Teoria delle vibrazioni

NATURA DELLE VIBRAZIONI
def. le vibrazioni sono perturbazioni indotte da una sorgente in un dato
mezzo fisico (terreno, acqua, aria, ecc.) e a seconda del tipo di
sorgente possono essere di natura meccanica, elettromagnetica,
ecc.
Ö Secondo la prospettiva della Dinamica dei Terreni interessano
principalmente le vibrazioni meccaniche che si propagano nel
terreno, generate da sorgenti interne al terreno o superficiali.
Sorgenti:
♦ i terremoti
♦ il moto ondoso e il vento
♦ il traffico stradale e ferroviario
♦ le fondazioni di macchine ed impianti industriali
♦ le esplosioni accidentali e deliberatamente provocate e i terremoti
Effetti: le vibrazioni propagandosi all’interno del terreno modificano la
loro natura, intesa come energia (attenuazione e amplificazione) e direzione di
propagazione (rifrazione e riflessione), ma interagendo col terreno
modificano anche la natura del terreno, inducendo sollecitazioni e
deformazioni che si aggiungono a quelle statiche (con effetti negativi,
degradazione della resistenza, o positivi, compattazione dinamica). Le vibrazioni
possono interagire con le strutture presenti (effetto di risonanza)
influenzandone la stabilità e funzionalità.
Proprietà: considerando il terreno come costituito da particelle legate da
vincoli elastici, la vibrazione è una forma di energia che si propaga
secondo una certa direzione (direzione di propagazione), dipendente
dal tipo di sorgente, e con una certa velocità (velocità di
propagazione), dipendente dal mezzo attraversato, imprimendo a tali
particelle delle oscillazioni, intorno ad una posizione di equilibrio.
Ö Si generano così onde di sforzo e di deformazione (longitudinale
e/o di taglio rispetto alla direzione di propagazione), che si
attenuano in ampiezza con la distanza dalla sorgente e in uno stesso
punto nel tempo, se la sorgente non trasmette al mezzo energia in
maniera continua.
TIPI DI VIBRAZIONI
Le vibrazioni possono essere rappresentate:
nel dominio del tempo (descrivendo in uno stesso punto P come varia
lo spostamento nel tempo);
‰ nel dominio dello spazio (descrivendo come varia lo spostamento, in
uno stesso istante lungo la direzione di propagazione)
‰
Analiticamente sono descritte da un’equazione (equazione d’onda), che
esprime, in ogni istante t e per ogni punto P la distanza tra la posizione
perturbata e quella iniziale d’equilibrio:
Y = Y(z,t)
Le vibrazioni possono essere:
‰ periodiche (cioè fissato un punto la vibrazione si ripete uguale a se
stessa ad intervalli regolari), come ad esempio le vibrazioni generate da
macchine industriali
Ö ∃ Tf (periodo) : Y(t+Tf) = Y(t)
Ö possono essere nella loro forma più semplice di tipo armonico o
nella forma più generale con una componente aleatoria
Ö bastano pochi parametri per descriverle
‰ non periodiche o irregolari
Ö possono essere di tipo impulsivo (generate ad es. da esplosioni,
caduta di gravi) o transitorio (generate da terremoti o dal traffico)
Ö si possono ricondurre ad una sommatoria di infiniti moti periodici
ciascuno rappresentabile con pochi parametri (Teorema di
Fourier), dalla cui analisi (analisi spettrale) si può dedurre il
moto risultante.
y (t)
T
t
a)
y (t)
b)
t
c)
t
y (t)
d)
t
VIBRAZIONI ARMONICHE
Rappresentano la forma più elementare di vibrazione periodica, dove il
profilo d’onda è una sinusoide o una cosinusoide.
Rappresentazione nel dominio del tempo.
