Giochi e codici

Capitolo 5
Giochi e codici
In questo capitolo studiamo alcuni giochi e collegamenti con la teoria dei codici. Il primo
gioco che vediamo è Nim, che non ha molto da fare con codici, ma che è molto facile da
giocare, e serve come introduzione ai nimeri. Poi con i nimeri studiamo un gioco chiamato
GiraTartaruga (Turning Turtles). Vedremo come si può usare la teoria dei codici per trovare
delle strategie buone. Per più informazioni sulle cose trattate qui ci riferiamo a [2], [4].
5.1
Nim
Il gioco chiamato “Nim” è giocato da due persone, Primo e Seconda. Hanno alcuni mucchi
di fagioli. Primo fa la prima mossa, e Seconda fa la seconda mossa, e poi Primo la terza, ecc.
Una mossa consiste in prendere da esattamante un mucchio un certo numero (≥ 1) di fagioli.
Chi non può più muovere ha perso. Un gioco semplice; però ci sono problemi forse non tanto
semplici: Primo o Seconda, data la posizione iniziale, sono in grado di prevedere l’esito del
gioco, e quale è la strategia ottimale?
Per affrontare questi problemi, si esprime una posizione del gioco come P = a 1 + · · · + an ,
che vuole dire che ci sono n mucchi, con a 1 , . . . , an fagioli rispettivamente. (E’ un’espressione
formale. Per esmpio non scriviamo 3 + 3 = 6.) Gli interi a i sono chiamati nimeri. Poi
definiamo una funzione G che per una posizione P dà un intero G(P ) ≥ 0. (G(P ) è chiamato
il nim-valore, o il numero di Grundy.) La posizione finale, dove non ci sono più fagioli ha il
nim-valore uguale a 0. Poi per una posizione non banale P consideriamo tutte le posizioni
P 0 che possiamo ottenere da P mediante una mossa. Per induzione sappiamo tutti i G(P 0 ).
Adesso G(P ) sarà il più piccolo intero non-negativo non contenuto nel insieme dei G(P 0 ).
Questo esprimiamo come
G(P ) = mex{G(P 0 ) | P 0 è ottenuto da P mediante una mossa}.
(5.1)
Qui mex viene dal inglese “minimal excluded value”, che è il minimo intero ≥ 0 non contenuto
nel insieme.
Quindi di una posizione P possiamo in una mossa raggiungere una posizione P 0 tale che
G(P 0 ) = a dove a è qualsiasi numero tra 0 e G(P ) − 1. Anche G(P 0 ) non è mai uguale a G(P ).
Quando Seconda sa raggiungere una posizione P 1 con G(P1 ) = 0, allora ha una strategia per
vincere. Perché poi Primo deve muovere verso una posizione P 2 con G(P2 ) > 0. Poi, Seconda
può di nuovo raggiungere una posizione P 3 tale che G(P3 ) = 0. Il gioco continua cosı̀; Primo
24
Giochi e codici
riceve sempre posizioni da Seconda con il nim-valore zero. Quindi ad un certo punto Primo
ha la posizione senza fagioli e perde.
5.2
L’addizione dei nimeri
Adesso vediamo come si può calcolare G(P ). Per questo definiamo la nim-somma di due
nimeri a e b come
a ⊕ b = mex{a0 ⊕ b, a ⊕ b0 | 0 ≤ a0 < a, 0 ≤ b0 < b}.
E’ una definizione induttiva. Per calcolare a ⊕ b bisogna conoscere la nim-somma per nimeri
più piccoli. Esempi: 0⊕0 = 0, 1⊕0 = mex{0⊕0} = 1, 1⊕1 = mex{0⊕1, 1⊕0} = mex{1} = 0,
1 ⊕ 2 = mex{0 ⊕ 2, 1 ⊕ 0, 1 ⊕ 1} = mex{0, 1, 2} = 3.
Qui denotiamo con N l’insieme degli interi {0, 1, 2, . . .} con l’operazione ⊕. Vogliamo
provare che N è un gruppo commutativo. Poi vedremo un modo molto comodo per calcolare
la nim-somma. Per un a ≥ 0 scriviamo a 0 per un variabile che prende i valori 0, 1, . . . , a − 1.
Poi, con a∗ denotiamo un variabile che prende i valori 0, 1, . . . , a − 1, e forse anche un numero
finito di valori > a. Quindi un a0 è un caso speciale di un a∗.
Lemma 5.2.1 Siano a, b, c ∈ N .
