Gli errori di misura

Interventi didattici integrativi
Appunti di Fisica
III
1
Capitolo 3
Errori di misura
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
L'incertezza nella misura
Le misure dirette
Serie di misure dirette
Le misure indirette
Procedimento probabilistico
3.1 L'incertezza nella misura
Abbiamo già detto che misurare una grandezza fisica vuol dire
confrontare la grandezza da misurare con una unità di misura
prescelta e ad essa omogenea.
Nell'effettuare la misura è evidente che l'unità di misura presa
come campione non sempre è contenuta un numero di volte intero
nella grandezza da misurare, pertanto è necessario suddividere l'unità
di misura in sottomultipli. Ma anche con l'uso dei sottomultipli, la
grandezza da misurare non coincide mai perfettamente con una delle
suddivisioni relative al nuovo sottomultiplo.
Questo discorso può essere ripetuto all'infinito, e pertanto risulta
chiaro che, nonostante si prendano tutte le precauzioni possibili nello
scegliere lo strumento di misura più appropriato e nell'effettuare la
misura, non potremo mai ottenere una misura perfetta.
Da quanto detto, non essendo possibile disporre di strumenti e
metodi di misura perfetti, risulta chiaro che nel misurare una
grandezza fisica si commette sempre un errore.
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III
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Errori di misura
Le proprietà caratteristiche di uno strumento di misura sono:
• la sensibilità (S), che corrisponde alla più piccola misura che lo
strumento di misura può apprezzare, pertanto rappresenta la
minima grandezza misurabile dallo strumento;
• la portata (P) o massimo valore misurabile con un'unica
operazione di misura;
• il fondo scala (FS), numero di divisioni in cui è suddivisa la
scala graduata dello strumento di misura;
• la prontezza rappresenta la rapidità con cui lo strumento riesce
a compiere più misure successive della stessa grandezza fisica;
• la classe di precisione (CP), espressa in percentuale,
indispensabile per valutare il massimo errore assoluto associato
ad una operazione di misura. Essa è calcolabile tramite il
rapporto tra l’errore massimo commesso in una operazione di
misura e il valore della portata dello strumento, tutto
moltiplicato per cento:
(3.1)

