IL CASO DELLE LOTTERIE A TOTALIZZATORE NAZIONALE 1

UN’ANALISI DEL SETTORE DEI GIOCHI IN ITALIA:
IL CASO DELLE LOTTERIE A TOTALIZZATORE NAZIONALE
CENTRO ARCELLI PER GLI STUDI MONETARI E FINANZIARI
LUISS GUIDO CARLI
OTTOBRE 2012
1. Introduzione
L’obiettivo principale di questo studio è quello di investigare le determinanti economiche
della domanda di giochi in Italia, restringendo l’attenzione alle lotterie a totalizzatore
nazionale (GNTN) che rappresentano il circa 4% del mercato e generano circa il 16% delle entrate
erariali complessive. Nel prosieguo di questo studio saranno messe in evidenza le differenze che distinguono le lotterie GNTN dalle altre lotterie (NON GNTN); tuttavia, vale la pena chiarire subito
che le vincite delle lotterie GNTN dipendono dal livello del montepremi che cresce nel tempo in
funzione della quantità di giocate, della frequenza delle vincite e, soprattutto, del payout, cioè della
quota di giocate che deve essere obbligatoriamente destinata alle vincite (ovvero, che viene sottratta
sia all’erario sia ai concessionari dei giochi)1.
In particolare, si è deciso di stimare la funzione di domanda per il Superenalotto ed il Superstar
utilizzando procedure econometriche già impiegate per studiare il mercato dei giochi in altri paesi 2:
coerentemente con le attese, la numerosità delle giocate nelle due lotterie oggetto dell’analisi è risultata essere correlata negativamente (e significativamente) al loro prezzo3, definito come la differenza
tra il costo della giocata (normalizzato ad 1 Euro) ed il valore atteso delle vincite4.
Poiché tale valore atteso, che sarà definito in modo dettagliato nell’appendice di questo documento,
dipende in modo cruciale dal payout e dal livello del montepremi, il risultato appena descritto si
1
Nel caso delle lotterie GNTN il payout viene stabilito dai regolamenti su cui si basano le concessioni governative.
Per esempio, si vedano i contributi di Suits (1979), Farrell et al. (1999), Forrest et al. (2002).
3
Questo risultato è robusto rispetto a molte specificazioni del modello da stimare e non varia qualitativamente al variare
degli intervalli temporali considerati. E’ ovvio, però, che l’intensità della correlazione non è costante nel tempo.
4
Per evitare ogni possibile confusione con il costo o prezzo della singola giocata, nel corso di questo documento si
chiamerà prezzo della scommessa la differenza tra 1 Euro ed il valore atteso delle vincita.
2
1
presta ad una interpretazione più profonda: la quantità di giocate del Superenalotto e del Superstar
ed il relativo gettito erariale dipendono dal payout e, in sostanza, dal livello di imposizione fiscale.
Tralasciando ogni considerazione di tipo sociale sulla desiderabilità di un aumento della quantità di
giocate, la questione economica è interessante e ben definita: dato il trend discendente delle
entrate generate dalle lotterie GNTN, è possibile invertire tale trend riducendo le aliquote fiscali e, quindi, aumentando i payout?
La risposta a questa domanda sta ovviamente nella misura dell’elasticità della domanda (di giocate)
rispetto al prezzo (della scommessa). La specificazione logaritmica della funzione di domanda da
stimare ha reso agevole il calcolo dell’elasticità di breve e di lungo periodo5 sia per il Superenalotto
sia per il Superstar per diversi intervalli temporali: in linea generale, l’elasticità della domanda è
risultata essere maggiore di uno. Sulla base di questi risultati sono stati immaginati alcuni interventi
sui payout e sono state simulate le variazioni di gettito indotte da tali interventi. La conclusione
più rilevante è che, sotto una serie di plausibili assunzioni, una riduzione delle aliquote fiscali ed un
aumento sostanziale dei payout (per esempio, dal 35% al 60%) sono in grado di indurre un aumento
delle giocate tale da accrescere le entrate per l’erario.
Questa introduzione è seguita da quattro sezioni e da un’appendice tecnica. La Sezione 2 classifica
le diverse tipologie di giochi e scommesse in base alle loro caratteristiche principali e fornisce una
panoramica sul mercato e la sua recente evoluzione; la Sezione 3 definisce le funzioni di domanda del
Superenalotto e del Superstar e presenta i risultati delle stime econometriche; la Sezione 4 identifica
alcuni possibili interventi di riforma rispetto alla situazione corrente e ne discute la sostenibilità;
la Sezione 5 riassume le conclusioni dello studio. L’appendice tecnica fornisce una serie di approfondimenti sul calcolo dei valori attesi e sulle tecniche econometriche utilizzate per la stima delle
equazioni di domanda; inoltre, presenta la metodologia impiegata per il calcolo della variazione del
gettito indotta dal cambiamento dei payout.
5
Per un’analisi dettagliata della distinzione tra effetti di breve e lungo periodo della variazione del prezzo, si veda
l’appendice tecnica di questo documento.
2
2. Gli effetti delle campagne pubblicitarie sulla domanda del Superenalotto
Per comprendere più a fondo gli effetti delle campagne pubblicitarie sulla raccolta del Superenalotto si
è deciso di stimare econometricamente la funzione di domanda di questo gioco. Lo scopo principale
delle stime è quello di comprendere le determinanti della numerosità delle giocate e di isolare al
tempo stesso gli effetti della presenza o meno di campagne pubblicitarie. La funzione stimata per il
Superenalotto è del tipo seguente:
(1)
NSe,t
=
α0 + α1 NSe,t−1 + α2 T rend + α3 PSe,t + α4 Sabato + α5 Zt + t ,
dove Zt è la variabile utilizzata per catturare l’effetto delle campagne pubblicitarie. In particolare,
sono stati utilizzati tre diversi indicatori. Il primo è il GRP, che rappresenta l’unità di misura comunemente adottata per indicare la pressione pubblicitaria6. Il secondo indicatore è invece il numero
di contatti raggiunti da ogni campagna pubblicitaria, espressi in milioni; mentre il terzo indicatore
è la spesa effettivamente sostenuta in ogni campagna, espressa in migliaia di euro. Per ognuno dei
tre indicatori il database è stato costruito in concomitanza di ogni estrazione del Superenalotto per
poter catturare con estrema precisione l’efficacia e la tempistica delle campagne pubblicitarie su ogni
singola frequenza del gioco. Ovviamente nei periodi in cui non sono state effettuate campagne pubblicitarie i tre indicatori assumono valore zero.
