quoziente
/ 6
≅ / 2 è integro. Però l’elemento 2 + 6 non è irriducibile: infatti è prodotto di
(2 / 6)
due elementi non invertibili:
2 + 6 = (2 + 6)(4 + 6)
Tuttavia, la seconda implicazione vale sotto un’ipotesi aggiuntiva:
Proposizione 18.19 Se A è integro, ed x ∈ A è un elemento non invertibile e non nullo, allora
x è primo ⇒ x è irriducibile .
Dimostrazione: Sia x primo, e siano a, b ∈ A tali che x = ab. Allora, in particolare, x|ab, e quindi,
per la Definizione 18.2, segue che x|a oppure x|b. Nel primo caso, esiste c ∈ A tale che xc = a.
Allora x = xcb, da cui, essendo A integro, segue che 1 = cb. Dunque b è invertibile. Analogamente,
nel secondo caso si deduce che a è invertibile. Ciò prova che x è irriducibile.
Proposizione 18.20 Se A è un dominio ad ideali principali, ed x ∈ A è un elemento non invertibile e
non nullo, allora
x è irriducibile ⇒ x è primo .
Dimostrazione: Basta ricordare che
x è irriducibile ⇒ (x) è massimale ⇒ ( x) è primo ⇒ x è primo.
18.17
18.12
18.6
Dalle Proposizioni 18.19 e 18.20 si conclude che, rispetto alle nozioni introdotte in questa sezione, i
domini ad ideali principali rivestono un ruolo privilegiato. Infatti:
Corollario 18.21 Se A è un dominio ad ideali principali, ed x ∈ A è un elemento non invertibile e
non nullo, allora
x è irriducibile ⇔ (x) è massimale ⇔ ( x) è primo ⇔ x è primo.