valutazione finanziaria in ipotesi di volatilita` stocastica della

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UNIVERSITÀ POLITECNICA DELLE MARCHE
FACOLTÀ DI ECONOMIA “GIORGIO FUÀ”
_______________________________________________________________
Corso di Laurea Magistrale in Scienze Economiche e Finanziarie
VALUTAZIONE FINANZIARIA IN IPOTESI
DI VOLATILITA’ STOCASTICA DELLA
POLIZZA GMWB
Relatore: Chiar.ma
Tesi di Laurea di:
Prof.ssa Graziella Pacelli
Mariangela Scorrano
Correlatore: Chiar.mo
Prof. Sebastiano Silla
Anno Accademico 2010 - 2011
Indice
Introduzione
vii
1 L’opzione Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit nell’ambito di una polizza Variable Annuity
1
1.1
Il contratto di assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Le assicurazioni contro i danni . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Le assicurazioni sulla durata della vita . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Aspetti di carattere finanziario nelle polizze assicurative
10
1.2
1.3
1.4
La polizza Variable Annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1
Il mercato delle polizze variable annuities
. . . . . . . . 15
1.2.2
Descrizione della polizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
L’opzione GMWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1
Esempio di funzionamento dell’opzione . . . . . . . . . . 20
1.3.2
Caratteristiche aggiuntive rispetto alla polizza base . . . 25
1.3.3
Sviluppo e prospettive future . . . . . . . . . . . . . . . 27
La polizza IncomePlus offerta da Manulife Financial . . . . . . 29
1.4.1
Le caratteristiche della polizza . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
iv
Mariangela Scorrano
1.4.2
Esempio di funzionamento della polizza . . . . . . . . . . 33
2 Il modello di valutazione per l’opzione GMWB nell’ambito di
una polizza Variable Annuity
2.1
41
Valutazione finanziaria dell’opzione GMWB in ipotesi di volatilità deterministica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2
2.1.1
Il valore del VA sub-account . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2
La probabilità di rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3
Il valore dell’opzione GMWB . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.4
I risultati empirici di Milevsky e Salisbury . . . . . . . . 53
Valutazione finanziaria dell’opzione GMWB in ipotesi di volatilità stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1
La volatilità come processo stocastico . . . . . . . . . . . 57
3 Simulazioni numeriche per la valutazione della polizza GMWB
3.1
3.2
63
Risultati in ipotesi di volatilità deterministica . . . . . . . . . . 64
3.1.1
Il valore del VA sub-account . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2
La probabilità di rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3
Il prezzo equo dell’opzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.4
I valori di α e G che rendono equo il prezzo dell’opzione
80
Risultati in ipotesi di volatilità stocastica . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1
Il modello di Scott generalizzato . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.2
Il modello di Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB
3.3
v
Validità del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Conclusioni
101
A Elementi di calcolo stocastico
105
A.1 La dinamica dei prezzi dei titoli finanziari: i processi stocastici . 105
B Metodo di Monte Carlo
119
B.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2 Metodi Monte Carlo e valutazione di opzioni finanziarie . . . . . 120
Bibliografia
123
Introduzione
Negli ultimi venti anni si è assistito ad una massiccia proliferazione di prodotti
derivati di tipo finanziario-assicurativo. Questo genere di strumenti sono reputati molto interessanti in quanto offrono la possibilità di fronteggiare rischi di
varia natura (perdite di capitali, mortalità, catastrofi, . . . ) distribuiti su orizzonti temporali anche molto lunghi (ad esempio 30 anni) pagando un premio
il più delle volte modesto o diluito nel tempo.
Un esempio di derivato finanziario-assicurativo attualmente molto in auge è
l’opzione cosiddetta Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB), che
viene frequentemente associata alle polizze variable annuities. Questo genere
di contratto, introdotto per la prima volta negli Stati Uniti agli inizi degli
anni Settanta, ha raggiunto ben presto un notevole sviluppo anche in Europa,
soprattutto nell’ultimo decennio caratterizzato da mercati finanziari bearish e
da tassi di interesse relativamente bassi.
L’opzione GMWB permette di soddisfare esigenze di investimento di medio o lungo periodo e nello stesso tempo offre una discreta copertura al rischio
dovuto alla volatilità dei mercati. Infatti, a fronte di un capitale iniziale investito, garantisce all’assicurato un flusso di pagamenti futuri indipendente
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viii
Mariangela Scorrano
dalla performance della polizza sottostante. In particolare, alla stipula del
contratto, l’assicurato versa un importo di denaro che viene investito in un
portafoglio ben diversificato di titoli (per lo più obbligazioni o fondi obbligazionari). I movimenti di tale portafoglio di investimento vengono registrati in
un conto, detto Variable Annuity sub-account, o più semplicemente VA subaccount. L’opzione GMWB garantisce all’assicurato un ammontare periodico
di denaro indipendente dall’andamento del mercato e fino alla scadenza del
contratto. Tale somma viene prelevata dal VA sub-account se questo registra
un saldo positivo, in caso contrario viene comunque garantita dalla compagnia
di assicurazione che mette a disposizione del capitale proprio. I prelievi che
l’assicurato può effettuare non devono eccedere il tetto massimo dato dalla
somma di denaro versata inizialmente. Inoltre, alla scadenza della polizza,
l’assicurato preleverà l’importo di denaro eventualmente presente sul conto.
Pertanto la durata totale della GMWB sarà determinata dal tasso di prelievo
prescelto dal contraente: a parità di investimento iniziale, maggiore è l’ammontare di denaro che l’assicurato intende prelevare periodicamente, minore
sarà la durata della polizza.
E’ chiaro come questo contratto comporti un rischio da parte della compagnia assicuratrice. Infatti, se il portafoglio di titoli sottostante l’opzione
dovesse registrare delle perdite ingenti ed il saldo del VA sub-account diventasse nullo, allora l’assicuratore si troverebbe a dover rimborsare gli importi
di denaro prelevati dall’assicurato di tasca propria. Pertanto, a fronte di tale
rischio, la compagnia di assicurazione richiede all’assicurato il pagamento di un
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premio. Esso viene solitamente spalmato su tutto l’arco temporale di durata
della polizza sotto forma di pagamenti (o commissioni) periodici che vengono
versati sul VA sub-account.
Dunque, il problema principale associato alle opzioni GMWB è proprio la
valutazione dell’importo equo delle commissioni dovute dal contraente.
In particolare, se si indica con v0 l’importo versato inizialmente al tempo
t = 0, con T la durata della polizza, con r il tasso di interesse, con g il tasso di
prelievo scelto dall’assicurato (si assume che il tasso di interesse ed il tasso di
prelievo siano costanti) e con VT il saldo del VA sub-account alla scadenza del
contratto, allora il valore attuale di tutti i flussi di cassa associati al contratto
al tempo t = 0 è dato da:
e−rT EQ [VT ] +
v0 g
(1 − e−rT )
r
dove EQ [.] indica il valore atteso in condizioni di neutralità al rischio.
Il saldo finale del conto VT sarà influenzato, tra l’altro, dall’ammontare
delle commissioni versate dal contraente (come descritto sopra le commissioni
vengono versate sul conto). Pertanto, il valore equo di dette commissioni sarà
tale da realizzare l’equivalenza tra il valore attuale del conto e l’importo iniziale
versato dall’assicurato, ovvero
v0 = e−rT EQ [VT ] +
v0 g
(1 − e−rT )
r
(1)
Il fattore di rischio che maggiormente influenza il valore finale del VA subaccount VT è l’andamento del portafoglio di titoli sottostante la polizza. Appare pertanto evidente come, al fine di valutare il valore equo delle commissioni
x
Mariangela Scorrano
dovute dal contraente, sia necessario descrivere la dinamica di tale portafoglio
attraverso un modello matematico-probabilistico accurato. In particolare, in
una analisi condotta da Milevsky & Salisbury (2006), che costituisce uno dei
principali lavori sulla valutazione delle GMWB, si assume che l’evoluzione nel
tempo del portafoglio sottostante la polizza sia descritto da un moto browniano geometrico. Precisamente, se si indica con St il valore di tale portafoglio,
si ha:
dSt = µSt dt + σSt dWt
dove i parametri µ e σ rappresentano rispettivamente il tasso di rendimento
e la volatilità del portafoglio, e Wt è un processo di Wiener standard (si veda
l’Appendice A). In particolare, µ e σ vengono considerati costanti da Milevsky
e Salisbury.
Nel presente lavoro di tesi, viene proposta una generalizzazione del modello
di Milevsky & Salisbury (2006), in cui la volatilità del portafoglio sottostante,
anziché essere ritenuta costante viene descritta mediante un ulteriore processo
stocastico. Infatti moltissimi studi empirici sull’andamento dei mercati finanziari rivelano che solo il tasso di rendimento può essere ragionevolmente ritenuto costante, mentre è decisamente più realistico assumere che la volatilità
evolva nel tempo secondo un processo stocastico a sé stante.
Nella fattispecie, nel presente lavoro di tesi, sono stati considerati due diversi modelli stocastici per descrivere la complessa dinamica della volatilità,
un modello di Scott generalizzato ed il modello di Heston. Entrambi questi processi stocastici vengono largamente utilizzati per descrivere l’evoluzione
xi
nel tempo di diverse grandezze finanziarie in quanto offrono una descrizione
particolarmente accurata ed inoltre, in alcun casi semplici (per esempio nella valutazione di opzioni vanilla europee), consentono di ottenere soluzioni in
forma chiusa.
Nel caso della valutazione dell’opzione GMWB, se la volatilità del portafoglio segue il modello di Scott generalizzato o il modello di Heston, non è
possibile determinare una espressione analitica esatta del valore atteso del VA
sub-account necessario nella formula (1). Pertanto, nella presente tesi, tale
valore atteso è stato valutato mediante la simulazione Monte Carlo (Boyle,
1977). Questa tecnica, largamente utilizzata nella normale pratica finanziaria,
permette di ottenere risultati ragionevolmente accurati e, al contempo, risulta
estremamente semplice da implementare con un normale calcolatore.
In particolare, in questo caso, la simulazione Monte Carlo ha consentito di determinare in maniera relativamente semplice (considerata anche la
complessità del modello matematico proposto) il valore atteso del VA subaccount. Conseguentemente, utilizzando l’equazione (1) è stata ottenuta in
maniera semplice una stima piuttosto realistica del premio (ovvero del valore
delle commissioni) dovuto dal contraente.
Inoltre, dal punto di vista strettamente finanziario, si è potuto riscontrare
come la generalizzazione del modello di Milevsky e Salisbury proposta consenta
di ottenere risultati sensibilmente più realistici rispetto al modello stesso di
Milevsky e Salisbury. Infatti, quando i valori reali del premio sono compresi
tra 30 e 50 punti base, il modello di Milevsky e Salisbury fornisce stime del
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Mariangela Scorrano
premio comprese tra 73 e 158 punti base. Questo fatto viene espressamente
notato da Milevsky e Salisbury i quali riconoscono come il loro modello non
fornisca una stima particolarmente realistica dei dati di mercato.
Invece, nel presente lavoro, grazie all’implementazione dei modelli a volatilità stocastica di Scott ed Heston, sono state ottenute valutazioni del premio
intorno ai 35 punti base.
Questo sensibile miglioramento delle valutazioni del premio delle GMWB
rappresenta, da un punto di vista pratico e applicativo, il risultato principale
ottenuto in questa tesi. Si fa inoltre osservare che l’analisi condotta nel presente lavoro ha comportato la creazione di un programma di calcolo ad hoc per
la valutazione delle GMWB. Tale software è stato realizzato in ambiente MATLAB a partire da zero (senza ricorrere a subroutine o librerie già esistenti), e
a mio modesto modo di vedere costituisce un interessante prodotto del lavoro
in quanto consente una valutazione delle GMWB pratica e coerente con i dati
reali.
La tesi è strutturata come segue. Nel capitolo 1, dopo una breve panoramica sulla nozione di contratto di assicurazione, vengono presentate le caratteristiche ed il funzionamento delle polizze variable annuity e dell’opzione
GMWB ad esse associata. Per rendere più agevole la comprensione del funzionamento di tali strumenti finanziari-assicurativi si è deciso di introdurre un
esempio numerico e di descrivere un contratto realmente offerto sul mercato
americano: IncomePlus di Manulife Financial.
Nel capitolo 2 viene inizialmente presentato dal punto di vista matematico
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il modello di Milevsky e Salisbury per la valutazione finanziaria dell’opzione
GMWB implicita in una polizza variable annuity. Successivamente viene proposta la generalizzazione di tale modello in presenza di volatilità stocastica
descritta dai modelli di Scott e di Heston.
Nel capitolo 3 vengono descritti e commentati i risultati numerici ottenuti
utilizzando sia il modello di Milevsky e Salisbury a volatilità costante sia la
sua generalizzazione al caso di volatilità stocastica.
Nel capitolo 4 vengono brevemente riportate alcune conclusioni insieme ai
possibili sviluppi futuri al presente lavoro di tesi. Infine in appendice sono riportate alcune nozioni di calcolo stocastico utili per una migliore comprensione
del modello di valutazione proposto.
xiv
Mariangela Scorrano
Capitolo 1
L’opzione Guaranteed Minimum
Withdrawal Benefit nell’ambito di
1.1
Il contratto di assicurazione
La vita degli individui è caratterizzata dall’incertezza riguardante il loro futuro
ed, in particolare, la durata e la qualità della vita umana. Entrambi questi
aspetti dipendono principalmente dallo stato di salute e dal benessere economico di ciascuno, elementi che peraltro non sono totalmente indipendenti tra
loro. A parità di condizioni esterne, molti eventi futuri possono tuttavia condizionare il corso della nostra vita: può sorgere la necessità di fronteggiare spese
mediche improvvise, di salvaguardare il proprio patrimonio da imprevisti, da
eventi spiacevoli, o dal mutare delle condizioni economiche. In tutti questi casi
1
2
Mariangela Scorrano
si può subire una riduzione della ricchezza posseduta e/o del reddito disponibile. L’incertezza legata agli eventi che accadono nel corso della vita e che
sono in grado di condizionare il livello di benessere delle persone costituisce
l’essenza del rischio. Il termine rischio identifica non solo situazioni in cui
il verificarsi di un futuro evento incerto può comportare esclusivamente una
perdita (ad esempio il furto dell’auto) ma anche situazioni in cui l’incertezza
può concretizzarsi in un risultato positivo oltre che negativo, come nel caso
di uno speculatore di borsa per il quale, accanto alla possibilità di perdere
parte dei propri capitali, vi è anche quella di guadagnare ingenti somme, o
come nel caso di un individuo che vince alla lotteria o che riceve una eredità
inaspettata. L’atteggiamento degli individui nei confronti dei rischi varia in
funzione del loro grado di avversione al rischio, ossia in funzione della paura
di subire una perdita economica più o meno consistente. Ed è proprio sulla
base di questo comprovato e comune atteggiamento psicologico che si fonda
l’esigenza di cautelasi contro possibili eventi negativi attraverso il controllo o
il trasferimento dei rischi a terzi. A questo fine, il primo passaggio è costituito
dall’individuazione dei rischi a cui potenzialmente ciascuno di noi è soggetto.
Se infatti alcuni rischi ci sono molto familiari e ne siamo perfettamente consci,
altri restano spesso ignoti fino al momento in cui si manifestano. In secondo
luogo, è necessario effettuare una valutazione di tali rischi, il che significa valutare il grado di confidenza associato al loro verificarsi e l’entità delle perdite
o dei danni cui essi possono dare luogo. In termini economici, il rischio di perdere un ombrello è infatti ben diverso dal rischio che il proprio appartamento
3
venga svaligiato. Questa valutazione consente di effettuare una scelta basilare
e cioè decidere se ci si vuole esporre o meno al rischio e in che misura, e ciò
dipende in primo luogo dal nostro grado di avversione al rischio. Nel caso in
cui si decida di non voler correre il rischio, ciascun soggetto si trova di fronte
alla possibilità di controllare i rischi al fine di limitarne le potenzialità negative, o di trasferirli ad un altro soggetto. In quest’ultimo caso, il trasferimento
del rischio avviene attraverso la stipula di un contratto di assicurazione. L’art.
1882 del Codice Civile italiano definisce il contratto di assicurazione come il
contratto col quale l’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a
rivalere l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un
sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana. Dunque ricorrendo all’assicurazione è possibile
trasformare una situazione “a rischio” in una situazione di sicurezza, quanto
meno parziale, dal momento che qualsiasi cosa accada (ovviamente tra quelle
previste dal contratto assicurativo) l’assicuratore interverrà per ripristinare la
situazione economica dell’assicurato, anche se non sempre in maniera totale.
La funzione principale delle imprese di assicurazione consiste, dunque, nell’accollarsi i rischi che gravano sui loro assicurati e nel fornire loro una forma
di risarcimento a fronte di una eventuale diminuzione della loro ricchezza o del
loro reddito disponibile ovvero della loro capacità di produrre reddito, qualora
tali circostanze siano determinate dal verificarsi degli eventi temuti. A fronte
di tale impegno, l’assicuratore richiede un compenso, detto premio di assicurazione, la cui entità dipende anche dalla modalità scelta per la corresponsione:
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Mariangela Scorrano
esso può essere versato in soluzione unica alla stipulazione del contratto (premio unico) o convenientemente rateizzato (premio periodico). In tale seconda
ipotesi è introdotto nel contratto assicurativo un nuovo elemento di aleatorietà.
Infatti la determinazione del premio deve tener conto anche dell’eventualità che
il contraente muoia prima del completamento dei pagamenti contrattualmente
previsti.
I soggetti coinvolti in un contratto assicurativo sono, oltre alla compagnia
di assicurazione, autorizzata e vigilata dall’Isvap (Istituto per la Vigilanza sulle
Assicurazioni Private e di Interesse Collettivo):
• il contraente: soggetto che sottoscrive, paga i premi e può esercitare tutti
i diritti del contratto (recesso, riscatto, ecc.);
• l’assicurato: soggetto su cui grava il rischio; se diverso dal contraente
deve firmare per accettazione;
• il beneficiario: colui a favore del quale l’impresa di assicurazione è tenuta
ad erogare la prestazione in caso di sinistro.
Queste tre figure possono coincidere in una persona, ma essere anche riferite a
persone diverse.
Nella prassi si è soliti distinguere gli eventi temuti a seconda che essi siano
riconducibili alla durata della vita umana ovvero a tutte le altre circostanze che
possono riguardare un soggetto: nel primo caso si parla di contratti (polizze)
di assicurazione sulla durata della vita, nel secondo caso di polizze riguardanti
danni a cose e persone. Da un punto di vista giuridico, l’ordinamento vigente
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distingue l’attività assicurativa in ramo danni e ramo vita, intendendo come
ramo il raggruppamento dei rischi su base omogenea. In particolare, le diverse
tipologie di rischio sono raggruppate in rami sulla base dei criteri enucleati nelle
direttive comunitarie: i rischi relativi ai danni vengono classificati in diciotto
rami omogenei, mentre quelli relativi alla durata della vita umana in sei rami.
1.1.1
Le assicurazioni contro i danni
L’assicurazione contro i danni rappresenta un atto di previdenza mediante il
quale una parte (l’assicurato) trasferisce un’alea economica ad un soggetto professionale (l’assicuratore). Trattandosi di un atto di previdenza, cioè un mezzo
di conservazione del patrimonio, opera nel contesto del principio indennitario
(l’indennizzo non può superare il danno sofferto), non essendo permesso un arricchimento ovvero una speculazione. Le assicurazioni del ramo danni coprono
a loro volta diverse tipologie di rischi, solitamente raggruppate in tre grandi
classi:
• rischi di riduzione del valore dei beni che compongono il patrimonio di un
soggetto (individuo o impresa) causata da eventi esterni, quali un furto,
un incendio, una calamità naturale, ecc. ;
• rischi inerenti la persona, segnatamente il rischio che essa possa essere
colpita da una malattia o da infortuni, determinando un danno economico identificabile con le spese necessarie per le cure e/o con il minor
reddito generato a causa dell’inabilità del soggetto colpito dall’evento
rischioso;
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Mariangela Scorrano
• rischi legati ai danni materiali o fisici provocati a terzi dalle azioni di un
individuo, o di altri soggetti o beni di cui egli è responsabile (ad esempio
il proprio cane, la propria domestica o i propri impianti produttivi) per
i quali egli è tenuto a pagare un risarcimento che riduce il suo reddito
disponibile o la sua ricchezza.
1.1.2
Le assicurazioni sulla durata della vita
Le assicurazioni sulla durata della vita umana coprono due tipologie di rischio:
• il rischio di mortalità o di premorienza, ossia la possibilità che un individuo muoia (prematuramente) privando di una fonte di reddito coloro
che gli sopravvivono e che da lui dipendono economicamente, come ad
esempio i figli o il coniuge;
• il rischio di longevità, cioè la possibilità che la durata della vita di un
individuo ecceda il periodo per il quale egli dispone delle risorse economiche necessarie a fronteggiare le esigenze correnti di una esistenza
dignitosa.
E’ usuale ripartire le varie forme di assicurazione sulla durata di vita, offerte
sui mercati assicurativi, in tre grandi categorie:
• assicurazioni in caso di vita: hanno lo scopo di costituire una disponibilità finanziaria in caso di vita ad una certa epoca. Tali assicurazioni
prevedono pertanto l’erogazione, da parte dell’assicuratore, di una prestazione monetaria nel caso in cui ad una specifica età (o data) l’assi-
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curato sia ancora in vita. E’ usuale, in queste forme assicurative, che
contraente, assicurato e beneficiario coincidano. La loro funzione economica consiste nel garantire che il beneficiario disponga, anche oltre il
compimento di un’età, che spesso coincide con la cessazione dell’attività lavorativa, di un reddito sufficiente a mantenere l’abituale tenore di
vita. Proprio a sottolineare la finalità previdenziale di questa polizza,
vi è la previsione che, in alternativa al pagamento di un capitale predefinito, il beneficiario possa ottenere l’erogazione di una rendita, ossia il
versamento di somme periodiche. Attraverso l’inserimento di una specifica opzione nel contratto è possibile trasformare il diritto a percepire
un capitale come prestazione finale di una qualsiasi copertura sulla vita
in diritto ad ottenere l’erogazione di una rendita. A sua volta la rendita
può essere immediata, se l’impresa di assicurazione eroga la prestazione
a partire dal momento di sottoscrizione del contratto, o differita se il pagamento avviene solo a partire da una data successiva a quella di stipula
del contratto, a condizione che a quell’epoca l’assicurato sia ancora in
vita. In entrambi i casi la polizza assume le caratteristiche fondamentali
di un prodotto di investimento del risparmio con finalità previdenziali:
il sottoscrittore affida infatti all’impresa di assicurazione la gestione di
un certo capitale a fronte di una serie di pagamenti. La rendita, inoltre, può essere temporanea, quando è stabilito un termine ai pagamenti
periodici, o vitalizia, se l’obbligo dell’assicurazione ad effettuare i pagamenti si estingue solo alla morte dell’assicurato. Solitamente la rendita
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Mariangela Scorrano
è non temporanea, e dunque è pagabile per tutta la durata residua di
vita. Rendite temporanee possono rispondere a scopi specifici, quali ad
esempio il supporto finanziario a favore dei figli per i periodi di studio
o avviamento professionale, e in tal caso l’assicurato ed il beneficiario
coincidono mentre il contraente è una persona diversa;
• assicurazioni in caso di morte: sono stipulate per coprire il rischio di
morte (ad esempio del capofamiglia percettore di reddito) e relative conseguenze finanziarie. Hanno pertanto la funzione di evitare che la scomparsa dell’assicurato sia causa di difficoltà economiche per le persone che
da lui economicamente dipendono, come ad esempio la moglie o i figli.
Queste polizze prevedono infatti che l’impresa di assicurazione eroghi una
somma predeterminata al o ai beneficiari al momento della morte dell’assicurato. In tal modo essi si trovano a disporre di un patrimonio che
consente loro di compensare l’eventuale riduzione del reddito familiare
(o del reddito sul quale a qualsiasi altro titolo potevano contare) determinato dalla scomparsa dell’assicurato e dal conseguente venire meno
di una fonte di reddito. Tale somma, calcolata sulla base di specifiche
clausole contenute nella polizza stessa e pertanto nota a priori, viene tuttavia erogata solo se la morte dell’assicurato avviene nei termini previsti
dal contratto. A questo riguardo le polizze caso morte possono essere a
vita intera o temporanee. Nel primo caso, l’assicurazione copre l’intera
vita dell’assicurato; è pertanto sicuro che prima o poi i beneficiari otterranno il pagamento della somma assicurata, anche se resta l’incertezza
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sul momento in cui si verificherà l’evento che dà diritto alla prestazione.
Nella copertura temporanea, invece, il pagamento della somma prestabilita avviene solo a condizione che il decesso dell’assicurato si verifichi
entro il periodo di vigenza del contratto; se al momento della scadenza
