pitd03000r_keep calm and play with fibonacci

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Collocazione del percorso
effettuato nel curricolo
!   L’argomento si colloca nella programmazione della
classe prima e vuole sviluppare le seguenti competenze
trasversali di cittadinanza:
! Imparare ad imparare. Saper organizzare il proprio lavoro
utilizzando varie fonti, in funzione dei tempi disponibili e del
proprio metodo di studio e di lavoro, essere puntuali
nell’eseguire il proprio lavoro.
! Progettare. Elaborare e realizzare progetti utilizzando le
conoscenze apprese.
Collocazione del percorso
effettuato nel curricolo verticale
! Collaborare e partecipare. Interagire in gruppo,
comprendendo i diversi punti di vista, valorizzando le
proprie e altrui capacità, gestendo la conflittualità,
contribuendo all’apprendimento comune ed alla
realizzazione delle attività collettive, nel riconoscimento
dei diritti fondamentali degli altri.
! Risolvere problemi. Affrontare situazioni problematiche
costruendo e verificando ipotesi, individuando le risorse
adeguate, raccogliendo e valutando i dati, proponendo
soluzioni utilizzando contenuti e metodi delle diverse
discipline
Obiettivi essenziali di apprendimento
Competenze
Abilita’
Progettare un percorso
Individuare le strategie
appropriate per la soluzione di risolutivo strutturato.
Formalizzare il percorso di
problemi
soluzione di un problema
attraverso modelli algebrici e
grafici.
Convalidare i risultati sia
empiricamente che mediante
argomentazioni.
Tradurre dal linguaggio naturale
al linguaggio algebrico e
viceversa.
Risolvere problemi che
implicano l’uso di equazioni o di
funzioni, anche per via grafica,
collegati con altre discipline e
situazioni di vita ordinaria, come
primo passo verso la
modellizzazione matematica.
Conoscenze
Fasi risolutive di un problema.
Tecniche risolutive di un
problema che utilizzano
frazioni proporzioni,
percentuali, formule
geometriche, equazioni di 1°
grado intere.
I numeri: naturali, interi,
razionali, sotto forma
frazionaria e decimale,
irrazionali e, in forma intuitiva,
reali; ordinamento e loro
rappresentazione su una
retta. Le operazioni con i
numeri interi e razionali e le
loro proprietà.
Potenze. Rapporti e
percentuali. Approssimazioni.
Elementi salienti dell’approccio
metodologico
!   L’argomento non viene affrontato in maniera
tradizionale attraverso lezioni frontali.
!   In questo percorso i ragazzi, lavorando in piccoli gruppi,
propongono le loro scoperte e soluzioni mentre
l’insegnante agisce soltanto da mediatore e guida al
loro fianco.
!   Il percorso didattico ha visto la classe coinvolta per un
intero anno scolastico (da Novembre a Maggio)
portando i singoli studenti ad acquisire autonomia e
sicurezza per gli argomenti trattati.
Materiali, apparecchi e strumenti
impiegati
!   Cartelloni, pennarelli, forbici…
!   Computer
!   Internet
! Geronimi N., Giochi matematici del Medioevo. I
«conigli di Fibonacci» e altri rompicapi
liberamente tratti dal Liber Abaci, ediz.
Mondadori Bruno (collana Testi e pretesti)
Ambienti in cui è stato sviluppato
il percorso
!   Aula:
!   Durante le ore curricolari i vari gruppi di studenti,
secondo un calendario da loro definito, esponevano le
loro ricerche e soluzioni al resto della classe
!   Esterni:
!   Gli studenti hanno visitato il Giardino di Archimede
(Firenze) da cui hanno colto molti spunti per la
progettazione e realizzazione di una mostra e di un
laboratorio
Tempo impiegato
!   Per la messa a punto preliminare del Gruppo LSS si è tenuta una riunione di
circa 2 ore per l’individuazione delle classi coinvolte, dell’argomento e della
metodologia da utilizzare.
!   Per la progettazione specifica e dettagliata nella classe sono state impiegate
circa 10 ore.
!   Il tempo-scuola impiegato nello sviluppo del percorso è stato di circa 25 ore
suddivise in incontri mensili in aula e attività di approfondimento, ricerca e
studio svolte a casa.
!   Per le uscite esterne è stata organizzata una giornata a Firenze al Giardino di
Archimede.
!   Per la preparazione della documentazione sono state utilizzate circa 25 ore
suddivise in predisposizione di materiali per gli studenti, creazione di un wiki
per lo scambio di informazioni tra i docenti del gruppo, preparazione del
materiale conclusivo in formato elettronico.
