Problemi assegnati nell`a.a. 1999

FISICA PER SCIENZE BIOLOGICHE
a. a. 1999 - 2000
Prova scritta parziale del 19/11/1999
1A)
Un circuito per gare automobilistiche e' formato da due rettilinei e due curve di
raggio di curvatura R = 100 m, come in figura. Il circuito viene percorso in senso orario. Un
particolare tipo di vettura può disporre di una accelerazione centripeta massima ac= 10 m/sec2,
e nei rettilinei di una accelerazione a1=5 m/sec2 e di una
decelerazione a2 = -10 m/sec2. Pertanto, con riferimento alla
figura, l'automobile, uscendo da una curva, percorrerà un tratto
L1 accelerando e un tratto L2 frenando, per affrontare
nuovamente la curva successiva con la velocità consentita
dall'accelerazione centripeta sopportata dall'auto. Sapendo che
su ogni rettilineo l'automobile raggiunge una velocità massima vMAX = 198 Km/h , calcolare:
a) la velocità massima di percorrenza di ciascuna curva, compatibile con ac;
b) la lunghezza del tratto L1 percorso in accelerata e del tratto L2 percorso in frenata;
c) il tempo di percorrenza del circuito.
d) la velocità' media sull'intero circuito.
Soluzioni:
a) vC = aC R = 31.6 m/sec = 114 km/h
b) vMAX2 = v C2 + 2 L1a 1 ==> L1 = 202.5 m
| v C2 = vMAX2 + 2 L2a 2 ==> L2 = 101.3 m
c) vMAX = vC + a1 t1 ==> t1 = 4.7 sec | vC = vMAX + a2 t2 ==> t2 = 2.3 sec | tC = s/vC = π R / vC = 9.9 sec
ttot = (t1+ t2+ tC) x 2 = 33.9 sec
d) vmedia = stot / ttot = 36.5 m/sec = 131.2 Km/h
dove stot = 2 (L1+ L2) + 2πR = 1235.6 m
2A) Una pallina di massa m = 45g, inizialmente in quiete su di un piano orizzontale senza attrito, è
appoggiata a una molla di massa trascurabile compressa di 3 cm rispetto alla posizione di
riposo. Lasciando andare la molla, la pallina si muove lungo una guida liscia e priva di attrito di
altezza h=30cm e successivamente ridiscende andando ad urtare una massa M = 150 g ferma
su un piano orizzontale con attrito µ = 0.2, posto alla stessa quota a cui si trovavano
inizialmente la molla e la pallina. Calcolare:
a) il minimo valore della costante elastica della
molla che permette alla pallina di raggiungere la
sommità del profilo;
b) la velocità della pallina m quando e'
ridiscesa sul piano orizzontale, un istante prima
dell'urto con M.
Supponendo l'urto completamente anelastico e
trascurando l'attrito nella durata dell'urto, calcolare:
c) la velocità del sistema m+M nell'istante immediatamente successivo all'urto;
d) la distanza L percorsa dal sistema m+M prima di fermarsi.
Soluzioni:
a) 1/2 k x2 = mgh
==> k = 294 N/m
b) mgh = 1/2 m v2 ==> v = 2.4 m/sec
c) mv = (m+M) v1 ==> v1 = 0.56 m/sec
d) Lfa = Kf - Ki
==> - µ (m+M) g L = - 1/2 (m+M) v12
==> L = 8 cm
2
2
oppure vf = v 1 + 2aL dove a = - µg
3A) Un tubo, avente l'asse orizzontale, ha sezione S1 = 0.45 dm2 ed e' percorso da acqua. Nella parte
terminale del tubo la sezione diventa 10 volte più grande e si osserva che da qui l'acqua esce
con una velocità v2 = 0.6 m/sec e con una pressione p2 = 1.5 atm. Calcolare:
a) la portata di acqua attraverso il tubo;
b) la velocita' e la pressione dell'acqua nella sezione S 1.
Soluzioni:
a) Q = S2v 2 = 10 S1 v2 = 2.7 10 -2 m3/sec
b) v1 = Q/S1 = 6 m/sec
p1 + 1/2ρ v12 = p2 + 1/2ρ v22
==> p 1 = 1.32 atm = 1.34 10 5 Pa
Domande:
4A) Forza di Gravitazionale Universale: illustrare, ricavare l’energia potenziale e la velocita’ di
fuga di un proiettile dalla terra
5A) Legge di Stokes: illustrare e ricavare la velocità di sedimentazione per una sferetta di
raggio R in un fluido viscoso.