della copertura l’assicurato è ancora in vita, nulla è dovuto ai beneficiari.
Solitamente nelle polizze caso morte vi è coincidenza tra contraente ed
assicurato;
• assicurazioni miste: sono combinazioni di assicurazioni dei due tipi precedenti, tramite le quali si copre il rischio di morte e contemporaneamente
ci si garantisce un capitale o una rendita in caso di vita. Qui beneficiario è, usualmente, il contraente-assicurato in caso di vita e un terzo, ad
esempio erede, in caso di morte.
Nelle forme assicurative descritte la prestazione dell’assicuratore dipende dalla
durata aleatoria di vita di un’unica testa assicurata. Esistono tuttavia forme
assicurative in cui la prestazione è funzione della sopravvivenza di un gruppo
di teste, intendendo con ciò che la prestazione può essere legata, ad esempio,
alla sopravvivenza di tutte le teste del gruppo, oppure alla sopravvivenza di
almeno una, ecc.
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Mariangela Scorrano
1.1.3
Aspetti di carattere finanziario nelle polizze assicurative
E’ importante osservare che in un contratto di assicurazione danni il carattere
risarcitorio della prestazione dell’assicuratore comporta l’aleatorietà dell’esborso dell’assicuratore stesso in un dato periodo di copertura assicurativa: l’esborso nel periodo è infatti funzione del numero (aleatorio) di sinistri che colpiscono
il contratto e dell’entità del danno arrecato da ciascun sinistro. D’altro canto,
la durata del periodo al quale è riferita la copertura assicurativa è usualmente
breve (frequentemente un anno). Ne segue che nelle assicurazioni danni l’aspetto finanziario è spesso trascurabile, mentre quello statistico-probabilistico
è della massima importanza.
Nelle assicurazioni sulla vita, per contro, le somme da pagare sono prestabilite – o almeno determinabili secondo schemi di calcolo prestabiliti, quale ad
esempio il collegamento con parametri relativi al costo della vita o al rendimento degli investimenti effettuati dall’assicuratore impiegando i premi introitati –
e l’aleatorietà riguarda il se ed il quando saranno corrisposte. D’altro canto, i
contratti assicurativi sulla vita sono di durata medio-lunga (spesso 10-20 anni
o più, o l’intera durata residua della vita di una persona), sicché, accanto ad
aspetti statistico-probabilistici più semplici, assumono notevole importanza gli
aspetti finanziari. Occorre poi segnalare che gli stessi aspetti finanziari introducono elementi di aleatorietà nella gestione dei contratti assicurativi, causati
dall’incertezza, sulle lunghe durate, del rendimento degli investimenti effettuati
dall’assicuratore. La valutazione di una polizza sulla durata della vita umana
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presenta, pertanto, difficoltà di gran lunga superiori a quella di una polizza del
ramo danni.
Inoltre, con riferimento ai contratti di assicurazione sulla durata della vita, ulteriori criticità sono sorte negli ultimi anni in seguito alla cosiddetta
“finanziarizzazione” della polizza del ramo vita (Vincenzini, 2003).
In effetti, le forme caso morte rappresentano esclusivamente uno strumento
assicurativo-previdenziale, atteso che esiste un tipico rischio assicurativo da
garantire (il decesso dell’assicurato) e che le caratteristiche personali (età e
sesso) dell’assicurato sono determinanti nella costruzione e nel funzionamento
della polizza. Difficilmente si può parlare di investimento finanziario dato
che il premio di assicurazione corrisposto è utilizzato per coprire un rischio e
per ottenere un indennizzo, e non per ottenere una remunerazione finanziaria
(capitale più interesse) del premio stesso. D’altra parte, è diversa la logica e la
finalità che sottintende ad un’operazione del genere rispetto ad un investimento
finanziario tipico. Emerge preponderante in questi casi la finalità previdenziale
di garantire economicamente le conseguenze, pregiudizievoli della propria o
altrui capacità reddituale, di un evento futuro incerto.
Nelle forme miste la previsione del rischio e del capitale caso morte fa assumere alle stesse la natura di strumento assicurativo-previdenziale nei termini
anzidetti per le forme caso morte; ma la contestuale previsione di un capitale o di una rendita, qualora l’assicurato sia in vita ad una certa data, è una
peculiarità che aggiunge all’operazione caratteristiche decisamente finanziarie:
quel capitale o quella rendita finali non saranno altro che il risultato dell’inve-
12
Mariangela Scorrano
stimento dei premi pagati dall’assicurato nel corso del rapporto assicurativo.
Tuttavia, si tratta di uno strumento ancora essenzialmente assicurativo e solo
atipicamente finanziario e ciò per due ordini di motivi:
- innanzitutto, la copertura assicurativa del rischio morte comporta ovviamente un costo che incide e penalizza il risultato finanziario finale dell’investimento. Se, ad esempio, viene corrisposto un premio di $ 2.000, non
tutta la somma verrà investita per la costituzione del capitale, o della rendita, finali come avviene nelle operazioni finanziarie tradizionali, ma una parte,
inevitabilmente, servirà per “pagare” e, quindi, garantire il rischio morte;
- in secondo luogo, poi, è da sottolineare il ruolo determinante che assumono
in questi tipi di polizze, come del resto in tutte le polizze classiche, gli elementi
personali dell’assicurato quali l’età ed il sesso. E’ evidente che un assicurato di
50 anni rispetto ad uno di 30 avrà una probabilità di morte superiore e, quindi,
subirà un costo assicurativo maggiore per la copertura del rischio morte con
conseguente penalizzazione dell’investimento finanziario. Sarà minore, infatti,
la parte di premio destinata alla capitalizzazione ed alla costituzione del capitale finale (o della rendita). Il discorso è analogo in presenza di due assicurati
di sesso diverso, in considerazione della maggiore speranza di vita che hanno le
donne rispetto agli uomini. In entrambe le situazioni, ovviamente, il discorso
è valido laddove esistano stesso premio pagato e stessa durata contrattuale. In
una qualsivoglia operazione finanziaria volta alla costituzione di un capitale
nel tempo, al contrario, è assolutamente indifferente la circostanza che l’investitore abbia 50 o 30 anni, o sia di sesso maschile o femminile. Proprio per
13
questo la polizza vita, nella specie quella mista, viene definita un investimento
finanziario “atipico”.
Se nelle forme caso morte l’aspetto finanziario è assolutamente inesistente,
se nelle forme miste, pur presente, è condizionato dal costo della garanzia caso
morte, nelle forme caso vita certamente assume una dimensione più naturale e
trova più completa realizzazione. Il premio pagato dall’assicurato è interamente destinato alla capitalizzazione, tant’è che tali polizze sono state stimate le
più idonee per la costituzione di una previdenza integrativa. Quindi, pur mantenendo caratteristiche assolutamente assicurative e previdenziali, la polizza
vita (caso vita) assume i connotati e realizza gli obiettivi di uno strumento
finanziario, primo tra tutti la capitalizzazione e la remunerazione finanziaria
di una somma di denaro, rappresentata dal premio di assicurazione. Anche in
questo caso, tuttavia, è bene parlare di investimento o strumento finanziario
“atipico”, in considerazione della presenza ed influenza determinante che anche
in questi tipi di prodotto hanno l’età ed il sesso dell’assicurato.
Queste considerazioni hanno portato le compagnie di assicurazione a ridisegnare le strutture ed i principi tecnici di alcune polizze e ad elaborarne delle
nuove con il preciso e dichiarato intento di renderle il più possibile finanziarie
e meno assicurative. Gli individui sono diventati più consapevoli delle opportunità di investimento esistenti al di fuori del settore assicurativo e pertanto
richiedono all’impresa di assicurazione non solo la protezione contro il rischio
di mortalità/longevità, ma anche tutti i benefici di un investimento di capitali.
Ed è proprio per soddisfare le esigenze del mercato e per fronteggiare la concor-
14
Mariangela Scorrano
renza alimentata da altri competitors (banche, ecc.) che il mercato assicurativo
sta cambiando ed ha iniziato a sviluppare nuovi prodotti assicurativi ad elevato contenuto finanziario, come i contratti di capitalizzazione, o le polizze index
e unit linked. Queste ultime sono contratti di assicurazione sulla vita le cui
prestazioni risultano direttamente collegate al valore di mercato di determinate entità di riferimento (indici di borsa, panieri di azioni, tasso di inflazione,
quote di Organismi di Investimento Collettivo del Risparmio, quote di fondi
interni detenuti dalle imprese di assicurazione, altri valori di riferimento).
La polizza di capitalizzazione è il prodotto che rappresenta il punto di
arrivo di quella evoluzione che ha portato la polizza vita a divenire, nella
sostanza, un vero e proprio strumento finanziario. Tali polizze sono operazioni
attraverso le quali un risparmiatore conferisce una data somma di denaro ad un
soggetto gestore ed investitore, per poi ritirarla dopo un certo periodo di tempo
capitalizzata degli interessi maturati in quel periodo. Lo schema contrattuale
prevede, in sostanza, che l’impresa di assicurazione, a fronte del versamento di
un premio unico, o di un premio unico ricorrente, da parte del contraente, si
impegni a corrispondere ad un beneficiario un capitale ed in alternativa una
rendita, senza che ci sia alcun vincolo o alcun riferimento alla durata della vita
umana. In effetti l’impresa pagherà in ogni caso, se non al contraente, ad un
beneficiario ed il suo compito è solo quello di remunerare finanziariamente un
capitale e non quello di assicurare un rischio.
1.2
15
La polizza Variable Annuity
Nell’ambito dei prodotti assicurativo-finanziari particolare interesse rivestono,
per il carattere fortemente innovativo e per l’imponente sviluppo fatto registrare negli ultimi anni sul mercato assicurativo americano, le cosiddette polizze
variable annuities, introdotte per la prima volta negli Stati Uniti nel 1970.
1.2.1
Il mercato delle polizze variable annuities
Il primo Paese che ha visto una massiccia commercializzazione di polizze variable annuities sono stati gli USA, a cui è seguito il Giappone. Si tratta dunque
di economie molto mature e sviluppate. Dopo essere rimasto abbastanza piccolo per diversi decenni, agli inizi degli anni ’90 il mercato di questa classe di
prodotti ha registrato una rapida crescita. Secondo l’American Council of Life
Insurers le vendite lorde delle singole variable annuities sono passate da $ 3.5
miliardi nel 1990 a circa $ 63 miliardi nel 1999 e tra il 1996 e il 2004 esse sono
più che raddoppiate, passando da $ 51 miliardi a $ 130 miliardi. Le polizze
variable annuities stanno ora prendendo sempre più piede anche in Europa:
la Francia, la Spagna e la Germania hanno già assistito ad un primo sviluppo
del mercato. In Italia, proprio ultimamente, sono stati commercializzati sia da
AXA che da Assicurazioni Generali i primi prodotti variable annuity.
16
Mariangela Scorrano
1.2.2
Descrizione della polizza
Una polizza variable annuity è un contratto finanziario offerto tipicamente da
una compagnia di assicurazioni attraverso il quale l’assicuratore, dietro pagamento di un premio, si impegna a versare una serie di flussi di cassa a favore
dell’assicurato a date future prefissate. Più precisamente, alla stipula del contratto, l’assicurato paga un premio, in unica soluzione o in maniera frazionata,
e affida alla compagnia di assicurazione una somma di denaro che viene investita in un portafoglio ben diversificato di titoli. L’impresa di assicurazione ha la
possibilità di effettuare diverse tipologie di investimenti, dai più conservativi,
caratterizzati da una maggiore componente obbligazionaria, ai più “aggressivi”,
in cui il portafoglio presenta una maggiore esposizione all’azionario. L’assicuratore, d’altra parte, si impegna a versare periodicamente all’assicurato dei
flussi di cassa fino alla scadenza del contratto. L’entità di tali pagamenti è
variabile in quanto è legata all’andamento del mercato sul quale sono investiti
i titoli che compongono il portafoglio sottostante. I fattori che spingono gli
individui a domandare queste polizze sono essenzialmente due: il differimento delle imposte e l’offerta di opzioni implicite (Brown & Poterba, 2004). Di
seguito si chiariscono questi due concetti.
Il primo obiettivo perseguito è, infatti, quello di accumulare ricchezza ad
un tasso di rendimento, al netto delle imposte, favorevole. In effetti le polizze
variable annuities sono tax deferred, cioè gli interessi, i dividendi e i guadagni
in conto capitale che maturano sui titoli posseduti nel portafoglio sottostante
non sono tassati fino al momento in cui l’assicurato non effettua i prelevamen-
17
ti. Questa caratteristica pertanto rende tali polizze particolarmente appetibili
per quegli individui già soggetti ad una notevole tassazione o comunque interessati a diluire e posticipare il pagamento delle imposte. E’ inoltre prevista la
possibilità di modificare l’allocazione dell’investimento iniziale, quindi di trasferire le somme investite da un fondo ad un altro senza che l’assicurato sia
assoggettato ad alcuna imposta all’atto del trasferimento. Tuttavia, quando
l’assicurato effettua i prelievi, questi sono assoggettati all’aliquota prevista sul
reddito e non a quella più bassa prevista sui capital gains. Dunque, il differimento delle imposte è una caratteristica che rende tali polizze appetibili
solo se queste vengono mantenute dall’assicurato per lunghi periodi di tempo,
come ad esempio per far fronte al periodo del pensionamento o comunque per
raggiungere obiettivi di lungo periodo.
Ma ciò che spinge in misura maggiore gli individui ad acquistare queste
polizze è l’offerta di diverse forme di opzioni implicite (Bauer et al., 2008).
A fronte del pagamento di ulteriori commissioni, le polizze variable annuities
possono infatti includere:
• l’opzione GMMB (Guaranteed Minimum Maturity Benefit ) che garantisce all’assicurato una specifica somma di denaro alla scadenza del contratto. Questa garanzia assicura al portafoglio di investimento dell’assicurato una protezione contro i movimenti al ribasso del mercato, ma
al tempo stesso, la partecipazione ai guadagni registrati sui titoli sottostanti la polizza in caso di movimenti al rialzo. Essa può prevedere ad
esempio la restituzione del premio versato nel caso in cui il portafoglio di
18
Mariangela Scorrano
titoli sottostanti registri una performance negativa durante la vita della
polizza oppure un ritorno addizionale proporzionale al premio versato in
caso di rialzo. La somma garantita può essere fissa oppure soggetta ad
incrementi regolari o dipendenti dall’andamento del mercato.
• l’opzione GMDB (Guaranteed Minimum Death Benefit ) che garantisce
ai beneficiari indicati nella polizza un capitale minimo in caso di decesso
dell’assicurato. La garanzia può essere rappresentata semplicemente dal
premio versato, oppure, se più elevato, dal valore assunto dal portafoglio
di investimento dell’assicurato nell’ultimo anniversario della polizza. Si
tratta dunque di un’opzione che rende la variable annuity un prodotto a
tutela degli eredi.
• l’opzione GMAB (Guaranteed Minimum Accumulation Benefit ) che prevede un capitale minimo liquidabile al termine di un periodo prefissato.
L’assicurato ha inoltre la possibilità di rinnovare il contratto prevedendo
un nuovo livello di garanzia, appropriato al valore a scadenza del contratto concluso. Tali polizze possono pertanto essere considerate un ottimo
prodotto di investimento a medio-lungo termine.
• l’opzione GMSB (Guaranteed Minimum Surrender Benefit ) è una variante dell’opzione GMMB. Garantisce il valore di riscatto della polizza ad una certa data, che può essere scelta nell’ambito di una serie di
alternative proposte dalla compagnia di assicurazione.
19
• l’opzione GMIB (Guaranteed Minimum Income Benefit) che prevede il
pagamento di un importo minimo in forma di rendita vitalizia.
• l’opzione GMWB (Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit ) che prevede il pagamento di un importo minimo in forma di riscatti parziali
programmati. Tale opzione rende pertanto le polizze variable annuities
un valido prodotto pensionistico.
1.3
L’opzione GMWB
Negli ultimi anni si è registrata una notevole attenzione ed una vendita crescente di polizze variable annuites associate alla garanzia GMWB. Queste ultime
abbinano alle caratteristiche tipiche di un prodotto assicurativo le possibilità
di rendimento in funzione di una equilibrata esposizione ai mercati finanziari e
vanno incontro ai bisogni di investimento di medio-lungo periodo sterilizzando
i rischi di volatilità del mercato. In effetti, esse garantiscono all’assicurato un
livello minimo di pagamenti periodici da un capitale iniziale investito, indipendentemente dalla performance della polizza sottostante. Permettono, dunque,
all’assicurato di proteggere il proprio investimento dal rischio di movimenti
sfavorevoli del mercato senza tuttavia privarlo della possibilità di beneficiare
dei movimenti favorevoli.
Più precisamente, si tratta di una polizza variable annuity associata alla
garanzia riconosciuta all’assicurato di prelevare dal conto acceso inizialmente
una somma di denaro, fissa o variabile, a date prestabilite, fino al completo
20
Mariangela Scorrano
esaurimento del capitale inizialmente investito. Il contratto specifica il tasso
al quale l’assicurato è autorizzato a realizzare prelievi senza incorrere in penalizzazioni. L’opzione GMWB promette la restituzione totale dell’investimento
iniziale, e questa caratteristica permette di considerare tale polizza un’opzione
assicurativa. Infatti, nel caso in cui il conto personale dell’assicurato (investimento iniziale al netto dei prelievi e delle commissioni assicurative applicate),
definito Variable Annuity sub-account (da ora in poi VA sub-account), dovesse
scendere a zero prima della data di scadenza della polizza, la compagnia di
assicurazione continuerebbe comunque a garantire all’assicurato la possibilità
di prelevare la somma stabilita fino al raggiungimento dell’ammontare iniziale
investito. Al contrario, se il conto dell’assicurato dovesse rimanere positivo
fino alla scadenza della polizza, l’assicurato potrebbe attivare altre opzioni che
gli consentirebbero di incrementare la somma prelevabile periodicamente. Pertanto, la somma complessiva garantita all’assicurato risulta pari o superiore al
premio originario depositato.
1.3.1
Esempio di funzionamento dell’opzione
Per rendere più agevole la comprensione della polizza variable annuity associata all’opzione GMWB di seguito se ne mostra il funzionamento attraverso
il ricorso ad un esempio numerico.
Si supponga che l’assicurato abbia sottoscritto la polizza il 1 gennaio 1997
e abbia affidato alla compagnia di assicurazione una parte dei propri risparmi,
versando una somma di denaro pari, per semplicità, a $100. Si ipotizzi, inoltre,
21
che alla stipula del contratto, al momento di stabilire la tipologia di investimento da realizzare, la scelta sia ricaduta sull’indice azionario giapponese Nikkei
225. Si prevede un tasso di prelievo annuale del 7%, che comporta, quindi,
la possibilità per l’assicurato di prelevare $7 ogni anno fino a che la somma
versata inizialmente non sia stata completamente esaurita. Dall’importo versato e dal tasso di prelievo fissato rimane determinato il periodo di vigenza del
contratto. In questo esempio si ha che la polizza avrà un periodo di vigenza
pari a (100/7) = 14.28 anni. Si noti dunque come il tasso di prelievo prescelto
condizioni la durata della polizza: a parità di investimento iniziale, maggiore
è l’ammontare che si intende prelevare periodicamente, minore risulta essere il
periodo di vigenza del contratto.
Considerate le esigenze finanziarie dell’assicurato, si ipotizza nell’esempio
che i versamenti vengano realizzati mensilmente da parte della compagnia di
assicurazione per un importo pari a $(7/12)= 0.58333.
Per maggiore chiarezza espositiva si è riportato l’andamento del valore del
conto sottostante la polizza (senza considerare le commissioni applicate per
l’attivazione dell’opzione GMWB) nella tabella 1.1. Essa mostra nella prima
colonna il periodo di tempo considerato (gennaio 1997 – marzo 2011) suddiviso
in mensilità. Nella seconda colonna sono riportati i prezzi storici P registrati
dall’indice azionario in ciascun periodo; si considerano a questo scopo i prezzi
di chiusura registrati il primo giorno di ciascun mese e modificati al fine di tener
conto di eventuali dividendi pagati. Nella terza colonna sono stati calcolati i
rendimenti mensili r registrati dall’indice giapponese. In particolare, indicando
22
Mariangela Scorrano
con Pt il prezzo dell’indice al tempo t, dove t rappresenta una delle mensilità
comprese nel periodo di vigenza della polizza, e con Pt−1 il prezzo dell’indice
nel periodo immediatamente precedente, il rendimento mensile r dell’indice
può essere calcolato mediante la formula r = (Pt − Pt−1 )/Pt−1 . Nelle colonne
successive sono poi riportati il valore del VA sub-account prima (Vprima) e
dopo (Vdopo) aver effettuato i prelievi, l’ammontare dei prelievi periodici in
una polizza VA standard (VAs) ed in una polizza VA che prevede l’opzione
GMWB (GMWB).
Ex post si può constatare come la somma investita sia aumentata o diminuita, in base ai rendimenti effettivamente registrati dall’indice nel periodo
considerato. Al termine del primo mese, ad esempio, in seguito al rendimento negativo registrato dal Nikkei, il valore dell’investimento iniziale realizzato
dall’assicurato scende da $100 a circa $94.67. A tale somma si deve poi sottrarre il prelievo mensile previsto dal contratto pari a $(7/12)= 0.58333. Senza
considerare le commissioni applicate, il valore del VA sub-account si riduce
dunque a $(94.67 - 0.5833) = $94.09. Al termine del secondo periodo, invece,
il rendimento positivo registrato dall’indice fa crescere il conto a circa $94.67
(pari a $(94.09(1 + 0.0123) - 0.5833) ) come si può osservare nella seconda riga
della colonna “Vdopo” della tabella 1.1.
Tutti i valori della tabella sono stati ottenuti procedendo nel modo descritto
fino alla scadenza del contratto. Si noti che, al termine del 115-esimo periodo,
più precisamente a Luglio 2006, il valore del conto scende fino a circa $0.3366
(si veda la colonna “Vprima”). Tale somma, pertanto, non è sufficiente a fi-
23
Tabella 1.1: Esempio di funzionamento dell’opzione GMWB
t
P
r
Vprima
VAs
Vdopo
GMWB
gennaio 1997
18330
-0,05325
94,67486184
0,5833
94,0915285
0,5833
febbraio 1997
18557
0,01238
95,25676456
0,5833
94,67343123
0,5833
marzo 1997
18003
-0,02985
91,84705407
0,5833
91,26372074
0,5833
aprile 1997
19151
0,06377
97,0833481
0,5833
96,50001477
0,5833
maggio 1997
20069
0,04793
101,1257269
0,5833
100,5423936
0,5833
giugno 1997
20605
0,02671
103,2276656
0,5833
102,6443322
0,5833
luglio 1997
20331
-0,01330
101,2793942
0,5833
100,6960609
0,5833
agosto 1997
18229
-0,10339
90,28520458
0,5833
89,70187125
0,5833
settembre 1997
17888
-0,01871
88,02386707
0,5833
87,44053374
0,5833
ottobre 1997
16459
-0,07988
80,45526301
0,5833
79,87192968
0,5833
...
...
...
...
...
...
...
giugno 2006
15505,18
0,00245
0,920982567
0,5833
0,337649234
0,5833
luglio 2006
15456,81
-0,00312
0,336595903
0,336595903
-
0,5833
agosto 2006
16140,76
0,04425
-
-
-
0,5833
settembre 2006
16127,58
-0,00082
-
-
-
0,5833
ottobre 2006
16399,39
0,01685
-
-
-
0,5833
novembre 2006
16274,33
-0,00762
-
-
-
0,5833
dicembre 2006
17225,83
0,05847
-
-
-
0,5833
...
...
...
...
...
...
...
dicembre 2010
10228,92
0,029373
-
-
-
0,5833
gennaio 2011
10237,92
0,00088
-
-
-
0,5833
febbraio 2011
10624,09
0,03772
-
-
-
0,5833
marzo 2011
9755,1
-0,08179
-
-
-
0,5833
(t indica il periodo di vigenza del contratto suddiviso in mensilità, P il prezzo registrato
dall’indice, r i rendimenti, Vprima e Vdopo il valore del VA sub-account rispettivamente
prima e dopo i prelievi, VAs e GMWB l’ammontare prelevabile rispettivamente in una
polizza VA standard ed in una polizza VA associata all’opzione GMWB)
24
Mariangela Scorrano
nanziare il prelievo previsto contrattualmente di $0.5833. Una polizza variable
annuity standard, dunque, in questa situazione, sarebbe giunta al termine.
La somma complessivamente prelevata sarebbe stata in tal caso fino a quel
momento di $(114 × 0.5833 + 0.3366)= $66.83. Attivando, invece, l’opzione
GMWB, l’assicurato conserva la possibilità di prelevare lo stesso importo fino
alla scadenza del contratto. Quindi, nell’esempio considerato, alla fine del 115esimo mese (Luglio 2006) si attiva l’opzione GMWB che assicura al contraente
un flusso di $0.5833 fino a che la somma inizialmente investita non sia stata
completamente esaurita. Ciò avviene dopo (100/0.5833) = 171.44 mesi dalla
stipula del contratto, corrispondenti a 171.44/12 = 14.28 anni. In effetti, nell’ultima colonna della tabella 1.1 si può osservare come in una polizza VA con
annessa l’opzione GMWB, i prelievi realizzabili mensilmente dall’assicurato
ammontano a $ 0.5833 per tutta la durata della polizza.
L’assicurato, pertanto, stipulando una polizza variable annuity e chiedendo
anche l’attivazione dell’opzione GMWB, è riuscito a proteggere effettivamente
il suo investimento dall’andamento negativo registrato dal mercato. E’ chiaro
come questo contratto comporti un rischio da parte della compagnia assicuratrice, tanto maggiore quanto più elevata è la volatilità del mercato. Proprio per
fronteggiare tale rischio, la compagnia di assicurazione richiede all’assicurato
il pagamento di commissioni ulteriori rispetto a quelle tipiche di una polizza
variable annuity standard.
1.3.2
25
Caratteristiche aggiuntive rispetto alla polizza base
Diverse sono le clausole che possono essere aggiunte ad una polizza variable
annuity che prevede l’opzione GMWB.
Le caratteristiche della polizza consentono all’assicurato di prelevare dal
VA sub-account ad un tasso superiore o inferiore a quello stabilito contrattualmente, o anche di prelevare una somma fissa, in base alle proprie esigenze
economiche. La polizza, tuttavia, può includere specifiche clausole per scoraggiare un eccesso di prelievi. Ad esempio, si supponga che l’assicurato decida
di prelevare ad un tasso superiore a quello previsto contrattualmente per far
fronte ad una serie di spese impreviste. In tal caso il contratto potrebbe prevedere che il livello della garanzia si riduca al minimo tra il livello della garanzia
in caso di prelievi al tasso prestabilito ed il valore del conto a quella data. A
titolo di esempio, si supponga che l’assicurato abbia realizzato un investimento