Altre informazioni
!   Il gruppo di LSS si è avvalso della collaborazione
del prof. Pietro DI MARTINO, Ricercatore SSD
Mat04 (Matematiche Complementari) del
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
con il quale sono stati effettuati incontri di
formazione sulla metodologia, verifiche e
aggiornamenti intermedi sull’andamento del
percorso progettato.
Descrizione del percorso
didattico
!   Il percorso affronta la storia della Matematica fino al
Medioevo concentrandosi sulla figura di Leonardo Pisano
detto Fibonacci e dei problemi contenuti nel suo Liber
Abaci.
!   Il percorso didattico prevede tre fasi:
!   Storia della Matematica fino al medioevo con particolare
attenzione al Mediterraneo e alla città di Pisa
!   Analisi dei problemi di Fibonacci tratti dal Liber Abaci
!   Predisposizione di un percorso strutturato aperto ad altri
studenti, genitori e territorio in cui gli alunni espongono i
loro lavori ed i loro risultati
Prima fase del percorso
Nella prima fase del percorso, la classe viene divisa in piccoli gruppi
di lavoro scelti liberamente dai ragazzi seguendo le proprie amicizie
(max 2 o 3 alunni); a ciascun gruppo viene chiesto di approfondire
uno dei seguenti temi a scelta:
!   Significato della parola matematica;
!   Storia della Matematica in Egitto, in Mesopotamia, in India
!   La vita e le opere/scoperte di Pitagora, Archimede, Apollonio,
Talete, Euclide, Diofanto di Alessandria, Al Khwarizmi, Fibonacci
!   Particolarità sul Quadrivio, la Matematica cinese, la matematica
araba ed il numero zero.
Prima fase: elaborati
!   Gli elaborati di ciascun gruppo sono graduali: prima gli
studenti scrivono tre pagine cercando informazioni su
internet e su libri disponibili in biblioteca; le informazioni
raccolte vengono discusse in classe e singolarmente con
l’insegnante.
!   Ogni gruppo poi produce una relazione corredata di
immagini significative, curiosità, approfondimenti, giochi
matematici, etc.
!   Questa prima fase ha lo scopo di far conoscere agli studenti
la Matematica che Fibonacci poteva conoscere a quel
tempo.
Prima fase: approfondimenti
!   Docente e studenti insieme cercano
approfondimenti mirati all’uso degli operatori
matematici e dei numeri, delle scoperte in
ambito matematico, delle applicazioni
matematiche alle varie realtà, etc.…
!   La classe decide di approfondire alcuni
argomenti emersi via via dalle varie relazioni.
Approfondimenti: esempio
Gli studenti
approfondiscono la storia
dei numeri, il numero zero
e la notazione posizionale
Approfondimenti: esempio
Gli studenti
approfondiscono la
matematica cinese ed i
quadrati magici
Approfondimenti: esempio
Gli studenti
decidono di
dedicarsi alle
proprietà del
triangolo di
Tartaglia
Approfondimenti: esempio
Scoprendo che il modo più
diffuso per ricordare un
numero era di 'tenerlo in
mano' mediante un elaborato
sistema di posizioni delle dita,
gli studenti imparano ed
apprezzano un modo per
ricordare la tabellina del 9
usando le mani.
Approfondimenti
Gli studenti decidono di
dedicare parte del loro
lavoro alla costruzione e
analisi dei bastoncini di
Nepero e loro proprietà di
calcolo attraverso le
cosiddette le “gelosie”.
Approfondimenti
Dopo Nepero gli
studenti scoprono
anche i bastoncini di
Lucas e Genaille
Seconda fase del percorso
!   Nella seconda fase si approfondisce la struttura
del Liber Abaci e gli studenti iniziano a lavorare
sui problemi matematici tratti dallo stesso.
!   Viene utilizzato il testo di Geronimi Giochi
matematici del Medioevo. I «conigli di Fibonacci»
e altri rompicapi liberamente tratti dal Liber
Abaci, selezionando 16 problemi significativi di
Fibonacci
Seconda fase: i problemi
!   I problemi tratti da Liber Abaci e tradotti dall’autore Geronimi
sono stati selezionati dal docente in modo da coprire gli argomenti
della matematica curricolare come frazioni, proporzioni,
equazioni lineari, etc.
