I frattali di Giovannini Andrea-pdf
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Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Classe V sL I frattali Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 • Matematica frattale: • • • • • • I frattali e le loro caratteristiche Le linee di costa della Bretagna La polvere di Cantor Il fiocco di neve di von Koch Il triangolo di Sierpinski I frattali e la natura: • Mineralogia: i cristalli • Astronomia: le galassie • Storia dell’arte: • Il puntinismo di Georges Seurat • Il dripping di Jackson Pollock • I frattali e la poesia: • “Blake and the fractals” Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 2 ".....Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi...." Benoit Mandelbrot Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 3 Cos’è un frattale? La definizione più semplice lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica, un frattale, invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 4 Per essere riconosciuto come tale, un frattale deve però possedere alcune caratteristiche fondamentali: • • • • • Autosimilarità; Perimetro nullo o illimitato; Area finita o nulla; Dimensione non intera; Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione; • Dinamica caotica; Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 5 Autosimilarità Un esempio naturale comune può essere una linea costiera, di cui rimane invariata, in scala, l'irregolarità ed è per questo che anche un particolare somiglia tanto a tutta la costa. I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 6 Perimetro illimitato Il perimetro di molti frattali può tendere a infinito, mentre l'area resta finita. Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone subisce una riduzione, d'altra parte il numero di segmenti aumenta: sostituiamo come minimo due segmenti ad ognuno dei precedenti e dunque la lunghezza complessiva, per l'assioma della distanza, aumenta. Il processo di costruzione di un frattale si ripete all'infinito, dunque il perimetro di una frattale tende ad infinito: Inizio: 1 segmento di 27 quadretti Andrea Giovannini Primo passo: 5 segmenti di 9 quadretti Esame di Stato 2012 Secondo passo: 25 segmenti di 3 quadretti… 7 Anche nella realtaà il concetto di lunghezza presenta dei limiti quando vogliamo misurare una linea estremamente irregolare. Mandelbrot si era posto il problema con la sua famosa domanda: "Quanto è lunga la costa della Bretagna?” Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato. Se cerchiamo di essere sempre più precisi , visto che ad ogni passo troviamo sempre le stesse irregolarità, vediamo che la misura non converge verso un ben definito valore, ma, anzi, aumenta. Se misuriamo la distanza fra due punti in linea d'aria, troveremo una certa lunghezza. Se misuriamo la distanza tra gli stesso due punti, a grandi passi, troviamo una lunghezza maggiore Più cerchiamo di aumentare la precisione e più la lunghezza aumenta. La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infinita, perchè non potremo dividere indefinitamente i tratti da misurare, ma l'andamento delle successive misurazioni ricorda quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 8 Perimetro nullo Alcuni frattali possono avere perimetro nullo in quanto, all'infinito, si riducono a punti isolati. Per spiegare questo concetto utilizziamo un particolare frattale:“ l’insieme di Cantor “. Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. Questo procedimento può essere ripetuto senza limite: un assioma della geometria afferma, infatti, che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali. Come figura limite si ottiene l’insieme di Cantor. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 9 La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente: infatti ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa zero in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a: Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più eliminato. Rimarranno quindi dei punti isolati, fase finale dell'insieme di Cantor, che, per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 10 Area finita Il contorno dei frattali, pur avendo lunghezza infinita,è racchiuso in un’area limitata Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch Il primo passo per la costruzione del fiocco di neve di Von Koch consiste nel prendere in considerazione un triangolo equilatero inscritto in un cerchio. Andrea Giovannini Dopo il primo passo: la figura è costituita da due triangoli equilateri uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo ad un lato, in questo caso ad EF parallelo ad AF. Esame di Stato 2012 Possiamo, quindi, ripetere l’operazione con i triangoli equilateri che si sono formati al passo precedente. 