La Tabella 1 mostra i risultati delle tre stime riferite all’intervallo temporale 2009 - agosto 2012.
Si è scelto tale intervallo poiché i dati effettivi sulle campagne pubblicitarie riguardano solo alcuni
mesi dell’anno e la significatività statistica dei risultati richiede che la stima sia effettuata su un
campione sufficientemente numeroso. Inoltre, l’intervallo temporale scelto corrisponde al campione
in cui vengono considerate le innovazioni normative più recenti sui montepremi.
Diversamente dall’approccio di stima effettuato nel precedente lavoro, in questo caso si è stimata
la funzione di domanda ai livelli e non ai logaritmi per poter valutare direttamente l’impatto delle
6L’indicatore
è calcolato sul numero di contatti che si possono ottenere con una data campagna pubblicitaria in un
certo lasso di tempo.
3
Tabella 1. Stima della funzione di domanda del Superenalotto
Variabile dipendente: NSe
Strumenti: NSe,t−1 , Trend, Jackpot, Dummy sabato, Z
Costante
NSe,t−1
Trend
PSe
Dummy sabato
Grp(-4)
Contatti(-4)
Spesa(-4)
N . osservazioni
R2 corretto
J−Statistic
Note:
∗
(1)
(2)
(3)
8469054∗∗
8469925∗∗
0.8744∗
-2940.10∗∗
-8407810∗
6689671∗
9100,98∗∗
0.8745∗
-2943.09∗∗
-8404545∗
6689734∗
8441569∗∗
0.8763∗
-3005.47∗∗
-8264701∗
6692879∗
26931.59∗∗
1886.71∗∗
575
0.92766
568.1∗
significativo all’1 percento;
∗∗
575
0.928289
568.1∗
575
0.927363
568.1∗
significativo al 5 percento.
variabili esplicative sul numero di combinazioni giocate per il Superenalotto. In particolare, i regressori utilizzati sono stati: il numero di combinazioni giocate nell’estrazione precedente al fine di
valutare il grado di inerzia del gioco; il trend per analizzare l’andamento di lungo periodo, crescente
o decrescente, delle combinazioni giocate; il prezzo della scommessa calcolato su ogni euro giocato; una variabile dummy per tener conto della concentrazione maggiore delle giocate nelle giornate
del sabato; infine, si è inserito l’indicatore delle campagne pubblicitarie, calcolato nelle tre diverse
accezioni sopra descritte, per poter isolare l’effetto della pubblicità sul numero delle combinazioni
giocate. Il coefficiente associato all’indicatore delle campagne pubblicitarie ci permette cosı̀ di misurare direttamente il solo effetto di una variazione unitaria dell’indicatore, ad esempio un punto in
più di GRP, o un milione di contatti in più, sul numero di combinazioni giocate, al netto di altri
effetti quali l’andamento del jackpot, l’inerzia del gioco e il suo trend di lungo periodo, che invece
sono spiegati dagli altri regressori.
I risultati delle stime, effettuati con il metodo dei minimi quadrati a due stadi per eliminare i possibili
effetti di endogeneità della variabile prezzo, mostrano che i regressori utilizzati nell’equazione della
domanda di giocate spiegano oltre il 92% della sua variabilità in tutte le equazioni stimate (a questo
proposito, si veda il valore degli R2 ); inoltre, il metodo di stima risulta essere appropriato (a questo
proposito, si veda il valore della statistica J). Con riferimento ai singoli coefficienti, in tutte le stime
risulta che:
4
• La quantità di giocate dipende positivamente e significativamente dalla quantità di giocate
dell’estrazione precedente, con parametri che si aggirano intorno a 0,87, a testimonianza di
una forte inerzia delle giocate;
• La quantità di giocate dipende negativamente e significativamente dal prezzo della scommessa,
con parametri che si aggirano intorno al valore di 8.400.000, segno evidente di una forte
sensibilità degli scommettitori alle variazioni del jackpot, quindi del prezzo della scommessa.
In particolare, una riduzione del prezzo della scommessa di un centesimo di euro produce un
aumento di circa 84.000 combinazioni giocate;
• Per ciò che riguarda gli altri controlli, positivo e significativo è l’effetto della variabile sabato,
che indica una forte propensione degli scommettitori a giocare il sabato; negativo e significativo è invece l’effetto della variabile Trend, che indica una tendenza di lungo periodo di una
costante riduzione delle giocate medie pari a circa 3.000 combinazioni per ogni concorso;
• I tre indicatori utilizzati per valutare l’effetto delle campagne pubblicitarie risultano sempre
statisticamente significativi ed evidenziano un impatto altamente positivo della pubblicità sulla raccolta del gioco, che esercita i suoi maggiori effetti dopo quattro estrazioni. In particolare
per ogni estrazione risulta che: ogni punto dell’indicatore GRP genera 9.100 combinazioni
giocate in più; ogni milione di contatti genera circa 27.000 combinazioni giocate; ogni mille
euro spesi per la campagna pubblicitaria genera circa 1.900 combinazioni giocate.
Per concludere questa sezione, è giusto puntualizzare che molte e diverse specificazioni del modello
sono state stimate per il Superenalotto; inoltre, lo stesso modello è stato stimato per diversi intervalli
di tempo in aggiunta a quelli descritti in precedenza. In tutti i casi, i risultati sono stati coerenti con
quelli presentati e commentati in questa sezione, a conferma della loro robustezza e affidabilità7.
3. Gli interventi di riforma
I risultati in termini di elasticità scaturiti dalla stima delle funzioni di domanda, soprattutto se considerati insieme alla negativa evoluzione delle entrate provenienti dal comparto GNTN, pongono una
questione di policy allo stesso tempo ovvia e rilevante: se si riducono i prezzi della scommesse per
le lotterie GNTN attraverso un incremento dei loro payout (e, quindi, attraverso una riduzione della
7Per
ulteriori informazioni, è possibile rivolgersi agli autori che saranno lieti di fornire le varie stime che per motivi di
spazio non sono inserite in questo documento
5
quota destinata all’erario), è possibile indurre un aumento delle giocate tale da lasciare invariate o
addirittura aumentare le entrate per lo Stato?
I risultati delle stime presentati nella sezione precedente, insieme con le definizioni dei valori attesi
delle lotterie presenti in appendice, permettono di rispondere a questa domanda in modo rigoroso:
infatti, data la variazione percentuale del payout, è possibile calcolare la conseguente
variazione percentuale del valore atteso e, quindi, del prezzo della scommessa; poi, data
l’elasticità della domanda, è immediato calcolare la variazione percentuale delle giocate
e, infine, quella delle entrate.