2B)
Una pallina di massa m = 5 Kg, e' tenuta nella posizione indicata in figura al bordo di una
guida circolare senza attrito di raggio R = 50 cm. Ad un certo istante viene lasciata andare e va
ad urtare una massa M = 10 Kg ferma su un piano orizzontale con attrito µ=0.2. Supponendo
l'urto completamente anelastico e trascurando
l'attrito nella durata dell'urto, calcolare:
a) la velocità della pallina m un istante prima
dell'urto con M;
b) la velocità del sistema m+M nell'istante
immediatamente successivo all'urto;
c) la distanza d percorsa dal sistema m+M prima di
fermarsi;
d) l'energia cinetica persa nell'urto.
Soluzioni:
a) mgR = 1/2 m v2
==> v = 3.1 m/sec
b) mv = (m+M) v1
==> v1 = 1.0 m/sec
c) Lfa = Kf - Ki ==> - µ (m+M) g d = - 1/2 (m+M) v12
==> d = 28 cm
2
2
d) ∆K = 1/2 (m+M) v 1 - 1/2 m v = - 16.4 J
3B) Un tubo orizzontale trasporta acqua con una portata Q = 78.9 cm3/sec. La sezione del tubo, di
raggio r1 = 1.2 cm, ad un certo istante si riduce a r2 = 0.5 cm. Sapendo che la parte piu' stretta e'
quella che porta l'acqua all'esterno, dove c'e' la pressione atmosferica, calcolare:
a) La velocità dell'acqua nelle sezioni S1 e S2;
b) La pressione dell'acqua all'interno del tubo nella sezione S 1.
Soluzioni:
a) v1 = Q/S1 = 17.4 cm/sec
b) p1 + 1/2ρ v12 = p 2 + 1/2ρ v22
| v2 = Q/S2 = 100.5 cm/sec
==> p1 = 1.005 atm = 1.015 105 Pa
Domande:
4B) Forza elastica: illustrare e ricavare l’energia potenziale
5B) Legge di Poiseuille: illustrare e spiegare come varia la pressione lungo un condotto in cui
scorre un liquido viscoso.
Prova scritta parziale del 22/12/1999
1A) Un blocco di rame di massa M = 1.8 Kg, inizialmente alla temperatura di 100ºC, viene inserito
in un recipiente adiabatico contenente m = 100 g di ghiaccio a 0ºC. Conoscendo il calore
specifico del rame cr = 386 J/Kg·°K , il calore latente di fusione del ghiaccio λ = 3.33 ·105 J/Kg,
il calore specifico dell' acqua ca = 4190 J/Kg·°K, calcolare:
a) la temperatura finale di equilibrio dopo che tutto il ghiaccio si e' sciolto;
b) la variazione di entropia dell'Universo.
Soluzioni:
a) M cr (Tf - T 0) + mλ + m ca (Tf - Tg) = 0 ==> Tf = 305.5 °K = 32.5 °C
b) ∆Suniv = ∆Srame + ∆Sgh + ∆Sacqua = M cr ln(Tf/T 0) + mλ/Tg + m ca ln(Tf/Tg) = 30.4 J/°K
2A) Una macchina termica esegue il ciclo rappresentato in figura, utilizzando due moli di un gas
perfetto monoatomico che inizialmente si trovano in uno stato
caratterizzato da p1= 2 atm e V1=10 litri. Sapendo che p2=2 p1 e
V2= 3V1 calcolare:
a)
la temperatura di ogni stato;
b)
lavoro e calore in ognuna delle tre trasformazioni;
c)
il rendimento della macchina termica che esegue il ciclo;
d)
la variazione di Entalpia lungo la trasformazione lineare.