11 Questo procedimento può essere ripetuto infinite volte, ma si otterranno sempre figure inscrivibili in cerchi, che risultano tangenti internamente al cerchio circoscritto al triangolo ABC. Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi tangenti internamente ai cerchi gia costruiti. L’area del fiocco di neve è limitata perché è contenuta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 12 Area nulla Altre volte l’area può essere addirittura nulla, come nel caso del triangolo di Sierpinski. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1 1. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2 2. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4 3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8 Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 13 Il procedimento precedentemente illustrato potrà essere ripetuto infinite senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale. Nonostante questo frattale goda di autosimilitudine e abbia un perimetro infinito, la sua area risulta essere nulla: l'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 14 Dimensione frattale Un frattale può essere definito come un oggetto a dimensione frazionaria: la sua dimensione non è, quindi, intera , ma potrà avere anche infinite cifre dopo la virgola. La caratteristica di queste figure, dalla quale ne deriva il nome, è la loro dimensione frazionaria, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare le infinite iterazioni che caratterizzano tali figure) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 15 Struttura complessa a tutte le scale Molti oggetti frattali hanno infiniti dettagli. Dall’immagine si può dedurre che la complessità dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire, anche se viene ingrandito. Tale caratteristica conferisce al frattale una struttura complessa in tutte le scale di riproduzione. E' evidente che questa caratteristica è strettamente collegata alle altre proprietà distintive dei frattali, quali ad esempio l’autosimilarità, la dimensione frazionaria, il perimetro infinito e l'area finita. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 16 Perchè ci interessano ? La maggior parte degli oggetti in natura non ha la forma di quadrati, triangoli, sfere o coni, ma di figure geometriche più complicate. Si dà il caso che le nuvole NON siano sfere, e le montagne NON siano coni. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 17 Molti oggetti naturali, come… CAVOLFIORE FELCE …hanno forma frattale Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 18 Il nostro corpo è frattale? Si ritiene che in qualche modo i frattali . abbiano corrispondenze con la struttura della mente e di altre parti del corpo. Struttura frattale dei villi intestinali (sopra) e dei vasi sanguigni del cuore (sotto) Struttura frattale dei bronchi Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 19 Il ripetersi del reticolo cristallino Un minerale è una sostanza naturale di tipo inorganico avente una struttura cristallina, un’impalcatura di atomi regolare e ordinata. Da questa struttura interna si origina la forma esterna del minerale, visibile e altrettanto regolare, detta abito cristallino. Perché i cristalli seguono un andamento frattale? La loro struttura interna è caratterizzata da una disposizione degli atomi nello spazio tale che una stessa configurazione di atomi, detta cella elementare, si ripete a intervalli regolari lungo più direzioni. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 20 Cosmologia frattale Le galassie: “grumi” di materia luminosa La cosmologia frattale è una minoranza di teorie cosmologiche, nelle quali si afferma che la distribuzione della materia nell’Universo, o la struttura stessa dell’universo, è frattale. Le galassie si possono rappresentare come "grumi" di materia luminosa e illuminata (stelle, pianeti, asteroidi, ecc), queste a loro volta sono raggrumate a decine a formare gli ammassi di galassie. Negli anni Ottanta si e' scoperto che questi ammassi sono anch'essi strutturati nei cosiddetti superammassi, tuttora oggetto di osservazione. Questo susseguirsi di vuoti e pieni di materia, ripetuti su scala sempre più grande rende l'idea della teoria dell’universo frattale. