Esercitazioni di Meccanica Razionale - VUK Elena

Esercitazioni
di Meccanica Razionale
a.a. 2002/2003
Statica e dinamica relativa
Maria Grazia Naso
[email protected]
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Brescia
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Statica e dinamica relativa - 2003
M.G. Naso – p.1
Nei problemi di meccanica relativa, rispetto ad un osservatore non inerziale, è necessario
considerare oltre alle forze assolute anche le forze apparenti: forze di trascinamento e
forze di Coriolis.
Forze centrifughe
I Esempio 1. In un riferimento uniformemente rotante con velocità angolare ω
~ = ω ~
(Figura 1), le forze di trascinamento sono le forze centrifughe.
PSfrag replacements y
ω
~
Ps∗
C
Ps
~cent (Ps )
F
G
O
x
Figura 1:
c
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M.G. Naso – p.2
Consideriamo il sistema materiale discreto costituito da N punti materiali
(P1 , m1 ), . . . , (PN , mN ). Sia y l’asse di rotazione scelto. Calcolate
~cent (Ps ) = ms ω 2 (Ps − P ∗ ), s = 1, . . . , N e P ∗ è il piede della perpendicolare
F
s
s
condotta da Ps all’asse di rotazione, il risultante delle forze centrifughe agenti sul
sistema è
~ cent =
R
N
X
ms ω 2 (Ps − Ps∗ ) =
i=1
N
X
ms ω 2 xs ~ı = m ω 2 xG ~ı .
i=1
~cent (Ps ) = ms ω 2 (Ps − P ∗ ), s = 1, . . . , N , applicate rispettivamente in Ps ,
Le F
s
~ cent è
costituiscono un sistema di vettori applicati paralleli e concordi. Il risultante R
applicato in un punto C tale che
(C − O) =
N
X
ms ω 2 xs (Ps − O)
i=1
Rcent
c
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M.G. Naso – p.3
che in componenti forniscono

N
X



ms x2s




Iω
I22
s=1


=
=
 xC =
m xG
m xG
m xG
N

X



m s xs y s




−I12

 yC = s=1
=
.
m xG
m xG
c
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M.G. Naso – p.4
Le forze centrifughe sono conservative. Calcoliamo il potenziale delle forze centrifughe
agenti nel sistema materiale considerato:
dL = dU =
N
X
~s · dPs =
F
s=1
=d
N
X
s=1
N
X
1 2
ω
ms x2s
2
s=1
ms ω 2 xs dxs
!
=d
1
Iω ω 2
2
,
dove in questo esempio Iω = IOy = I22 , e quindi
U=
1
Iω ω 2 + c .
2
c
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I Esempio 2. Supponiamo che ω
~ = ω ~k (Figura 2). Si trovano
~cent (Ps ) = ms ω 2 (Ps − O), s = 1, . . . , N , ed il risultante delle forze centrifughe agenti
F
N
X
~ cent =
sul sistema materiale è R
ms ω 2 (Ps − O) = m ω 2 (G − O) .
i=1
y
PSfrag replacements
~cent (Ps )
F
Ps
G
Ps∗
O
ω
~
x
z
Figura 2:
c
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~cent (Ps ) = ms ω 2 (Ps − P ∗ ), s = 1, . . . , N , applicate rispettivamente in Ps ,
Le F
s
~ cent è applicato in G. In tale
costituiscono un sistema di forze centrali. Il risultante R
2
caso Iω = IOz = IGz + m OG .
Forze di Coriolis −→ solo in dinamica relativa.
~cor (Ps ) = −2ms ω
Si hanno F
~ × ~vrs , s = 1, . . . , N , e il risultante delle forze di Coriolis è
dato da
N
X
~ cor = −2 ω
R
~×
ms ~vrs = −2 ω
~ × m ~vr (G) .
s=1
Ritornando agli esempi precedenti, si osserva che
~ cor è ortogonale al piano Oxy (uniformemente rotante);
B nell’Esempio 1. : R
~ cor appartiene al piano Oxy (uniformemente rotante).
B nell’Esempio 2. : R
c
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M.G. Naso – p.7
Esercizio 1. In un piano verticale Oxy è mobile un’asta omogenea e pesante OA, di
massa m e lunghezza L. Determinare il risultante delle forze centrifughe e di
Coriolis nei seguenti casi:
(a) Oxy ruota uniformemente con velocità angolare ω
~ costante attorno ad Oy;
PSfrag replacements
(b) Oxy ruota uniformemente con velocità angolare ω
~ costante attorno ad Oz.
O
x
θ
Ps
~ cent
R
G
C
z
ω
~
A
y
Figura 3:
c
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Risoluzione.
(a) Rispetto ad un osservatore relativo Oxy, l’asta ha un solo grado di libertà.
b = θ ∈ [0, 2π) come coordinata lagrangiana. In Oxy, il
Assumiamo l’angolo y + OA
baricentro G dell’asta OA ha coordinate
G≡
L
L
sin θ ,
cos θ
2
2
e la velocità di G nel riferimento Oxy è
~vGr =
L
L
cos θ θ̇ , − sin θ θ̇
2
2
.
Sia Ps ∈ asta OA. La forza centrifuga in Ps è
~cent (Ps ) = ms ω 2 xs ~ı
F
−→ distribuzione triangolare.
Il risultante delle forze centrifughe è dato da
~ cent = m ω 2 xG ~ı = m ω 2 L sin θ~ı .
R
2
c
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~ cent è applicato in
Inoltre si trova che R
C≡
2
2
L sin θ , L cos θ
3
3
.
Il potenziale delle forze centrifughe è dato da
Ucent
1
1 mL2
2
= Iω ω =
sin2 θ ω 2 .
2
2 3
~cor (Ps ) = −2ms ω
La forze di Coriolis in Ps è F
~ × ~vrs , mentre il risultante delle forze di
Coriolis è
~ cor
R
~ı
= −2 ω
~ × m ~vr (G) = −2m 0
ẋG
~
−ω
ẏG
~k
0 = −2m ω ẋG ~k = −m ω L cos θ θ̇ ~k .
0
c
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(b) Rispetto ad un osservatore relativo Oxy, l’asta ha un solo grado di libertà.
PSfrag replacements
b = θ ∈ [0, 2π) come coordinata lagrangiana.
Assumiamo l’angolo y + OA
ω
~
z
O
~ cent
R
x
θ
Ps
G
~
r(t)
A
y
Figura 4:
In Oxy, il baricentro G dell’asta OA ha coordinate
G≡
L
L
sin θ ,
cos θ
2
2
c
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e la velocità di G nel riferimento Oxy è
~vGr =
L
L
cos θ θ̇ , − sin θ θ̇
2
2
.
Sia Ps ∈ asta OA. La forza centrifuga in Ps è
~cent (Ps ) = ms ω 2 (Ps − O)
F
Il risultante delle forze centrifughe è dato da
~ cent = m ω 2 (G − O) = m ω 2 L ~
r(t)
R
2
applicato in G.
Il potenziale delle forze centrifughe è dato da
Ucent
1
1 mL2 2
2
= IOz ω =
ω = costante .
2
2 3
c
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~cor (Ps ) = −2ms ω
La forze di Coriolis in Ps è F
~ × ~vrs , mentre il risultante delle forze di
Coriolis è
~ cor
R
~ı
= −2 ω
~ × m ~vr (G) = −2m 0
ẋG
dove ~
r (t) = sin θ~ı + cos θ ~.
~
0
ẏG
~k r (t) ,
−ω = m ω L θ̇ ~
0 c
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