Soluzioni:
a) T1 = p 1V1/nR = 122 °K
T2 = 6 T 1
T3 = 3T 1
b) L12 = (p1+p 2)(V2-V1)/2 = 60 l atm
L23 = 0
L31 = p1(V1-V3) = - 40 l atm
c) Q12 = ∆U12 + L12 = n c V (T2-T1) + L12 = 210 l atm > 0 ==> Qass
Q23 = n c V (T3-T2) = - 90 l atm
Q31 = n cp (T1-T3) = - 100 l atm
η = L / Qass = 10 %
d) ∆H12 = n cp (T2-T1) = 250 l atm
Domande:
3A) Primo principio della Termodinamica
4A) Entropia di un gas perfetto
1B) Una sbarra di rame di lunghezza L = 2 m, inizialmente alla temperatura di T1 = 0ºC, viene
riscaldata ponendo un estremo a contatto con una sorgente alla temperatura T2 = 100ºC.
Sapendo che la massa della sbarra e' 1.8 Kg, che il calore specifico del rame e' cr = 386 J/Kg·°K
-1
e il coefficiente di dilatazione lineare del rame e' α = 17·10-6 ºC , supponendo che non ci siano
dispersioni di calore nell'ambiente, calcolare:
a) di quanto si allunga la sbarra quando raggiunge la temperatura di 100ºC;
b) il calore assorbito dalla sbarra quando ha raggiunto la temperatura di 100ºC;
c) la variazione di entropia dell'Universo.
Soluzioni:
a) ∆L = L α (T2 - T 1) = 3.4 mm
b) ∆Q = M c r (T2 - T 1) = 69.5 KJ
c) ∆Suniv = ∆Ssbarra + ∆Ssorgente = M cr ln(T2/T 1) - ∆Q /T2 = 30.5 J/°K
2B) Una macchina frigorifera esegue un ciclo utilizzando due moli di gas perfetto monoatomico che
inizialmente si trovano in uno stato caratterizzato da p 1= 2 atm e V1=10 litri. Il gas viene
raffreddato a volume costante finche' la pressione non diventa uguale a meta' del valore iniziale e
successivamente viene scaldato a pressione costante fino a V3= 3 V1. Infine il gas viene riportato
allo stato iniziale lungo la trasformazione rettilinea che congiunge direttamente lo stato 3 con lo
stato 1. Calcolare:
a) i parametri termodinamici mancanti e disegnare il ciclo nel piano (p,V);
b) lavoro e calore in ognuna delle tre trasformazioni;
c) l'efficienza della macchina frigorifera che esegue il ciclo;
d) la variazione di Entalpia lungo la trasformazione lineare.
Soluzioni:
a) T1 = p 1V1/nR = 122 °K
T2 = 1/2 T 1
T3 = 3/2 T 1
b) L12 = 0
L23 = p2(V3-V2) = 20 l atm
L31 = - (p1+p 3)(V3-V2)/2 = -30 l atm
Q12 = n c V (T2-T1) = -15 l atm
Q23 = n cp (T3-T2) = 50 l atm> 0 ==> Qass
Q31 = ∆U31 + L31 = n c V (T1-T3) + L31 = -45 l atm
c) ω= Qass / L = 5
1
d) ∆H31 = n cp (T1-T3) = -25 l atm
p
2
3
Domande:
V
3B) Dimostrare la relazione: cp - cv = R
4B) Secondo principio della Termodinamica
Prova scritta parziale del 9/2/2000 (Elettromagnetismo)
1) Una sferetta di massa m=100 g e carica q=10-5 C e' sospesa ad un filo lungo L=1 m posto
al centro di un condensatore verticale con armature piane e parallele. Il condensatore viene quindi
caricato depositando sull'armatura di sinistra una carica di densita' superficiale σ = 4.4 10-7 C/m2 e
su quella di destra σ = - 4.4 10-7 C/m2. Calcolare:
a) il campo elettrico E fra le armature
b) la forza F che il campo elettrico esercita sulla sferetta
c) l' angolo θ che il filo forma con la verticale quando la sferetta e' in equilibrio
d) di quanto varia l'energia potenziale elettrica U della sferetta passando dalla
posizione verticale a quella di equilibrio
Soluzioni:
a) E = σ / ε0 = 4.96 104 N/C
b) Fe = E q = 0.496 N
c) T cosθ - mg = 0
-Tsenθ + Fe = 0 ==> tgθ = Fe/ mg ==> θ ≈ 27°
d) ∆V AB = ∫ Edl = E ∫ dl = E BC = El sen θ = 2.25 ⋅ 10 4 V
l
C
A
B
∆UAB = q ∆VA B = 2.25 10 4 10-5 = 0.23 J