1. a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a,
2. a ⊕ b = a ⊕ c se e solo se b = c,
3. a ⊕ b = mex{a ∗ ⊕b, a ⊕ b∗},
4. a ⊕ b = b ⊕ a,
5. (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
6. a ⊕ a = 0.
Dim. Abbiamo a ⊕ 0 = mex{a0 ⊕ 0}. Ma per induzione a0 ⊕ 0 = a0 .
In 2. se b 6= c, possiamo assumere che b > c. Allora a ⊕ b = mex(S) dove S è un insieme
che contiene a ⊕ c. Quindi a ⊕ b 6= a ⊕ c.
Osserviamo che {a∗⊕b, a⊕b∗} = {a0 ⊕b, a⊕b0 }∪S, dove S contiene (forse) alcuni elementi
della forma ã ⊕ b, e a ⊕ b̃ con ã > a e b̃ > b. Da 2. vediamo che S non contiene a ⊕ b. Ma
a ⊕ b è il valore minimo non contenuto in {a 0 ⊕ b, a ⊕ b0 }. Segue che è anche il valore minimo
non contenuto in {a0 ⊕ b, a ⊕ b0 } ∪ S.
Abbiamo a ⊕ b = mex{a0 ⊕ b, a ⊕ b0 }. Per induzione questo ultimo è uguale a mex{b ⊕
0
a , b0 ⊕ a} = b ⊕ a.
Abbiamo (a ⊕ b) ⊕ c = mex{(a ⊕ b)0 ⊕ c, (a ⊕ b) ⊕ c0 }. Sia A questo ultimo insieme.
Sappiamo che a ⊕ b = mex{a0 ⊕ b, a ⊕ b0 }, quindi (a ⊕ b)0 = 0, 1, . . . , u, dove u + 1 = a ⊕ b è
l’intero più piccolo non fra i a0 ⊕ b e a ⊕ b0 . Può anche darsi che a0 ⊕ b > a ⊕ b, ma allora
(a0 ⊕ b) ⊕ c 6= (a ⊕ b) ⊕ c per 2. Segue che il mex non cambia quando aggiungiamo (a 0 ⊕ b) ⊕ c
ad A. Quindi (a ⊕ b) ⊕ c = mex{(a0 ⊕ b) ⊕ c, (a ⊕ b0 ) ⊕ c, (a ⊕ b) ⊕ c0 }. Per induzione questo è
uguale a mex{a0 ⊕ (b ⊕ c), a ⊕ (b0 ⊕ c), a ⊕ (b ⊕ c0 )}. Che è uguale a a ⊕ (b ⊕ c).
Abbiamo a ⊕ a = mex{a0 ⊕ a, a ⊕ a0 }. Per induzione a0 ⊕ a0 = 0 e quindi secondo 2.,
a ⊕ a0 6= 0 e a0 ⊕ a 6= 0 per ogni a0 . Vediamo che 0 non è contenuto nel insieme, e quindi
5.2 L’addizione dei nimeri
25
a ⊕ a = 0.
2
Corollario 5.2.2 N con ⊕ è un gruppo commutativo con elemento neutro 0.
Lemma 5.2.3 Sia ∆ ∈ N e supponiamo che H ∆ = {0, 1, . . . , ∆ − 1} è un sottogruppo di N .
Sia a ∈ H∆ ; allora ∆ ⊕ a = ∆ + a. (Dove + é la somma normale.)
Dim. Visto che ∆0 prende come valori tutti gli elementi di H; e perché H ∆ è un gruppo, la
stessa cose vale per ∆0 ⊕ a, cioè ∆0 ⊕ a = 0, 1, . . . , ∆ − 1. Per induzione ∆ ⊕ a 0 = ∆ + a0 .
Quindi ∆ ⊕ a = mex{∆0 ⊕ a, ∆ ⊕ a0 } = mex{0, 1, . . . , ∆ − 1, ∆, . . . , ∆ + a − 1} = ∆ + a. 2
Corollario 5.2.4 Con la notazione del lemma precedente: se H ∆ è un sottogruppo di N ,
anche H2∆ è un sottogruppo di N .
Dim. H2∆ contiene due tipi di elementi a e ∆ + a per a ∈ H ∆ . Usando Lemma 5.2.3 vediamo
per esempio che (∆ + a) ⊕ b = (∆ ⊕ a) ⊕ b = ∆ ⊕ (a ⊕ b) = ∆ + (a ⊕ b) ∈ H 2∆ .