iniziale di $100 e abbia deciso di prelevare $10, applicando dunque un tasso del
10%, superiore al tasso indicato sul contratto pari al 7%. Si ipotizzi, inoltre,
che il livello corrente della garanzia sia di $80 e che il conto personale, in seguito all’andamento del mercato, abbia un valore di $60. Il livello della garanzia,
in base alla clausola sopra menzionata, scenderebbe pertanto a $60, cioè al
min($80, $60). Considerando anche il prelievo di $10 che l’assicurato realizza
contestualmente, il valore della garanzia potrebbe scendere dunque a $50, cioè
al min($80, $60) - $10. In aggiunta, il contratto potrebbe prevedere anche
un’ulteriore penalizzazione, rappresentata dal pagamento di una percentuale
applicata sulla somma in eccesso prelevata.
26
Mariangela Scorrano
Alcune compagnie di assicurazione prevedono, in aggiunta alla GMWB,
anche un’ulteriore opzione, definita step up. Essa, nel caso in cui il mercato
dovesse registrare un andamento favorevole, consente all’assicurato di incrementare l’ammontare complessivamente prelevabile dal capitale versato inizialmente fino al valore raggiunto da quest’ultimo ad una certa data. Tale
opzione consente dunque di beneficiare dei movimenti al rialzo del mercato su
cui è investito il portafoglio di titoli sottostanti la polizza e di bloccare il valore
della garanzia su tale maggior valore. Generalmente l’attivazione di questa opzione è consentita dopo tre o cinque anni dalla stipula della polizza originaria.
In alcuni casi è fissato un periodo di tempo, in genere 30 giorni, entro il quale
l’assicurato può richiedere tale opzione. Altre volte, invece, essa è attivabile in
qualsiasi istante, conferendo in tal modo maggiore flessibilità all’assicurato.
Nell’opzione GMWB l’ammontare prelevabile dipende dalla periodicità richiesta dall’assicurato e dalla durata della polizza. Se, infatti, ad esempio,
l’assicurato ha necessità di effettuare prelievi mensili e stipula una polizza
della durata di 15 anni, supponendo un investimento iniziale di $100.000, la
somma garantita annualmente dalla compagnia di assicurazione ammonterà a
(100.000/15)= $6.666,67 corrispondenti a $555,55 mensili. L’ultima versione di
tale opzione è rappresentata dalla cosiddetta Guaranteed Lifelong Withdrawal
Benefit (GLWB) che offre una garanzia che dura tutta la vita. Le polizze con
tale opzione conferiscono all’assicurato la possibilità di prelevare annualmente
e fino a che è ancora in vita una certa percentuale della somma investita inizialmente fino a che tale importo non sia stato completamente esaurito, anche
27
se il saldo del VA sub-account dovesse scendere a zero. L’ammontare massimo
prelevabile è pertanto specificato, ma la somma complessiva non ha un limite
in quanto, una volta raggiunta la scadenza della polizza, il contraente potrebbe
riscattare il contratto e continuare a farlo fino a quando è in vita. Tutto ciò
che residua al momento della morte dell’assicurato viene versato al beneficiario
indicato nella polizza.
Diverse sono le opzioni che possono essere ulteriormente previste sulla polizza. Ad esempio l’opzione Roll up prevede che la somma prelevabile annualmente possa essere incrementata di una percentuale fissa ogni anno per
un certo periodo di tempo, a condizione tuttavia che, in quell’arco temporale, l’assicurato non effettui prelevamenti. Si tratta, pertanto, di un’opzione
che viene tipicamente utilizzata per disincentivare i prelievi nei primi anni di
vigenza del contratto.
1.3.3
Sviluppo e prospettive future
Il mercato delle polizze variable annuities associate all’opzione GMWB ha registrato un forte incremento in termini di dimensioni soprattutto nell’ultimo
decennio, caratterizzato da mercati finanziari bearish e da bassi tassi di interesse. Tali polizze hanno attirato l’attenzione degli investitori proprio perché
permettono una partecipazione al mercato di borsa, ma al tempo stesso offrono una protezione contro i movimenti al ribasso dei tassi di interesse e contro
le fasi di mercato ribassiste. Si tratta di polizze che soddisfano le esigenze di
molteplici segmenti di clientela: il prodotto si rivolge ai pensionati, alle per-
28
Mariangela Scorrano
sone prossime alla pensione, agli investitori interessati a forme di risparmio
previdenziale o più in generale a tutti coloro che cercano un prodotto con una
forte componente di risparmio. Uno dei fattori che sicuramente ha favorito
lo sviluppo di tali prodotti è l’allungamento della vita umana. Le statistiche affermano che la probabilità di sopravvivenza è aumentata, soprattutto
grazie ai progressi scientifici raggiunti negli ultimi anni. Pertanto gli anni di
vita vengono più o meno ripartiti equamente tra attività lavorativa e periodo
di pensionamento. E’ noto inoltre che gli anni appena prima e appena successivi all’uscita dal mondo del lavoro rappresentano una fase critica per gli
investimenti realizzati con i risparmi accumulati dagli individui. In questa fase, infatti, una congiuntura economica negativa o una tendenza del mercato
non troppo favorevole potrebbero comportare delle perdite e ridurre i risparmi
dell’individuo ad un livello non sufficiente a far fronte al periodo del pensionamento, considerando poi che il tempo necessario a recuperare quanto perduto
potrebbe non essere sufficiente. Le polizze variable annuity associate all’opzione GMWB rappresentano in questo senso un’efficace soluzione finanziaria
che permette di trasformare i risparmi accumulati durante gli anni di attività
lavorativa in un reddito certo da poter impiegare durante il pensionamento,
nonostante la natura volatile dei mercati finanziari. E questo è vero soprattutto nella fase economica attuale, che risente della crisi finanziaria iniziata negli
Stati Uniti nel 2007 e che è tuttora caratterizzata da un’elevata incertezza dei
mercati finanziari. Questa situazione ha sicuramente generato e continuerà a
generare preoccupazione tra gli individui, inducendoli ad indirizzare i risparmi
29
accumulati, già comunque ridotti, verso investimenti il più possibile stabili e
sicuri. Pertanto, probabilmente, nei prossimi anni si potrebbe assistere ad un
rapido sviluppo delle polizze descritte.
1.4
La polizza IncomePlus offerta da Manulife
Financial
Introdotte per la prima volta nel 2006 a Toronto da Manulife Financial Corporation, che ne rimane tuttora il più importante fornitore, le polizze variable
annuities associate all’opzione GMWB hanno attirato ultimamente l’attenzione di altre compagnie assicurative, tra cui Sun Life Financial Inc., Desjardins
Financial Security di Lévis, Que., Industrial Alliance Insurance e Financial
Services Inc. del Quebec City e Transamerica Life Canada. La struttura base
della polizza è la stessa per tutte le compagnie, ma naturalmente ciascuna offre
un servizio, un prezzo o qualche caratteristica del contratto che lo distingue
da quello offerto da altre compagnie. Per mostrare le caratteristiche ed il funzionamento di una polizza realmente offerta sul mercato assicurativo si è preso
in considerazione in particolare il contratto GIF Select IncomePlus offerto da
2006.
1.4.1
Le caratteristiche della polizza
IncomePlus è una polizza variable annuity con annessa l’opzione GMWB rivolta agli individui che si stanno avviando all’età del pensionamento o che stanno
30
Mariangela Scorrano
Figura 1.1: Esempio di funzionamento degli income bonuses
!
vivendo i primi anni di pensionamento. Essa assicura un flusso di reddito periodico per tutta la sua durata indipendentemente dall’andamento del mercato,
oltre alla possibilità di fruire di altri servizi, a fronte del pagamento di ulteriori
commissioni. Nella polizza viene specificato l’ammontare di reddito complessivo garantito, definito Guaranteed Withdrawal Benefit (GMW) Benefit Base,
in base al quale viene determinato il tasso di prelievo e dunque l’ammontare
di reddito prelevabile ogni anno. Quest’ultimo dipende dalla somma investita
inizialmente, ma può essere incrementato attraverso depositi successivi oppure
chiedendo l’attivazione degli income bonuses o dei resets.
In particolare, attraverso gli income bonuses è prevista la possibilità di
incrementare la GMW Benefit Base del 5% per ogni anno in cui l’assicurato
31
Figura 1.2: Esempio di funzionamento dei resets
!
non effettua prelevamenti. Nella figura 1.1 viene mostrato l’andamento della
GMW Benefit Base di un contraente 45-enne che per 20 anni ha semplicemente
accumulato i suoi risparmi, senza dunque realizzare alcun prelievo. Chiedendo
l’attivazione degli income bonuses, la sua GMW Benefit Base è raddoppiata
nel corso degli anni, passando dall’ammontare investito inizialmente, pari a
$200.000 alla somma di $400.000 ottenuta incrementando la somma iniziale di
$10.000 (corrispondenti al 5% di $200.000) per i 20 anni di non prelievo. Ed
ogni anno la GMW Benefit Base viene corrispondentemente adeguata e bloccata al nuovo valore. Anche l’ammontare prelevabile annualmente subisce un
incremento. Infatti il tasso di prelievo previsto contrattualmente, pari al 5%,
viene calcolato non sulla GMW Benefit Base iniziale, ma su quella rivalutata
ogni anno. Nell’esempio, dopo 20 anni di income bonuses, all’età di 65 anni,
dopo aver accumulato $400.000, il contraente può prelevare un reddito annuale
garantito di $20.000 (corrispondenti al 5% della nuova GMW Benefit Base).
32
Mariangela Scorrano
Un’altra caratteristica di IncomePlus è rappresentata dai resets, che incrementano la GMW Benefit Base in caso di performance positiva degli investimenti sottostanti la polizza. Più precisamente, ogni tre anni, in occasione
dell’anniversario della stipula del contratto, se il valore di mercato del portafoglio di titoli sottostanti la polizza dovesse eccedere il valore garantito corrente
(somma investita inizialmente al netto dei prelievi già realizzati), il valore della
garanzia, quindi la GMW Benefit Base, verrebbe bloccata su quest’ultimo valore e ci sarebbe automaticamente una correzione dell’ammontare prelevabile.
All’assicurato, quindi, verrebbero garantiti pagamenti periodici più elevati. La
figura 1.2 mostra il funzionamento degli IncomePlus resets.
IncomePlus garantisce dunque un ammontare di reddito che non decresce
in seguito alla performance negativa degli investimenti sottostanti, senza tuttavia privare il contraente della possibilità di beneficiare dei rialzi. La garanzia è
prevista tipicamente per tutta la durata del contratto, sempre che il contraente sia in vita. Tuttavia, può essere richiesta l’attivazione di un’opzione che
permette all’assicurato di realizzare prelievi vita natural durante, ossia fino al
suo decesso.
Inoltre, con l’opzione Joint Life Payout il beneficiario indicato nella polizza,
tipicamente il coniuge, in caso di decesso dell’assicurato, può continuare a
ricevere il suo stesso importo per tutta la durata della sua vita. Nella figura
1.3 sono riportati i tassi di prelievo applicati da Manulife. Il contraente ha
un’ampia possibilità di scelta della tipologia di investimento da effettuare.
Manulife, infatti, mette a disposizione un’ampia gamma di fondi su cui poter
33
Figura 1.3: Tassi di prelievo applicati da Manulife
!
investire in modo tale da creare portafogli adatti alle più diverse esigenze
della clientela. Ciascuno di essi presenta una diversa asset allocation che li
rende più o meno “aggressivi”, proprio per soddisfare le esigenze della clientela
in funzione della maggiore o minore propensione al rischio. A questo fine è
prevista la possibilità di modificare il proprio investimento passando da un
fondo all’altro.
1.4.2
Esempio di funzionamento della polizza
Per comprendere come le caratteristiche di IncomePlus agiscono insieme al fine
di fornire una soluzione efficiente di pianificazione del reddito durante il pensionamento, si propongono due esempi, riportati nella brochure del prodotto,
che prendono in considerazione due casi: il contraente può decidere di iniziare
a realizzare prelievi sin dalla stipula del contratto (caso A), oppure può far
trascorrere un periodo di accumulazione senza prelievi ed iniziare a ricevere
somme di denaro da un certo periodo in poi (caso B).
34
Mariangela Scorrano
Figura 1.4: Primo scenario del caso A.
!
Caso A.
Nel caso in cui il contraente, per esigenze finanziarie, decida di iniziare subito a prelevare, si possono presentare due scenari: il mercato può registrare una performance positiva o negativa. I due scenari vengono analizzati
separatamente.
Scenario 1: fase bearish del mercato. Bob è un signore di 65 anni che ha
accumulato durante la sua vita lavorativa denaro per $500.000. Decide di investire questi suoi risparmi in IncomePlusLifetime e, alla stipula del contratto,
data la sua necessità di far fronte a pagamenti periodici fissi, decide di iniziare
sin da subito i prelievi e fissa il tasso di prelievo pari al 5% della GMW Benefit
Base. Come si può osservare nella figura 1.4, la somma prelevabile annualmente ammonta a $25.000, corrispondenti al 5% di $500.000. Durante la vita del
35
Figura 1.5: Secondo scenario del caso A.
!
contratto, tuttavia, il valore di mercato del portafoglio di titoli sottostante la
polizza è sceso a zero in seguito all’andamento negativo del mercato. Nonostante ciò, la polizza sottoscritta da Bob gli consente di continuare a ricevere
un reddito garantito annuale di $25.000 per il resto della sua vita.
Scenario 2: fase bullish del mercato. Nel caso in cui il mercato attraversi
una fase rialzista, Bob può davvero ottenere dei benefici rilevanti sottoscrivendo una polizza IncomePlus. La flessibilità che caratterizza tale polizza permette di catturare la crescita del mercato e di beneficiarne. Bob, infatti, può
chiedere l’attivazione dei resets, che gli consentono, ogni tre anni, di bloccare
la GMW Benefit Base al più elevato valore di mercato del portafoglio di titoli
sottostante la polizza. Fruendo di tale opzione, come si può osservare nella
figura 1.5, al 18-esimo anno la GWB Benefit Base di Bob diventa di $774.198
36
Mariangela Scorrano
ed il reddito annuale garantito all’inizio del 19-esimo anno è di $38.710 (cioè il
5% di $774.198). Bob avrà la possibilità di prelevare almeno questa cifra per
il resto della sua vita. Se il mercato, infatti, dovesse continuare ad avere una
buona performance e dovesse continuare a crescere, anche tale cifra potrebbe
continuare a crescere. Se, al contrario, il mercato dovesse iniziare una fase ribassista e non dovesse più crescere, Bob in ogni caso continuerebbe a prelevare
sempre la stessa somma, pari a $38.710, per il resto della sua vita.
Caso B.
Si consideri ora il caso in cui il contraente non abbia particolari necessità
finanziarie e decida di iniziare a prelevare il suo reddito solo a partire da una
certa data futura, non dunque immediatamente dopo la stipula del contratto.
Anche in questo caso si possono presentare due scenari.
Scenario 1: fase bearish del mercato. Carol è una 50-enne nel pieno
della sua attività lavorativa. Ha accumulato risparmi per $200.000 ed intende
investirli per far fronte al periodo del pensionamento, previsto tra 20 anni.
Carol decide di sottoscrivere una polizza IncomePlusLifetime, ma non inizia
subito a realizzare prelievi; avendo sottoscritto tale polizza come forma di
rendita di cui poter beneficiare durante l’età del pensionamento, aspetta e
decide di iniziare a ritirare il suo reddito fra 20 anni. Proprio per questo motivo,
chiede l’attivazione degli Income Bonuses, che le consentono di incrementare
del 5% la sua GMW Benefit Base per ogni anno in cui non effettua prelievi,
indipendentemente dall’andamento del mercato. Nella figura 1.6 si considera
37
Figura 1.6: Primo scenario del caso B.
!
il caso in cui il mercato registri una performance negativa. In esso si mostra,
in particolare, che, fruendo di tali bonus, la GMW Benefit Base di Carol sale
a $400.000 nell’arco di 20 anni, in quanto ogni anno avrà accumulato $10.000,
corrispondenti al 5% dell’investimento iniziale di $200.000. Raggiunta l’età
del pensionamento, Carol inizierà a beneficiare del suo investimento e potrà
effettuare prelievi al tasso prescelto del 5% per tutta la durata della sua vita,
il che equivale ad ottenere una disponibilità di $20.000 annuali (corrispondenti
al 5% della nuova GMW Benefit Base di $400.000).
Scenario 2: fase bullish del mercato. Nel caso in cui il mercato registri
una performance positiva, Carol può beneficiare in pieno della polizza IncomePlus, ottenendo risultati più che positivi. Infatti, oltre a beneficiare degli Income Bonuses, Carol potrà chiedere anche l’attivazione dei resets, incrementando
38
Mariangela Scorrano
Figura 1.7: Secondo scenario del caso B.
!
ulteriormente la sua GWB Benefit Base. Quest’ultima potrà raggiungere, infatti, dopo 20 anni, dunque quando Carol cesserà la sua attività lavorativa, la
somma di $840.954. In effetti, come si può osservare dalla figura 1.7, data la
fase rialzista del mercato, ogni tre anni la GMW Benefit Base di Carol viene
bloccata e si attesta ad un valore superiore, sul quale viene calcolata la percentuale del 5% da aggiungere per ogni anno in cui non si effettuano prelievi.
La combinazione di queste due opzioni permette a Carol di raggiungere, al 18esimo anno dalla stipula del contratto, un reddito pari a $731.265, a cui vanno
poi aggiunti i tre bonuses di $36.563. A partire dal 21-esimo anno Carol inizierà a prelevare ad un tasso del 5%, cioè potrà disporre di un reddito annuale
garantito di almeno $42.048 (pari al 5% di $840.954) per tutta la durata della
sua vita. Se il mercato dovesse continuare ad avere una buona performance e
39
dovesse continuare a crescere, anche tale cifra potrebbe continuare a crescere.
Se, al contrario, il mercato dovesse entrare in una fase ribassista, Carol avrebbe comunque la garanzia di continuare a prelevare annualmente $42.048 per il
resto della sua vita.
Capitolo 2
Il modello di valutazione per
l’opzione GMWB nell’ambito di
Dopo aver descritto nel capitolo precedente le caratteristiche ed il funzionamento dell’opzione GMWB nell’ambito delle polizze variable annuities si procede
ora a mettere a punto un modello per la sua valutazione.
2.1
Valutazione finanziaria dell’opzione GMWB
in ipotesi di volatilità deterministica
La valutazione finanziaria dell’opzione GMWB realizzata in questo lavoro si
basa sull’articolo Financial valuation of guaranteed minimum withdrawal be41
42
Mariangela Scorrano
nefits di Moshe A. Milevsky e Thomas S. Salisbury pubblicato nel 2006 sulla
rivista Insurance: Mathematics and Economics (Milevsky & Salisbury, 2006).
Si considera in particolare una polizza variable annuity con un periodo di
vigenza [0, T ] nell’ambito della quale viene prevista, dietro versamento di una
commissione annuale, l’attivazione dell’opzione GMWB. Si ricordano brevemente le caratteristiche di tale prodotto. Alla stipula del contratto l’assicurato
versa una somma di denaro che viene investita in un portafoglio ben diversificato di titoli. Con tale somma la compagnia di assicurazione accende un conto,
definito VA sub-account, nel quale si registrano i movimenti del portafoglio di
investimento. L’opzione GMWB garantisce all’assicurato un ammontare periodico di denaro indipendentemente dall’andamento del mercato e fino alla
scadenza del contratto. Tale somma verrà prelevata dal VA sub-account se
quest’ultimo registrerà un saldo positivo, in caso contrario sarà garantita dalla compagnia di assicurazione con i propri capitali. I prelievi possono essere
realizzati fino al completo esaurimento della somma versata inizialmente. Pertanto il tasso di prelievo prescelto dal contraente influenzerà la durata della
polizza T : a parità di investimento iniziale, maggiore è l’ammontare di denaro
che l’assicurato intende prelevare periodicamente, minore sarà il periodo di
vigenza della polizza.
Milevsky e Salisbury, nel loro lavoro, propongono una valutazione dell’opzione GMWB considerando due diversi approcci: uno “statico” e l’altro “dinamico”. Nell’approccio “statico” gli autori ipotizzano che i singoli investitori si
comportino passivamente nell’utilizzo della garanzia, ovvero prelevino sempre
43
lo stesso importo e mantengano il contratto fino alla sua scadenza. Nell’approccio “dinamico”, invece, gli individui vengono considerati dinamicamente
razionali, cioè cercano di massimizzare il valore della garanzia modificando il
tasso di prelievo durante il periodo di vigenza del contratto oppure estinguendo
la polizza prima della sua scadenza.
In questo lavoro si è presa in considerazione in particolare l’analisi statica condotta dai due autori. Si procede dunque a descrivere il modello di
valutazione proposto.
Come già detto, la somma versata dal contraente alla stipula del contratto
viene depositata in un conto definito VA sub-account e reinvestita continuamente sul mercato. Su tale conto vengono registrati i movimenti del portafoglio
di investimento. Pertanto il suo saldo aumenterà se i titoli che compongono il
portafoglio registreranno rendimenti positivi e si ridurrà in caso contrario. A
ridurre il saldo del conto contribuiscono anche le commissioni per l’attivazione
dell’opzione GMWB applicate annualmente dalla compagnia di assicurazione.
Tale opzione consente al contraente di prelevare periodicamente una percentuale, fissa o variabile, dell’ammontare depositato inizialmente fino a che tale
somma non sia stata completamente esaurita e ciò indipendentemente dal saldo del conto. Infatti, se quest’ultimo dovesse annullarsi prima della scadenza
della polizza, l’assicurato non avrebbe a disposizione il denaro per poter prelevare l’importo previsto contrattualmente. E anche se, da quel momento in
poi, il mercato dovesse registrare una performance molto positiva, il contraente avrebbe una somma nulla da investire e quindi anche il valore del conto
44
Mariangela Scorrano
continuerebbe ad essere nullo. Si avrebbe allora l’attivazione dell’opzione GMWB e la compagnia di assicurazione interverrebbe con i propri capitali per
ripristinare la situazione. Se, al contrario, il saldo del VA sub-account dovesse
rimanere positivo per tutto il periodo di vigenza del contratto, il contraente,
oltre alla somma versata inizialmente potrebbe beneficiare anche dell’eventuale
eccedenza presente sul conto.
Il valore dell’opzione, pertanto, deve essere tale da consentire alla compagnia di assicurazione di far fronte ai propri impegni contrattuali qualunque
stato di natura si verifichi. E’ necessario, dunque, che la somma versata inizialmente dal sottoscrittore sia pari alla somma del valore attuale di due quantità:
i flussi di cassa derivanti dalla polizza, rappresentati dai prelievi realizzati dal
contraente durante la vita del contratto ed il valore assunto dal VA sub-account.
2.1.1
Il valore del VA sub-account
Dalle considerazioni fatte si nota innanzitutto la dipendenza del valore dell’opzione GMWB dal saldo del VA sub-account: la garanzia infatti si attiva solo
se il saldo del conto si annulla prima della scadenza del contratto. Il valore del
VA sub-account, a sua volta, è influenzato da tre fattori:
- le commissioni applicate dalla compagnia di assicurazione;
- i prelievi che l’assicurato intende realizzare periodicamente;
- l’andamento del mercato su cui è investito il portafoglio di titoli sottostante la polizza.
Mentre i primi due fattori tendono a ridurre il saldo del conto, l’ultimo
45
può avere un effetto sia positivo che negativo, in funzione del segno assunto
dai rendimenti registrati sul mercato dai titoli che compongono il portafoglio
sottostante la polizza.
E’ necessario, a questo punto, individuare con maggior precisione la relazione che lega il valore del VA sub-account all’andamento incerto del mercato.
Il mercato subisce variazioni giornaliere più o meno ampie, in rialzo o in
ribasso. Proprio per questo i prezzi dei titoli finanziari possono essere assimilati
ad una variabile il cui valore cambia nel tempo in modo aleatorio ed in quanto
tali sono regolati da un processo aleatorio. I modelli finanziari più utilizzati si
basano sull’ipotesi che la dinamica dei prezzi dei titoli azionari sia regolata da
un processo stocastico continuo a parametro continuo (Hull, 2003).
Si prosegue dunque a descrivere il modello considerato. Tutta la parte
tecnica del calcolo delle probabilità necessaria per comprendere nel dettaglio
il modello studiato viene riportata nell’Appendice A della tesi.
Indicando con St il valore di mercato di un titolo azionario ad un certo
istante temporale t, con σ la volatilità del prezzo del titolo e con µ il tasso di
rendimento atteso, l’andamento del prezzo del titolo può essere descritto da
un processo di Itô con coefficiente di deriva (drift rate) µSt e coefficiente di
diffusione (variance rate) σSt :
(2.1)
dove il simbolo Wt indica un processo di Wiener. Seguendo l’impostazione
di Milevsky e Salisbury, si assume che i parametri µ e σ siano costanti. Una
generalizzazione di questo processo verrà presentata nel paragrafo successivo.
46
Mariangela Scorrano
L’equazione (2.1) può essere riscritta come segue:
dSt
= µdt + σdWt
St
(2.2)
L’equazione differenziale stocastica (2.2), in particolare, caratterizza la dinamica dei rendimenti relativi dei prezzi.
Dalle considerazioni fatte segue che la dinamica del VA sub-account può
essere descritta utilizzando la seguente equazione:
dVt = −αVt dt − γt dt + Vt
dSt
St
(2.3)
dove si è indicata con α la commissione applicata annualmente dalla compagnia di assicurazione per l’attivazione dell’opzione GMWB e con γt i prelievi
realizzati dall’assicurato al tempo t, con 0 < t < T . Inoltre, se si indica con v0
il capitale inizialmente versato dal contraente si ha che:
V 0 = v0
ossia alla stipula del contratto (al tempo t = 0) il saldo del VA sub-account
coincide esattamente con l’investimento iniziale realizzato dal contraente.
Definendo con gt il tasso di prelievo consentito dalla compagnia di assicurazione al tempo t si ha che i prelievi γt realizzati ad un istante t sono dati
da:
γ t = g t v0
con 0 < t < T . E’ ragionevole pensare che i prelievi effettuabili dal contraente
ad un certo istante t possano variare da un valore minimo pari a zero ad un
47
valore massimo pari al valore in quell’istante del VA sub-account, pertanto si
suppone
0 ≤ γt ≤ Vt
con 0 < t < T .
Ricordando che la dinamica dei rendimenti relativi dei prezzi dei titoli è
descritta dall’equazione (2.2), l’equazione (2.3) può essere riscritta come segue:
dVt = −αVt dt − γt dt + Vt (µdt + σdWt )
(2.4)
dalla quale formalmente si ricava la seguente equazione differenziale stocastica:
�
�
dVt = µ − α Vt dt − γt dt + σVt dWt
(2.5)
In termini più precisi, sia τ := inf{t ∈ (0, T ] : Vt = 0}, cioè l’istante in cui il
saldo del conto si annulla per la prima volta. La dinamica del VA sub-account,
per 0 < t < τ è data da