2) Nel circuito in figura si ha, in condizioni stazionarie, R1 = 100 Ω, R2 = R3 = 50 Ω, R4 = 200 Ω,
C = 2.2 10-6 F, E = 250 V. Calcolare:
a) la corrente i che attraversa il generatore
b) la carica Q accumulata sul condensatore
c) l'energia U immagazzinata nel condensatore
d) in quanto tempo U verrebbe dissipata nel circuito per effetto Joule
a)
b)
c)
d)
Soluzioni:
Req = R1 + R2 //R 3 + R 4 = 325 Ω
VR4 = i R 4 = 154 V
U = 1/2 q2 / C = 26 mJ
P = energia / ∆t
dove P = iE
i = E / Req = 0.77 A
q = C VC = 3.4 10 -4 C
===> ∆t = U / iE = 1.35 10-4 sec
3) Un'asticella conduttrice si muove senza attrito su due binari conduttori, in modo da costituire una
spira rettangolare con un lato mobile di lunghezza L e velocita' costante v. La
spira e' immersa in un campo magnetico B ortogonale alla superficie della
spira. Se L = 50 cm, v = 20 cm/s e B = 1.2 T, calcolare:
a) la forza elettromotrice E indotta nella spira
b) la potenza PJ dissipata nell'asticella per effetto Joule se la resistenza dei binari e' nulla e
quella dell' asticella e' R = 0.4 Ω
c) la forza F che si deve applicare sull'asticella per mantenerla a velocita' costante
d) la potenza PF sviluppata da questa forza
a)
b)
c)
d)
Soluzioni:
dΦ
Ε=−
= B L v = 0.12 V
dt
PJ = E2/R = 36 mW
F = i L B sen 90° = 0.18 N
PF = F v = 36 mW
i = E / R = 0.3 A
Domande:
4) Il dipolo elettrico
5) Riflessione e rifrazione. Angolo limite.
Prova scritta del 18/2/2000 e recupero prove parziali
MECCANICA
Un martello, appoggiato su un tetto inclinato di θ = 30° rispetto all'orizzontale, comincia a
scivolare da una posizione distante L = 2.5 m dal bordo. Il coefficiente di attrito dinamico fra il
martello ed il tetto e' 0.2. Se il bordo del tetto si trova ad un'altezza h = 10 m dal terreno, si calcoli:
L
h
a) la velocita' v1 con cui il martello abbandona il tetto
b) il tempo t impiegato dal martello a giungere a terra, dal momento in
cui si stacca dal tetto
c) la distanza X tra la base del muro e il punto di impatto col terreno
d) la velocita' v2 di impatto col terreno.
Soluzioni:
a) L ( mg senθ - µ mg cosθ) = 1/2 m v 2
v x = v cosθ = 3.46 m/sec
x = v x t y = vyt + 1/2 g t2
b) per y = h
===> t* = 1.44 sec
c) x = v x t* ~ 5 m
d) 1/2 m (v1 senθ) 2 + mgh = 1/2 m v 22
===> v = 4 m/sec = v 1
vy = v senθ = 2 m/sec
===> v 2 = 14.5 m/sec
Domanda: teorema di Bernoulli
ELETTROMAGNETISMO
Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno un elettrone percorre un'orbita circolare
attorno ad un protone fermo al centro dell'orbita. Dato il raggio dell'orbita r = 0.53 10-8 cm e
la massa dell'elettrone m = 9.11⋅10-31 Kg, calcolare:
a) il periodo di rotazione dell'elettrone
Considerando poi l'elettrone circolante equivalente ad una spira percorsa da corrente, calcolare:
b) la corrente media
c) il momento di dipolo magnetico
d) il campo magnetico B al centro della spira
Soluzioni:
a) m v2 / r = k q1 q 2 / r2
===> v = 2.2 10 6 m/sec
-16
ω = v / r = 4.15 10 sec-1
periodo T = 2π / ω = 1.5 10-16 sec
b) corrente media = e / T = 1 mA
c) µ = i S = 8.8 10-24 A m2
d) B = µ0 i / 2R = 11.8 T
Domanda: legge di Faraday-Neuman
TERMODINAMICA
Una mole di gas perfetto monoatomico compie un ciclo reversibile costituito dalle
seguenti trasformazioni: A-B: espansione isoterma da VA = 2 L a VB = 10 L; B-C:
contrazione isobara fino a VC = 4 L; C-D: compressione adiabatica fino a PD = 12.7 atm; DA: compressione isocora fino a PA = 20 atm.