C P= a⋅100
P
La classe di precisione si utilizza soprattutto negli strumenti tarati,
come nel caso dell’amperometro e del voltmetro.
Ciascuno strumento ha una sua classe di precisione CP il cui valore
viene indicato con una percentuale, ad esempio:
0,5%
1,0%
1,5%
2%
Nota la classe di precisione CP dello strumento di misura utilizzato,
è possibile calcolare il valore dell'errore assoluto massimo che è
possibile commettere utilizzando quello strumento, in corrispondenza
del suo fondo scala FS:
εa=
P ⋅ CP
100
(3.2)
Esempio: Nota la classe di precisione di un voltmetro CP = 1,5% e il suo
valore di fondo scala P = 200 (V), è possibile ricavare l’errore
assoluto dello strumento:
εa=
P⋅Cp 200⋅1,5
=
=3
100
100
V 
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III
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Gli errori di misura sono classificabili in due tipi di errori:
• accidentali;
• sistematici.
Gli errori accidentali sono tutti quelli dovuti ad eventi casuali.
Rientrano in questa categoria gli errori dovuti a:
• errata collimazione della linea di mira di uno strumento ottico
con il punto prefissato;
• errore di parallasse nella lettura di una scala graduata, dovuto
all'errata posizione dell'osservatore, allorché l'indice dello
strumento utilizzato non si proietta ortogonalmente al piano
della sua scala, come nel caso di un voltmetro analogico;
• errore di traguardo, in tutti quei casi in cui occorre allineare
due punti di riferimento, o un punto e una retta, per individuare
una linea o un piano di mira di uno strumento ottico;
• variazioni di temperatura e pressione ambiente di cui
l'operatore non tiene conto e che possono invalidare la taratura
dello strumento di misura.
In definitiva si tratta di errori commessi dall'operatore che
effettua la misura e che, per la loro natura del tutto casuale, hanno
valori incontrollabili sia per eccesso che per difetto.
Questo tipo di errore può essere ridotto, ma non è eliminabile.
Infatti possiamo ridurlo prestando maggiore attenzione nelle
operazioni di misura, ripetendo più volte la misura e andando a
valutare il valore più probabile tra tutte le misure effettuate.
Gli errori sistematici sono errori intrinseci allo strumento e al
metodo di misura utilizzato. Essi dipendono dalla sensibilità dello
strumento ed hanno la caratteristica di essere sempre dello steso
segno, cioè sempre per eccesso o sempre per difetto, e pertanto, se
conosciuti, possono essere ridotti ma non eliminati del tutto.
L’operazione di misura di una grandezza fisica può essere
effettuata utilizzando due possibili metodi di misura:
• il metodo diretto;
• il metodo indiretto.
Il metodo diretto consiste nell’effettuare un confronto diretto
della grandezza fisica da misurare, con un’unità di misura ad essa
omogenea.
Il metodo indiretto si serve di operazioni matematiche per
determinare il valore della grandezza fisica, una volta che sono state
misurate le grandezze da cui essa dipende.
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Errori di misura
3.2 Le misure dirette
Effettuare una misura diretta consiste nel mettere a confronto
direttamente la grandezza da misurare A con l’unità di misura u
prescelta, e quindi nel valutare quante volte tale unità di misura entra
nella grandezza da misurare.
È questo il caso in cui andiamo ad effettuare una misura di
lunghezza tramite un righello su cui è riportata più volte l’unità di
misura: il millimetro.
In questo caso la misura cadrà generalmente tra due divisioni
successive della scala graduata e il valore più attendibile è quello più
vicino, scelto tra i due possibili valori contigui.
La riga da disegno è un esempio di strumento tarato in millimetri,
utilizzabile per effettuare una misura diretta di lunghezza; il calibro
ventesimale è un esempio di strumento tarato in ventesimi di
millimetro, utilizzabile per effettuare una misura diretta di spessore di
un oggetto.
Esempio: la misura di lunghezza L di un segmento, effettuata con una
sola lettura tramite una riga da disegno, cade tra i due valori
di 254 mm e 255 mm.
In questo caso scegliamo, come più attendibile, il valore l
più vicino a quello da misurare, ad esempio il valore:
l = 254 mm
Per definire compiutamente la misura di una grandezza fisica, oltre
a definire il valore più probabile della misura, occorre specificare
anche l'incertezza che accompagna la misura stessa, vale a dire
l'errore commesso.
Normalmente si distinguono tre tipi di errore:
• l’errore assoluto ε a ;
• l’errore relativo ε r ;
• l’errore relativo percentuale ε r % .
In una misura diretta, effettuata con una sola lettura dello
strumento di misura, l’errore assoluto εa è sempre uguale alla
sensibilità S dello strumento e può essere sia in eccesso che in difetto.
Pertanto, nel caso dell’esempio precedente in cui lo strumento
utilizzato era la riga da disegno la cui sensibilità è S = 1 mm, l’errore
assoluto è espresso con la seguente notazione:
ε a = ± 1 mm
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A questo punto possiamo esprimere la misura L, in modo più
completo, affiancando al valore misurato l il suo errore assoluto εa e
specificando sempre l’unità di misura u che è stata utilizzata:
L= l±ε a  u
(3.3)
Quindi, nel nostro caso:
L= 254±1  mm
L’errore assoluto non ci dice molto sulla precisione della misura
effettuata. In particolare, confrontando due misure diverse, effettuate
con due strumenti differenti, non possiamo valutare a priori quale
delle due sia più precisa. Per poter effettuare un confronto del genere
è necessario ricorrere al calcolo dell’errore relativo percentuale.
L'errore relativo è l'errore commesso nell'effettuare la misura,
rapportato all'unità di misura utilizzata.
Esso è pari al rapporto tra l'errore assoluto ε a e il valore l della
misura, ed è adimensionale, quindi è espresso tramite un numero
privo di unità di misura:
ε
(3.4)
εr= a
l
Esempio: sempre nel caso dell'esempio precedente, conoscendo il
valore misurato l = 254 mm e il valore dell'errore assoluto
ε a = ± 1 mm, possiamo ricavare l'errore relativo:
ε
1 mm
Er = a =
= 0,004
254 mm
l
L'errore relativo percentuale è l'errore commesso rapportato a
100 volte l’unità di misura utilizzata.
Esso si calcola moltiplicando per 100 il valore dell'errore relativo:
E r % = E r · 100
(3.5)
Esempio: noto l'errore relativo ε r = 0,004 segue che l'errore relativo
percentuale è pari a:
ε r % = ε r · 100 = 0,004 · 100 = 0,4 %
● In conclusione il risultato della misura deve essere espresso
specificando il valore misurato, l’errore assoluto, l'unità di
misura e l’errore relativo percentuale:

L= l ± ε a  u ;
εr%
(3.6)
Quindi, nel caso del nostro esempio, il risultato della misura è:
L= 254±1  mm ; ε r % =0,4 %
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Errori di misura
Una misura diretta può essere effettuata anche tramite l’utilizzo di
uno strumento tarato, intendendo con questo termine uno strumento
che, sulla base di leggi fisiche note, è in grado di permetterci di
leggere direttamente il valore della misura su una scala tarata.
È quello che facciamo quando andiamo ad effettuare una misura di
temperatura utilizzando un termometro. Esso infatti ci permette di
effettuare la lettura diretta della misura della grandezza in esame su
una scala graduata, tarata dal costruttore dello strumento.
In questo caso la sensibilità S dello strumento è data dal rapporto
tra l'ampiezza di un generico intervallo di misura Δx sulla scala
graduata e il numero di divisioni n in cui tale intervallo è suddiviso:

S=
∆x
n
(3.7)
3.3 Serie di misure dirette
Abbiamo già detto che gli errori, sia accidentali che sistematici,
non possono essere eliminati completamente, e che pertanto non ha
alcun senso ricercare il valore esatto di una misura, ma solo il valore
più attendibile.
Al fine di ridurre gli errori sistematici è conveniente utilizzare
strumenti di misura migliori, più sensibili e precisi. Ma così facendo,
man mano che aumenta la sensibilità dello strumento, gli errori
accidentali diventano predominanti rispetto a quelli sistematici,
tanto che, ripetendo più volte la stessa misura, otteniamo sempre
valori leggermente diversi. Questo è il caso in cui, ad esempio,
andiamo a misurare manualmente il periodo di oscillazione di un
pendolo utilizzando un cronometro centesimale. Ciascuna misura sarà
leggermente diversa dalle altre, per cui occorre individuare un metodo
che ci permetta di valutare il valore più attendibile della misura e il
suo errore assoluto.
In tutti i casi in cui gli errori accidentali sono predominanti, per
ridurre al minimo l’errore accidentale è conveniente ripetere più
volte la stessa misura. In questo modo possiamo determinare
facilmente il valore più attendibile della misura.
Il valore più attendibile di una serie di misure è quello che ha una
maggiore probabilità di avvicinarsi al valore vero della grandezza da
misurare, e si ottiene facendo la media aritmetica delle singole
misure:

x =
x1 + x 2 + ..... + x n
n
(3.8)
in cui xn è il valore n-esimo delle misure effettuate e n è il numero
totale di misure.
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La (3.8) può essere scritta in modo più sintetico utilizzando il simbolo
di sommatoria ∑ , la lettera greca sigma:
n
x =
∑
i=1
xi
(3.9)
n
in cui xi è il valore di una generica misura effettuata e il simbolo di
sommatoria si legge: somma per i che va da 1 ad n di tutte le misure xi
effettuate.
Esempio: misurando per cinque volte la durata dell'oscillazione di un
pendolo tramite un cronometro centesimale (S = 0,01 s) si
sono ottenuti i seguenti valori:
x1 = 0,91 (s) ; x2 = 0,90 (s) ; x3 = 0,93 (s) ; x4 = 0.89 (s);
x5 = 0,92 (s).
Il valore più attendibile della grandezza misurata è pari al
valore medio tra tutti i valori ottenuti:
x1 + x2 + .... + x n
0 , 91 + 0 , 90 + 0 , 93 + 0 , 89 + 0 , 92
=
=
x =
5
n
= 0,91 (s)
Quando la misura viene ripetuta più volte, non possiamo prendere
come errore assoluto la sensibilità dello strumento di misura, come
nel caso di una singola misura diretta. Occorre invece procedere al
calcolo della semidispersione massima.
La semidispersione massima Δx, di una misura ripetuta, indica
l'intervallo entro cui oscilla la misura. Essa è definita come la
semidifferenza tra il valore massimo e quello minimo misurato:

∆
x
=
x
max
- x
2
min
(3.10)
Esempio: nell'esempio precedente, la misura massima è x3 = 0,93 (s) e
quella minima x4 = 0.89 (s), pertanto la semidispersione
massima è:
x
- x
min = 0,93 − 0,89 = 0,02 (s)
 x = max
2
2
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Errori di misura
Il valore dell’errore assoluto εa da prendere in considerazione è
sempre il valore più grande tra la sensibilità S dello strumento e la
semidispersione massima calcolata ∆ x :

ε a = max
{
S
(3.11)
Δx
Nel nostro caso, essendo S = 0,01 (s) e Δx = 0,02 (s), avremo che:
ε a =0,02  s
Il risultato della misura va sempre scritto specificando il valore
medio, l'errore assoluto, l'unità di misura u utilizzata e, infine,
l’errore relativo percentuale:
x =  x ±  a  u ;
r %
(3.12)
Pertanto, nel caso dell'esempio precedente, il risultato della
misura è il seguente:
t = 0,91 ± 0,02  s ;  r % =2 %
Nel caso in cui lo strumento di misura sia poco sensibile, l’errore
accidentale diventa trascurabile rispetto all’errore sistematico e la
misura deve essere effettuata una sola volta. Infatti ripetendo più volte
la stessa misura otterremmo sempre lo stesso risultato.
Non sempre è possibile effettuare la misura diretta di una
grandezza fisica, ad esempio perché non si dispone di uno strumento
di misura adeguato per effettuare la misura diretta. In questi casi si
ricorre al metodo indiretto. Il metodo indiretto (o misura indiretta)
utilizza un’operazione matematica per ottenere la misura della
grandezza fisica incognita.
Nel prossimo paragrafo vedremo come procedere.
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3.4 Le misure indirette
Fin qui abbiamo studiato i metodi di valutazione dell'errore nelle
misure dirette, cioè in quei casi in cui la grandezza in esame può
essere misurata direttamente.
Il metodo indiretto, o la misura indiretta di una grandezza fisica,
si applica quando la misura effettiva della grandezza in esame viene
determinata tramite la misura di altre grandezze ad essa collegate.
Questo metodo si utilizza quando non si dispone di uno strumento
di misura adeguato per effettuare una misura diretta. Pertanto, si è
costretti ad utilizzare un’operazione matematica per ottenere la
misura della grandezza fisica incognita.
Esempio: volendo misurare l’area della superficie di un rettangolo
dobbiamo prima misurare separatamente la base b e
l’altezza h con il metodo diretto, quindi occorre calcolare
l’area con il metodo indiretto, utilizzano la formula
matematica per il calcolo delle aree: A = b · h.
Si distinguono due casi:
• misura di una grandezza fisica derivata da operazioni di somma
e di differenza di più misure;
• misura di una grandezza fisica derivata dal prodotto e dal
rapporto di più misure.
 Nel caso di misure di grandezze fisiche derivate da somma o
differenza, l'errore assoluto sulla grandezza derivata è pari alla
somma degli errori assoluti commessi nella misura delle singole
grandezze.
ε a Tot =ε a Aε a B ...ε a N

