Grafici deducibili

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Grafici deducibili

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE
Funzione opposta y = − f ( x )
Il grafico della funzione − f ( x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all’asse x , il grafico della
funzione f ( x ) .
− f( x)
f( x)
Appunti di Matematica
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1
Funzione simmetrica y = f ( − x )
Il grafico della funzione f ( − x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all’asse y , il grafico della
funzione y = f ( x ) .
f ( −x )
f( x)
2
Funzione simmetrica dell’opposto y = − f ( − x )
Il grafico della funzione − f ( − x ) è il simmetrico rispetto all’origine di quello della funzione f ( x ) .
Esso si ottiene simmetrizzando il grafico della funzione f ( x ) . prima rispetto all’asse y e poi
rispetto all’asse x (o viceversa),
Esempio 1
Esempio 2
f( x)
f ( −x )
− f ( −x )
3
Funzione valore assoluto (1)
y = f( x)
Il grafico della funzione f ( x ) si ottiene tracciando il grafico della funzione y = f ( x ) ed in seguito
simmetrizzando rispetto all’asse x la parte di grafico che si trova sotto l’asse x . I punti di
intersezione con l’asse x sono punti angolosi.
f( x)
f( x)
4
Funzione valore assoluto (2) y = f ( x
Il grafico della funzione f ( x
)
)
è costituito:
- nel semipiano x ≥ 0 , dal grafico della funzione f ( x )
- nel semipiano x < 0 , dal grafico simmetrico rispetto all’asse y della funzione f ( x ) .
I punti di intersezione con l’asse y sono punti angolosi.
f( x)
f( x)
5
Funzione valore assoluto (3) y = f ( x )
Il grafico della funzione f ( x )
si costruisce con il seguente procedimento:
- si traccia il grafico di f ( x )
- si traccia il grafico di f ( x )
- si traccia il grafico f ( x ) .
- Tutti i punti di intersezione con gli assi x e y sono punti angolosi.
Esempio 1
Esempio 2
f( x)
f (x)
f (x)
6
Funzione esponenziale y = e
f(x)
Il grafico della funzione esponenziale e f ( x ) è tutto al di sopra dell’asse x.
Esso si ottiene da quello di f ( x ) applicando all’esponente e , i valori significativi di f ( x )
(massimi, minimi, incontro con gli assi).
y = e f(x)
f( x)
x0 Max relativo
x0 Max relativo
x0 Min relativo
x0 Min relativo
x0 Flesso
x0 Flesso
Nei punti in cui f ( x0 ) = 0
e
f ( xo )
Se f ( x ) → +∞
e
f(x)
Se f ( x ) → −∞
e f( x ) → 0+
=1
→ +∞
e f(x)
f( x)
7
e f(x)
f( x)
8
Funzione logaritmica y = log a f ( x )
(con a > 1 )
Il grafico della funzione logaritmica log a f ( x ) si ottiene da quello della funzione f ( x ) applicando
al logaritmo i valori significativi di f ( x ) (massimi, minimi, incontro con gli assi).
f( x)
log a f ( x )
x0 Max relativo
x0 Max relativo
x0 Min relativo
x0 Min relativo
log a f ( x0 ) = 0
Se f ( x ) → +∞
log
Se f ( x ) → 0 +
log a f ( x ) → −∞
Negli intervalli dove f ( x ) è negativa
log a f ( x ) non esiste
a
f ( x ) → +∞
f( x)
ln f ( x )
9
f( x)
ln f ( x )
10
Funzione arcoseno y = arcsen f ( x )
Il grafico della funzione arcsen f ( x ) si ottiene considerando soltanto gli intervalli nei quali
−1 ≤ f ( x ) ≤ 1.
Il grafico di arcsen f ( x ) si ottiene:
1. disegnando il suo grafico caratteristico, prendendo come centro di simmetria i punti in cui f ( x )
tocca l’asse x e nel cui intorno la funzione è crescente;
2. disegnando il simmetrico rispetto all’asse verticale del suo grafico caratteristico, prendendo come
centro di simmetria i punti in cui f ( x ) tocca l’asse x e nel cui intorno la funzione è decrescente.
f( x)
Nei punti in cui f ( x ) = 0
Nei punti in cui f ( x0 ) = −1
arcsen f ( x )
arcsen f ( x ) = 0 e in esso c’è un flesso
π
arcsen f ( x ) = −
2
π
arcsen f ( x ) =
2
Il grafico di arcsen f ( x ) è racchiuso fra le rette y = − π e y = π
2
f( x)
2
arcsen f ( x )
11
f( x)
arcsen f ( x )
12
Funzione arcotangente y = arctg f ( x )
Il grafico della funzione arcotangente arctg f ( x ) si ottiene da quello della funzione f ( x ) applicando
all’arcotangente i valori significativi di f ( x ) (massimi, minimi, incontro con gli assi).
f( x)
x0 Max relativo
arctg f ( x )
x0 Max relativo
x0 Min relativo
x0 Min relativo
x0 Flesso relativo
Nei punti in cui f ( x ) = 0
x0 Flesso relativo
arctg f ( x ) = 0
π+
arctg x → −
2
π−
arctg x → +
2
Se f ( x ) → −∞
Se f ( x ) → +∞
Il grafico di arctg f ( x ) è racchiuso fra le rette y = − π e y = π
2
f( x)
2
arctg f ( x )
13
f( x)
arctg f ( x )
14
Funzione esponenziale con argomento in valore assoluto y = e
f(x)
f(x)
Il grafico della funzione y = e
si ottiene applicando prima le considerazioni riguardanti
il valore assoluto ed in seguito quelle relative all’esponenziale.