!   I problemi scelti sono stati: 1) Due viaggiatori; 2) Le quattro pezze;
3) Compere ad Alessandria; 4) Divisione in tre parti; 5) Leone,
leopardo e orso; 6) Il tino con quattro fori; 7) Il tino con rubinetti e
fori; 8) Quattro ricchi uomini; 9) Due amici con due denari; 10) Tre
perle vendute a Costantinopoli; 11) Un mercante di Pisa; 12) Un
mercante e quattro viaggi; 13) Una casa in costruzione; 14) Le
coppie di conigli; 15) Potenze di due nella scacchiera; 16) Sette
anziani verso Roma.
Seconda fase: soluzioni
!   Questa seconda fase è portata avanti in modo graduale
poiché inizialmente gli studenti hanno trovato difficoltà
nella soluzione dei problemi.
!   E’ stata consegnata a ciascun gruppo una copia di alcuni
problemi chiedendo loro di proporre una soluzione.
!   In un secondo momento, insieme all’insegnante, viene
proposta la soluzione usando i metodi risolutivi di
Fibonacci studiando insieme agli studenti le strategie di
quel tempo. In alcuni casi, gli studenti hanno saputo
proporre soluzioni più efficienti utilizzando strumenti
matematici diversi.
I problemi: esempio
C'è un albero, di cui 1/3 e 1/4
stanno sotto terra. Il rimanente,
che sta sopra la terra è 21 palmi.
Si chiede quale sia la lunghezza
dell'albero. Poniamo che l'albero
sia 12 palmi, da cui, tolti 1/3 e 1/4 ,
cioè 7, restano sopra la terra 5
palmi. Dunque dirai: per 12 che ho
posto, viene 5; cosa devo porre
perché venga 21' Moltiplica allora
gli estremi, cioè 12 per 21, e dividi
per il medio 5; verrà 50 e 2/5 .
I problemi: esempio
Un tale mise una coppia di
conigli in un luogo
completamente circondato da
pareti, per scoprire quante
coppie di conigli discendano
da questa in un anno. Per
natura ogni coppia di conigli
genera in un mese un'altra
coppia, e cominciano a
procreare a partire dal
secondo mese di vita.
I problemi: esempio
Un altro problema antichissimo
che è giunto inalterato fino ai
nostri giorni è legato al gioco
degli scacchi. Si tramanda che
il suo inventore chiese come
ricompensa un chicco di grano
per la prima casella, due per la
seconda, quattro per la terza,
otto per la quarta, e così via
sempre raddoppiando fino a
giungere all'ultima casella della
scacchiera, la
sessantaquattresima.
I problemi: esempio
La regola del tre: se un Cantare si vende per 40
lire, quanto valgono 5 Rotuli?
Per trovare il numero incognito, si scrive a destra
il primo numero, cioè la quantità della merce,
accanto a questo a sinistra il suo prezzo. Se ora è
nota la seconda quantità di merce, si scrive sotto
la merce, se è nota la somma da spendere, si
scrive sotto il prezzo, in modo tale che si scrive
sempre un genere sotto lo stesso genere: merce
sotto merce o denari sotto denari. Una volta fatto
ciò, si moltiplicheranno i numeri opposti, e il
prodotto diviso per il numero che rimane darà il
quarto numero cercato.
I problemi:
approfondimenti
!   Ogni gruppo in questa seconda fase analizza e
risolve circa tre problemi di Fibonacci cercando di
coinvolgere il resto della classe nella soluzione.
!   La seconda fase si conclude con la selezione di
alcuni problemi significativi e dei loro relativi
approfondimenti.
!   Ad esempio, dal problema dei conigli emerge
l’esigenza di approfondire il concetto di numero
aureo e di sezione aurea oltre alle proprietà della
successione di Fibonacci.
Approfondimenti: esempio
Una proprietà inaspettata
dei numeri di Fibonacci è
che via via che si procede,
il rapporto tra uno di essi
e quello che lo precede si
avvicina sempre più al
numero aureo
Approfondimenti: esempio
La costruzione
geometrica della
seziona aurea di
Euclide
Approfondimenti
La formula di Gauss
Approfondimenti
!   La bilancia per
introdurre le equazioni
Terza fase del percorso
!   Nella terza fase del percorso gli studenti visitano la
mostra su Fibonacci allestita dal Giardino di
Archimede (Firenze)
!   Partecipano al laboratorio didattico sulla storia dei
numeri sempre proposto dal Giardino di Archimede
(Firenze)
!   Decidono di ricomporre il percorso progettando una
mostra sulla Storia della Matematica e sul calcolo
numerico e creando alcune attività laboratoriali con i
problemi da loro analizzati.