2
Il corollario implica che i H∆ per ∆ = 2k sono sottogruppi di N . Quindi Lemma 5.2.3
implica che se j < k, allora 2j ⊕ 2k = 2j + 2k . Si può usare questo per calcolare la nim-somma
di due nimeri molto rapidamente, scrivendoli in forma binaria (e anche usando Lemma 5.2.1).
Esempio 5.2.5 Calcoliamo 7 ⊕ 11. Abbiamo 7 = 1 + 2 + 4 e 11 = 1 + 2 + 8. Quindi
7⊕11 = (1+2+4)⊕(1+2+8) = (1⊕2⊕4)⊕(1⊕2⊕8) = 1⊕1⊕2⊕2⊕4⊕8 = 4⊕8 = 4+8 = 12.
altro modo
per vedere questo metodo. Sia k tale che 2 k+1 −1 ≥ a, b e scriviamo a =
Pk C’è un
P
k
i
i
i=0 ai 2 , e b =
i=0 bi 2 . Consideriamo i vettori v a = (a0 , a1 , . . . , ak ), vb = (b0 , . . . , bk ) ∈
k+1
F2 . Allora a⊕b corrisponde al vettore v a +vb . Nel esempio: va = (1, 1, 1, 0) e vb = (1, 1, 0, 1),
e va + vb = (0, 0, 1, 1) che corrisponde a 12.
Lemma 5.2.6 Abbiamo G(a1 + · · · + an ) = a1 ⊕ · · · ⊕ an .
Dim. Usiamo induzione su n e sul numero totale di fagioli. Se questi due sono 0 il risultato
è banale. Quindi possiamo assumere il risultato per ogni gioco dove il numero di mucchi è
minore, o il numero totale di fagioli è minore.
Scriviamo Q = a1 + · · · + an−1 (una posizione nel gioco con n − 1 mucchi), e P =
a1 + · · · + an . Scriviamo Q0 per una posizione raggiungibile da Q in una mossa. Allora, le
posizioni raggiungibili da P in una mossa sono
• Q0 + an , con (per induzione) G(Q0 + an ) = G(Q0 ) ⊕ an ,
• Q + a, dove 0 ≤ a < an , con G(Q + a) = G(Q) ⊕ a.
Vediamo che G(Q0 ) prende tutti i valori da 0 a G(Q)−1 (per definizione di G(Q)), e forse anche
alcuni valori > G(Q). Quindi G(P ) = mex{G(Q) ∗ ⊕a n , G(Q) ⊕ a0n } = G(Q) ⊕ an (Lemma
5.2.1, 3.). Adesso con induzione concludiamo G(P ) = a 1 ⊕ · · · ⊕ an .
2
26
Giochi e codici
Esempio 5.2.7 Al inizio di un gioco di Nim ci sono tre mucchi con rispettivamente 3, 7, e
10 fagioli. Adesso Primo è diventato furbo e calcola 3 ⊕ 7 ⊕ 10 = 14. Sa che deve cambiare la
posizione tale che il nim-valore diventa 0. Calcola 3 ⊕ 7 = 4, e prende 6 fagioli dal mucchio
più grande. Adesso il nim-valore e 3 ⊕ 7 ⊕ 4 = 4 ⊕ 4 = 0. Seconda prende 3 fagioli dal secondo
mucchio. Poi Primo prende tutto il primo mucchio, tale che il nim-valore è 4 ⊕ 4 che di nuovo
è 0. Adesso semplicemente copia le mosse di Seconda, tale che i mucchi rimangono uguali
dopo la sua mossa. Quindi, dopo alcune mosse vince.
5.3
GiraTartaruga e il [7, 4, 3]-codice di Hamming
Adesso Primo e Seconda fanno un gioco diverso. Pare che in tempi antichi questo gioco sia
giocato con tartarughe. Ma visto che non ne hanno, prendono n monete, e le mettono su una
riga, tutte con croce sopra. Adesso una mossa consiste in
1. girare una moneta da croce a testa,
2. volendo girare un’altra moneta a sinistra di quella che è stata girata prima (e questa
può essere girata da croce a testa, o da testa a croce).
Chi non può più muovere perde il gioco.
Per analizzare questo gioco si descrive una posizione con un vettore (ζ 1 , . . . , ζn ) dove
ζi = 1 se la i-esima moneta ha croce sopra, altrimenti ζ i = 0. Adesso definiamo una funzione
G esattamante nella stessa modo che per Nim. Cioè G(0, . . . , 0) = 0 e se P 6= (0, . . . , 0), allora
G(P ) è definito da (5.1).