Esempio 1
Esempio 2
f( x)
f( x)
e
f(x)
15
Funzione logaritmica con argomento in valore assoluto y = log a f ( x )
(a >1)
Il grafico della funzione log a f ( x ) si ottiene applicando prima le considerazioni riguardanti il
valore assoluto ed in seguito quelle relative al logaritmo.
Esempio 1
Esempio 2
f( x)
f( x)
ln f ( x )
16
GRAFICO TRASLATO (1) y = f ( x ) + k
Il grafico della funzione f ( x ) + k si ottiene traslando con ampiezza k il grafico della funzione f ( x ) :
- verso l’alto
se k > 0
- verso il basso
se k < 0
ex
ex + 3
ex
ex − 3
17
GRAFICO TRASLATO (2) y = f ( x + k )
Il grafico della funzione f ( x + k ) si ottiene traslando con ampiezza k il grafico della funzione f ( x ) :
- verso sinistra
se k > 0
- verso destra
se k < 0
log e x
log e (x + 2)
log e x
log e (x − 2)
18
GRAFICO DILATATO (1) y = f ( k ⋅ x )
Il grafico della funzione f ( k ⋅ x ) si ottiene dal grafico della funzione f ( x ) :
1
- contraendolo (parallelamente all’asse x ), nel rapporto da 1 a
k
1
- dilatandolo (parallelamente all’asse x ), nel rapporto da 1 a
k
I punti di intersezione con l’asse y restano fissi.
sen x
se 0 < k < 1
sen 3x
sen x
se k > 1
sen
1
x
2
19
GRAFICO DILATATO (2) y = k ⋅ f ( x )
Il grafico della funzione k ⋅ f ( x ) si ottiene dal grafico della funzione f ( x ) :
- dilatandolo (parallelamente all’asse y ), nel rapporto da 1 a k
- contraendolo (parallelamente all’asse y ), nel rapporto da 1 a k
se k > 1
se 0 < k < 1
I punti di intersezione con l’asse x restano fissi.
sen x
3 ⋅ sen x
sen x
1
⋅ sen x
2
20
Grafico della funzione derivata f I ( x )
Il grafico della derivata f I ( x ) si ottiene esaminando alcune caratteristiche della funzione f ( x ) :
negli intervalli in cui la funzione f ( x ) è crescente, la sua derivata f I ( x ) è positiva e il valore della
derivata sarà tanto maggiore quanto maggiore è la pendenza del grafico della funzione data
negli intervalli in cui la funzione f (x) è decrescente, la sua derivata f I (x) è negativa e il valore della
derivata sarà tanto maggiore quanto maggiore è la pendenza del grafico della funzione data
nei punti in cui il grafico della funzione f ( x ) ha tangente orizzontale (max, min e flessi a tangente
orizzontale) la derivata prima f I ( x ) tocca l’asse delle x
negli intervalli in cui il grafico di f ( x ) volge la concavità verso l’alto, la sua derivata f I ( x ) è
crescente
negli intervalli in cui il grafico di f (x) volge la concavità verso il basso, la sua derivata f I (x) è
decrescente
nei punti di flesso del grafico di f ( x ) , la sua derivata f I ( x ) ha un punto di max, o di min o un flesso
a tangente orizzontale
se la funzione f ( x ) è pari, allora la sua derivata f I ( x ) è dispari
se la funzione f (x) è dispari, allora la sua derivata f I (x) è pari
f I(x)
f( x)
21
ESEMPI
ESEMPIO 1 :
f(x) = −
x
2
I° Passaggio :
III° Passaggio : −
II° Passaggio :
x
x
IV° Passaggio : −
x
x
2
22
ESEMPIO 2 :
f( x) =
x −2
2
I° Passaggio :
III° Passaggio :
x
II° Passaggio :
x −2
x −2
2
23
ESEMPIO 3 :
f(x) =
x −2
I° Passaggio :
III° Passaggio :
x
x −2
II° Passaggio :
IV° Passaggio :
x
x −2
24
