dallo spago nel deserto alle terne pitagoriche

DALLO SPAGO NEL DESERTO ALLE TERNE PITAGORICHE
discussione di classe – 2A Piandiscò
Il prof. introduce l'ambientazione: immaginiamo di trovarci in un deserto e di avere bisogno, per
qualche strano motivo, di costruire un angolo retto. Abbiamo a disposizione solamente un pezzo di
spago lungo circa un metro e mezzo. Come potremmo fare?
Inizia la discussione.
Tutti iniziano cercando di disporre lo spago in vari modi, utilizzando mani, piedi, braccia.
Alessio: Proviamo a costruire un quadrato.
Chiara: Metto lo spago sotto un piede e lo tiro su.
Vittoria: Mettiamo qualcosa di pesante in fondo allo spago.
Continuano a provare con dita, mani, piedi.
Martina: Io ho chiuso lo spago per cercare di fare una figura con un angolo retto.
Prof: Bene, questa è un'idea... chiudiamo tutti lo spago in modo da formare un anello. Quali figure
potremmo tentare di costruire?
Martina: Un triangolo rettangolo!
Christian e Lapo: Un trapezio rettangolo!
Prof: Vi ricordo che Alessio prima aveva detto “Un quadrato”. Quindi abbiamo più possibilità...
Intanto vi faccio notare che abbiamo spostato il nostro problema da “cercare di costruire un angolo”
a “cercare una figura che contenga l'angolo che vogliamo”. Su quale figura ci dirigiamo?
Qualcuno: Sul rettangolo...
Qualcuno: Sul quadrato!
Alessandro C: Sul triangolo! Ha meno lati e la si costruisce più facilmente.
Provano a costruire un triangolo rettangolo tenendo i vertici con bocca, mani, diti,...
Prof: Come facciamo a sapere che sicuramente c'è un angolo retto?
Noemi: Io l'ho misurato! (mostra un goniometro)
Vittoria: Ci mettiamo un altro spago e facciamo come quella volta...
Martina: ...con il filo a piombo!
Fanno riferimento ad una costruzione che avevamo utilizzato l'anno scorso per dimostrare che la
somma degli angoli interni di un triangolo è 180o.
Prof: Vi do' un aiuto. Anzi, ci facciamo aiutare dagli egiziani. Loro avevano scoperto che per essere
sicuri di fare un angolo retto dovevano dividere in 12 parti uguali il pezzo di spago... Provate.
Iniziano a lavorare con metro e nastro adesivo per dividere l'anello in 12 parti della stessa
lunghezza. Qualcuno fissa lo spago al banco e fa da solo, qualcun altro si fa aiutare dal compagno,
qualcuno chiede aiuto al prof. Ecco qualche foto:
Greta: Ma non potrei fare lo spago di 60 cm così è più facile dividerlo in 12 parti uguali?
Maria Elena: Io ho finito!
Piano piano finiscono tutti di costruire il proprio spago diviso in 12 parti...
Prof: Bene e a questo punto cosa ce ne facciamo?
Alessio: Dato che un triangolo ha tre lati si divide dodici per tre...
Prof: E così cosa otteniamo?
Vari alunni: Quattro segmenti per lato...
Cristian: Un triangolo isoscele!
Marco: Un rettangolo!
Qualcuno: Un triangolo equilatero!
Cristian: Allora proviamo con un lato di quattro, uno di cinque e uno di tre!
Provano a costruire il triangolo...
Tutti: Torna!!
Prof: Bene, quindi gli egiziani avevano capito che 3, 4 e 5 possono essere le misure dei lati di un
triangolo rettangolo. Diamo un'occhiata a questi tre numeri: che legame esiste tra loro?
Alessandro B: Sono uno dietro l'altro!
Lucilla: Sono numeri naturali!
Prof: Provate a fare delle operazioni...
Alcuni: La somma...
Tutti: Fa 12...
Qualcuno: Ma è logico...
Prof: Scusate, ma non conoscete altre operazioni?!
Noemi: La radice quadrata, la percentuale...
Alcuni: La moltiplicazione... La sottrazione
Lapo: Fa 60! (pensa alla moltiplicazione 3·4·5)
Lidia: Se faccio 3 + √4 viene 5!
Marco: L'elevamento a potenza!
Alessandro C: Se faccio 32 e 42...
Alessandro viene alla lavagna e scriviamo i quadrati dei tre numeri
32
9
42
16
52
25
Cristian: 25-16-9 fa zero!
Alessandro B: 16 + 9 fa 25!
Scopriamo, quindi, che fra questi tre numeri, che possono essere le misure dei lati di un triangolo
rettangolo, esiste un legame particolare:
32 + 42 = 52
Sul quaderno disegniamo un triangolo rettangolo coi lati di 3, 4 e 5 quadretti.
Prof: Secondo voi possono esistere altri numeri che hanno la stessa proprietà?
Cristian: 7, 8 e 9
Prof: Proviamo: 72 + 82...
Tutti: Non torna!
Greta: Allora 2, 3 e 4...
Qualcuno: No, non torna!
Lapo: 4, 5 e 6..
Qualcuno: Non torna....
Cristian: 1, 2 e 3...
Qualcuno: No...
Prof: Attenti...e se fossero tre numeri NON “uno dietro l'altro”?
Martina: Si potrebbero moltiplicare tutti per uno stesso numero!
Qualcuno: 6, 8 e 10!
Prof: Proviamo...
Sul quaderno proviamo a calcolare i quadrati di 6, 8 e 10 e a disegnare un triangolo rettangolo coi
lati di 6, 8 e 10 quadretti...
Tutti: Torna!!
Prof: Allora proviamo a moltiplicare per tre: otteniamo...
Tutti: 9, 12 e 15!
Facciamo ancora la prova sul quaderno.
Tutti: Sì, torna!
Prof: Bene, allora probabilmente non è un caso, siamo arrivati a scoprire insieme una regolarità...
Proviamo quindi a concettualizzare:
Se prendiamo tre numeri a, b e c per i quali vale il legame matematico
a2 + b2 = c2
allora tali numeri possono essere le misure dei lati di un triangolo rettangolo.
Vale anche il viceversa (che è il punto da cui eravamo partiti): tra le misure dei lati di un
triangolo rettangolo esiste la relazione matematica scritta sopra.
Una terna di numeri (naturali) che ha queste proprietà viene chiamata TERNA PITAGORICA.