 dVt = (µ − α)Vt dt − γt dt + σVt dWt
e si pone

 V 0 = v0
(2.6)
Vt := 0
per τ ≤ t ≤ T .
D’altra parte, il capitale versato inizialmente dall’assicurato viene investito
sul mercato e subisce variazioni giornaliere di ampiezza e di entità incerte a
priori. Se l’andamento del mercato dovesse esser tale da comportare rendimenti bassi o negativi il valore del conto Vt ad una certo istante t potrebbe
48
Mariangela Scorrano
diventare pari a zero o anche scendere al di sotto di tale valore. In questo
caso, tuttavia, a partire da quell’istante si attiverebbe la garanzia GMWB e
l’assicurato continuerebbe ad avere la possibilità di prelevare sempre lo stesso
importo finché il capitale inizialmente versato non sia stato completamente
esaurito.
Le ipotesi del modello preso in considerazione prevedono che il tasso di
prelievo non vari nel tempo, ma sia costante, quindi
gt = g
Anche i prelievi saranno pertanto costanti. Più precisamente si avrà:
γt = gv0 = G
Non è prevista dunque la possibilità di aumentare o ridurre l’importo prelevabile in funzione delle esigenze finanziarie del contraente.
Da quanto detto l’equazione (2.6), che descrive la dinamica del VA subaccount, diventa:


 dVt = (µ − α)Vt dt − Gdt + σVt dWt
per 0 < t < τ

 V 0 = v0
e
Vt := 0
(2.7)
per τ ≤ t ≤ T
Utilizzando il lemma di Itô (Karatzas & Shreve, 1992) è possibile scrivere la
soluzione del problema (2.7) come segue:
VT = e
(µ−α−(1/2)σ 2 )T +σWT
� �
�
max 0, v0 − G
T
e
0
−(µ−α−(1/2)σ 2 )t−σWt
dt
��
(2.8)
49
Ex post, si può dire che l’opzione GMWB si attiva e pertanto assume un valore
positivo solo se il processo Vt si annulla prima della data di scadenza della
polizza T = v0 /G. In questo caso, infatti, il saldo del conto non è più sufficiente
a finanziare i prelievi garantiti all’assicurato. Pertanto si rende necessario
un intervento da parte della compagnia di assicurazione. Se, al contrario, la
dinamica del VA sub-account è tale che la rovina si manifesta dopo il tempo
T , allora l’opzione assicurativa avrebbe un payout nullo. Infatti il saldo del
conto sarebbe già di per sé sufficiente a garantire all’assicurato l’intera somma
depositata inizialmente e la garanzia dunque non avrebbe necessità di attivarsi.
Il prelievo minimo garantito verrebbe quindi assicurato endogenamente, anche
senza un’esplicita garanzia offerta dalla compagnia di assicurazione.
2.1.2
La probabilità di rovina
Prima di procedere alla determinazione del valore dell’opzione GMWB, data
l’importanza del momento in cui il saldo del conto si annulla, si procede in
questo paragrafo a calcolare la probabilità di rovina del processo Vt , ossia la
probabilità che il valore del conto scenda al di sotto dello zero prima della
scadenza del contratto. Da un punto di vista analitico, tale probabilità è stata
ottenuta utilizzando la seguente funzione:
ξt = P
�
inf Vs = 0
0≤s≤t
�
(2.9)
Dalla soluzione del problema (2.7) riportata in (2.8) si ricava che, dato che
la funzione esponenziale è sempre positiva, il processo VT si annulla solo se
50
Mariangela Scorrano
esiste un istante t > 0 dove vale:
� �
��
� t
−(µ−α−(1/2)σ 2 )t−σWt
max 0, v0 − G
e
dt
=0
0
ossia
�
quindi
Pertanto si ha che:
v0 − G
�
ξt = P
t
�
t
e
−(µ−α−(1/2)σ 2 )t−σWt
e−(µ−α−(1/2)σ
2 )t−σW
0
�
dt
0
t
dt ≥
�
≤0
v0
G
�
inf Vs = 0
�� t
�
v0
−(µ−α−(1/2)σ 2 )s−σWs
=P
e
ds ≥
G
� 0
�
v0
= P Xt ≥
G
0≤s≤t
dove
Xt =
�
t
e−(µ−α−(1/2)σ
2 )s−σW
s
(2.10)
ds
0
Si noti che Xt è una funzione monotona crescente del tempo t; pertanto se per
un istante ben preciso τ (0 < τ ≤ T ) Xτ dovesse risultare superiore a v0 /G
allora, in corrispondenza di quell’istante τ , si avrà Vτ = 0 e, in istanti di tempo
successivi, dunque per t > τ , il conto non potrà che registrare un andamento
decrescente, non potendo tornare ad assumere valori positivi.
2.1.3
Il valore dell’opzione GMWB
Dopo aver determinato l’andamento seguito dal portafoglio di titoli sottostanti
la polizza e l’effetto su di esso delle commissioni applicate e dei prelievi già
51
realizzati, gli autori sono giunti a calcolare il valore dell’opzione GMWB nell’ambito di una polizza variable annuity. A questo proposito, si ricorda che
il contraente ha diritto ad un prelievo periodico fino alla scadenza del contratto e, in aggiunta, può beneficiare dell’eventuale saldo positivo registrato
dal VA sub-account. Il valore del contratto, in particolare, deve essere tale da
consentire alla compagnia di assicurazione di coprire tutti i costi associati allo
stesso, qualunque situazione si presenti. In questo senso, esso viene calcolato
attualizzando ad un opportuno tasso di interesse tutti i flussi di cassa derivanti
dal contratto.
Più precisamente, considerando un intervallo temporale [0, T ] e supponendo
di trovarsi all’istante t = 0, il valore, alla scadenza del contratto, dei flussi di
cassa periodici percepiti dal contraente è pari al montante dei prelievi realizzati
calcolato capitalizzando continuamente gli interessi:
� T
v0 g rT
v0 g
ert dt =
(e − 1)
r
0
dove r rappresenta il tasso di interesse privo di rischio.
Per quanto riguarda, invece, il valore a scadenza del VA sub-account, questo
non è univoco, data l’aleatorietà che lo caratterizza. Proprio per questo si
calcola una media dei valori che tale conto potrà assumere alla scadenza del
contratto:
E[VT ]
Per determinare il valore dell’opzione GMWB, si è fatta un’assunzione sulla
propensione al rischio dei contraenti. In particolare si è ipotizzato che gli individui siano neutrali verso il rischio, pertanto non richiedano alcun premio per
52
Mariangela Scorrano
assumersi dei rischi. Questa è un’ipotesi normalmente impiegata in finanza per
l’analisi dei derivati. Trae origine da un’importante proprietà dell’equazione
differenziale di Black-Scholes-Merton. In essa, infatti, non figurano variabili che sono influenzate dalla propensione al rischio degli investitori. Neppure
la soluzione dunque ne risulta condizionata. Questa considerazione pertanto
permette di fare qualsiasi assunzione circa la propensione al rischio degli investitori. In particolare si può assumere che gli investitori siano tutti neutrali
verso il rischio, optando per una scelta che semplifichi notevolmente l’analisi
da realizzare. In effetti, in un mondo neutrale verso il rischio, il tasso di rendimento atteso di tutti i titoli è uguale al tasso di interesse privo di rischio e il
valore attuale di ogni futuro pagamento può essere ottenuto attualizzandone
il valore atteso al tasso privo di rischio (Hull, 2003).
Il valore dell’opzione GMWB, come detto, è pari al valore attuale di tutti
i flussi di cassa associati al contratto stesso. Esso pertanto è pari a:
e−rT EQ [VT ] +
v0 g
(1 − e−rT )
r
(2.11)
dove EQ [.] indica il valore atteso sotto la misura neutrale al rischio.
Affinché il prezzo pagato dal contraente per tale opzione sia equo, è necessario che il suo valore, così come determinato nell’espressione (2.11) sia
esattamente pari alla somma versata inizialmente v0 . In altri termini, deve
valere:
v0 = e−rT EQ [VT ] +
v0 g
(1 − e−rT )
r
(2.12)
2.1.4
53
I risultati empirici di Milevsky e Salisbury
Dopo aver descritto il modello di valutazione proposto, gli autori testano il
modello stesso utilizzando metodi di calcolo numerico.
In particolare Milevsky e Salisbury calcolano la probabilità di rovina in
(2.10) attribuendo ai parametri che compaiono nella funzione ξt valori consistenti con quelli applicati a tali prodotti sul mercato. Si consideri, ad esempio,
un tasso di rendimento atteso µ del 9% ed una volatilità storica del mercato
σ del 18%. Si ipotizzi, inoltre, che le commissioni applicate dalla compagnia
di assicurazione ammontino a 40 punti base annuali, cioè α = 0.40%, che la
somma inizialmente versata dal contraente v0 sia pari a $100 e che il tasso di
prelievo previsto contrattualmente g sia pari al 7% (pertanto la somma prelevabile ogni anno è pari a G = gv0 = 7$). Il contratto, quindi, ha un periodo di
vigenza pari a 14.28 anni (T = v0 /G = 100/7). Con questi dati, la dinamica
del VA sub-account descritta da (2.7) diventa:


 dVt = (0.09 − 0.004)Vt dt − 7dt + 0.18Vt dWt
e
Vt := 0
ossia
e
per 0 < t < τ

 V0 = 100
per τ ≤ t ≤ 14.28


 dVt = (0.86Vt − 7)dt + 0.18Vt dWt

 V0 = 100
Vt := 0
per 0 < t < τ
per τ ≤ t ≤ 14.28
54
Mariangela Scorrano
Tabella 2.1: Probabilità di rovina
µ = 4%
µ = 6%
µ = 8%
µ = 10%
µ = 12%
σ = 10%
19.0%
7.0%
1.7%
0.3%
0.04%
σ = 15%
31.4%
18.5%
9.3%
4.1%
1.6%
σ = 18%
37.8%
25.5%
15.5%
8.6%
4.4%
σ = 25%
49.9%
39.6%
30.5%
22.2%
15.5%
dove si ricorda che τ := inf{t ∈ (0, T ] : Vt = 0}, rappresenta cioè l’istante in
cui il saldo del conto si annulla per la prima volta.
La probabilità di rovina associata ad una polizza con queste caratteristiche
è stata calcolata pari a ξ14.28 = 11.7%. In altri termini c’è approssimativamente
una probabilità del 88.3% che l’opzione GMWB non si attivi e che dunque il
saldo del VA sub-account rimanga positivo e tale da assicurare al contraente
l’intero importo garantito. Modificando tuttavia il valore di alcuni parametri,
anche tale probabilità si modificherà. Ad esempio, se si incrementa la volatilità
del prezzo dei titoli e la si pone pari a σ = 25% anche la probabilità di rovina
aumenta, infatti ξ14.28 = 26.2%. Allo stesso tempo, se si riduce il tasso di
rendimento atteso a µ = 6% e si mantiene la stessa volatilità σ = 25%, la
probabilità di rovina aumenta e diventa pari a ξ14.28 = 39.9%.
La tabella 2.1 riporta, al variare del drift rate µ e del variance rate σ la
probabilità che, durante i 14.28 anni di vita del contratto, il saldo del VA subaccount si annulli. Dai risultati riportati nella tabella emergono in particolare
due relazioni: la probabilità di rovina ξt , fissato σ, risulta essere una funzione
55
decrescente del tasso di rendimento atteso µ dei titoli che compongono il portafoglio sottostante la polizza e, fissato µ, una funzione crescente della volatilità
del prezzo dei titoli σ.
In particolare, si noti che, se µ = 12% e σ = 10% la probabilità che il saldo
del conto si annulli prima della scadenza T del contratto è inferiore alla metà di
un punto percentuale. Quindi, se si considera un tasso di rendimento alto e una
volatilità “abbastanza” bassa, la probabilità di rovina è molto bassa. Proprio
per questo, le compagnie di assicurazione cercano di tenere sotto controllo
la volatilità del prezzo dei titoli ponendo delle restrizioni all’asset allocation
impiegata in queste polizze. Ad esempio si prevede che necessariamente una
quota, che varia dal 20% al 40%, del portafoglio costruito venga destinata
ad investimenti obbligazionari o a reddito fisso, in modo tale da contenere la
volatilità σ e di conseguenza anche la probabilità di rovina.
Gli autori stimano nell’articolo il prezzo equo che le compagnie di assicurazione dovrebbero richiedere per l’opzione GMWB. In particolare, fissando il
valore da attribuire alla somma di denaro depositata inizialmente v0 , alla volatilità σ, al tasso di interesse r e al tasso di prelievo g, anche gli altri parametri
che compaiono nella (2.12) risultano determinati. Infatti i prelievi periodici
ammontano a G = gv0 e la durata della polizza T è pari a v0 /G o, considerando un investimento iniziale di $100, T = 1/g. Pertanto, attraverso tecniche
di calcolo numerico, gli autori hanno proceduto a individuare il valore delle
commissioni α che portasse all’eguaglianza descritta in (2.12).
Nella tabella 2.2 sono riportati i risultati che sono stati ottenuti conside-
56
Mariangela Scorrano
Tabella 2.2: Prezzo equo dell’opzione GMWB con investimento iniziale pari a
$100
Tasso di prelievo
Scadenza in anni
g
T = 1/g
4
Volatilità dell’investimento
σ = 20%
σ = 30%
25.00
23 p.b.
60 p.b.
5
20.00
37 p.b.
90 p.b.
6
16.67
54 p.b.
123 p.b.
7
14.29
73 p.b.
158 p.b.
8
12.50
94 p.b.
194 p.b.
9
11.11
117 p.b.
232 p.b.
10
10.00
140 p.b.
271 p.b.
15
6.67
272 p.b.
475 p.b.
rando un tasso di interesse privo di rischio r = 5% ed un investimento iniziale
di $100 e attribuendo diversi valori alla volatilità σ e al tasso di prelievo g.
2.2
Valutazione finanziaria dell’opzione GMWB
in ipotesi di volatilità stocastica
I risultati che Milevsky e Salisbury ottengono applicando il modello teorico
proposto mostrano che, se si considera una polizza variable annuity tipica-
57
mente offerta sul mercato, caratterizzata da un tasso di prelievo pari al 7%
e da una volatilità compresa tra il 20% ed il 30%, il prezzo equo stimato di
un’opzione GMWB oscilla tra i 73 e i 158 punti base, così come si può ricavare dalla tabella 2.2. Tuttavia, ciò risulta in contrasto con quanto si verifica
nella realtà. Il mercato, infatti, prezza tali prodotti da 30 a 45 punti base,
dunque sottovalutandoli secondo gli autori. In altre parole, le compagnie di
assicurazione sembrano non richiedere commissioni sufficienti a coprire tutti i
costi associati all’opzione. Proprio per cercare di comprendere le ragioni alla
base di questa discrepanza, riconosciuta comunque dagli autori, si è pensato, in
questo lavoro di tesi, dopo aver riverificato il modello di Milevsky e Salisbury,
di modificare alcune delle ipotesi introdotte nel modello stesso.
In particolare, anche per considerare un modello più fedele al mercato, si
è pensato di indebolire l’ipotesi che considera la volatilità costante e di introdurre una volatilità stocastica (Kling et al., 2009). Pertanto, si è introdotto
un elemento di aleatorietà ulteriore nel modello di valutazione proposto da
Milevsky e Salisbury.
2.2.1
La volatilità come processo stocastico
L’introduzione nel modello di valutazione proposto Milevsky e Salisbury di una
volatilità stocastica piuttosto che costante comporta difficoltà maggiori. In effetti non esiste, come nel caso deterministico, una formula chiusa che risolve
l’equazione differenziale stocastica (2.15). Pertanto la valutazione finanziaria
dell’opzione non può essere realizzata analiticamente, ma deve avvenire neces-
58
Mariangela Scorrano
sariamente attraverso procedure di calcolo numerico. In particolare, il valore
atteso del VA sub-account necessario nella formula (2.12) è stato valutato mediante la simulazione Monte Carlo (Boyle, 1977). Questa tecnica, largamente
utilizzata nella normale pratica finanziaria, permette di ottenere risultati ragionevolmente accurati e, al contempo, risulta estremamente semplice da implementare con un normale calcolatore. Si veda in proposito l’Appendice B
del lavoro.
I modelli a volatilità stocastica prevedono che la volatilità stessa segua un
processo stocastico:
(2.13)
(σt )t≥0
con
σt = f (Yt )
dove f (y) > 0 ∀y ∈ R e Yt rappresenta un processo stocastico (Fouque et al.,
2000).
Con questa ipotesi, il processo che descrive la dinamica del prezzo di un
titolo finanziario (St )t≥0 riportato in (2.1) diventa così caratterizzato:
(2.14)
dSt = µSt dt + σt St dWt
Di conseguenza anche l’andamento del VA sub-account ed il prezzo equo dell’opzione GMWB vengono modificati. In particolare la dinamica del conto
descritta dal problema (2.7) diventa:


 dVt = (µ − α)Vt dt − Gdt + σt Vt dWt

 V 0 = v0
per 0 < t < τ
(2.15)
59
e
Vt := 0
per τ ≤ t ≤ T
dove τ := inf{t ∈ (0, T ] : Vt = 0}, indica cioè l’istante in cui il saldo del conto
si annulla per la prima volta.
I principali modelli a volatilità stocastica presenti in letteratura si differenziano per le diverse caratterizzazioni del processo di volatilità (σt )t≥0 . Affinché
rappresenti una volatilità una condizione necessaria è che:
(σt )t≥0 ≥ 0
Tipicamente si assume che la volatilità segua un processo di Itô che soddisfa
un’equazione differenziale stocastica guidata da un moto browniano. Questo
infatti è il modo più semplice per introdurre la correlazione con le variazioni
nel prezzo del titolo sottostante. La maggior parte dei modelli sono caratterizzati da mean reversion. Il termine mean reverting sta ad indicare il tempo
che un processo impiega a tornare al livello medio della sua distribuzione (la
distribuzione di lungo periodo del processo). Questa caratteristica implica che
l’equazione differenziale stocastica seguita da (Yt ) sia del tipo:
dYt = α(m − Yt )dt + βt dZ�t
(2.16)
dove α rappresenta il coefficiente di mean reversion ed m indica il livello medio
di lungo periodo di Y . Si può notare che il termine di drift α(m − Yt ) indirizza
Yt verso il valore di lungo periodo m, mentre il termine stocastico esercita
l’azione di un rumore casuale. Pertanto σt viene fatto tendere verso il valore
medio di f (Y ) considerando la distribuzione di lungo periodo di Y .
60
Mariangela Scorrano
Nell’equazione (2.16) (Z�t )t≥0 indica un moto browniano correlato con il pro-
cesso di Wiener Wt che compare nell’equazione (2.14) secondo un coefficiente
di correlazione ρ ∈ [−1, 1].
Dai dati finanziari si ricava che ρ < 0 e ci sono anche argomenti economici
a favore di un correlazione negativa o effetto leverage tra il prezzo dei titoli
finanziari e gli shocks di volatilità. Gli studi empirici mostrano, infatti, che
il prezzo dei titoli tende a scendere quando la volatilità aumenta. In termini
generali, la correlazione potrebbe dipendere dal tempo, quindi sarebbe più
corretto scrivere ρ(t) ∈ [−1, 1], ma si assume tipicamente che essa sia costante,
e ciò sia per semplificare la notazione sia perché tale ipotesi è la più utilizzata
nella maggior parte delle situazioni pratiche.
Tra i modelli impiegati in letteratura si è scelto di considerarne due in
particolare per descrivere il processo seguito da Y : il modello di Scott (Scott,
1987) e quello di Heston (Heston, 1993), che rappresentano due dei modelli
più utilizzati in finanza.
In particolare, il modello di Scott, proposto nel 1987, prevede che l’equazione differenziale stocastica seguita da Yt sia un processo di Ornstein-Uhlenbeck
con mean reversion:
dYt = α(m − Yt )dt + βdZ�t
(2.17)
con ρ = 0 e f (y) = ey . In realtà, in questo lavoro di tesi, è stata presa in
considerazione una generalizzazione di tale modello. In effetti l’ipotesi di non
correlazione tra i due moti Browniani che caratterizzano i processi di prezzo e di
volatilità del titolo sottostante sembra irrealistica. Proprio per questo motivo
61
si è preferito impiegare per il driving process Yt lo stesso processo previsto da
Scott, ipotizzando tuttavia una correlazione ρ negativa piuttosto che nulla. Per
le stesse ragioni, poi, si è voluto prendere in considerazione anche il modello
di Heston, il primo in letteratura che presenta una correlazione ρ �= 0.
Più precisamente, nel modello di Heston proposto nel 1993, il driving
process Yt è descritto dalla seguente equazione differenziale stocastica:
dYt = α(m − Yt )dt + β
con f (y) =
√
y e ρ �= 0.
�
Yt dZ�t
(2.18)
Il fatto di considerare una correlazione non nulla tra le variazioni stocastiche del processo di prezzo e quelle del processo di volatilità risponde, come
già detto, a delle esigenze empiriche. L’idea alla base del modello, suggerita
dalle osservazioni del mercato, è che l’andamento della volatilità del prezzo di
un titolo non sia del tutto indipendente dall’andamento del prezzo stesso. Per
esempio, per i titoli azionari è facile pensare che la volatilità aumenti quando
il titolo si deprezza. Spesso infatti in un momento di deprezzamento del titolo
si riscontra una situazione di incertezza del mercato rispetto al futuro della
società quotata. Analogamente, per le commodities si può pensare che il mercato consideri più incerta la situazione quando il prezzo si alza (si pensi per
esempio ai casi del petrolio o dell’oro). Tale correlazione è pertanto osservabile
nei mercati.
Capitolo 3
Simulazioni numeriche per la
valutazione della polizza GMWB
Dopo aver illustrato nel capitolo precedente il modello teorico impiegato per la
valutazione finanziaria dell’opzione GMWB si passa ora a descrivere il procedimento impiegato per la sua implementazione. A questo scopo sono stati creati
dei programmi ad hoc utilizzando il linguaggio di programmazione MATLAB.
Si precisa che tali programmi sono stati realizzati ex novo, senza ricorrere a
subroutine o a librerie già esistenti.
63
64
Mariangela Scorrano
3.1
Risultati in ipotesi di volatilità deterministica
3.1.1
Il valore del VA sub-account
Nel capitolo precedente si è costruito un modello di prezzaggio dell’opzione
GMWB che ipotizza prelievi in tempo continuo. Pertanto, i risultati mostrati
da un punto di vista teorico sono stati ottenuti considerando tale ipotesi. Tuttavia, per poter ottenere simulazioni al computer, si è proceduto dapprima a
discretizzare le equazioni differenziali stocastiche impiegate per la valutazione
dell’opzione.
Per riproporre in linguaggio MATLAB la dinamica del VA sub-account
ed il valore dell’opzione è stato necessario innanzitutto generare un processo
di Wiener. Si ricorda che un processo di Wiener nell’intervallo [0, T ] è una
famiglia di variabili aleatorie {Wt }t≥0 che dipende continuamente da t ∈ [0, T ]
e che soddisfa le seguenti condizioni:
• W0 = 0 q. c.
cioè per t = 0 il processo vale zero quasi certamente (con probabilità
uno).
• per 0 ≤ s < t ≤ T ,
√
Wt − Ws ∼ ε t − s
dove ε è una distribuzione normale con media zero e varianza unitaria.
• per 0 ≤ s < t ≤ u < v ≤ T ,
65
Figura 3.1: Esempio di traiettoria seguita da un processo di Wiener
3
2
W
1
0
-1
-2
-3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo
Wt − Ws e Wv − Wu sono indipendenti.
La definizione di processo di Wiener suggerisce come simulare le sue traiettorie.
In particolare è stata impiegata la seguente discretizzazione:
Wt0 = 0
e, per k = 1, . . . , N
Wtk = Wtk−1 + εk
�
tk − tk−1
dove 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tN −1 < tN = T .
Scegliendo arbitrariamente dei valori da attribuire ai parametri che descrivono tale processo sono state generate diverse traiettorie. Una di queste è
riportata nella figura 3.1, ottenuta considerando un orizzonte temporale di 15
anni a partire dal tempo t0 = 0 e 10.000 sottoperiodi.
Passando ora alla dinamica del VA sub-account, il processo descritto da
(2.7) può essere discretizzato come segue:
V t 0 = v0
66
Mariangela Scorrano
e per k = 1, . . . , N