Esempio 5.3.1 Dalla posizione (1, 0, . . . , 0) possiamo fare una sola mossa, che dà la posizione
(0, . . . , 0). Quindi G(1, 0, . . . , 0) = 1. Da (0, 1, 0, . . . , 0) possiamo fare due mosse: solo girare la
seconda moneta, che dà la posizione (0, . . . , 0), oppure girare la seconda moneta e poi anche il
primo che dà la posizione (1, 0, . . . , 0). Segue che G(0, 1, 0, . . . , 0)) = 2. Poi G(1, 1, 0, . . . , 0) =
3.
Di nuovo la strategia ottimale è di cercare di raggiungere una posizione con nim-valore
0. Il fatto, forse un po’ sorprendente, è che possiamo calcolare il nim-valore di una posizione
nello stesso modo che per Nim.
Lemma 5.3.2 Abbiamo G(ζ1 , . . . , ζn ) = ζ1 · 1 ⊕ ζ2 · 2 ⊕ · · · ⊕ ζn · n, dove ζi · i = i se ζi = 1 e
altrimenti ζi · i = 0.
P
Dim. La prova è per induzione su n e N (P ) = ni=1 ζi 2i . Nota che una mossa fa sempre
diminuire questo ultimo numero. Se tutti e due sono 0 allora il lemma è banale. Quindi sia P
una posizione non banale e assumiamo il risultato per posizioni P 0 con meno monete, o con
N (P 0 ) < N (P ).
Si può scrivere P = (P 0 , ζn ). Se ζn = 0 allora da P abbiamo esattamente le stesse
possibilità che da P 0 , quindi G(P ) = G(P 0 ) e concludiamo con induzione.
Assumiamo che ζn = 1. Allora da P possiamo raggiungere due tipi di posizioni. Anzitutto
abbiamo (P 00 , ζn ), dove P 00 è una posizione raggiungibile da P 0 con una mossa. Per induzione
G(P 00 , ζn ) = G(P 00 ) ⊕ n. E G(P 00 ) prende tutti i valori 0, 1, . . . , G(P 0 ) − 1 e forse anche alcuni
valori > G(P 0 ). Poi abbiamo le posizioni (P 000 , 0) dove P 000 è ottenuto da P 0 grirando una o
nessuna moneta. Se nessuna moneta è girata, P 000 = P 0 e G(P 000 , 0) = G(P 0 ). Se la i-esima
5.3 GiraTartaruga e il [7, 4, 3]-codice di Hamming
27
moneta è girata da testa a croce, allora G(P 000 ) = G(P 0 ) ⊕ i (perché nell’espressione per G(P 000 )
il nimero i non era presente). Ma se viene girata da croce a testa abbiamo anche G(P 000 ) =
G(P 0 ) ⊕ i (perché i è presente nell’espressione per G(P 0 ), ma va via nell’espressione per P 000 ; e
fare ⊕i ha lo stesso effetto, visto che i ⊕ i = 0). Concludiamo che G(P 000 , 0) = G(P 0 ) ⊕ b dove
b = 0, 1, . . . , n − 1.
Adesso G(P ) = mex{G(P 0 ) ∗ ⊕n, G(P 0 ) ⊕ n0 } = G(P 0 ) ⊕ n (Lemma 5.2.1, 3.). La prova è
finita con induzione.
2
Adesso possiamo giocare GiraTartaruga calcolando i nim-valori, e sempre faccendo mosse
che portano a nim-valore zero. Però, dal Lemma 5.3.2 segue anche un collegamento con la
teoria dei codici, che può essere sfruttato.
Nel seguito diremo che una posizione P è vincente se il giocatore che muove verso P ha
una strategia per vincere il gioco.
Prendiamo n = 7. Lemma 5.3.2 dice che P = (ζ 1 , . . . , ζ7 ) è una posizione vincente se e
solo se ζ1 · 1 ⊕ · · · ⊕ ζ7 · 7 = 0. Adesso vediamo P come elemento di F 72 , e scriviamo i nimeri
1, 2, . . . , 7 come vettori in F32 , come nella sezione precedente. Allora vediamo che P è una
posizione vincente se e solo se P H T = 0, dove


1 0 1 0 1 0 1
H = 0 1 1 0 0 1 1 .