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 21 La “Galassia delle galassie” dall'insieme di Mandelbrot Galassie a spirale Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 22 Storia dell’arte: G. Seurat ( 1859-1891 ) Una domenica pomeriggio all'isola della Grande-Jatte, 1886, olio su tela, 205 x 308 cm, Art Institute, Chicago. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 23 Nella seconda metà dell’Ottocento si sviluppò la tecnica puntinista, a opera di G. Seurat. Questa tecnica consiste nell’accostare sulla tela infiniti puntini di colori puri che, a una certa distanza, si compongono nella percezione dell’osservatore in nuovi colori nati dalla loro fusione ottica, secondo il principio della ricomposizione retinica. Con questa procedura il colore assume particolari aspetti di vibrazione luminosa impossibili da raggiungere con la tecnica a olio usata in modo tradizionale. La pittura puntinista si basò sugli studi ottici relativi al contrasto simultaneo e ai colori complementari e fu la dimostrazione di come il rapporto arte – scienza possa rinnovare non solo la tecnica ma la stessa pittura. Nel puntinismo di Seurat più l’osservatore si avvicina alla tela più facilmente nota la struttura complessa che compone le figure del dipinto. Tale caratteristica è paragonabile alle strutture frattali. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 24 Jackson Pollock (1912-1956) Pali blu, 1953, olio e smalto sintetico su tela, 210 x 489 cm, New York, Collezione Ben Heller Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 25 Pollock mette a punto la tecnica del dripping, che consiste nello sgocciolare e spruzzare il colore direttamente dal barattolo sulla tela posta in terra. Per effetto dello sgocciolamento i colori si intrecciano, divergono, in un’azione non progettata e in cui è lasciato un certo margine al caso. L’artista con i propri gesti determina, infatti, il tipo di segni che cadranno sulla superficie del quadro. Negli anni '90 Richard Taylor, un matematico-artista, intravide nella pittura di Pollock, apparentemente così istintiva e priva di regole, un legame con i frattali. Analizzando le tele, è risultato evidente che il pigmento colato definisce uno schema distributivo delle zone riempite di colore e delle zone bianche sempre uguale, secondo una precisa struttura frattale simile a quella in cui evolvono le forme naturali. Inconsapevolmente Pollock, alla ricerca di una totale casualità compositiva, in realtà mima precisi schemi naturali, che hanno come risultato il suo caratteristico “frattale”. Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 26 Blake: il precursore dei frattali Nel 1990, il professor Jasper Memory dell’Università di Stato di North Carolina ha pubblicato sul “Mathematics Magazine” una poesia intitolata “Blake and Fractals”. Ispirandosi al verso del poeta, pittore e incisore William Blake, “vedere un mondo in un granello di sabbia”, Memory ha composto questi versi: Andrea Giovannini "Paesaggi scorgeva infiniti Di sabbia nel più piccolo grano Contenuto nel cavo della mano Ciascuno di noi trova esempi di ciò Nell’opera di Mandelbrot: I diagrammi frattali partecipano Dell’essenza da Blake presentita. Sempre la forma essenziale Prevale prescindendo dalla scala: E le particolari segnature Da vicino e da lontano sono chiare. Ingrandito il punto che avevi, Quello stesso punto ritrovi. E se ancora e ancora ingrandisci Gli stessi dettagli riconosci; Più fine del più fine capello Ecco di Blake l’infinito, Ricco di particolari a ogni livello come il mistico poeta aveva capito.” Esame di Stato 2012 27 Utilità dei frattali • I frattali sono usati da ingegneri e fisici per creare modelli che descrivono i moti dei fluidi • I frattali possono essere usati per comprimere immagini e hanno larga applicazione nella realizzazione di film virtuali • I frattali sono usati per lo studio della natura: riprodurre le linee di costa, i corsi dei fiumi, le montagne e per descrivere l’erosione del suolo Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 28 Bibliografia: Mario Livio, La sezione aurea, 2003, BUR Rizzoli Luciano Pietronero, Il padre dei frattali,Darwin, marzo-aprile 2011 M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, Derivate e studi di funzione, 2005, Zanichelli G. C. Argan, L’arte moderna 1770/1970, 1975, Sansoni G. C. Argan, Strumenti per lo studio della storia dell’arte, 2008, Sansoni C. Pignocchino, I. Neviani, Geografia Generale, 2009, SEI Siti web: • • • • www.miorelli.net www.frattali.it (di Laura Lotti) www.webfract.it (di Eliana Argenti) www.wikipedia.it Andrea Giovannini Esame di Stato 2012 29