a) Determinare le coordinate termodinamiche dei vertici del ciclo
b) Disegnare il ciclo
c) Calcolare il rendimento dei ciclo
d) Calcolare la variazione di entropia per ogni trasformazione
Soluzione:
n = 1 g.p. monoatomico γ=5/3
VA =2 litri
TA =
PA =20 atm
VB=10 litri
TB= TA
PB=
VC=4 litri
TC=
PC=P B
Dall'equazione di stato pV=nRT si ricava:
VD=
TD=
PD=12.7 atm
TA = 487.8 K
p B = 4 atm
TC= 196.1 K
Dalle eq. di Poisson pCVCγ = p D VDγ si ricava VD =2 litri e quindi TD= 309.8 K
VB
= 64.4l ⋅ atm
VA
LBC = P B(VC-VB) = - 24 l atm
LAB = nRT A ln
QAB = LA B
QBC = ∆UBC +LBC = n c V(TC-TB) +LBC = - 59.8 l atm
LCD = -∆UCD = - n c V(TD-TC) = - 14 l atm
QCD = 0
LDA = 0
QDA = ∆UDA = n c V(TA -TD) = 21.9 l atm
Ltot = 26.4 l atm
Qassorbito= QAB + QDA = 86.3 l atm
Rendimento η =
Ltot
≅ 30%
Qass
Variazione di Entropia per un g.p. ∆S = ncV ln
Tf
Ti
+ nR ln
VB
= 13.4 J o
K
VA
T
∆S BC = nc p ln C = −18.9 J o
K
TB
∆SCD = 0
CD trasformazione adiabatica reversibile
T
∆S DA = ncV ln A = 5.7 J o
K
TD
∆S AB = nR ln
Vf
Vi
P
A
D
B
C
V
Domanda: 2°
° principio della termodinamica
Prova scritta 13/7/2000
1) Un paracadutista di massa M = 80 Kg si lancia da una altezza h = 1000 m, in modo tale da poter
considerare nulla la sua velocita' iniziale. Dopo 4 sec apre il paracadute ed arriva infine a terra
con una velocita' finale di 3 m/s. Trascurando l'attrito dell'aria sul paracadutista fino al momento
dell'apertura del paracadute, calcolare:
a) lo spazio percorso e la velocita' raggiunta al momento dell'apertura del paracadute;
s1
b) il lavoro fatto dalla forza d'attrito dell'aria fino a terra.
Soluzione:
a) v1 = v 0 + gt1 = 39.2 m/sec = 141.1 km/h
s1 = 1/2 g t12 = 78.4 m
b) Lfa = ∆K + ∆U = Kf - K 1 + Uf - U1= 1/2 m (vf 2 - v12) - mg (h-s1) = - 7.8 105 J
h
2) Una massa di acqua m = 500 g alla temperatura t0=20°C viene scaldata ponendola a contatto
con un termostato a 37°C, calcolare:
a) La quantità di calore assorbita dall'acqua;
b) La variazione di entropia dell'acqua;
c) La variazione di entropia dell’universo.
Soluzione:
a) ∆Qa = mcp (tf - t0) = 8.5 Kcal
b) ∆Sacqua = mcp ln(Tf/T0) = 28.2 cal/°K
c) ∆Stermostato = - ∆Qa / Tf = -27.4 cal/°K
∆Suniv = + 0.8 cal/°K
3) Un anello circolare di raggio R = 10 cm e' elettrizzato, in modo da conferirgli una carica
positiva Q = + 5.10-7 Cb.
a) Determinare il campo elettrico (modulo, direzione e verso) e il potenziale in un punto P
sull'asse dell'anello, distante 2 cm dal centro dell'anello.
Una pallina con carica q = - 5.8 ⋅10-8 Cb viene posta nel punto P.
Calcolare:
b) la forza che agisce sulla pallina;
c) il lavoro che bisognerebbe fare per portare la pallina all'infinito.
Soluzione:
1
Qz
= 8.5 104 V/m
3
4πε 0 z 2 + R 2 2
b) F = q E = 4.9 10-3 N attrattiva
c) L = -q V = - 2.6 10-3 J
a) E =
(
)
V=
1
4πε 0
Q
z +R
2
2
= 4.4 104 V
v1
vf