Il moto, in un determinato punto P lungo la direzione di propagazione,
può essere rappresentato in funzione del tempo in forma trigonometrica,
vettoriale e complessa in funzione di tre soli parametri:
l’ampiezza A (cioè la massima oscillazione)
♦ la frequenza circolare ω (cioè la velocità di oscillazione in rad/s)
legata al periodo T (cioè il tempo necessario a compiere
un’oscillazione completa) o alla frequenza f = 1/T (cioè il numero di
cicli al secondo in Hertz) dalla relazione:
ω = 2π /T = 2π f
♦ la fase iniziale ϕ (che permette di individuare l’istante t = -ϕ/ω in cui
la particella torna nella posizione d’equilibrio)
♦
Secondo la notazione trigonometrica il moto è descritto dalle seguenti
equazioni in termini di spostamento, velocità e accelerazione:
y(t) = A sin(ωt + ϕ)
v(t) = Aω sin (ωt + ϕ + π/2)
a(t) = ω2 A sin (ωt + ϕ + π) = - ω2 y(t)
T = 2π /ω
y
Q
y
P
ωt + ϕ
O
1 ° c ic lo
A
x
t
-ϕ /ω
Secondo la notazione vettoriale il moto armonico può essere
rappresentato:
− in termini di spostamento da un vettore di modulo A, che ruota con
velocità angolare costante ω e partendo da una posizione iniziale
caratterizzata da un angolo ϕ
− in termini di velocità e accelerazione da vettori, rispettivamente di
modulo A ω e A ω2 che ruotano nello stesso verso e con la stessa
velocità ma sfasati rispettivamente di π/2 e π.
y
ωA
A
ωt
O
Q
ωA
t
2
P
Secondo la notazione complessa il moto armonico, utilizzando la legge
di Eulero eiα = cosα + i sinα è espresso dall’equazione:
Y(t) = A (eiωt + e-iωt)/2
) OSS.
L’ampiezza dello spostamento, della velocità e dell’accelerazione
sono correlate tra loro e alla frequenza e utilizzando appositi diagrammi
(diagrammi tripartiti) è possibile determinare tali valori con una certa
facilità (ad esempio per descrivere il moto sismico).
Rappresentazione nel dominio del tempo e dello spazio
Se il moto armonico viene rappresentato oltre che al variare del tempo t
in uno stesso punto P, anche al variare della posizione del punto P, lungo
la direzione di propagazione (asse z), l’equazione del moto diventa:
y(z,t) = A sin[2π(t/T - z/λ)]
e ai parametri rappresentativi del moto si aggiunge:
• la lunghezza d’onda λ (equivalente
rappresentazione temporale)
• la velocità di propagazione dell’onda v
del
periodo
nella
legate al periodo T, o alla frequenza f, dalla relazione:
v = λ/T = λ f
, N.B. La grandezza caratteristica e invariabile dell’onda è il periodo, o la
frequenza, mentre la lunghezza d’onda, e quindi la velocità, dipendono
dal mezzo attraversato.
VIBRAZIONI IRREGOLARI
) OSS. Le vibrazioni trasmesse da una sorgente al terreno sono in genere
irregolari, anche quando la sorgente è classificata tra le sorgenti di
vibrazioni periodiche (fondazioni di macchine industriali), a causa
dell’interazione col terreno.
Teorema di Fourier
def. una funzione periodica x(t) di periodo Tf può essere scomposta in
una sommatoria (serie di Fourier) di infinite funzioni armoniche
elementari, ciascuna delle quali caratterizzata da un valore
dell’ampiezza An della frequenza ωn e della fase iniziale ϕn.
∞
x (t ) = a 0 + ∑ (a n cos ω n t + b n sinω n t )
n =1
con
1
a0 =
Tf
t = Tf
∫ x(t )dt
t =0
2
a n (ω n ) =
Tf
b n (ω n ) =
2
Tf
t = Tf
∫ x(t ) ⋅ cos(ω t )dt
n
t =0
t = Tf
∫ x(t ) ⋅ sin(ω t )dt
n
t =0
util.: è utile perché:
1. consente mediante l’analisi spettrale di ricondurre l’analisi di un
segnale irregolare all’analisi di funzioni armoniche elementari e ai
rispettivi parametri;
2. semplifica
notevolmente
molti
problemi
ingegneristici
consentendo di scomporre il segnale in tanti segnali elementari
(principio di sovrapposizione degli effetti).