Nonostante la semplicità della catena causale appena descritta, da un punto di vista metodologico
rimangono tre nodi da sciogliere:
(1) Poiché l’elasticità della domanda non è stabile nel tempo, la scelta dell’intervallo temporale
influenza in modo sostanziale i risultati degli esercizi di simulazione. Si è deciso di considerare
il periodo che va dalla fine del 2008 al 2011 per due motivi:
(a) Alla fine del 2008 sono state introdotte alcune importanti modifiche regolamentari.
Quindi, il periodo 2009-2011 è sicuramente più significativo per gli attori principali del
mercato, ovvero concessionari, Aams e scommettitori8.
(b) L’elasticità della domanda nel periodo 2009-2011 è più bassa rispetto a quella calcolata
per il periodo 2006-2011. Quindi, nonostante da un punto di vista strettamente statistico la misura dell’elasticità per il periodo 2006-2011 sia più robusta, i risultati delle
simulazioni basate sui parametri relativi all’intervallo 2009-2011 sono più conservativi e
prudenziali.
(2) Dati i regolamenti attuali, la variazione del payout del Superenalotto influenza le vincite
attese del Superstar, inducendo problemi di sostenibilità interna per i concessionari9. Per
questo, sono stati elaborati tre diversi scenari:
(a) Scenario moderato: payout del Superenalotto al 50% e payout del Superstar al 50%.
8Un
ruolo rilevante è sicuramente svolto dalla rete di distribuzione dei giochi e delle scommesse, ma in questi esercizi
di simulazione la quota delle giocate ad essa destinata, l’8%, non viene modificata
9Per esempio, innalzare il payout del Superenalotto al 60% avvicina drammaticamente il valore atteso delle vincite del
Superstar al 50%, che è proprio la quota che si accantona attualmente al fondo di riserva per questa lotteria.
6
(b) Scenario aggressivo: payout del Superenalotto al 60% e payout del Superstar al 60%.
(c) Scenario molto aggressivo: payout del Superenalotto al 65% e payout del Superstar al
65%.
(3) L’aumento del payout induce un aumento del montepremi, che, a sua volta, induce un aumento
delle giocate e, di nuovo, un aumento del montepremi. Per valutare la rilevanza di questi effetti
iterativi (cosiddetti effetti di secondo ordine) si è deciso di calcolare il payout del Superenalotto
che massimizza le entrate erariali, tenendo fermo il payout del Superstar al 50% e includendo
gli effetti di secondo ordine10.
A proposito dell’analisi per scenari, vale la pena puntualizzare che per il calcolo della variazione complessiva di gettito, la variazione percentuale di gettito (che scaturisce dalla variazione della domanda
di giocate, data l’elasticità) viene applicata ad un gettito medio annuale riferito al biennio 2009-2011,
ma, data la legge dei grandi numeri, essa è applicabile in linea teorica a qualsiasi intervallo temporale
si decida di considerare. I risultati relativi ai tre scenari sopra menzionati sono elencati di seguito:
(1) Scenario moderato:
• Variazione percentuale payout: Superenalotto +44.3%, Superstar 0%;
• Variazione percentuale prezzo della scommessa: Superenalotto −31.25%, Superstar −24.2%;
• Variazione percentuale domanda: Superenalotto +35.31%, Superstar +51.63%;
• Variazione percentuale gettito: Superenalotto −3.43%, Superstar +51.63%;
• Variazione totale gettito: + €278 milioni.
(2) Scenario aggressivo:
• Variazione percentuale payout: Superenalotto +73.2%, Superstar +20%;
• Variazione percentuale prezzo della scommessa: Superenalotto −51.60%, Superstar −40.24%;
• Variazione percentuale domanda: Superenalotto +58.31%, Superstar +85.86%;
• Variazione percentuale gettito: Superenalotto −16.53%, Superstar +37.3%;
• Variazione totale gettito: + €54 milioni.
(3) Scenario molto aggressivo:
• Variazione percentuale payout: Superenalotto +87.6%, Superstar + 30%;
10Rimane
l’avvertenza che una variazione esclusiva del payout del Superenalotto può creare problemi di sostenibilità
interna per il Superstar.
7
• Variazione percentuale prezzo della scommessa: Superenalotto −61.78%, Superstar −48.26%;
• Variazione percentuale domanda: Superenalotto +69.81%, Superstar +103%;
• Variazione percentuale gettito: Superenalotto −26.3%, Superstar +23.42%;
• Variazione totale gettito: − €131 milioni.
Appare evidente come ci sia un ampio spazio per manovre tese a incrementare le entrate erariali
provenienti da Superenalotto e Superstar. In particolare, è possibile spingere molto in alto i payout
di entrambe le lotterie aumentando notevolmente le entrate. Vale la pena puntualizzare che gli incrementi di gettito sono sottovalutati perché non tengono conto degli effetti di secondo ordine, di cui
si fornisce una misura nella figura successiva.
In particolare, la Figura 7 evidenzia il payout del Superenalotto che massimizza le entrate erariali,
tenendo fermo il payout del Superstar al 50%. Come è evidente, tale payout è superiore al 60%, ben
al di sopra dell’attuale 35%. La metodologia con la quale sono state calcolate le variazioni in figura
è spiegata nell’appendice di questo documento.
Figura 1. Impatto della Variazione del Payout sul Gettito Aams (Jackpot Medio, Sotto‐campione)
Impatto della Variazione del Payout del Superenalotto sul Gettito Aams
Variazione Percentuale del Gettito
25
20
15
10
5
0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Payout
8
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
4. Conclusioni
In questo studio sono state stimate con tecniche econometriche ripetutamente utilizzate in letteratura le funzioni di domanda del Superenalotto e del Superstar. I risultati delle stime permettono
di comprendere la relazione che lega la quantità di giocate al prezzo della scommessa e, quindi, di
chiarire il legame tra payout, imposizione fiscale e gettito erariale.
Le conclusioni raggiunte possono essere suddivise in due gruppi: il primo contiene quelle che scaturiscono direttamente dall’osservazione dei coefficienti stimati delle funzioni di domanda; il secondo
contiene quelle che riguardano la simulazione degli effetti sul gettito di alcune ipotesi di modifica dei
regolamenti correnti in termini di payout, con riferimento ai parametri relativi agli anni 2009-2011.