0 0 0 1 1 1 1
La conclusione è che P è una posizione vincente se e solo se P sta nel codice con matrice
parity check H. Per questo motivo quel codice è chiamato il codice vincente. In questo caso
(n = 7) vediamo che H è la matrice parity check di un [7, 4, 3]-codice di Hamming. Visto
che la posizione iniziale (1, 1, . . . , 1) è un elemento del codice, Seconda ha una strategia per
vincere.
Come abbiamo visto, è molto facile decidere se un vettore è un elemento del [7, 4, 3]codice di Hamming, usando il piano di Fano. Siccome le colonne di H sono ordinate un
po’ particolarmente, bisogna cambiare l’enumerazione dei punti. Per esempio, si può fare
l’enumerazione cosı̀:
1
7
2
4
3
5
6
28
Giochi e codici
5.4
GiraTartaruga generalizzato
Adesso giochiamo GiraTartaruga con la regola che si può girare 1, 2, . . . , t monete, e quella più
a destra deve essere girata da croce a testa. Allora il gioco della sezione precedente ha t = 2.
Di nuovo descriviamo una posizione del gioco con un vettore di lungezza n, con coeefficienti
0, 1. Anche definiamo la funzione G nello stesso modo.
Lemma 5.4.1 Sia Pi il vettore con 1 sull’i-esima posizione, e 0 altrove. Allora
1. G(Pi ) = mex{0, G(Pi1 ) ⊕ · · · ⊕ G(Pik ) | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik < i, 1 ≤ k ≤ t − 1},
2. G(ζ1 , . . . , ζn ) = ζ1 G(P1 ) ⊕ · · · ⊕ ζn G(Pn ).
P
Dim. La prova è analoga alla prova di Lemma 5.3.2. Usiamo induzione su n e ni=1 ζi 2i .
Sia S = {0, G(Pi1 ) ⊕ · · · ⊕ G(Pik ) | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik < n, 1 ≤ k ≤ t − 1}.
Dall’ipotesi di induzione e l’elenco di tutte le mosse posibili da P n segue immediatamente che
G(Pn ) = mex(S).
Scriviamo P = (P 0 , ζn ), e usiamo la stessa ragionamento che nella Prova di Lemma 5.3.2;
in particolare possiamo assumere che ζ n = 1. Abbiamo G(P 00 , 1) = G(P 0 ) ∗ ⊕G(Pn ), dove P 00
percorre le posizioni raggiungibili da P 0 con una mossa. Poi possiamo fare una mossa della
forma (P 0 , 1) → (P 000 , 0) dove P 000 è ottenuto da P 0 girando ≤ t − 1 monete. Siano i1 , . . . , ik le
posizioni dove una moneta è girata. Allora G(P 000 , 0) = G(P 000 ) = G(P 0 )⊕G(Pi1 )⊕· · ·⊕G(Pik ).
Adesso vediamo che G(Pi1 ) ⊕ · · · ⊕ G(Pik ) percorre tutto l’insieme S. Quindi G(P 000 , 0) =
G(P 0 ) ⊕ G(Pn )∗. Segue che G(P ) = mex{G(P 0 ) ∗ ⊕G(Pn ), G(P 0 ) ⊕ G(Pn )∗} = G(P 0 ) ⊕ G(Pn ),
e possiamo finire la prova con induzione.
2
Adesso possiamo definire il codice vincente come
C = {(ζ1 , . . . , ζn ) | ζ1 G(P1 ) ⊕ · · · ⊕ ζn G(Pn ) = 0}.
Come nella sezione precedente è un codice lineare in F n2 . Si può trovarene una matrice parity
check calcolando i valori G(Pi ). E’ anche possibile dare un’altra caratterizzazione di C.
P
Per P = (ζ1 , . . . , ζn ) definiamo N (P ) = ni=1 ζi 2i . Definamo un ordine sui vettori P con
P 0 < P se N (P 0 ) < N (P ). Questo ordine è chiamato l’ordine lessicografico.
Adesso percorriamo l’insieme dei P in ordine ascendente. Per ogni P decidiamo se sarà
un elemento di C o no. E P diventa un elemento di C precisamente se non esiste P 0 ∈ C
(necessariamente con P 0 < P ) tale che d(P, P 0 ) ≤ t (dove d(P, P 0 ) è la distanza di Hamming).
Si vede che il codice che viene fuori cosı̀ ha distanza minima uguale a t + 1. E’ chiamato
il codice lessicografico di lunghezza n e distanza minima t + 1.