(3.13)
Esempio: se un rettangolo ha base b = (2,56 ± 0,01) (m) e altezza
h = (1, 25 ± 0,01) (m) , il suo semiperimetro vale:
P
= ( 2,56 + 1,25 ) ± ( 0,01+0,01 ) = (3,81 ± 0,02) (m)
2
 Nel caso della misura di una grandezza fisica derivata dal
prodotto, dal rapporto o da elevamento a potenza di più misure,
l'errore relativo della grandezza derivata è pari alla somma degli
errori relativi commessi sulle singole grandezze misurate:
ε r Tot =ε r A ε r B...ε r N

(3.14)
In questo caso, una volta calcolato l'errore relativo totale, per
calcolare l'errore assoluto basta moltiplicare l'errore relativo così
calcolato per il valore medio V m della misura indiretta:
ε a Tot =ε r Tot⋅V m

(3.15)
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Errori di misura
Esempio: vogliamo calcolare l'area A del precedente rettangolo, di
base b = (2,56 ± 0,01) (m) e altezza h = (1, 25 ± 0,01) (m).
La sua area vale:
A = b · h = 2,56 · 1,25 = 3,20 (m2)
con un errore relativo:
E r = E rb + E rh =
0 , 01
2 , 56
0 , 01
+ 1, 25 = 0,004 + 0,008 = 0,012
e un E r% = 1,2 %
Quindi ricaviamo l'errore assoluto:
E a = E r · A = 0,012 · 3,20 = 0,04 (m2 )
Pertanto la misura dell'area del rettangolo è la seguente:
A = (3,20 ± 0,04) ( m2 )
con un E r % = 1,2 %.
3.5 Procedimento probabilistico
Per una valutazione più accurata della bontà della misura
effettuata, conviene ricorrere ad un metodo di valutazione degli errori
che si basa sull'analisi probabilistica dei valori misurati.
Riprendiamo l'esempio della misura del tempo impiegato da un
pendolo per effettuare un'oscillazione completa.
Disponendo solo di un cronometro manuale e volendo eseguire una
misura sufficientemente accurata, abbiamo già accennato al fatto che
non ci possiamo accontentare di una sola misura, bensì sarà opportuno
ripetere la misura più volte.
Però ogni volta che andiamo ad effettuare una nuova misura, per
effetto degli inevitabili errori accidentali e sistematici, otteniamo dei
valori che possono essere leggermente diversi da quelli precedenti.
Allora, in casi come questo, per valutare se le misure effettuate
sono più o meno attendibili e per il calcolo della stima migliore della
misura, si ricorre ad alcune nozioni fondamentali del calcolo delle
probabilità.
Innanzitutto riportiamo in una tabella tutti i valori misurati,
ponendo nella prima colonna i tempi espressi in secondi e nella
seconda colonna la frequenza, cioè quante volte la stessa misura si è
ripetuta.
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Misura
t (s)
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Frequenza
f
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
1
2
4
7
6
3
1
Quindi riportiamo i valori delle misure sull'asse delle ascisse di un
istogramma, o grafico a barre, mentre sull'asse delle ordinate
riportiamo i valori della frequenza con cui ciascuna misura si è
ripetuta; vedi figura 3.1. Così facendo otteniamo un grafico in cui
l'altezza delle barre, o colonne, è proporzionale alla frequenza con cui
è stato misurato ciascun valore.
Figura 3.1 Istogramma delle frequenze.
Osservando il diagramma possiamo notare come i picchi delle
barre si dispongano a formare una particolare curva a campana.
In questo caso possiamo dire che i dati misurati si dispongono su
una curva normale di distribuzione o curva di Gauss.
Per analizzare i dati raccolti è conveniente calcolare i valori delle
misure di tendenza centrale e la misura della dispersione.
Le misure di tendenza centrale sono:
• la moda;
• la mediana;
• la media.
La moda corrisponde alla misura il cui valore è apparso più di
frequente (nell’esempio di Fig. 3.1 è 0,91 s).
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Errori di misura
La mediana si trova ordinando le misure in senso crescente, o
decrescente, e andando a leggere la misura che si trova al centro della
serie così ordinata (nell’esempio di Fig. 3.1 è ancora 0,91 s).
La media rappresenta il valore più attendibile della misura ed è
pari alla media aritmetica delle misure ottenute:
x =
x1 x 2 ⋯x n
n
(3.16)
Per la valutazione dell'errore commesso nelle operazioni di misura,
il metodo probabilistico utilizza un nuovo sistema per il calcolo della
dispersione delle misure, e quindi dell'errore assoluto.
Anziché utilizzare la semidispersione massima tra le misure
ottenute, si utilizza lo scarto quadratico medio, detto anche
deviazione standard, errore quadratico medio o più semplicemente
dispersione.
Lo scarto quadratico medio σ (leggi sigma) si ricava tramite la
seguente formula:

 x 1− x 2 x 2− x 2⋯ x n− x 2
=
n−1
(3.17)
oppure, più sinteticamente, tenendo anche conto delle frequenze fi
con cui si ripetono le varie misure:
=

n
∑ f i  x i− x 2
i=1
(3.18)
n−1
Pertanto il valore della misura si scrive nel modo seguente:
x= x ± 
 u
(3.19)
intendendo affermare con tale notazione che il valore della misura
cercato si trova nell'intorno di x con un'incertezza pari a σ .
Possiamo anche scrivere:
x −σ ≤ valore cercato ≤ x σ
In senso probabilistico possiamo dire che la probabilità che uno
dei valori misurati x i cada entro l'intervallo  x±σ  in modo tale
che risulti
x −σ ≤ x i ≤ x σ
è del 68%.
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Raddoppiando o triplicando l'ampiezza dell'intervallo considerato
aumenta anche la probabilità che il valore misurato cada all'interno
dell'intervallo. Infatti la probabilità che una qualsiasi misura cada
nell'intervallo x ± 2 ⋅ σ è pari al 95%, mentre la probabilità che cada
nell'intervallo x ± 3 ⋅ σ è pari al 99.7%.
Dal confronto di più curve di distribuzione relative alla stessa
grandezza fisica da misurare è facile desumere quale serie di misure è
più attendibile rispetto alle altre.
Infatti una curva che presenta dei valori meno dispersi rispetto ad
un'altra, quindi più addensati intorno al valore medio, denota una
maggiore attendibilità dei dati, in quanto il valore medio calcolato è
meno lontano dai valori effettivamente misurati.
In conclusione un basso valore della deviazione standard denota
che la serie di misure effettuate è buona e che il valore medio
calcolato si avvicina di più al valore reale della misura.
Esempio: vogliamo calcolare la deviazione standard relativa alla serie
di misure effettuate per il calcolo del periodo di
oscillazione del pendolo.
Conviene allora raggruppare i calcoli in due tabelle:
2
 x i− x 
f i  xi −x 2
N
 x i− x
1
0,03
0,0009
0,0009
2
0,02
0,0004
0,0008
3
0,01
0,0001
0,0005
4
0
0
0
5
0,01
0,0001
0,0006
6
0,02
0,0004
0,0012
7
0,03
0,0009
0,0009
Quindi effettuiamo la somma, la divisione per n-1 e la
radice quadrata:
 f i  xi −x 
 f i  x i− x 2
n−1
0,005
0,0002
2

 f i  x i − x 2
n−1
0,01
Il valore ottenuto è la deviazione standard delle misure
effettuate. Pertanto il valore più attendibile della misura è:
T =0,91±0,01 s
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