In particolare, le conclusioni riguardano:
(1) La stima dei coefficienti delle funzioni di domanda del Superenalotto e del Superstar:
• Sia per il Superenalotto che per il Superstar e per qualunque intervallo temporale, la
quantità di giocate è correlata negativamente e significativamente con il prezzo delle
scommesse;
• Sia per il Superenalotto che per il Superstar e per qualunque intervallo temporale, la
quantità di giocate è correlata positivamente e significativamente con la quantità di
giocate dell’estrazione precedente;
• Sia per il Superenalotto che per il Superstar, l’elasticità diretta della domanda (di lungo
periodo) si attesta su valori significativamente superiori all’unità, pur manifestando una
chiara tendenza decrescente nell’ultimo quinquennio.
(2) Gli effetti sul gettito erariale di una variazione dei payout:
• Nel caso di un aumento del payout del Superenalotto dal 35% al 50%, fermo restando
al 50% il payout del Superstar, il gettito erariale aumenta del 17%, ovvero di circa 278
milioni di Euro all’anno;
• Nel caso di un aumento del payout del Superenalotto dal 35% al 60% e di un contemporaneo aumento del payout del Superstar dal 50% al 60%, il gettito erariale aumenta del
3%, ovvero di circa 54 milioni di Euro all’anno;
9
• Nel caso di un aumento del payout del Superenalotto dal 35% al 65% e di un contemporaneo aumento del payout del Superstar dal 50% al 65%, il gettito erariale diminuisce
dell’8%, ovvero di circa 131 milioni di Euro all’anno.
Vale la pena notare che con il payout del Superstar fermo al 50% il payout del Superenalotto che
massimizza il gettito erariale è di circa il 63%. Questa considerazione, però, non tiene conto della
sostenibilità interna del Superstar. Inoltre, è giusto notare che qualora si volessero considerare i
parametri relativi ad un intervallo temporale più lungo, per esempio 2006-2011, gli effetti sul gettito
dell’aumento dei payout risulterebbero amplificati a causa del più elevato valore dell’elasticità.
Lo studio dovrebbe essere ampliato per catturare gli effetti della competizione tra le diverse tipologie
di giochi; in altre parole, sarebbe sicuramente utile calcolare l’intensità delle elasticità di sostituzione
per valutare in modo più completo gli effetti di un riallineamento dei payout. Inoltre, vista la
considerazione precedente, andrebbe approfondito il problema della sostenibilità interna degli scenari
alternativi proposti attraverso un’analisi dettagliata da parte di esperti game designer.
10
Appendice
Definizione e Calcolo dei Valori Attesi. Per determinare il valore atteso per i concorsi quali il Superenalotto, il Superstar e il WinForLife, dove la vincita è associata all’estrazione causale di numeri, si
consideri inizialmente una versione semplificata del Lotto. Secondo questa versione semplificata del Lotto si
vince esclusivamente con il ‘6’. Si noti che secondo le regole correnti del Superenalotto la puntata minima
corrisponde a €1 e comporta la scelta di due sestine. Quindi per determinare il valore atteso del Jackpot
per una singola puntata si consideri che
Valore atteso Jackpot
=
probabilità di vincita × Jackpot × quota attesa del Jackpot in caso di vincita .
Sprowls (1970) dimostra come, assumendo che i giocatori scelgano le proprie sestine in modo casuale,11
questo valore atteso sia, a meno di una approssimazione infinitesimale, pari a
Valore atteso ‘6’
=
=
(R + κ c6 N )
p6
κ
"
N
X
l=0
(R + κ c6 N )
1
N −W
κ
[p6 (N − W )]l
1
exp[−p6 (N − W )]
1+l
l!
#
1 − exp[−p6 (N − W )]

dove p6 è la probabilità di realizzare il ‘6’ con una sestina (pari a 1 su 
90
,

, cioè pari ad uno sul numero
6
di combinazioni di 6 numeri estratti senza ripetizioni tra quelli naturali da 1 a 90.),12 N è il numero di
sestine complessivamente giocate nell’estrazione attuale, R è il valore del Rollover, cioè il valore del Jackpot
ereditato dalle precendenti estrazioni, κ è il prezzo di una sestina (€0.50 per il Superenalotto), c6 è la
frazione della raccolta dal concorso corrente che contribuisce al montepremi per le vincite del ‘6’ (pari al
20 percento del montepremi complessivo per il Superenalotto13) e W è il numero di sestine giocate con una
puntata (2 per il Superenalotto).
Superenalotto. Chiaramente il gioco del Superenalotto prevede ulteriori vincite associate al ‘5+1’, ‘5’, ‘4’
e ‘3’. Per calcolare quindi il valore atteso complessivo della puntata per il Superenalotto si consideri che le
11E’
ben noto che il comportamento dei giocatori del Lotto si discosti dall’ipotesi di scelta causale delle sestine.
Comunque, studi empirici di Walker (1998) e Farrell et al. (2000) hanno evidenziato come la scelta consapevole delle
sestine da parte dei giocatori del Lotto abbia un impatto irrilevante sul calcolo del valore atteso delle giocate per
questo tipo di concorso.
12In passato questa probabilità era inferiore poiché le estrazioni erano ottenute da ruote diverse. Vi era quindi la
possibilità che due numeri uguali fossero estratte da ruote successive. In tal caso, secondo le vecchie regole del concorso,
qualora il primo numero estratto da una ruota fosse risultato uguale a quello estratto da una ruota precedente si sarebbe
dovuto eliminarlo e si sarebbe dovuto considerarne uno successivo. Anche se remota vi era quindi la possibilità di non
riuscire a completare la sestina della lotteria. Questa eventualità modifica la probabilità di realizzare il ‘6’.
13Il montepremi complessivo del Superenalotto è pari al 34.648 percento della raccolta totale dal concorso corrente.
11
realizzazioni del ‘6’, ‘5+1’, ‘5’, ‘4’ e ‘3’ sono eventi mutualmente esclusivi. E’ pertanto sufficiente calcolare
il valore atteso individuale per il ‘6’, ‘5+1’, ‘5’, ‘4’ e ‘3’. I valori cosı̀ ottenuti vengono quindi semplicemente
sommati tra loro,
Valore atteso Superenalotto
=
Valore atteso ‘6’ + Valore atteso ‘5+1’ +
Valore atteso ‘5’ + Valore atteso ‘4’ + Valore atteso ‘3’ .