In maniera equivalente si può scrivere:
∞
x(t ) = c 0 + ∑ c n sin(ω n t + ϕ n )
n =1
dove:
c n (ω n ) = a n + b n
2
2
;ϕn
⎛a ⎞
(ω n ) = tan −1 ⎜ b n ⎟ ; c
⎝
n
⎠
0
= a0
def. i valori di cn plottati in funzione della frequenza danno lo spettro di
Fourier in termini di ampiezza;
i valori di ϕn plottati in funzione della frequenza danno lo spettro di
Fourier in termini di fase;
Infine si può anche scrivere:
x (t ) =
∞
∑c
*
n
⋅ e iω n t
n =1
con:
cn
*
1
=
Tf
∫
t = Tf
t =0
x (t ) ⋅ e − iω n t dt
Trasformata di Fourier Discreta (DFT):
In generale i segnali di cui si dispone sono di tipo digitale (funzioni discrete
del tempo ad intervalli eventualmente regolari di ampiezza ∆t del tipo x =
x(tk) con tk = k ∆t e k = 1,2,.. N) o, se di tipo analogico (funzioni continue del
tempo), trattandosi di funzioni irregolari non esiste una funzione che li
rappresenti analiticamente, per cui vanno comunque discretizzati.
I coefficienti di Fourier si ottengono in tal caso non più per integrazione, ma
come sommatoria:
N
2πn
X(ω n ) = ∆t ∑ x (t k ) ⋅ e − iω n t k con n = 1,..,N e ω n =
N ⋅ ∆t
k =1
e consentono, mediante lo spettro di Fourier di rappresentare una funzione
del tempo, nel dominio delle frequenze (trasformata di Fourier discreta) o
viceversa (antitrasformata di Fourier discreta):
N
x(t k ) = ∆ω ∑ X(ω n ) ⋅ e iω n t k
n =1
ANALISI SPETTRALE
Lo spettro di Fourier fornisce una descrizione del contenuto in
frequenza di un segnale (cioè le frequenze corrispondenti alle
componenti di ampiezza più significativa) e particolarmente utili a questo
scopo sono alcuni parametri che si possono desumere dallo spettro:
♦ l’ ampiezza massima
♦ la frequenza fondamentale (corrispondente all’ampiezza massima)
♦ la forma dello spettro (che può essere a banda larga, a banda stretta,
con un solo picco o con più picchi confrontabili)
A
a)
f=1/T
b)
c)
d)
, N.B. tali parametri non bastano da soli a descrivere completamente una
vibrazione irregolare per la quale è necessario disporre dell’intero spettro.
Esempio di vibrazione irregolare
dovuta a sorgente di tipo transitoria
Accelerogramma
(accelerazione in 0.1 g e tempo in s)
Spettro
(ampiezza in 0.1 g s e frequenza in rad/s)
ONDE SISMICHE
L’applicazione di una sollecitazione dinamica ad un mezzo continuo
produce vibrazioni che si trasmettono sotto forma di onde sismiche.
La distinzione tra i vari tipi di onde viene effettuata in base:
‰
‰
‰
al fatto che la propagazione avvenga all’interno del mezzo (onde di
volume) o in superficie (onde di superficie)
alla direzione di propagazione dell’onda
al moto degli elementi di terreno rispetto a tale direzione
In particolare le onde sismiche si classificano principalmente in:
− onde di volume longitudinali (Onde P) e di taglio (Onde S)
− onde di superficie: di Rayleigh e di Love
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Onde P:
−
sono onde di volume
si propagano secondo fronti −
d’onda sferici (anche nell’acqua)
producono
vibrazioni −
polarizzate nella direz. di
propagazione
inducono
deformazioni
di
contrazione o estensione
hanno velocità più elevate delle
−
altre onde
Onde S:
sono onde di volume
si propagano secondo fronti
d’onda sferici (non nell’acqua)
producono
vibrazioni
polarizzate
nella
direz.