Esempio 5.4.2 E’ un po’ laborioso fare questo algoritmo a mano, perché bisogna considerare
2n vettori P . Ma per n = 5 si può farlo, scrivendo i numeri 0, 1, . . . , 31 in forma binaria, cioè
come un vettore binario di lunghezza 5. Prendiamo t = 2 (cioè GiraTartaruga come nella
sezione precedente). In questo caso C consiste di 00000, 11100, 10011, 01111. La posizione
iniziale è 11111. Quindi Primo, chi ha letto la proposizione qui sotto, muove verso 01111.
Adesso, se Seconda girasse due monete, Primo avrebbe vinto subito, quindi gira una moneta,
ottenendo 01110. Poi Primo va di nuovo verso un elemento del codice, girando la prima e
quarta moneta, 11100. Adesso è ovvio che Seconda deve perdere.
5.5 Esercizi
29
Proposizione 5.4.3 Giochiamo GiraTartaruga con n monete, ogni mossa girando ≤ t monete. Le posizioni vincenti sono esattamente quelli dentro il codice lessicografico con lunghezza
n e distanza minima t + 1.
Dim. Con C denotiamo il codice lessicografico. Con induzione su N (P ) proviamo che P ∈ C
se e solo se P è una posizione vincente.
Sia P una posizione fuori C. Allora esiste P 0 ∈ C con N (P 0 ) < N (P ) e d(P 0 , P ) ≤ t.
Quindi, girando al massimo t monete è possibile cambiare P in P 0 . Dal fatto N (P 0 ) < N (P )
segue che la moneta girata più a destra deve essere girata da croce a testa (da 1 a 0). Quindi
da P in una mossa del gioco possiamo raggiungere P 0 che è una posizione vincente (per
induzione). Quindi P non è une posizione vincente.
Sia P ∈ C e sia P → P 0 una mossa del gioco. Allora N (P 0 ) < N (P ) e d(P 0 , P ) ≤ t. Visto
che P ∈ C, abbiamo che P 0 6∈ C. Per induzione ogni P 0 non è una posizione vincente, quindi
P è una posizione vicente.
2
Sopra abbiamo visto che il codice vincente è lineare. La proposizione precedente dice che
il codice vicente è il codice lessicografico. Quindi abbiamo il seguente corollario.
Corollario 5.4.4 Sia C un codice lessicografico. Allora C è lineare.
Esempio 5.4.5 Giochiamo GiraTartaruga con t = 7 e n = 24 monete. Allora il codice
vincente ha distanza minima e lunghezza 24. Scrivendo abbastanza elementi del codice
lessicografico corrispondente, si può provare che ha dimensione 12. (E’ anche possibile calcolare i G(Pi ) per 1 ≤ i ≤ 24, usando per esempio un computer. Cosı̀ si ottiene la matrice
parity check del codice vincente. Da quella è facile vedere che ha dimensione 12.) Allora per
il Teorema 4.3.2 è equivalente al codice di Golay G 24 . Quindi usando il MOG si può giocare
(in principio) questo tipo di GiraTartaruga. Per farlo velecemente bisogna fare un po’ di
eserecizio.
5.5
Esercizi
1. Giochiamo GiraTartaruga con n = 8 e t = 2. Descrivere il codice vincente. Chi ha una
strategia per vincere, Primo o Seconda? Quale è la prima mossa?
2. Giochiamo GiraTartaruga con n = 8 e t = 3. Trovare una matrice parity check per il
codice vincente. Quali sono i parametri [n, k, d]? Chi ha la strategia vincente?
3. Si gioca GiraTartaruga con n = 24 e t = 7. Nella prima mossa Primo decide di girare
5 monete. Spiegare come adesso Seconda può trovare una buona mossa.
30
Giochi e codici
Bibliografia
[1] J. H. Conway. Hexacode and tetracode—MOG and MINIMOG. In Computational group
theory (Durham, 1982), pages 359–365. Academic Press, London, 1984.
[2] J. H. Conway. On numbers and games. A K Peters Ltd., Natick, MA, second edition,
2001.
[3] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, lattices and groups, volume 290
of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, New York, third edition, 1999. With additional
contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R.
A. Parker, L. Queen and B. B. Venkov.
[4] John H. Conway and N. J. A. Sloane. Lexicographic codes: error-correcting codes from
game theory. IEEE Trans. Inform. Theory, 32(3):337–348, 1986.
[5] Jeffrey S. Leon. Computing automorphism groups of error-correcting codes. IEEE Trans.
Inform. Theory, 28(3):496–511, 1982.