Per determinare i valori attesi del ‘5+1’, ‘5’, ‘4’ e ‘3’ si deve applicare una formula analoga a quella valida
per il ‘6’. Vi è però un’importante modifica, in quanto solo la realizzazione del ‘6’ dà diritto ad una quota
parte del Rollover, un valore che rappresenta la componente prevalente della relativa vincita. Cosı̀ il valore
atteso per il ‘5+1’ è pari a
Valore atteso ‘5+1’
=
1
(κ c5+1 N )
N −W
κ
1 − exp[−p5+1 (N − W )]

dove p5+1 è la probabilità di realizzare il ‘5+1’ con una sestina (pari a 
6
 
/
90
,

, cioè pari a 6 sul
1
6
numero di combinazioni di 6 numeri estratti senza ripetizioni tra quelli naturali da 1 a 90), mentre c5+1 è
la frazione della raccolta del concorso corrente che contribuisce al montepremi per i premi del ‘5+1’ (pari
al 20 percento del montepremi complessivo per il Superenalotto). Le formule per il valore atteso per le
realizzazioni del ‘5’, ‘4’ e ‘3’ sono identiche a questa espressione per p5+1 e c5+1 sostituiti rispettivamente
da p5 e c5 , p4 e c4 e p3 e c3 .14
Superstar. Per il calcolo del valore atteso del Superstar occorre considerare che questo concorso prevede
un costo unitario di €1 per una giocata che consente la scelta di una singola sestina e di un settimo
numero supplementare, o numero Superstar (che non necessariamente deve differire da quelli selezionati
nella sestina). Partecipando al concorso Superstar il concorrente ha diritto alle vincite previste dal concorso
del Superenalotto in aggiunta a delle vincite supplementari. Le vincite supplementari sono costituite da
premi in cifra fissa, attribuiti alle categorie ‘6 stella’, ‘5+1 stella’, ‘2 stella’, ‘1 stella’, ‘0 stella’, e da premi
in cifra variabile, attribuiti alle categorie ‘5 stella’, ‘4 stella’ e ‘3 stella’. Cosı̀ il valore atteso del Superstar
è pari a
Valore atteso Superstar
14I
= Valore atteso Superenalotto + Valore atteso premi supplementari ,
6
5
84
1
90
6
84
90
/
,
/
e
6
4
2
6
valori di p5 , p4 e p3 sono pari rispettivamente a
6
84
90
/
, mentre i valori di c5 , c4 e c3 sono pari rispettivamente al 15, 15 e 30 percento.
3
3
6
12
dove il valore atteso dei premi supplementari è ottenuto sommandone i valori individuali.
A coloro che realizzano ‘2 stella’, ‘1 stella’ e ‘0 stella’, ovvero che indovinano rispettivamente 2, 1, e 0 numeri
tra quelli estratti nel concorso Superenalotto in congiunzione con il numero Superstar, sono attribuiti premi
pari a €100, €10 e €5. Il valore atteso per queste vincite è pari al prodotto del premio per la relativa
probabilità di realizzazione. Il ‘2 stella’ (‘1 stella’, ovvero il ‘0 stella’) ha una probabilità di realizzazione
pari al prodotto della probabilità di ottenere due (uno, ovvero zero), cioè di indovinare due (uno, ovvero zero)
numeri tra i sei estratti nel concorso Superenalotto, per la probabilità di indovinare il numero Superstar,
che è pari a 1 su 90.15
Coloro che realizzano ‘5 stella’, ‘4 stella’ e ‘3 stella’, cioè che indovinano rispettivamente 5, 4 e 3 numeri tra
i sei estratti nel concorso Superenalotto insieme al numero Superstar, ricevono, in aggiunta ai premi previsti
dal concorso Superenalotto, dei premi supplementari pari a quelli previsti dal concorso Superenalotto per i
vincitori del ‘5’, del ‘4’ e del ‘3’ moltiplicati rispettivamente per 25, 100 e 100. Il ‘5 stella’ (‘4 stella’, ovvero
il ‘3 stella’) ha una probabilità di realizzazione pari al prodotto della probabilità di ottenere 5 (4, ovvero
3), cioè di indovinare 5 (quattro, ovvero tre) numeri tra i sei estratti nel concorso Superenalotto, per la
probabilità di indovinare il numero Superstar. Cosı̀ per determinare il valore atteso del ‘5 stella’ si deve
applicare la seguente formula
Valore atteso ‘5 stella’
=
1
25 ×
M5
N
1 − exp[−p5 N ]
1
,
90
dove M5 indica la quota del montepremi del concorso Superenalotto assegnata al ‘5’ (un valore pari a
κ c5 N ).16. Formule analoghe forniscono il valore atteso per il ‘4 stella’ e il ‘3 stella’.
Infine, a coloro che realizzano ‘6 stella’ o ‘5+1 stella’, cioè che indovinano rispettivamente il ‘6’ e il ‘5+1’ nel
concorso Superenalotto in congiunzione con il numero Superstar, viene assegnato un premio supplementare
pari rispettivamente a €2,000,000 e €1,000,000 in aggiunta a quello previsto dal concorso Superenalotto
divisi per il numero dei vincitori. Per determinare il valore atteso di queste realizzazioni è sufficiente applicare
le seguenti formule
Valore atteso ‘6 stella’
Valore atteso ‘5 stella’
=
1
2, 000, 0000 ×
NSs − 1
=
1
1, 000, 0000 ×
NSs − 1
15Le
1 − exp[−p6+s (NSs − 1)]
,
1 − exp[−p5+1s (N − 1)]
,
probabilità
di indovinare
2,1 e zero
sono rispettivamente pari a
numeri
tra
i sei
estratti
nel
Superenalotto
6
84
90
6
84
90
6
84
90
/
,
/
e
/
.
2
4
6
1
5
6
0
6
6
16Si noti che nella formula N indica il numero di sestine giocate nel concorso Superenalotto. Questo indica che il
premio aggiuntivo associato al ‘5 stella’ non dipende dal numero di concorrenti che realizza questa vincita.
13
dove NSs indica il numero di giocate del concorso Superstar, mentre p5+1s e p6+s rappresentano le probabilitá
di realizzare rispettivamente il ‘6’ e il ‘5+1’.17
Win For Life. Per il calcolo del valore atteso dei concorsi Grattacieli, Viva l’Italia e Cassaforte si consideri
che questi prevedono dei premi in cifra fissa per le vincite di categoria inferiore. A questi premi si aggiungono
quelli in cifra variabile per le vincite di categoria superiore.18 Per ciascun di queste categorie superiori viene
assegnato un montepremi pari ad una percentuale fissa della raccolta complessiva del concorso corrente. Ai
corrispondenti vincitori viene attribuito un premio pari ad una quota capitaria del montepremi complessivo.