ESEMPIO 4 :
f( x) =
3
−x
I° Passaggio :
III° Passaggio :
3
x
3
−x
II° Passaggio :
3
−x
25
ESEMPIO 5 :
f ( x ) = e−x + 1
I° Passaggio : e x
III° Passaggio :
II° Passaggio :
e−x
e−x +1
26
ESEMPIO 6 :
f( x) = − e
1⎞
⎛
⎜x− ⎟
2⎠
⎝
+
1
2
I° Passaggio : e x
III° Passaggio : − e
⎛ 1⎞
⎜x− ⎟
⎝ 2⎠
II° Passaggio : e
IV° Passaggio : − e
1⎞
⎛
⎜x− ⎟
2⎠
⎝
⎛ 1⎞
⎜x− ⎟
2⎠
⎝
+
1
2
27
ESEMPIO 7:
f( x) = − e
x
+1
I° Passaggio : e x
III° Passaggio : − e
V° Passaggio :
−e
x
II° Passaggio : e
x
IV° Passaggio : − e
x
x
+1
+1
28
ESEMPIO 8 :
⎛1 ⎞
f(x) = ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
−x
−1
⎛1 ⎞
I° Passaggio : ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛1 ⎞
III° Passaggio : ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
⎛1 ⎞
II° Passaggio : ⎜ ⎟
⎝2⎠
−x
−x
−1
29
ESEMPIO 9 :
f ( x ) = − log(-x)
I° Passaggio : log x
III° Passaggio :
log(-x)
II° Passaggio : log(-x)
IV° Passaggio : − log(-x)
30
ESEMPIO 10 :
f ( x ) = 1 − log x + 1
II° Passaggio : log (x + 1)
III° Passaggio : log x + 1
IV° Passaggio : − log x + 1
V° Passaggio : − log x + 1 + 1
31
ESEMPIO 11 :
f( x) =
1
1⎞
⎛
− log ⎜ x − ⎟
2
2⎠
⎝
1⎞
⎛
II° Passaggio : log ⎜ x − ⎟
2⎠
⎝
1⎞
⎛
III° Passaggio : − log ⎜ x − ⎟
2⎠
⎝
1⎞ 1
⎛
IV° Passaggio : − log ⎜ x − ⎟ +
2⎠ 2
⎝
32
ESEMPIO 12 :
f ( x ) = log( − x ) + 1
III° Passaggio :
log( − x )
II° Passaggio : log (− x )
IV° Passaggio :
log( − x ) + 1
33
ESEMPIO 13 :
f ( x ) = −(1 + log x )
II° Passaggio : log x
III° Passaggio : 1 + log x
IV° Passaggio : − (1 + log x )
34
ESEMPIO 14 :
f ( x ) = 2 ⋅ arcsen (x + 1)
II° Passaggio : arcsen (x + 1)
I° Passaggio : arcsen x
III° Passaggio : 2 ⋅ arcsen (x + 1)
35
ESEMPIO 15 :
f ( x ) = 3 ⋅ arcsen (x − 1)
II° Passaggio : arcsen (x − 1)
I° Passaggio : arcsen x
III° Passaggio : 3 ⋅ arcsen (x − 1)
IV° Passaggio :
3 ⋅ arcsen (x − 1)
36
ESEMPIO 16 :
f( x) =
− arccos x + π 2
2
II° Passaggio : − arccos x
I° Passaggio : arccos x
III° Passaggio : − arccos x + π 2
IV° Passaggio :
− arccos x + π 2
2
37
ESEMPIO 17 :
f ( x ) = 3 ⋅ arccos( x − 1 )
II° Passaggio : arccos( x − 1 )
I° Passaggio : arccos x
III° Passaggio : 3 ⋅ arccos( x − 1 )
38
ESEMPIO 18 :
f( x) =
π
− arctg (x − 1 )
2
II° Passaggio : arctg (x − 1 )
I° Passaggio : arctg x
III° Passaggio :
arctg (x − 1 )
V° Passaggio : − arctg (x − 1 ) +
IV° Passaggio : − arctg (x − 1 )
π
2
39
ESEMPIO 19 :
f(x) =
1
π
⋅ arccotg x −
2
2
I° Passaggio : arccotg x
III° Passaggio :
II° Passaggio :
1
⋅ arccotg x
2
1
π
⋅ arccotg x −
2
2
40
ESEMPIO 20 :
f ( x ) = 2 ⋅ sen x − cos x
II° Passaggio : 2 ⋅ sen x
I° Passaggio : sen x
IV° Passaggio : 2 ⋅ sen x
III° Passaggio : cos x
e
cos x
V° Passaggio : f ( x ) = 2 ⋅ sen x − cos x
41
Esercizi da svolgere
Tracciare i grafici delle funzioni:
π
);
3
y = ( x + 2 )2 ;
y = ( x + 2 )3 + 1 ;
y = 1 + sin( x +
y = e x +2 −1 ;
log 1 x (con a > 1 ) ;
y = x +1 ;
y = 2 x −2 + 1 ;
y = 2 3x ;
y=
y = ( x − 1 )3 − 2 ;
y = ln( x − 3 ) + 1 ;
y = ln x + 1 ;
y=e
y = ln( x + 2 ) ;
a
⎛π
⎞
y = tan ⎜ + x ⎟ ;
⎝2
⎠
y=
y = 2x +1 ;
y =e
y =e
x −1
;
1
;
1− x
x +1
;
y = sin x +
1
;
2
1
2
x ;
x
−2 ;
42

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