perpendicolare alla direz. di
propagazione (onde SH o SV
se contenute rispettivamente in
un piano orizzontale o verticale)
inducono
nel
mezzo
deformazioni di taglio
Onde di Rayleigh
− si attenuano meno rapidamente
sono onde di superficie
si propagano secondo fronti delle onde di volume con la
profondità
d’onda cilindrici
producono vibr. polarizzate su − la componente verticale del
piani verticali nella direzione di moto predominante su quella
propagazione e in quella orizzontale e significativa fino a
profondità pari alla lunghezza
perpendicolare
d’onda λ
Onde di Love
sono onde di superficie
− inducono
vibr.
orizzontali
perpendicolari alla direz. di prop.
Non bisogna dimenticare che:
− la velocità di propagazione delle onde sismiche dipende dalle proprietà
meccaniche del terreno, dalla stratigrafia e dalla morfologia e dalle
caratteristiche e l’intensità della sorgente;
− la velocità delle onde di compressione (VP) è sempre maggiore di quella
delle onde di taglio (VS) e comunque in entrambi i casi aumenta
generalmente con la profondità in uno stesso strato.
− il rapporto VP/VS, nell’ipotesi di comportamento elastico lineare, dipende
solo dal coefficiente di Poisson ν, varia tra √2 e ∞, per ν variabile tra 0 e
0.5.
− le onde di Love hanno velocità generalmente comprese tra quelle delle
onde S misurate alla base e in superficie dello strato
− La velocità VR delle onde di Rayleigh risulta sperimentalmente assai
prossima a quella delle onde di taglio VS (variando in funzione del
coefficiente di Poisson tra 0.86 e 0.95).
− il grado di saturazione influenza la velocità delle onde P: per Sr <
99%, le vibrazioni si propagano esclusivamente tramite lo scheletro solido
e la VP è rappresentativa solo delle proprietà meccaniche dello scheletro
solido, per Sr > 99% entra in gioco la compressibilità dell’acqua
interstiziale e per terreni completamente saturi la propagazione avviene
esclusivamente attraverso l’acqua e la VP non è più rappresentativa delle
proprietà meccaniche del terreno.
− la velocità delle onde di taglio e di superficie è invece scarsamente
influenzata dalla presenza del fluido interstiziale, non potendo esso
assorbire sforzi di taglio.
Relazioni tra proprietà meccaniche dei terreni
e velocità delle onde sismiche
4 ⎞
⎛
• Ev = ρ ⋅ ⎜VP2 − VS2 ⎟
⎝
3 ⎠
2
• E = 2 ρ ⋅VS ⋅ (1 + ν )
V
0.862 + 114
. ⋅ν
• R =
1+ν
VS
V R 0.862 + 114
. ⋅ν
=
VS
1+ν
VS
=
Vp
1 − 2υ
2 − 2υ
Eed = ρVP2
ν=
⎛V ⎞
0.5 ⋅ ⎜ P
⎝ VS ⎠
2
⎛ VP ⎞
⎜ ⎟ −
⎝ VS ⎠
G = ρVS2
con
ρ = densità del mezzo; ν = coefficiente di Poisson; G = modulo di taglio
Propagazione delle onde sismiche
p.c.
Velocità caratteristiche di alcuni tipi di terreno e di rocce
Tipo di terreno
Vp
[m/s]
Vs
[m/s]
Argilla satura
Sabbia fine e media
Sabbia densa
Ghiaia
Arenaria
Marna
1500
300 ÷ 500
400 ÷ 600
500 ÷ 750
1500 ÷ 4500
1500 ÷ 4500
100 ÷ 250
120 ÷ 200
200 ÷ 400
300 ÷ 600
700 ÷ 1500
600 ÷ 1500