Particolarità del Win for Life è comunque la presenza di un premio di categoria più alta (il numerone) che
viene corrisposto in forma di rendita mensile. Cosı̀ nel concorso Viva l’Italia ai giocatori che realizzano ‘0 +
il numerone’ o ‘10 + il numerone’ viene corrisposto la quota capitaria di una rendita mensile pari a €1,000
per la durata di 120 mensilità. In generale per i concorsi Grattacieli, Viva l’Italia e Cassaforte il valore
atteso della vincita associata al ‘numerone’ è quindi pari a


RM
1
1 − (1+ i )12·T   H + 12i
12
 1 − exp[−pWFL (NWFL − 1)] ,
Valore atteso ‘numerone’ = 


NWFL − 1
dove RM è la rendita mensile (al netto dell’imposizione fiscale), H è la somma eventualmente liquidata
immediatamente al vincitore (sempre al netto dell’imposizione fiscale), T è il numero di anni di durata della
rendita, i è il tasso di sconto su base annua, NWFL è il numero di combinazioni giocate per ogni estrazione
e pWFL è la probabilità di realizzare la vincita ‘numerone’.19 Complessivamente il valore atteso del Win For
Life è quindi pari a
Valore atteso Win For Life
=
Valore atteso premi in cifra fissa + Valore atteso premi in cifra variabile +
Valore atteso ‘numerone’ .
Il Metodo di Stima dei Minimi Quadrati in Due Fasi (TSLS). Ipotesi centrale del modello di
regressione lineare classico,
(2)
yt
=
β 0 xt + ut ,
17Le
probabilitá p5+1s e p6+s sono pari alle probabilitá p5+1 e p6 per 1/90.
Nel concorso Viva l’Italia il ‘7’, il ‘5’ e il ‘3’ assegnano un premio minimo pari ad un Euro. Il ‘10’ o lo ‘0’ assegnano
invece una vincita media stimata in €1,000.
19Nel caso del concorso Viva l’Italia la probabilità di realizzare ‘0 + il numerone’ o ‘10 + il numerone’ è pari a 1 su
20
20
.
10
1
18
14
è che il residuo, o termine d’errore ut , sia ortogonale, cioè incorrelato, con ciascuno dei regressori contenuti
nel vettore xt , ut ⊥ xt . Se il termine d’errore è correlato con uno o più variabili esplicative il metodo dei
minimi quadrati (OLS) fornisce risultati spuri, in quanto gli stimatori OLS del vettore dei coefficienti della
regressione lineare, β̂, non sono né corretti (cioè E[β̂] 6= β), né coerenti (cioè plim β̂ 6= β). Un caso comune
in cui il termine d’errore non è ortogonale ad una o più variabili esplicative è quello in cui vi sia una relazione
di causalità inversa tra la variabile dipendente, yt , e il vettore dei regressori, xt , in quanto la prima influisce
su una o più componenti del secondo.
Nella stima della funzione di domanda per il concorso del Superenalotto il numero delle combinazioni giocate
per ogni estrazioni, NSe , è una funzione lineare del prezzo della giocata. Il prezzo della giocata dipende
dal valore atteso, in quanto PSe = 1 − V ESe . Poiché il valore atteso del Superenalotto, V ESe , dipende dal
Jackpot, e quindi dal numero di combinazioni giocate, NSe , è evidente che il metodo dei minimi quadrati
semplice (OLS) non può essere impiegato. Infatti, dalla la causalità inversa tra la variabile dipendente, il
numero di combinazioni giocate, e la variabile esplicativa, il prezzo della giocata, il termine d’errore nel
modello lineare considerato risulta correlato con almeno una variabile esplicativa e quindi gli stimatori OLS
sono distorti ed incoerenti.
Per risolvere questa difficoltà è possibile impiegare il metodo di stima dei minimi quadrati in due fasi
(Two Stage Least Squares). Questa metodologia consiste nell’individuare delle variabili strumentali che
sostituiscano nel modello di regressione lineare (??) le variabili esplicative correlate, xct , con il termine di
errore, ut (con xt = (xct , xut )). Queste variabili strumentali devono possedere due caratteristiche: devono
essere incorrelate con ut e devono essere fortemente correlate con le variabili esplicative originali, xct . Una
volta individuate queste variabili strumentali, zt , si considera la seguente regressione iniziale (corrispondente
alla fase I del TSLS),20
xct
(3)
=
Γ zt + et .
La matrice dei coefficienti Γ viene quindi stimata attraverso il metodo OLS,
"
(4)
b
Γ
=
T
X
#"
xct z0t
t=1
T
X
#−1
zt z0t
,
t=1
ottenendo cosı̀ dei valori stimati (o fitted ) delle variabili esplicative correlate,
(5)
x̂ct
=
20Una
b zt .
Γ
procedura più conveniente consiste nel regredire tutte le variabili esplicative nella fase I del TSLS, cioè sia quelle
correlate (o endogene) che quelle effettivamente predeterminate. In questo caso il vettore delle variabili strumentali
contiene sia le variabili strumentali scelte per le variabili esplicative endogene sia quelle predeterminate, (zt , xut ).
15
Nella fase II del TSLS la regressione lineare originale (??) viene stimata sostituendo il vettore delle variabili
esplicative xt con quello contenente i valori stimati delle variabili endogene, x̂t = (x̂ct , xut ), ottenendo cosı̀
gli stimatori TSLS per il vettore dei coefficienti di regressione β,
β̂ TSLS
(6)
=
" T
X
x̂t x̂0t
#−1 " T
X
t=1
#
x̂t yt .
t=1
Una verifica della qualità degli stimatori del metodo TSLS si ottiene dalla statistica J. Questa statistica
test è pari
J
=
1
T
"
T
X
#0 "
zt ût
t=1
T
s2 X
zt z0t
T
#−1 "
t=1
T
X
#
zt ût ,
t=1
0
dove ût è il residuo stimato in (??) usando le stime TSLS, ût = yt − β̂ TSLS xt , e s2 è il relativo scarto
quadratico medio. Sotto l’ipotesi che le variabili strumentali e il termine d’errore siano effettivamente
incorrelate, la statistica J ha una distribuzione Chi-square con T − k gradi di libertà, dove T è il numero di
osservazioni nel campione e k il numero di regressori endogeni in (??).21,22
Nel contesto della stima della funzione di domanda per il concorso del Superenalotto un candidato ovvio per
una variabile strumentale da impiegare nel metodo TSLS in sostituizione del prezzo della giocata è costituito
dal Rollover. Questa variabile è fortemente correlata con il prezzo della giocata in quanto condiziona
decisamente il valore atteso del Superenalotto ed è chiaramente pre-deteriminata e quindi indipendente dal
termine d’errore. Infatti il Rollover al tempo t, in quanto determinato in base ai risultati delle estrazioni
precedenti, non può dipedendere dal numero delle combinazioni dell’estrazione al tempo t, cioè da NSe,t , ed
è quindi incorrelata con ut .