 Vt = Vt (1 + (µ − α)∆t + σ(Wt − Wt )) − G∆t
k
k−1
k
k−1

 Vt := 0
k
per τ ≤ tk ≤ T
per 0 < tk < τ
(3.1)
dove τ := inf{tk ∈ (0, T ] : Vtk = 0}, rappresenta cioè l’istante in cui il saldo
del conto si annulla per la prima volta e dove ∆t = tk − tk−1 .
Sono stati generati diversi scenari e, modificando il valore dei parametri µ,
σ, α e G in modo che essi fossero il più realistici possibile, si è visto come la
garanzia offerta dall’opzione GMWB non sempre si attiva, e, quando invece
questo accade, l’attivazione può avvenire in momenti diversi durante la vita
del contratto.
In particolare, analizzando polizze simili, offerte da alcune principali compagnie di assicurazione, sono stati considerati i valori dei parametri realmente
impiegati nel mondo reale. Si è rilevato che tipicamente il contratto offerto
prevede un tasso di prelievo del 7% ed una commissione pari a 40 punti base.
Ipotizzando un investimento iniziale di $100 l’assicurato ha quindi la garanzia
di poter prelevare $7 fino al completo esaurimento della somma inizialmente
versata, e cioè per un periodo pari a 100/7 = 14.28 anni, assumendo che egli
prelevi sempre allo stesso tasso e che mantenga la polizza fino alla scadenza
del contratto.
Nelle figure 3.2 e 3.3 si mostrano alcuni degli scenari che si possono presentare. In esse l’andamento del VA sub-account è stato ottenuto considerando un tasso di rendimento atteso µ del 10%, una volatilità σ pari al 18%
e 250 intervalli temporali in ciascun anno da cui, nell’equazione (3.1), k =
67
Figura 3.2: Esempi di dinamiche seguite dal VA sub-account
260
110
240
100
220
90
VA sub-account
VA sub-account
200
180
160
140
120
80
70
60
100
50
80
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(a)
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(b)
1, . . . , 14.28 × 250 = 3.570. Si noti che considerare 250 intervalli temporali in un anno equivale a ritenere che gli interessi vengano capitalizzati circa
giornalmente, se si considerano esclusivamente i giorni in cui la Borsa è aperta.
Negli esempi presentati nei casi (a) e (b) della figura 3.2 si osserva come
il valore del conto non scenda mai al di sotto dello zero. Ciò significa che la
garanzia offerta dall’opzione GMWB non si attiva. Si noti il diverso andamento del VA sub-account nei due casi della figura 3.2: nel caso (a) l’andamento
è crescente per tutto il periodo di vigenza del contratto; nel caso (b), invece,
i rialzi e i ribassi del mercato hanno portato il valore del conto ad assumere un andamento prima decrescente e poi crescente. In entrambi i casi però
la performance registrata dai titoli che compongono il portafoglio sottostante la polizza, dopo aver sottratto le commissioni applicate dalla compagnia
di assicurazione, è stata sufficiente a garantire prelievi periodici a favore del
68
Mariangela Scorrano
120
120
100
100
80
80
VA sub-account
VA sub-account
Figura 3.3: Esempi di dinamiche seguite dal VA sub-account
60
40
20
0
60
40
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(a)
(b)
contraente per tutta la durata del contratto.
La figura 3.3, invece, mostra che la garanzia può anche attivarsi in momenti diversi durante il periodo di vigenza del contratto, con effetti diversi per la
compagnia di assicurazione. Infatti, se si verifica il caso (a) il saldo del VA
sub-account raggiunge valore zero dopo circa 8 anni dalla stipula del contratto,
mentre nel caso si verificasse (b) l’attivazione della garanzia si ha dopo circa
13 anni. Questo naturalmente comporta una spesa diversa a carico della compagnia di assicurazione, maggiore nel primo caso visto che il VA sub-account
riesce a far fronte agli impegni contrattuali solo per i primi 8 anni.
Nelle figure 3.4 e 3.5 si mostra, in maniera corrispondente, l’istante temporale in cui si attiva la garanzia offerta dall’opzione GMWB. Nel momento
in cui il valore del conto si annulla, l’opzione si attiva e consente al contraente
di continuare a prelevare l’importo di $7 annuali fino alla scadenza della poliz-
120
0.03
100
0.025
80
0.02
GMWB
VA sub-account
Figura 3.4: Valore della garanzia offerta dall’opzione GMWB
60
0.015
40
0.01
20
0.005
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(a) Dinamica del VA sub-account
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(b) Valore della garanzia offerta dall’opzione GMWB
120
0.03
100
0.025
80
0.02
GMWB
VA sub-account
Figura 3.5: Valore della garanzia offerta dall’opzione GMWB
60
0.015
40
0.01
20
0.005
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(a) Dinamica del VA sub-account
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
(b) Valore della garanzia offerta dall’opzione GMWB
69
70
Mariangela Scorrano
za. Se si considerano 250 intervalli temporali in ciascun anno di durata della
polizza i prelievi periodici ammontano a $ 7/250 = $0.028 fino alla scadenza
della polizza.
3.1.2
La probabilità di rovina
É interessante calcolare la probabilità di rovina della polizza definita in (2.10),
ossia la probabilità che il valore del VA sub-account si annulli prima della
scadenza della polizza.
A questo scopo sono state generate F famiglie ciascuna di ω traiettorie,
con ω ∈ N. In particolare si è scelto di considerare una famiglia di ω = 10.000
traiettorie per aumentare la precisione dei risultati ottenuti. Nella simulazione
realizzata a questo fine, è stato introdotto un contatore sj , j = 1, . . . , ω che,
una volta fissato uno specifico valore per µ e σ, per ciascuna traiettoria assume
valore 1, se il saldo del conto VT al tempo T è nullo, oppure valore 0 se è
positivo:
sj :=


 0 se VT > 0

 1 se VT = 0
per j = 1, . . . , ω
Si ricorda che una volta raggiunto lo zero, il valore del conto non può tornare
ad assumere valori positivi. L’assicurato, infatti, non ha più denaro da poter
investire sul mercato. Si è scelto, in particolare, di osservare il valore assunto
dal conto alla scadenza del contratto T : infatti, se a tale data il saldo del conto
sarà positivo, significa che è stato tale anche durante il periodo di vigenza della
polizza, pertanto l’opzione GMWB non si è attivata. Se, al contrario, il saldo
71
Tabella 3.1: Stima della probabilità di rovina
µ = 4%
µ = 6%
µ = 8%
µ = 10%
µ = 12%
σ = 10%
17.08%
5.44%
1.21%
0.18%
0.04%
σ = 15%
32.31%
18.65%
9.15%
4.08%
1.4%
σ = 18%
39.33%
26.36%
16.0%
8.87%
4.44%
σ = 25%
51.78%
41.67%
31.93%
23.37%
16.22%
del conto al tempo T è nullo, significa che è diventato tale ad un certo istante
0 < τ ≤ T.
La probabilità di rovina è stata determinata calcolando la media della sequenza di 0 e 1 ottenuta considerando le 10.000 traiettorie generate. Formalmente, dunque, la stima della probabilità di rovina ξˆt è stata ottenuta
applicando la seguente formula:
ξˆt =
�w
j=1
sj
w
Questo procedimento è stato ripetuto considerando diversi valori di µ e di
σ. La tabella 3.1 riassume i risultati ottenuti dalle simulazioni fatte. A tal
proposito è possibile fare due osservazioni:
• a parità di volatilità σ, esiste una relazione decrescente tra la probabilità
di rovina stimata ξˆt ed il tasso di rendimento atteso µ dei titoli che
compongono il portafoglio sottostante la polizza;
• a parità di rendimento atteso µ, esiste una relazione crescente tra la probabilità di rovina stimata ξˆt e la volatilità del prezzo dei titoli σ. La
72
Mariangela Scorrano
volatilità di un titolo caratterizza l’ampiezza delle variazioni subite dal
prezzo del titolo stesso. E’ una componente da tenere in considerazione
durante la valutazione del rischio di un investimento in titoli. Una elevata volatilità, infatti, indica che il prezzo di quel titolo può sperimentare
ampie oscillazioni nel tempo; di conseguenza, l’investitore potrà registrare elevati guadagni o elevate perdite. La volatilità misura pertanto
l’incertezza circa i futuri tassi di rendimento del titolo. Maggiore è tale
incertezza, maggiore, di conseguenza, è la probabilità di rovina quindi la
probabilità che il saldo del VA sub-account non sia sufficiente a coprire
la somma necessaria a garantire al contraente i prelievi concordati, dopo
aver sottratto le commissioni e i prelievi già effettuati.
A questo punto si è preso in considerazione un portafoglio di titoli realmente
esistente sul mercato e si è calcolata la probabilità di rovina associata ad una
polizza con tale sottostante. In particolare si è ipotizzato che il contraente
abbia deciso di investire i suoi risparmi sull’indice azionario Nasdaq. Attraverso un resampling dei rendimenti registrati da tale indice su un orizzonte
temporale di circa 14 anni (da gennaio 1998 a ottobre 2011) sono state simulate 100 diverse traiettorie seguite dal valore del VA sub-account. Si veda
in proposito la figura 3.6. La probabilità di rovina è stata calcolata seguendo
lo stesso procedimento descritto in precedenza ed utilizzando gli stessi parametri α e G considerati per costruire la tabella 3.1, mentre la media µ̂ e la
volatilità σ̂ stimate dei rendimenti storici di tale indice ammontano, rispettivamente, al 6.03% ed al 25.77%. La probabilità di rovina ottenuta è pari
73
Figura 3.6: Traiettorie seguite dal VA sub-account mediante resampling
1800
1650
1500
VA sub-account
1350
1200
1050
900
750
600
450
300
150
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
tempo (anni)
al 35%, quindi assume un valore che non si discosta molto da quello trovato
applicando il modello teorico. Nella tabella 3.1 si nota infatti che, per una
polizza il cui sottostante presenta caratteristiche simili per quanto riguarda il
tasso di rendimento atteso e la volatilità (rispettivamente pari al 6% e al 25%),
la probabilità di rovina ammonta a circa il 41%. Un risultato analogo è stato
ottenuto anche da Milevsky e Salisbury. Infatti, nella tabella 2.1 la probabilità
di rovina associata ad una polizza con le stesse caratteristiche è stata calcolata
pari al 39.6%. L’analisi condotta a livello empirico, dunque, sembra presentare
risultati analoghi a quelli ricavati teoricamente.
74
Mariangela Scorrano
3.1.3
Il prezzo equo dell’opzione
Il prezzo equo dell’opzione GMWB è stato calcolato da Milevsky e Salisbury
attraverso l’espressione (2.12). Questa formula chiusa tuttavia vale in tempo
continuo. Per implementarla mediante un calcolatore, tuttavia, è stato necessario attualizzare i flussi di cassa non ad un tasso di interesse composto continuamente, ma discretizzando l’intervallo temporale e considerando un numero
“abbastanza” elevato di sottoperiodi. Nelle simulazioni, in particolare si è scelto di suddividere un periodo di tempo annuale in 250 sottoperiodi. In effetti,
una capitalizzazione degli interessi quasi giornaliera permette di approssimare
“bene” il caso continuo.
Per calcolare, inoltre, la media dei possibili valori assunti dal VA subaccount si è preso in considerazione un numero elevato di traiettorie potenzialmente seguite dal valore del conto.
La tabella 3.2 riassume i valori delle commissioni α applicate dalla compagnia di assicurazione che rendono vera l’uguaglianza in (2.12) al variare
dell’ammontare prelevato G e della volatilità dell’investimento σ. In particolare si è considerato un investimento iniziale v0 di $100, un tasso di interesse
privo di rischio r del 5% capitalizzato 250 volte in un anno e 3.000 traiettorie che descrivono il possibile andamento del VA sub-account. Si è scelto di
prendere in considerazione un numero di traiettorie ω = 3.000 per le difficoltà
computazionali legate alla generazione di un numero di traiettorie superiore,
ma anche perché, come si mostrerà nell’ultimo paragrafo di questo capitolo,
una simulazione con un numero maggiore di traiettorie avrebbe portato a risul-
75
Tabella 3.2: Prezzo equo dell’opzione GMWB
Tasso di prelievo
Scadenza in anni
Volatilità dell’investimento
g
T = 1/g
σ = 20%
σ = 30%
4
25.00
8.5 p.b.
36.5 p.b.
5
20.00
23 p.b.
73 p.b.
6
16.67
37 p.b.
100 p.b.
7
14.29
51 p.b.
137 p.b.
8
12.50
72 p.b.
184 p.b.
9
11.11
87 p.b.
218 p.b.
10
10.00
109 p.b.
263 p.b.
15
6.67
164 p.b.
367 p.b.
tati analoghi. Si noti come i valori ottenuti attraverso le simulazioni realizzate
siano abbastanza vicini a quelli calcolati da Milevsky e Salisbury e riassunti
nella tabella 2.2.
Dalla (2.12) emerge che il prezzo equo dell’opzione GMWB è funzione di
una serie di parametri: le commissioni applicate dalla compagnia di assicurazione α, l’ammontare prelevato G, il tasso di interesse privo di rischio r e la
volatilità dei rendimenti di portafoglio σ. Si è pertanto proceduto ad esaminare l’impatto che i vari parametri del modello preso in considerazione hanno
sul valore dell’opzione (Chen et al., 2008). In tutte le analisi si è considerato
un investimento iniziale v0 di $100, una capitalizzazione degli interessi di 250
volte in un anno e 7000 traiettorie che descrivono il possibile andamento del
76
Mariangela Scorrano
Figura 3.7: Valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni α
104
102
valore opzione
100
98
96
94
92
90
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
α (punti base)
VA sub-account.
Influenza delle commissioni applicate α La figura 3.7 è stata ottenuta
calcolando il valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni applicate
α e mantenendo costanti gli altri parametri. In particolare, si è considerato
un tasso di interesse privo di rischio r del 5%, un valore della volatilità σ pari
al 18% e un ammontare annuale prelevato di $7. Si noti la relazione inversa
che lega il valore dell’opzione alle commissioni applicate. In effetti, più alte
sono le commissioni applicate, meno appetibili diventano tali polizze e minore
risulta il loro valore. Si supponga, ad esempio, che il valore dell’opzione sia
pari a $102 e che le commissioni applicate siano di circa 10 punti base. Il
prezzo dell’opzione in questo caso non è equo. Per renderlo tale, in accordo
alla (2.12), bisognerebbe ridurre il suo valore a $100 (ammontare inizialmente
77
Figura 3.8: Valore dell’opzione GMWB al variare dell’ammontare prelevato G
102
101
valore opzione
100
99
98
97
96
95
4
5
6
7
8
ammontare prelevato G
9
10
investito) e dunque applicare commissioni più alte, pari a circa 40 punti base.
Influenza dell’ammontare prelevato G La figura 3.8 è stata ottenuta calcolando il valore dell’opzione al variare dell’ammontare prelevato G e mantenendo costanti gli altri parametri. In particolare, si è considerata una commissione α di 40 punti base, un tasso di interesse privo di rischio r del 5%
ed un valore della volatilità σ pari al 18%. Dalla figura emerge una relazione
diretta tra il valore dell’opzione e l’ammontare prelevato. A parità di altre
condizioni, maggiore è la somma prelevabile periodicamente più elevato risulta
essere il valore dell’opzione. In particolare, con i dati considerati, il valore di
G che rende equo il prezzo dell’opzione è circa $7. Se il contraente decidesse di
prelevare annualmente una somma inferiore, ad esempio $5, il valore dell’opzione sarebbe pari a circa $97, dunque non sarebbe equo. Per renderlo tale, la
78
Mariangela Scorrano
Figura 3.9: Valore dell’opzione GMWB al variare del tasso di interesse privo
di rischio r
104
103
valore opzione
102
101
100
99
98
97
3
4
5
6
tasso di interesse r (%)
7
8
compagnia di assicurazione dovrebbe applicare delle commissioni più basse.
Influenza del tasso di interesse privo di rischio r
La relazione che le-
ga il valore dell’opzione GMWB al tasso di interesse privo di rischio è descritta
dalla figura 3.9. Essa è stata ottenuta considerando una commissione α di 40
punti base, una volatilità σ del 18% e un valore di G pari a $7. Nella figura
si evidenzia come all’aumentare del tasso di interesse r il valore dell’opzione si
riduca. Si ricorda che l’opzione GMWB garantisce al contraente la possibilità
di prelevare lo stesso importo fino alla scadenza della polizza indipendentemente dall’andamento del mercato. Pertanto, a parità di altre condizioni, se i
tassi di interesse dovessero ridursi gli individui sarebbero incentivati a stipulare contratti del genere. La domanda di tali polizze aumenterà e altrettanto
79
Figura 3.10: Valore dell’opzione GMWB al variare della volatilità del prezzo
dei titoli σ
106
105
104
valore opzione
103
102
101
100
99
98
97
96
101112131415161718192021222324252627282930
volatilità σ (%)
farà il loro valore. Viceversa, un aumento dei tassi di interesse incentiverà la
preferenza verso progetti di investimento alternativi, più redditizi e il valore
dell’opzione si ridurrà.
Influenza della volatilità del prezzo dei titoli σ
La volatilità misura l’in-
certezza circa i futuri tassi di rendimento dei titoli che compongono il portafoglio sottostante la polizza. Un aumento di tale incertezza comporterà una
propensione da parte degli individui verso forme di investimento “sicure”. Una
polizza variable annuity con annessa l’opzione GMWB sicuramente può rispondere a tali esigenze. La domanda di tali polizze aumenterà ed anche il
loro valore pertanto crescerà. La relazione diretta tra valore dell’opzione e
volatilità è mostrata nella figura 3.10, ottenuta considerando una commissione
80
Mariangela Scorrano
α di 40 punti base, un valore di G pari a $7 ed un tasso di interesse privo di
rischio r del 5%.
3.1.4
I valori di α e G che rendono equo il prezzo dell’opzione
Dopo aver mostrato come cambia il valore dell’opzione al variare dei diversi parametri che compaiono in (2.11), ci si soffermerà ora in particolare sul
legame con due di essi: le commissioni applicate α e l’ammontare prelevato
G. Infatti questi sono i parametri il cui valore viene stabilito dalla compagnia
di assicurazione e che caratterizzano il contratto. La volatilità σ e il tasso
di interesse r, al contrario, sono determinati dal mercato, quindi devono essere assunti come dati dalla compagnia di assicurazione, non possono essere
modificati in funzione delle sue esigenze.
A questo scopo la figura 3.7, che è stata ottenuta per uno specifico valore
di G, di r, e di σ, è stata modificata considerando diversi valori per G e mantenendo costanti tutti gli altri parametri. Le simulazioni fatte hanno permesso
di ottenere la figura 3.11. Per ciascun valore di G è stato poi individuato il
valore di α che rende equo il prezzo dell’opzione:
α : VT = 100
Graficamente ciò si ottiene tracciando una retta parallela all’asse delle ascisse
in corrispondenza di un valore dell’opzione pari a 100, determinando l’intersezione con ciascuna traiettoria e individuando il corrispondente valore di α
81
considerando diversi valori di G
105
valore opzione
100
95
90
G=5
G=6
G=8
G= 7
G = 12
G = 14
G = 17
85
80
0
20
40
60
80
100
120
commissioni _ (punti base)
140
160
180
200
!
sull’asse delle ascisse. In tal modo sono state ottenute le coppie (α; G) che, per
determinati valori di σ e di r, rendono equo il prezzo dell’opzione. Si osservi
al riguardo la figura 3.12.
A questo punto si è cercato di comprendere quale fosse l’impatto della
volatilità e del tasso di interesse sulle coppie così individuate. A questo fine,
il grafico 3.11 è stato riproposto considerando diversi valori di r e di σ.
Influenza del tasso di interesse Nella figura 3.13 si è voluto analizzare,
fissato G = 7, come cambia il prezzo equo dell’opzione GMWB al variare del
tasso di interesse r.
Si noti come le traiettorie che descrivono l’andamento del valore dell’op-
82
Mariangela Scorrano
Figura 3.12: Valori di α e G che rendono equo il prezzo dell’opzione con
σ = 18% ed r = 5%
20
18
16
14
12
10
8
6
4
0
20
40
60
80
100
commissioni α (punti base)
120
140
160
83
Figura 3.13: Valore dell’opzione al variare delle commissioni α per G = 7 e
diversi valori di r
110
r=3%
r=5%
r=6%
r=7%
r=8%
valore opzione
105
100
95
90
85
0
20
40 60 80 100 120 140 160 180 200
!
zione in funzione di α subiscano una traslazione verso il basso all’aumentare
del tasso di interesse r. A parità di ammontare prelevato G e di volatilità σ,
pertanto, all’aumentare del tasso di interesse r la compagnia di assicurazione dovrà applicare commissioni più basse per rendere appetibile la polizza e
dunque per attirare la domanda da parte degli investitori che, altrimenti, si
rivolgerebbero verso investimenti più redditizi.
Questo stesso procedimento è stato poi ripetuto considerando diversi valori
di G. In tutti i grafici costruiti sono stati quindi determinati i corrispondenti
valori di α tali che VT = 100.
In questo modo sono state individuate le coppie (α ; G) che rendono equo
il prezzo dell’opzione per diversi valori del tasso di interesse. Queste coppie
sono state riportate nella figura 3.14. Essa mostra che, all’aumentare del tasso
84
Mariangela Scorrano
Figura 3.14: Valori di α e G che rendono equo il prezzo dell’opzione al variare
del tasso di interesse r
12
11
10
9
8
7
r = 3%
r = 5%
r = 6%
r = 7%
r = 8%
6
5
0
20
40 60 80 100 120 140 160 180 200
di interesse, la curva che unisce le coppie (α ; G) individuate subisce una
traslazione verso sinistra, comportando, a parità di ammontare prelevato, una
riduzione del prezzo equo dell’opzione.
Influenza della volatilità Nella figura 3.15 si è voluto analizzare, fissato
G = 8, come cambia il prezzo equo dell’opzione GMWB al variare della volatilità σ. In essa si mostra come le traiettorie che descrivono l’andamento
del valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni applicate subiscano una traslazione verso l’alto all’aumentare della volatilità σ. Per ciascuna
traiettoria è stato quindi determinato il valore α che rende equo il prezzo
dell’opzione.
Questo stesso procedimento è stato poi ripetuto considerando diversi valori
85
Figura 3.15: Valore dell’opzione al variare delle commissioni α per G = 8 e
diversi valori di σ
115
volatilità =10%
volatilità = 15%
volatilità = 18%
volatilità = 25%
volatilità= 30%
valore opzione
110
105
100
95
90
85
0
50
100
150
200
!
di G. In questo modo sono state individuate le coppie (α ; G) che rendono
equo il prezzo dell’opzione al variare della volatilità σ. Si osservi al riguardo la
figura 3.16. Si noti come all’aumentare della volatilità, la curva che unisce tali
coppie diventa sempre meno inclinata. A parità di G, dunque, le commissioni
richieste dalla compagnia di assicurazione aumentano. Una “piccola” variazione dell’ammontare prelevato comporta un aumento più che proporzionale
delle commissioni richieste dalla compagnia di assicurazione. Del resto, all’aumentare dell’incertezza sul futuro andamento del mercato, aumenta anche la
somma che gli individui sono disposti a pagare pur di avere un prelievo fisso,
sicuro, pertanto indipendente dalla performance della polizza sul mercato.
86
Mariangela Scorrano
della volatilità σ
20
volatilità = 10%
volatilità = 15%
volatilità = 18%
volatilità = 25%
volatilità = 30%
18
16
14
12
10
8
6
4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
87
3.2
Risultati in ipotesi di volatilità stocastica
Nella seconda parte del capitolo precedente si è introdotto il modello di valutazione dell’opzione GMWB in ipotesi di volatilità stocastica. Si è assunto, in
particolare, che la volatilità sia definita dal processo:
σt = f (Yt )
dove f (y) > 0 ∀y ∈ R e dove il driving process Yt può essere definito in diversi
modi.
In questo paragrafo si mostrano i risultati ottenuti utilizzando un modello
di Scott generalizzato ed il modello di Heston.
3.2.1
Il modello di Scott generalizzato
Nel capitolo precedente si è spiegato il motivo per cui si è scelto di considerare,
per descrivere il driving process Yt , un modello di Scott “generalizzato”. In esso,
l’equazione differenziale stocastica che descrive la dinamica di Yt è:
con ρ(Z�t , Wt ) < 0.
dYt = a(m − Yt )dt + bdZ�t
(3.2)
Il processo seguito dalla volatilità è, invece, descritto dalla seguente rela-
zione:
σt = e Yt
(3.3)
Discretizzando l’equazione (3.2) si ottiene:
� k − Z�t )
Ytk = Ytk−1 + a(m − Ytk−1 )∆t + b(Zt
k−1
per k = 1, . . . , N + 1 (3.4)
88
Mariangela Scorrano
Figura 3.17: Esempio di processo stocastico seguito dalla volatilità
2
1.8
1.6
volatilità
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
tempo (anni)
dove ∆t = tk − tk−1 .
Nella figura 3.17 si mostra un esempio di traiettoria seguita dal processo
di volatilità. Essa è stata ottenuta considerando a = 20, un valore per la
volatilità media di lungo periodo pari al 18% e un tasso di diffusione b pari a
4. Si noti come tale processo sia caratterizzato da valori sempre positivi e da
mean reversion.
Ipotizzando che la volatilità segua il processo (3.3), la dinamica del VA
sub-account diventa:


 dVt = (µ − α)Vt dt − Gdt + exp(Yt )Vt dWt
e

 V 0 = v0
Vt := 0
per τ ≤ t ≤ T
per 0 < t < τ
(3.5)
89
Figura 3.18: Esempi di dinamiche seguite dal VA sub-account: a = 20, m =
18%, b = 1.4, G = 7, α = 40 p.b.
220
140
200
120
180
VA sub-account
VA sub-account
100
160
140
120
100
80
60
40
80
20
60
40
0
5
10
0
15
0
tempo (anni)
5
10
15
tempo (anni)
(a)
(b)
dove τ := inf{t ∈ (0, T ] : Vt = 0}, cioè l’istante in cui il saldo del conto si
annulla per la prima volta.
In termini discreti, questa dinamica può essere scritta come segue:
V t 0 = v0
e, per k = 1, . . . , N


 Vt = Vt (1 + (µ − α)∆t + exp(Yt )(Wt − Wt ) − G∆t
k
k−1
k
k
k−1

 Vt := 0
k
per 0 < tk < τ
per τ ≤ tk ≤ T
dove ∆t = tk − tk−1 e Ytk si ricava dalla (3.4).
Due delle possibili traiettorie che si possono ottenere sono mostrate nella
figura 3.18. Nel caso (a) il VA sub-account rimane positivo per tutto il periodo
di vigenza del contratto, mentre nel caso (b) si osserva che la polizza si attiva
90
Mariangela Scorrano
dopo circa 10 anni dalla sua stipula. Si tenga conto del fatto che l’ipotesi
di volatilità stocastica introduce nel modello un fattore di rischio ulteriore.
Si consideri, infatti, l’influenza delle commissioni α sul valore dell’opzione,
rappresentata nella figura 3.19. Essa è stata ottenuta utilizzando gli stessi
parametri considerati in caso di volatilità deterministica. In particolare si
è ipotizzato anche in questo caso che gli investitori siano neutrali verso il
rischio, pertanto la simulazione è stata fatta considerando µ = r = 5%. Si noti
tuttavia come il valore dell’opzione non raggiunga mai il valore 100, dunque
il contratto non avrà mai un prezzo equo. In effetti, un premio per il rischio
nullo (µ − r = 0) comporta che il mercato non remuneri affatto gli investitori
per il maggior rischio sopportato. Pertanto, sotto tale ipotesi, a parità di altri
fattori, la compagnia di assicurazione dovrà applicare commissioni più basse
per rendere appetibile la polizza. Necessariamente dunque la polizza sarà
sottovalutata. Si veda al riguardo anche la figura 3.20 che pone a confronto la
curva ottenuta in ipotesi di volatilità costante con quella in caso di volatilità
stocastica: la prima è collocata al di sopra della seconda.
L’alternativa è quella di prevedere un premio per il rischio positivo piuttosto
che nullo. In particolare, maggiore è il premio per il rischio, maggiore è il
valore dell’opzione. Ad esempio, prendendo in considerazione un premio per
il rischio pari al 5% (µ = 10%, r = 5%) si noti nella figura 3.21 come la
curva che descrive la dinamica del valore dell’opzione si sposta verso l’alto e
raggiunge valore 100. Esiste dunque un valore di α che rende equo il prezzo
dell’opzione. Tale valore, in particolare, è più basso di quello ottenuto in ipotesi
91
considerando un premio per il rischio nullo
79.5
79
valore opzione
78.5
78
77.5
77
76.5
76
75.5
75
0
50
100
150
commisioni α (punti base)
200
Figura 3.20: Valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni α nei casi
di volatilità deterministica e stocastica (premio per il rischio nullo)
105
volatilità stocastica
volatilità deterministica
valore opzione
100
95
90
85
80
75
0
20
40 60 80 100 120 140 160 180 200
92
Mariangela Scorrano
Figura 3.21: Valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni α nei casi
di volatilità deterministica e stocastica (premio per il rischio positivo)
104
volatilità stocastica
volatilità deterministica
102
valore opzione
100
98
96
94
92
90
88
0
50
100
150
200
di volatilità deterministica e si colloca intorno ai 35 punti base. Pertanto,
le stime ottenute utilizzando tale modello a volatilità stocastica forniscono
risultati più realistici dei dati di mercato rispetto a quelle ottenute da Milevsky
e Salisbury impiegando il loro modello a volatilità deterministica.
Nella figura 3.22 si prende in considerazione l’impatto che gli altri parametri
hanno sul valore dell’opzione. Per i casi (a) e (b) si ripetono le considerazioni
qualitative fatte a proposito del modello a volatilità deterministica dato che
l’andamento seguito dal valore dell’opzione Vt è lo stesso (decrescente nel primo
caso, crescente nel secondo). Due parametri che invece compaiono solo nel
modello a volatilità stocastica sono il coefficiente di mean reversion a e la
“volatilità della volatilità” b. Si noti in particolare nei casi (c) e (d) della figura
93
Figura 3.22: Influenza dei parametri sul valore dell’opzione: a = 20, m = 18%,
b = 1.4, G = 7, α = 40 p.b.
103
102
102
100
101
100
valore opzione
valore opzione
98
96
94
99
98
97
96
92
95
90
94
88
0
93
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
(a) Influenza delle commissioni α
4
5
6
7
8
9
10
(b) Influenza dell’ammontare prelevato
G
130
99.4
99.2
120
valore opzione
valore opzione
99
110
100
90
98.8
98.6
98.4
98.2
80
98
70
1
2
3
4
volatilità della volatilità b
5
0
10
20
30
40
coefficiente di mean reversion
50
(c) Influenza della volatilità della vola- (d) Influenza del coefficiente di mean
tilità b
reversion a
94
Mariangela Scorrano
del livello medio di lungo periodo di Y
18
16
14
12
10
8
m = 15%
m = 18%
m = 30%
6
4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
3.22 l’influenza di tali parametri sul valore dell’opzione. Il variance rate b
del processo di volatilità ha un impatto negativo sul valore dell’opzione, nel
senso che aggiungendo variabilità al processo seguito dalla volatilità, il valore
dell’opzione si riduce.
Utilizzando lo stesso procedimento descritto per il modello a volatilità deterministica, sono state generate le coppie (α; G) che rendono equo il prezzo
dell’opzione. L’andamento di tali coppie al variare del livello medio di lungo
periodo di Y è riportato nella figura 3.23.
3.2.2
95
Il modello di Heston
Si ricorda che, nel modello di Heston l’equazione differenziale stocastica che
descrive la dinamica di Yt è:
dYt = a(m − Yt )dt + b
con ρ(Z�t , Wt ) < 0.
�
Yt dZ�t
(3.6)
Il processo seguito dalla volatilità è, invece, descritto dalla seguente rela-
zione:
σt =
�
Yt
(3.7)
Discretizzando l’equazione (3.6) si ottiene:
Ytk = Ytk−1 + a(m − Ytk−1 )∆t + b
�
� k − Z�t )
Ytk (Zt
k−1
per k = 1, . . . , N + 1
(3.8)
dove ∆t = tk − tk−1 .
Ipotizzando che la volatilità segua il processo (3.7), la dinamica del VA
sub-account diventa:


 dVt = (µ − α)Vt dt − Gdt + √Yt Vt dWt
e

 V 0 = v0
Vt := 0
per 0 < t < τ
(3.9)
per τ ≤ t ≤ T
dove τ := inf{t ∈ (0, T ] : Vt = 0}, cioè l’istante in cui il saldo del conto si
annulla per la prima volta.
In termini discreti, questa dinamica può essere scritta come segue:
V t 0 = v0
96
Mariangela Scorrano
Figura 3.24: Valore dell’opzione GMWB al variare delle commissioni α nei due
modelli a volatilità stocastica (premio per il rischio positivo)
105
HESTON
SCOTT (ρ < 0)
100
valore opzione
95
90
85
80
75
70
0
50
100
150
200
e, per k = 1, . . . , N

