Soffiare in una cannuccia

Soffiare in una cannuccia
Problema(1)
I test di capacità polmonare dimostrano che gli adulti
sono capaci di esalare 1,5 litri attraverso la bocca nel
brevissimo tempo di 1.0 s.
a) Se una persona soffia aria in questo modo
attraverso una cannuccia che ha un diametro
di 0,6cm, qual è il modulo della velocità
dell’aria nella cannuccia?
b) Se l’aria della cannuccia in a) viene diretta
orizzontalmente lungo l’estremità superiore di
una seconda cannuccia posta verticalmente,
come mostrato nella figura a lato, a quale
altezza sale l’acqua nella cannuccia verticale?
Soluzione
a) Per le risoluzione del problema adottiamo i seguenti simboli
Pa
pressione dell’aria all’esterno della cannuccia, quindi Pa è la pressione atmosferica;
Pi
la pressione dell’aria all’interno della cannuccia;
S
area di una sezione normale della cannuccia;
d
diametro della cannuccia;
V
velocità dell’aria nella cannuccia.
Per quanto concerne le velocità delle singole particelle di aria all’esterno della cannuccia, in
mancanza di “una corrente di flusso”, le particelle si muovono in modo caotico in tutte le
direzioni; ciò suggerisce di considerare come se fossero sostanzialmente ferme rispetto alla
cannuccia.
Calcolo della velocità V dell’aria nella cannuccia.
Dai dati forniti dal testo sappiamo che in un secondo attraverso una sezione normale della
cannuccia transitano 1,5dm3 di aria. Questo valore rappresenta la portata di aria della cannuccia
mentre la persona vi soffia dentro con le caratteristiche indicate. La portata è data dal prodotto
della velocità delle particelle per l’area della sezione e dunque, con i simboli introdotti, si ha:
dm3
πd2
4 ⋅1,5 dm3
4 ⋅1, 5
dm3
m
=
SV = 1, 5
, con S =
V=
≈ 53 .
2
2
s
4
πd
s
s
3,14 ⋅ ( 0, 6cm ) s
b) Per la soluzione di questa parte del problema facciamo riferimento alla figura riportata a
lato. In essa abbiamo illustrato la situazione
come se si disponesse di un tubo a forma di
T la cui parte superiore, disposta
orizzontalmente, rappresenta la cannuccia
in cui scorre l’aria con velocità V=53m/s.
All’interno della cannuccia l’aria si trova a
pressione Pi il cui valore è inferiore a quello
dell’aria all’esterno della cannuccia, che è
quello della pressione atmosferica Pa. Possiamo
determinare il valore della pressione interna
applicando la legge di Bernoulli al tubo di
flusso rappresentato dalla cannuccia,
considerando come inizio del tubo un punto
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Testo del problema n.33, riportato a pag. 453 nel libro Fisica, volume primo- Meccanica. Autore James S. Walker Zanichelli
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
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interno alla cannuccia e come fine del tubo l’estremità della cannuccia a contatto con l’esterno.
Nello scrivere la legge di Bernoulli consideriamo la densità dell’aria all’interno della cannuccia
uguale a quella dell’aria all’esterno: ρaria= 1,29Kg/m3.
La legge di Bernoulli ha la seguente forma:
1
1
Pi + ρ aria ghi + ρ ariaV 2 = Pa + ρ aria ghi + ρ ariaVest2 .
2
2
Nella legge hi indica la quota della cannuccia riferita ad un piano orizzontale; possiamo
porre hi=0 per ottenere una forma semplificata. Inoltre, avendo precisato che riteniamo nulla la
velocità rispetto alla cannuccia delle particelle dell’aria esterne alla cannuccia, sarà anche
Vest . = 0m / s e dunque la legge di Bernoulli diventa semplicemente
1
1
Pi + ρ ariaV 2 = Pa
Pi = Pa − ρ ariaV 2
2
2
Osservando ora la figura di riferimento notiamo che la pressione in un punto A della
superficie libera dell’acqua nel contenitore deve essere uguale a quella del punto B che si trova
alla base della colonnina di acqua che è salita nella cannuccia disposta verticalmente, e ciò
perché i due punti fanno parte di un fluido in equilibrio e sono posti alla stessa quota rispetto ad
uno stesso piano di riferimento orizzontale.
Nel punto A evidentemente la pressione è quella atmosferica: Pa; la pressione in B è invece
data dalla somma della pressione alla quale si trova l’aria all’interno della cannuccia con quella
dovuta alla colonna di acqua di altezza h che grava sulla base di appoggio della stessa, il cui
valore è ρacquagh (legge di Stevin). Sussiste dunque l’uguaglianza
Pi + ρ acqua gh = Pa
e sostituendo il valore della pressione Pi otteniamo la relazione
ρ V2
1
Pa − ρ ariaV 2 + ρ acqua gh = Pa
h = aria
2
2 ρ acqua g
Sostituendo i valori noti alle grandezze si determina l’altezza h della colonnina di acqua.
h=
(
1, 29 Kg ⋅ m −3 53ms −1
)
2
2 ⋅1 ⋅103 Kg ⋅ m −3 ⋅ 9,81ms −2
≈ 18, 5cm
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
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