Terza fase: organizzazione
!   Dai ragazzi stessi nasce il nome Keep calm and
play with Fibonacci
!   I ragazzi decidono di dividersi in due gruppi:
!   Il primo gruppo si occupa di allestire una mostra
attraverso dei cartelloni che illustrano il percorso
della Storia della Matematica nel Mediterraneo fino
a Fibonacci
!   Il secondo gruppo organizza un laboratorio di
calcoli e giochi matematici
Terza fase: mostra
Terza fase: mostra
Terza fase: mostra
Terza fase: laboratorio
Terza fase: laboratorio
Terza fase: il video
!   Una volta allestita la mostra ed il laboratorio
didattico, gli studenti hanno invitato altre classi
della scuola, oppure anche di altre scuole, a
visitare i loro lavori.
!   In questa occasione i ragazzi hanno realizzato
un video che riassume il loro lavoro.
Verifiche degli
apprendimenti
!   Per la verifica degli apprendimenti è stata presa
in esame la capacità degli studenti di costruire e
progettare un percorso sulla storia del numero e
sul problem solving.
!   La valutazione espositiva di ciascuno studente è
stata valutata durante due giornate di Open Days
della Matematica in cui i ragazzi raccontavano il
loro percorso a compagni, docenti e genitori.
Verifiche degli
apprendimenti
!   La particolarità del percorso è stata quella di
progettare insieme agli studenti la mostra
unendo alla mostra stessa la progettazione di un
laboratorio sul numero partendo principalmente
dagli esercizi di Fibonacci.
!   Gli studenti sono stati valutati per il materiale
prodotto e relazionato.
Risultati ottenuti
!   Il primo risultato ottenuto è quello relativo agli obiettivi
trasversali: gli studenti hanno assaporato davvero il gusto di
“Imparare facendo”
!   Gli studenti, divisi nei piccoli gruppi, hanno imparato ad
ascoltarsi, ad osservarsi, a discutere di matematica, si sono
confrontati ed hanno portato nel gruppo le loro proposte
!   Hanno imparato ad organizzarsi, ad essere autonomi e ad
autovalutarsi
!   Inoltre, gli alunni meno motivati nelle lezioni frontali sono stati
valorizzati dai compagni stessi.
Risultati ottenuti
!   Hanno avuto l’opportunità di utilizzare in modo critico le
tecnologie, in particolare l’uso di internet
!   Dal punto di vista disciplinare, si può osservare come
alcuni argomenti come le equazioni ed i sistemi siano stati
introdotti in anticipo rispetto alla programmazione
curricolare, ma con il vantaggio di utilizzare meno ore
!   Gli argomenti sono stati introdotti “per necessità”, ovvero
per risolvere un problema, in questo modo la parte teorica
è risultata più semplice da capire successivamente
Risultati ottenuti
!   Gli studenti hanno apprezzato la potenza delle
formule: dopo la spiegazione complicatissima di
un compagno sulle regole della procreazione
delle coppie di conigli di Fibonacci, uno studente
ha trovato una proprietà della serie di Fibonacci
che gli ha semplificato la vita!
Valutazione dell’efficacia del
percorso didattico sperimentato
!   Il laboratorio didattico sperimentato si basa sulla
competenza “Imparare a imparare”, la quale fa parte delle
otto competenze chiave presenti nelle Raccomandazioni
del Parlamento Europeo e del Consiglio del 18 Dicembre
2006.
!   Il laboratorio inoltre ci ha permesso di sviluppare altre
competenze come il pensiero critico, la creatività,
l’iniziativa, la capacità di risolvere problemi, prendere
decisioni.
!   Il percorso didattico ci ha permesso di agire sulla
motivazione e sulla fiducia che sono elementi essenziali
perché una persona possa apprendere in modo efficace.
Valutazione dell’efficacia del
percorso didattico sperimentato
!   Il percorso didattico ci ha permesso di raggiungere un
obiettivo importante che si basa sulla convinzione che
all’acquisizione dei “saperi” si perviene attraverso il “fare”.
!   Ci ha permesso di valorizzare l’insegnamento personalizzato
rafforzando la teoria delle intelligenze plurime.
!   Il percorso laboratoriale è stato un ottimo strumento per
attuare il principio della centralità dello studente.
!   Il lavoro di gruppo è stato importante anche per imparare a
lavorare insieme condividendo la responsabilità per
raggiungere obiettivi comuni, quali l’impegno, la motivazione
per il proprio lavoro e la costruzione di relazioni
interpersonali positive.