Elasticità di Breve e di Lungo Periodo e Funzioni di Impulso-Risposta. Si consideri il seguente
modello lineare,
log(y)
=
α + β x.
Per cui si consideri che
d log(y)
1
= β , mentre dalle proprietà del logaritmo d log(y) =
dy ,
dx
y
21Poiché
il test basato sulla statistica J verifica una condizione di ortogonalità, il metodo TSLS può essere considerato
come una applicazione specifica del metodo dei momenti generalizzati (GMM). Infatti gli stimatori GMM per modelli
parametrici sono ricavati attraverso l’imposizione di condizioni di ortogonalità.
22Si può dimostrare che la statistica J, anche nota come statistica di Sargan, è pari a T R2 , dove R2 è il coefficiente
di determinazione multipla nella regressione del residuo stimato in (??), ût , sul vettore delle variabili strumentali, zt .
16
cosicché
1 dy
= β
y dx
dy
= βy
dx
⇔
⇔
εy/x ≡
dy x
= βx .
dx y
Quindi nella funzione di domanda per i concorsi del Superenalotto e del Superstar,
log N = α + β P ,
la stima della elasticità del numero di combinazioni giocate, N , rispetto al prezzo della giocata, P , è
(7)
ε̂N/P
=
β̂ P̄ ,
dove P̄ è il prezzo medio nel campione di osservazione. Comunque, poiché il numero di combinazioni giocate
nei vari concorsi presi in considerazione presenta una forte inerzia, il modello di regressione effettivamente
stimato comprende tra i regressori un ritardo (lag) della variabile dipendente. La regressione realmente
stimata assume una formulazione del tipo seguente,
(8)
log Nt
=
α + γ log Nt−1 + β Pt + δ Zt + t ,
dove Zt indica un generico vettore di variabili di controllo. Si assuma quindi che ∀t t = Pt = 0, Zt = 0 e
che log Nt−1 = 0. Quindi è immediato verificare che
log Nt = α , log Nt+1 = α + γα , log Nt+2 = α + γα + γ 2 α , · · · ,
log Nt+T
2
T
= α + γα + γ α + · · · + γ α = α
1 − γ T +1
1−γ
.
Cosicché,
log Nt+T − log Nt−1 = α
1 − γ T +1
1−γ
e quindi
lim log Nt+T − log Nt−1 =
T ↑∞
α
.
1−γ
Si assuma piuttosto che ∀t t = 0, Zt = 0 e che log Nt−1 = 0. Inoltre si supponga che Pt+j = 0 per
j = 1, 2, · · · ∞ e per j = −1, −2, · · ·−∞ ma che in t Pt = 1, cioè si introduca rispetto allo scenario precedente
uno shock di prezzo (cioè un aumento del prezzo della giocata da 0 a 1) che si manifesta unicamente nel
periodo t. In presenza di questo shock,
log Nt = α + β ,
log Nt+T
log Nt+1 = (α + β) (1 + γ) ,
2
T
log Nt+2 = (α + β)(1 + γ + γ 2 ) , · · ·
= (α + β) (1 + γ + γ + · · · + γ ) = (α + β)
17
1 − γ T +1
1−γ
.
Cosicché,
log Nt+T − log Nt−1 = (α + β)
1 − γ T +1
1−γ
e quindi
lim log Nt+T − log Nt−1 =
T ↑∞
(α + β)
.
1−γ
Ciò indica che la funzione di impulso-risposta (impulse-response function) per il numero di combinazioni
rispetto ad uno shock di prezzo è
(9)
IRF(N/P )t+T
Inoltre, poiché per T ↑ ∞ IRF(N/P )t+T →
β
1−γ ,
=
1 − γ T +1
1−γ
β.
si conclude che nel lungo periodo
d log N L
β
=
,
dP
1−γ
(10)
mentre ricordando che d log(y) =
1
y dy
e ripetendo le manipolazioni impiegate per il calcolo del valore di
breve periodo, si conclude che
εL
N/P =
β
P,
1−γ
dove l’apice L indica un valore di lungo periodo. Quindi, l’elasticità di lungo periodo del numero di
combinazioni N rispetto al prezzo P può essere stimata impiegando la seguente espressione
(11)
ε̂L
N/P
=
1
β̂ P̄ .
1−γ
Calcolo dell’Impatto sul Gettito della Variazione del Payout. Un aumento del payout (τ ) del
Superenalotto, cioè della percentuale della raccolta restituita in forma di premi ai giocatori, comporta un
incremento delle combinazioni giocate per il Superenalotto e il Superstar nella misura in cui questa variazione
induce un aumento del valore atteso dei due giochi, ovvero una riduzione del prezzo della giocata, e può
quindi condurre ad un aumento del gettito per l’Aams anche se a questa viene trasferita una frazione ridotta
della raccolta derivante dal Superenalotto.
Per verificare questa possibilità si consideri inizialmente il concorso Superenalotto. Il valore atteso per
questo concorso è una funzione lineare del payout, τ , in quanto il montepremi assegnato ad ogni premio
è una frazione costante della raccolta restituita ai giocatori. In termini matematici il valore atteso del
Superenalotto può essere espresso come segue
Valore Atteso Superenalotto ≡ V ESe = A0 (R + A1 τ ) ,
18
dove A0 e A1 sono coefficienti costanti. In questa formula è importante considerare che una variazione di
τ ha un impatto anche sul Rollover R. Su un numero elevato di estrazioni il valore di R in media varia
proporzionalmente alla variazione del payout ratio, cosicché R̄ = r · τ , dove r è un coefficiente costante. Si
conclude quindi per τ che varia da τ0 a τ1 (per esempio da 0.3465 a 0.5),
V ESe (τ1 ) − V ESe (τ0 )
V ESe (τ0 )
(12)
=
τ1 − τ0
.
τ0
Considerando che il prezzo della giocata è il complemento ad uno del relativo valore atteso, PSe = 1 − V ESe ,
si desume che per il Superenalotto la variazione percentuale del prezzo del gioco indotta da un aumento del
payout è
PSe (τ1 ) − PSe (τ0 )
PSe (τ0 )
(13)
=
τ0 − τ1
τ0
V ESe (τ0 )
1 − V ESe (τ0 )
.
A questa riduzione percentuale del prezzo della giocata corrisponderà un incremento delle numero medio di
combinazioni giocate per il concorso del Superenalotto, che passerà da NSe (τ0 ) a NSe (τ1 ). Sulla base della
stima della funzione di domanda per il Superenalotto e della relativa elasticità di lungo periodo, si avrà che
(14)
NSe (τ1 )
=
Se,L PSe (τ1 ) − PSe (τ0 )
NSe (τ0 ) 1 + εN/P
.