�

 Vt = Vt (1 + (µ − α)∆t + Yt (Wt − Wt ) − G∆t
k
k−1
k
k
k−1

 Vt := 0
k
per 0 < tk < τ
per τ ≤ tk ≤ T
dove ∆t = tk − tk−1 e Ytk si ricava dalla (3.8).
Considerando un premio per il rischio positivo, in particolare µ = 10% ed
r = 5%, l’andamento seguito dal valore dell’opzione al variare delle commissioni applicate α è descritto nella figura 3.24, dove si mostra anche il confronto
con la traiettoria seguita considerando il modello di Scott generalizzato. Si
noti come, da un punto di vista qualitativo, il valore dell’opzione registri un
andamento analogo, anche se traslato verso il basso.
Le analisi condotte considerando il modello generalizzato di Scott sono state
97
riproposte anche con riferimento al modello di Heston. Le stime ottenute sono
coerenti con quelle mostrate nel caso del modello di Scott generalizzato.
3.3
Validità del modello
Le simulazioni presentate in questo lavoro hanno mostrato come cambia il
valore dell’opzione al variare di alcuni parametri, quali le commissioni applicate
α, l’ammontare periodico prelevato G, il tasso di interesse r, la volatilità σ,
ecc. Esse, tuttavia, sono state ottenute scegliendo, sin dalla generazione del
processo di Wiener, valori ben precisi per il numero di traiettorie utilizzate e
per il numero di capitalizzazioni considerate in ciascun periodo. Si è deciso
quindi di verificare se le scelte fatte nella sperimentazione numerica abbiano
in qualche modo influenzato i risultati ottenuti. A questo scopo di seguito si
valuta l’influenza dei due parametri citati sul valore dell’opzione.
Influenza del numero di traiettorie generate Nella figura 3.25 si può
notare come cambia il valore dell’opzione al variare del numero di traiettorie
generate. Si noti l’andamento decrescente seguito dalla curva: all’aumentare
del numero di traiettorie, il valore dell’opzione si riduce per poi tendere ad
un certo valore limite. Questo spiega il motivo per cui nella maggior parte
delle simulazioni fatte si è scelto di utilizzare un numero di traiettorie pari
a 3.000. Infatti generando più traiettorie, i risultati ottenuti sarebbero stati
approssimativamente gli stessi.
98
Mariangela Scorrano
Figura 3.25: Influenza del numero di traiettorie generate sul valore dell’opzione
100
99
valore opzione
98
97
96
95
94
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000
numero di traiettorie
Il grafico 3.25, in particolare, è stato ottenuto generando una famiglia di
traiettorie (tutte generate a partire dallo stesso “stato iniziale”) e suddividendo
il periodo considerato in 250 intervalli annuali. Facendo variare anche tali
parametri si è ottenuto il grafico 3.26. In esso si osserva come i valori scelti per
le simulazioni corrispondono, in entrambi i casi (a) e (b), alla curva centrale,
quella che dunque fornisce un’approssimazione “migliore”.
Influenza dei periodi di capitalizzazione La figura 3.27 mostra come cambia il valore dell’opzione al variare del numero di sottoperiodi che compongono
l’orizzonte temporale considerato. Si noti come capitalizzando più volte in un
anno, anche il valore dell’opzione sembra aumentare. Si è considerato a questo
punto l’impatto su tale andamento del numero di traiettorie generate e dello
stato iniziale prescelto. Esso è stato proposto nella figura 3.28. Si noti come
99
Figura 3.26: Influenza del numero di traiettorie generate sul valore dell’opzione
106
108
Stato Iniziale = 0
Stato Iniziale = 7000
102
106
valore opzione
valore opzione
104
100
104
102
98
100
96
98
94
500
1500
2500
3500
4500
55006000
(a) Varia lo stato iniziale
M=12
M=24
M=36
M=48
M=60
M=120
M=156
M=264
M=300
96
500
1500
2500
3500
4500
55006000
(b) Varia il numero di capitalizzazioni
Figura 3.27: Influenza dei periodi di capitalizzazione sul valore dell’opzione
103.5
103
valore opzione
102.5
102
101.5
101
100.5
100
24
48
72
96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360
periodi di capitalizzazione in un anno
100
Mariangela Scorrano
Figura 3.28: Influenza dei periodi di capitalizzazione sul valore dell’opzione
104
110
Stato Iniziale=0
Stato Iniziale=4000
Stato Iniziale=8000
Stato Iniziale=12000
Stato Iniziale=16000
103
500 traiettorie
1000 traiettorie
1500 traiettorie
2000 traiettorie
2500 traiettorie
3000 traiettorie
108
102
101
valore opzione
valore opzione
106
100
104
102
99
100
98
98
97
96
36
72
108 144 180 216 252 288
periodi di capitalizzazione in un anno
324
(a) Varia lo stato iniziale
360
96
12
36
60
84 108 132 156 180 204 228 252 276 300 324 348
360
periodi capitalizzazione in un anno
(b) Varia il numero di traiettorie generate
anche in questo caso i valori utilizzati nelle simulazioni (3.000 traiettorie e stato iniziale = 0) siano quelli che approssimano meglio l’andamento del valore
dell’opzione GMWB.
Capitolo 4
Conclusioni
In questa tesi è stato affrontato il problema della valutazione di un prodotto
derivato di tipo assicurativo-finanziario oggigiorno in crescente e rapida diffusione sui mercati, la cosiddetta opzione Guaranteed Minimum Withdrawal
Benefit (GMWB).
Il calcolo del premio equo per questo tipo di contratto richiede l’accurata
modellizzazione dell’andamento del portafoglio di titoli sottostante l’opzione.
In particolare, in un’analisi recentemente condotta da Milevsky & Salisbury
(2006), che rappresenta uno dei lavori di riferimento sulla valutazione delle
GMWB, si assume che il valore di tale portafoglio segua un moto browniano
geometrico a volatilità costante. Tuttavia, moltissimi studi empirici sui prezzi
dei titoli (Fouque et al., 2000) evidenziano come tale ipotesi di volatilità costante sia nettamente lontana dalla realtà. Pertanto in questo lavoro è stata
proposta una generalizzazione del modello di Milevsky e Salisbury in cui la
volatilità viene descritta mediante un processo stocastico a sé stante. In parti101
102
Mariangela Scorrano
colare sono stati utilizzati i modelli a volatilità stocastica di Scott generalizzato
e di Heston, i quali, come universalmente riconosciuto, consentono di ottenere
una descrizione piuttosto accurata dell’andamento reale dei prezzi dei titoli.
In entrambi tali modelli non è possibile prezzare le GMWB mediante una
formula analitica esatta. Di conseguenza, in questa tesi si è deciso di effettuare la valutazione del premio mediante simulazione Monte Carlo (Boyle, 1977).
Questa tecnica viene largamente utilizzata nella normale pratica finanziaria
in quanto consente di ottenere risultati ragionevolmente accurati e, nello stesso tempo, risulta particolarmente semplice da implementare con un normale
calcolatore.
In questo lavoro l’utilizzo di un modello a volatilità stocastica e della simulazione Monte Carlo ha consentito di ottenere stime decisamente realistiche
dei premi assicurativi che vengono osservati sui mercati per questo tipo di
opzione. In particolare, è interessante osservare come il modello proposto si
rivela essere sensibilmente più accurato del modello di Milevsky e Salisbury.
Infatti, quando i valori reali del premi sono compresi tra 30 e 50 punti base,
il modello di Milevsky e Salisbury fornisce stime dei premi comprese tra 73 e
158 punti base, mentre utilizzando i modelli di Scott ed Heston, sono state ottenute valutazioni dei premi intorno ai 35 punti base. Questo miglioramento è
estremamente interessante da un punto di vista pratico e costituisce il risultato
principale ottenuto nella presente tesi.
Inoltre, sempre dal punto di vista applicativo, l’analisi condotta in questo
lavoro ha comportato la creazione di un programma di calcolo ad hoc per la va-
103
lutazione delle GMWB. In particolare è stato realizzato in ambiente MATLAB
un software completamente nuovo (senza ricorrere a subroutine o librerie preesistenti), e questo, a mio modesto modo di vedere, costituisce un interessante
prodotto di questo lavoro in quanto consente una valutazione delle GMWB
pratica e coerente con i dati reali.
Si desiderano infine illustrare brevemente alcuni possibili sviluppi futuri
di questa tesi. Innanzitutto sarebbe interessante estendere ulteriormente il
modello proposto in maniera tale da considerare anche la probabilità di morte
dell’assicurato. Infatti le GMWB sono contratti che a volte prevedono orizzonti
temporali molto lunghi (anche 20-30 anni), pertanto potrebbe essere interessante introdurre tra le variabili esplicative del modello anche il cosiddetto tasso
di mortalità (Boyle & Hardy, 2003). Un ulteriore sviluppo futuro è quello di
estendere la valutazione dell’opzione GMWB anche al caso dinamico in cui gli
importi di denaro esigibili dall’assicurato non sono fissati a priori, ma vengono
decisi al variare del tempo dall’assicurato stesso (Dai et al., 2008). Da ultimo,
sempre in considerazione del fatto che le durate temporali delle GMWB sono
talvolta lunghe potrebbe essere interessante considerare un’ulteriore generalizzazione del modello prevedendo la possibilità di tassi di interesse variabili
nel tempo in maniera deterministica o, eventualmente, descritti mediante un
ulteriore processo stocastico (Benhamou & Gauthier, 2009).
Appendice A
Elementi di calcolo stocastico
A.1
La dinamica dei prezzi dei titoli finanziari:
i processi stocastici
La dinamica dei prezzi dei titoli finanziari ed in particolare dei titoli azionari è
stata oggetto di numerosi studi sia in tempi recenti sia in epoche relativamente lontane in quanto costituisce uno dei fenomeni più difficili da rappresentare
mediante un modello probabilistico. I prezzi dei titoli azionari sono assimilabili
ad una variabile il cui valore cambia nel tempo in modo incerto ed in quanto
tali sono sono regolati da un processo aleatorio. L’utilizzo dei processi stocastici deriva infatti proprio dall’esigenza di descrivere un fenomeno aleatorio in
evoluzione nel tempo.
Si definisce processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie Xt che
dipendono da un parametro t legato agli istanti temporali in cui si osserva
105
106
Mariangela Scorrano
il comportamento delle singole variabili. Poiché la singola variabile casuale
Xt del processo è funzione dello spazio degli eventi Ω, per mettere in risalto
questo aspetto spesso si è soliti indicare un processo stocastico con la notazione
{Xt (ω) : t ∈ T }. Fissato t ∈ T , Xt (ω) è una variabile casuale, mentre
fissato un evento ω ∈ Ω, allora Xt (ω) è una funzione reale della variabile
t e viene chiamata traiettoria o realizzazione del processo stocastico. Ogni
variabile casuale assume valori in un insieme E detto spazio degli stati. I valori
del parametro possono variare in un insieme discreto finito o numerabile, ad
esempio t ∈ A = {0, 1, 2, . . . } o in un insieme continuo, ad esempio t ∈ A =
[0, T ] o t ∈ A = {t ≥ 0}, dando luogo rispettivamente ad un processo aleatorio
a parametro discreto e a parametro continuo. Le variabili aleatorie Xt (ω)
che formano il processo e che vengono osservate all’epoca t possono a loro
volta essere variabili aleatorie discrete o continue. Si parla dunque di processi
stocastici discreti o continui.
I modelli finanziari più utilizzati si basano, in particolare, sull’ipotesi che la
dinamica dei prezzi sia regolata da un processo stocastico continuo a parametro continuo. In realtà i prezzi dei titoli azionari assumono solo valori discreti
(in Italia i prezzi sono multipli di 1 millesimo di euro, nei mercati americani
sono multipli di 1/8 di dollaro) e le variazioni dei prezzi possono essere osservate solo quando i mercati sono aperti. Tuttavia, l’ipotesi che i prezzi dei
titoli azionari siano regolati da un processo aleatorio a parametro e a variabile
aleatoria continua consente di ottenere risultati interessanti sia dal punto di
vista matematico sia da quello finanziario.
107
Il processo di Markov E’ ipotesi molto comune assumere che i prezzi dei
titoli azionari siano regolati da un processo aleatorio di Markov o processo “senza memoria” e ciò coerentemente con la forma debole di efficienza dei mercati.
Quest’ultima proprietà afferma che il prezzo di mercato di un titolo riassume
in ogni istante tutte le informazioni che si riferiscono ai prezzi passati. In effetti, i processi di Markov rappresentano una categoria di processi stocastici
in cui solo il valore corrente della variabile è rilevante per prevedere il futuro.
In altri termini il cammino seguito dalla variabile per giungere al suo valore
attuale non influenza la sua evoluzione futura. Le predizioni dei prezzi futuri
sono naturalmente incerte e devono essere espresse in termini di distribuzioni
di probabilità. La proprietà tipica dei processi di Markov richiede che la distribuzione di probabilità del prezzo in ogni particolare istante futuro dipenda
solo dal prezzo corrente. Formalmente se St indica il prezzo all’epoca t ed H
è l’insieme di valori che la variabile aleatoria St+1 può assumere, allora
P rob(St+1 ∈ H|St , St−1 , St−2 , . . . ) = P rob(St+1 ∈ H|St )
Il processo di Wiener Uno dei più semplici processi aleatori continui a
parametro continuo che presenta le caratteristiche del processo di Markov è il
processo di Wiener (o moto browniano) indicato con W = {Wt , t ≥ 0} (Shreve,
2004). Un processo di Wiener è caratterizzato da traiettorie continue e non
differenziabili ∀t. Formalmente si dice che una variabile W segue un processo
di Wiener se soddisfa le seguenti proprietà:
108
Mariangela Scorrano
PROPRIETÀ 1:
W0 = 0 q. c.
cioè per t = 0 il processo vale zero quasi certamente (con probabilità uno).
PROPRIETÀ 2 : gli incrementi del processo sono indipendenti, cioè fissate
le epoche temporali t1 , t2 , . . . , tn , . . . con 0 < t1 < t2 < · · · < tn < . . . le
variabili aleatorie
Wt1 − Wt0 = Wt1 ; Wt2 − Wt1 , . . . , Wtn − Wtn−1
dette incrementi del processo, sono mutualmente indipendenti.
PROPRIETÀ 3 : gli incrementi sono stazionari:
Wt+h − Wτ +h ∼ Wt − Wτ
con t > τ , h > −τ cioè le variabili aleatorie (Wt − Wτ ) e (Wt+h − Wτ +h ) hanno
la stessa distribuzione di probabilità per ogni traslazione temporale h.
PROPRIETÀ 4 : gli incrementi Wt − Wτ ( con t > τ ) sono distribuiti in
modo normale con
�
�
E Wt − Wτ = 0
�
�
V ar Wt − Wτ = t − τ
La scelta di incrementi con media nulla e varianza uguale a (t − τ ) è propria
dei processi di Wiener standardizzati o base. La variazione ∆W in un piccolo
intervallo ∆t si può pertanto scrivere come:
√
∆W = ε ∆t
(A.1)
109
dove ε è un’estrazione casuale da una normale standardizzata, ϕ(0, 1).
Parlando di processi stocastici a tempo continuo è bene passare dalle variazioni piccole a quelle infinitesimali. In effetti il processo di Wiener base è
il limite per ∆t → 0 del processo descritto per W . L’equazione A.1 diventa
pertanto:
√
dWt = ε dt
(A.2)
Tuttavia un processo di Wiener standard non descrive in maniera adeguata
le dinamiche tipiche dei prezzi dei titoli finanziari. Per la rappresentazione della
dinamica dei prezzi sembra più indicato il processo di Wiener generalizzato,
indicato con Zt che, oltre a verificare le proprietà 1 - 3, ha incrementi (Zt −Zτ ),
con t > τ , distribuiti in modo normale con media a(t − τ ) e varianza b2 (t − τ ),
con a, b ∈ R cioè
�
�
Zt − Zτ ∼ N a(t − τ ), b2 (t − τ )
E’ possibile verificare che un processo di Wiener generalizzato si può scrivere
mediante un processo di Wiener standardizzato come segue:
Zt − Zτ = a(t − τ ) + b(Wt − Wτ )
(A.3)
e che per Zt valgono le proprietà di indipendenza, stazionarietà e normalità
degli incrementi.
Considerando due istanti temporali t e τ molto “vicini” fra di loro in modo
da poter scrivere con una notazione tradizionale t − τ = dt , l’equazione A.3
diviene
dZt = adt + bdWt
(A.4)
110
Mariangela Scorrano
Il processo A.4 può essere utilizzato per spiegare adeguatamente l’evoluzione
di fenomeni economici e finanziari che cambiano nel tempo in base a un tasso
lineare e che sono caratterizzati da fonti di aleatorietà crescenti col passare del
tempo. Interpretando tale equazione differenziale stocastica come l’equazione
che descrive la dinamica del prezzo di titoli finanziari, si può affermare che
la variazione infinitesima del prezzo dZt è spiegata da due componenti: la
prima di natura certa e proporzionale all’incremento temporale dt, la seconda
aleatoria e proporzionale a un processo di Wiener standard. I parametri a e
b sono detti rispettivamente (coefficienti di) deriva e diffusione (drift rate e
variance rate). Si osservi che se si tralascia il termine bdWt , cioè se il variance
rate è pari a zero, l’equazione A.4 perde il carattere di aleatorietà e diviene
dZt = adt
cioè
dZt
=a
dt
che può essere risolta, ottenendo
�
t
1 dZt =
0
�
t
adt
0
�t
�t
Zt �0 = at�0
Zt − Z0 = at
(A.5)
111
221
Model of the Behavior of Stock Prices
Figura A.1: Esempio di processo di Wiener generalizzato (a= 0.3, b=1.5)
t
Value of
variable, x
Generalized
Wiener process
&=adt+bdz
/
Wiener process, dz
Time
!
Figure I I .2 Generalized Wiener process: a = 0.3, b = 1.5
ossia
normal distribution with
mean of Sx = a St
standard deviation of Sx = b&t
Ztvariance
= Z0of+Sxat
= b2 St
(A.6)
Similar arguments to those given for a Wiener process show that the change in the value of x in any
time interval T is normally distributed with
dove con Z0 si è indicato il punto iniziale della traiettoria che descrive
mean of change in x = aT
la
dinamica del processo. Pertanto,
se ofsichange
tralascia
standard deviation
in x = b la
f i componente aleatoria del
variance of change in x = b2 T
processo, in un intervallo di tempo [0, T ] il processo subisce una variazione
Thus, the generalized Wiener process given in equation (11.3) has an expected drift rate
(i.e., average drift per unit of time) of a and a variance rate (i.e., variance per unit of time)
deterministica
misurata
da11.2.
aT . Il termine bdWt è da intendersi come
in Figure
of b2. It is illustrated
un
Example 11.2 Consider the situation where the cash position of a company, measured in
disturbo (rumore
o noise),
ossia come
una with
variabilità
aggiuntiva
al sentiero
thousands of dollars,
follows a generalized
Wiener process
a drift of 20 per
year and a variance
rate of 900 per year. Initially, the cash position is 50. At the end of one year, the cash position will
a normal
distribution
a mean
of 70 and a standard
deviation of a,
or 30.
the end
of
seguito dahave
Z.
L’entità
diwith
tale
variabilità
è proporzionale
adAt un
processo
di
six months, it will have a normal distribution with a mean of 60 and a standard deviation of
3 0 m = 21.21. Our uncertainty about the cash position at some time in the future, as measured by
its standard deviation,
increases as the
root of how
far ahead we
are looking. Note that the
Wiener standard.
Si consideri
al square
riguardo
la figura
A.1.
cash position can become negative (we can interpret this as a situation where the company is
borrowing funds).
Il processo di Itô Si può ora definire un altro tipo di processo stocastico,
noto come processo di Itô, indicato con X = Xt , t ≥ 0 . Si tratta di un processo
di Wiener generalizzato in cui i parametri a e b non sono costanti, ma sono
funzioni della variabile aleatoria Xt e del tempo t . Formalmente, un processo
112
Mariangela Scorrano
di Itô si può scrivere come segue:
dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dWt
e quindi come
Xt = X0 +
�
t
a(Xs , s)ds +
0
�
t
b(Xs , s)dWs
0
dove il primo integrale è un integrale tradizionale mentre il secondo è un
integrale stocastico, noto come integrale di Itô.
Con riferimento all’analisi dell’andamento dei prezzi dei titoli azionari molto spesso si assume che tale andamento St sia descritto da un processo di Itô.
In particolare si assume che St segua la seguente dinamica:
dSt = a(St , t)dt + b(St , t)dWt
(A.7)
con S0 > 0 prezzo noto. Tale processo si può riscrivere come
St = S0 +
�
t
a(Su , u)du +
0
�
t
b(Su , u)dWu
0
espressione che evidenzia come il prezzo St dei titoli azionari all’istante t sia
formato da 3 componenti: il prezzo iniziale S0 , la risultante di un insieme di
elementi certi in [0, t] e la risultante di un complesso di elementi aleatori manifestatisi in [0, t]. In effetti, per i prezzi azionari la semplice ipotesi di deriva
costante a(St , t) = k, k ∈ R non risulta essere adeguata. Essa trascura infatti
un aspetto chiave dei prezzi azionari: il tasso di rendimento atteso dagli investitori non dipende dal prezzo dell’azione. Gli investitori, infatti, richiedono
un certo tasso di rendimento atteso qualunque sia il prezzo dell’azione. Più
113
razionale sembra pertanto l’ipotesi che il tasso di deriva atteso in rapporto al
prezzo dell’azione sia costante, ossia:
a(St , t)
= µ, µ ∈ R
St
Con tale ipotesi, supponendo assente la componente aleatoria (b = 0),
l’equazione A.7 diventa:
dSt = µSt dt
cioè
dSt
= µdt
St
di modo che
�
t
0
1
dSt =
St
�
t
µdt
0
�t
�t
lnSt �0 = µt�0
lnSt − lnS0 = µt
ln(
St
) = µt
S0
da cui si ottiene
St = S0 eµt
(A.8)
L’equazione A.8 evidenzia che in assenza di aleatorietà, se si ipotizza una deriva uguale a µSt , il prezzo del titolo cresce in base ad un tasso istantaneo µ per
unità di tempo. In realtà il coefficiente di diffusione non è nullo. Un’ipotesi
114
Mariangela Scorrano
ragionevole e ampiamente accettata è che in un breve intervallo di tempo (da
t a t + ∆t) l’incremento di varianza sia proporzionale (con fattore di proporzionalità σ 2 ) al quadrato del prezzo e all’ampiezza dell’incremento temporale,
sia cioè σ 2 St2 ∆t. In altri termini si suppone che l’incertezza sui rendimenti
relativi ∆St /St sia la stessa (e uguale a σ 2 ∆t ), indipendentemente dai prezzi
del titolo.
Le argomentazioni precedenti suggeriscono che il prezzo di un titolo azionario può essere rappresentato da un processo di Itô con deriva µSt e diffusione
σ 2 St2 , noto anche con il nome di moto browniano geometrico
(A.9)
che si può riscrivere come segue
dSt
= µdt + σdWt
St
(A.10)
equazione che caratterizza la dinamica dei rendimenti relativi dei prezzi. L’equazione differenziale A.10 rappresenta il modello più utilizzato per l’analisi del
comportamento dei prezzi dei titoli azionari. Il coefficiente σ è abitualmente
chiamato volatilità del prezzo del titolo azionario, il coefficiente µ rappresenta il tasso di rendimento atteso. L’equazione A.10 con la condizione iniziale
S0 > 0 ha come soluzione
St = S0 e(µ−σ
2 /2)t+σW
t
(A.11)
La versione discreta dell’equazione A.10, considerando anche la definizione di
processo di Wiener, è
√
∆S
= µ∆t + σε ∆t
S
115
dove con ε si è indicata una variabile aleatoria normale standardizzata, cioè
ε ∼ N (0, 1). Si ha pertanto
�
�
∆S
∼ N µ∆t, σ 2 ∆t
S
Si osservi che tali relazioni sono valide solo approssimativamente, e che l’errore
commesso utilizzando tali relazioni è tanto più grande quanto più ampio è
l’intervallo temporale ∆t considerato.
Un importante risultato che sfrutta il processo stocastico di Itô è dato dal
noto lemma di Itô. Si procede di seguito ad enunciarne il contenuto (Wilmott
et al., 1993).
Sia X una variabile stocastica che segue un processo di Itô con drift rate
a(X, t) e variance rate b(X, t):
dXt = a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dWt
Sia inoltre Ft = F (X, t) una funzione regolare del processo X e di una variabile
deterministica t. In particolare, si ipotizza che la funzione F sia differenziabile
con continuità due volte rispetto a X e una volta rispetto a t.
In base al lemma di Itô, anche F segue un processo stocastico di Itô con
tasso di deriva pari a:
∂F
∂F
1 ∂ 2F 2
a+
+
b
∂X
∂t
2 ∂X 2
e tasso di varianza pari a:
� ∂F �2 2
b
∂X
116
Mariangela Scorrano
Tale risultato può essere considerato come un’estensione di risultati noti
del calcolo differenziale. Infatti, il differenziale totale di F è dato da:
dF =
∂F
∂F
1 � ∂ 2F
∂ 2F
∂ 2F 2�
2
dX +
dt +
dX
+
2
dXdt
+
dt
∂X
∂t
2 ∂X 2
∂X∂t
∂t2
dove lo sviluppo di Taylor è stato arrestato al secondo ordine. Questa espressione, ricordando che X segue un processo stocastico di Itô, può essere semplificata come segue:
� ∂F
∂F
b2 ∂ 2 F �
∂F
dF = a
+
+
dt + b
dW
2
∂X
∂t
2 ∂X
∂X
Un’applicazione di questo lemma consente di determinare la dinamica del prezzo di un titolo azionario. In particolare permette di dimostrare che il prezzo
di un titolo azionario, indicato con St , segue una distribuzione di tipo lognormale. A tal proposito si consideri la variabile aleatoria Ft = logSt . La
dinamica del prezzo St è descritta da un moto browniano geometrico (processo
di Itô con a = µSt e con b = σSt ). Allora, per la funzione F (St , t), che dipende
solo dal prezzo del titolo e dal tempo, in virtù del lemma precedente, si ha:
dFt =
Dato che
� ∂F
∂F
1 ∂ 2F 2 2�
∂F
µS +
+
S σ dt +
σSdWt
2
∂S
∂t
2 ∂S
∂S
∂F
1
= ;
∂S
S
∂ 2F
1
=
−
;
∂S 2
S2
∂F
=0
∂t
l’equazione A.12 diventa
dFt =
ossia
�1
�
1
1
1
µS + (− 2 )S 2 σ 2 dt + σSdWt
S
2 S
S
�
σ2 �
dFt = µ −
dt + σdWt
2
(A.12)
117
Poiché µ e σ sono costanti, quest’ultima equazione indica che Ft segue un
processo di Wiener generalizzato con drift rate (µ − σ 2 ) e variance rate σ 2 .
Pertanto il cambiamento di Ft tra l’epoca corrente t e un certo istante futuro
T è distribuito in modo normale con media
(µ −
σ2
)(T − t)
2
e varianza
σ 2 (T − t)
Si osservi che Ft = logSt e FT = logST . La variazione FT − Ft nell’intervallo
(T − t) risulta pertanto
logST − logSt
e quindi
cioè
�
�
σ2
logST − logSt ∼ N (µ − )(T − t), σ 2 (T − t)
2
�
�
σ2
logST ∼ N (logSt + µ − )(T − t), σ 2 (T − t)
2
Poiché logST è distribuito in modo normale, si può affermare che ST , cioè il
prezzo del titolo azionario all’epoca T , segue una distribuzione log-normale.
�
Inoltre, si osservi che lo scarto quadratico medio di logST , pari a σ (T − t), è
�
proporzionale a (T − t) e quindi, se si misura l’incertezza del logaritmo del
prezzo futuro del titolo con lo scarto quadratico medio, tale incertezza risulta
proporzionale alla radice quadrata dell’ampiezza dell’intervallo di proiezione
in avanti.
Appendice B
Metodo di Monte Carlo
B.1
Introduzione
I metodi di simulazione Monte Carlo si sono rivelati uno strumento efficace e
computazionalmente flessibile per la risoluzione di problematiche di carattere
finanziario. Molti modelli studiati ed applicati in ambito finanziario non permettono di ricavare soluzioni in forma chiusa e quindi richiedono l’utilizzo di
tecniche di tipo numerico per ottenere una soluzione approssimata accettabile.
In particolare, negli ultimi anni, data anche la recente complessità computazionale richiesta, si è registrato un aumento dello studio dei metodi numerici.
Tra questi un ruolo di grande importanza è ricoperto dai metodi di simulazione
Monte Carlo.
La denominazione Monte Carlo fu coniata all’inizio della seconda guerra
mondiale da J. Von Neumann e da S. Ulam mentre lavoravano al progetto
Manhattan presso il centro di ricerche nucleari di Los Alamos. Essi si ispi119
120
Mariangela Scorrano
rarono, nella scelta del nome Monte Carlo, al celebre principato monegasco
e all’aleatorietà dei risultati che si possono riscontrare presso la sua casa da
gioco. I due ricercatori utilizzarono l’espediente di sostituire i parametri delle
equazioni che descrivono la dinamica delle esplosioni nucleari con un insieme
di numeri casuali. In tal modo era possibile ottenere le soluzioni delle equazioni senza dover inferire i parametri da dati sperimentali. Infatti, il numero di
esperimenti necessari per dedurre i parametri dall’osservazione del fenomeno
sarebbe stato troppo elevato.
B.2
Metodi Monte Carlo e valutazione di opzioni finanziarie
Una delle principali applicazioni del metodo di Monte Carlo consiste nella valutazione delle opzioni finanziarie proprio per il ruolo di fondamentale importanza che esse rivestono nella moderna teoria della finanza. Tale applicazione
è stata proposta per la prima volta in Boyle (1977). Per tale metodo di valutazione di fondamentale importanza è la procedura utilizzata per generare le
traiettorie del prezzo S del bene sottostante l’opzione. Le traiettorie vengono
costruite in base all’ipotesi di poter operare in un’economia neutrale al rischio.
Se è lecito supporre che gli investitori siano neutrali al rischio, i calcoli connessi
con la valutazione dei titoli derivati si semplificano enormemente in quanto il
tasso di rendimento atteso di ogni titolo coincide con il tasso di interesse per
le attività non rischiose. Inoltre, in un’economia neutrale al rischio il valore
121
atteso all’epoca t < T di un flusso di cassa aleatorio disponibile all’epoca T si
può ottenere semplicemente attualizzando il valore medio del flusso di cassa al
tasso di interesse privo di rischio.
Nel caso di un’opzione europea, i metodi Monte Carlo prevedono dunque i
seguenti passi:
• generazione un numero elevato M di sentieri per i prezzi del sottostante
a scadenza
Stk+1 = St e(r−σ
2 /2)(t
k+1 −tk )+σ
√
(tk+1 −tk )εk+1
con k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 e nella quale
– tk+1 − tk rappresenta in anni l’ampiezza del (k + 1) − simo intervallo
della simulazione
– σ rappresenta la volatilità annua del prezzo del titolo
– εk+1 è un numero casuale estratto da una distribuzione normale
standardizzata
• calcolo del payoff
• attualizzazione della media dei payoff ottenuti
L’ingrediente base di tali metodi è perciò ε. E’ chiaro quindi che molti degli
sforzi saranno concentrati nell’individuare delle tecniche che permettano di
generare tali numeri casuali secondo opportuni criteri. Si possono individuare
delle tecniche che permettono l’estrazione direttamente dalla distribuzione di
interesse oppure utilizzare tecniche generali che considerano numeri casuali
generati nell’intervallo unitario che vengono poi opportunamente trasformati.
122
Mariangela Scorrano
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valutazione finanziaria in ipotesi di volatilita` stocastica della

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