PSe (τ0 )
Per finanziarie un incremento del payout una frazione minore della raccolta del concorso Superenalotto
Aams (τ )= 0.5362 viene ridotta ad una percentuale inferiore,
viene retrocessa all’Aams. La quota iniziale qSe
0
Aams (τ ).23 In questo modo, a fronte di una variazione del payout, il gettito del Superenalotto per l’Aams,
qSe
1
GAams
(τ ) =
Se
(15)
1
2
Aams (τ ),24 subisce una variazione percentuale pari a
NSe (τ ) qSe
GAams
(τ1 ) − GAams
(τ0 )
Se
Se
Aams
G
(τ0 )
=
1 + εSe,L
N/P
PSe (τ1 ) − PSe (τ0 )
PSe (τ0 )
Aams (τ ) − q Aams (τ )
qSe
1
0
Se
Aams (τ0 )
qSe
Se
.
Per il concorso Superstar il calcolo della variazione percentuale del gettito è differente. Infatti il relativo
valore atteso non è una funzione lineare di τ , in quanto questo concorso prevede diversi premi in cifra fissa
che non dipendono dal montepremi del Superenalotto. Matematicamente si ha infatti che
Valore Atteso Superstar ≡ V ESs = B0 (R + B1 τ ) + B2 ,
dove B0 , B1 e B2 sono coefficienti costanti. Ciò comporta che in percentuale la variazione del valore atteso
23Per
esempio, se τ aumentasse da 0.3465 a 0.50 e quest’aumento fosse assorbito interamente dalla riduzione della
Aams (τ ) calerebbe a 0.3827.
percentuale retrocessa all’Aams, qSe
24Per il concorso Superstar ogni combinazione costa €0.50. Per il Superstar il costo è €1.
19
non è pari a quella di τ ,
V ESs (τ1 ) − V ESs (τ0 )
V ESs (τ0 )
(16)
τ1 − τ0
.
τ0
6=
Pertanto occorre determinare la relativa variazione percentuale del prezzo della giocata per il Superstar
impiegando la formula seguente,
PSs (τ1 ) − PSs (τ0 )
PSs (τ0 )
(17)
=
V ESs (τ0 ) − V ESs (τ1 )
1 − V ESs (τ0 )
.
Anche per il Superstar a questa riduzione percentuale del prezzo della giocata corrisponderà un incremento
delle numero medio di combinazioni giocate per il concorso che passerà da NSs (τ0 ) a NSs (τ1 ). Impiegando
la stima della funzione di domanda del Superstar e della relativa elasticità di lungo periodo, si avrà che
(18)
NSs (τ1 )
Ss,L PSs (τ1 ) − PSs (τ0 )
NSs (τ0 ) 1 + εN/P
.
PSe (τ0 )
=
Poiché l’incremento del payout riguarda unicamente il concorso del Superenalotto non vi è una riduzione
Aams .25 Pertanto, il
della frazione della raccolta del concorso Superestar che viene retrocessa all’Aams, qSs
Aams , subisce una variazione percentuale pari a
gettito del Superestar per l’Aams, GAams
(τ ) = NSs (τ ) qSs
Ss
(τ0 )
(τ1 ) − GAams
GAams
Ss
Ss
GAams (τ0 )
(19)
εSs,L
N/P
=
Ss
PSs (τ1 ) − PSs (τ0 )
.
PSs (τ0 )
(τ ), è pari a
(τ ) + GAams
(τ ) = GAams
Infine la variazione complessiva del gettito per l’Aams, GAams
Ss
Se
To
GAams
(τ1 ) − GAams
(τ0 )
to
To
Aams
G
(τ0 )
Ss
(20)
=
ḠAams
Se
ḠAams + ḠAams
!
ḠAams
Ss
ḠAams + ḠAams
!
Se
S
Se
S
GAams
(τ1 ) − GAams
(τ0 )
Se
Se
Aams
G
(τ0 )
!
(τ0 )
(τ1 ) − GAams
GAams
Ss
Ss
Aams
G
(τ0 )
!
+
Se
,
Ss
dove ḠAams
e ḠAams
indicano il valore medio rispettivamente del Superenalotto e del Superstar.
Se
Ss
Esiste un effetto di secondo ordine nell’analisi dell’impatto della variazione del payout del Superenalotto sul
gettito dell’Aams. Infatti ad un aumento di τ corrisponde un aumento del valore atteso del Superenalotto
e del Superstar, V ESe (τ ) e V ESs (τ ), e quindi del numero di combinazioni giocate per questi due concorsi,
NSe (τ ) e di NSs (τ ). Comunque, poiché l’incremento delle giocate aumenta la raccolta, e quindi il valore dei
25L’aumento
del payout ratio del Superenalotto aumenta il valore atteso del Superstar. In particolare, per τ che
aumenta dal 0.3465 a 0.5 la media del valore atteso per il Superstar nel campione dal 25/10/2008 al 31/12/2011
aumenta da 0.457 a 0.589. Ciò suggerisce che con tale variazione del payout del Superenalotto il Superstar non è più
sostenibile. L’aumento del corrispondente valore atteso richiede un aumento della quota della raccolta del concorso
destinata al fondo di riserva, ovvero una modifica (riduzione) dei premi previsti, ovvero una combinazione di queste
due modifiche.
20
montepremi, all’incremento di NSe (τ ) e di NSs (τ ) corrisponderà un ulteriore incremento dei valori attesi,
V ESe (τ ) e V ESs (τ ). A questo ulteriore aumento di V ESe (τ ) e V ESs (τ ) si associerà un ulteriore aumento
di NSe (τ ) e di NSs (τ ) e cosı̀ via in una sequenza apparentmente infinita di variazioni. Una procedura
numerica condotta con un codice in MatLab consente di verificare che questo processo converge, a meno di
un’approssimazione infinitesimale, entro un numero minimo di ripetizioni, producendo un valore terminale
per la variazione percentuale di V ESe (τ ) e di V ESs (τ ) e quindi per la variazione precentuale dei prezzi delle
giocate per il Superenalotto e il Superstar, PSe (τ ) e PSs (τ ). Inserendo le variazioni percentuali dei prezzi per
il Superenalotto e il Superstar ottenute con questa procedura nelle equazioni (18) e (19) è possibile tenere
conto dell’effetto del secondo ordine della variazione del payout del Superenalotto sul gettito dell’Aams.
Rispetto al calcolo iniziale la differenza non è ampia, ma significativa.
21
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23