Circuito equivalente trasformatori a 3 avvolgimenti

Trasformatore a 3 avvolgimenti: circuito equivalente Trasformatori a tre avvolgimenti
1. Teoria
Un trasformatore (monofase) a tre avvolgimenti è costituito da tre bobine (generalmente coassiali
tra loro) avvolte attorno ad un unico circuito magnetico (fig.1).
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Fig. 1 –Trasformatore a tre avvolgimenti.
Le equazioni della macchina, scritte in termini fasoriali, si possono mutuare da quelle scritte per
il trasformatore a due avvolgimenti, in termini di induttori mutuamente accoppiati:
V1 = R1I1 + jL11I1 + jL12I2 + + jL13I3
V2 = R2I2 + jL22I2 + jL21I1 + + jL23I3
V3 = R3I3 + jL33I3 + jL32I2 + + jL31I1
Sarà inoltre L21 = L12 e L23 = L32 e L31= L13
Della macchina può essere ora determinato un circuito equivalente, da cui dedurre le
caratteristiche di funzionamento. Al fine di semplificare il modello, si accettano delle ipotesi che
portano ad una sostanziale riduzione del numero di elementi circuitali da considerare.
Posto per semplicità di trattazione uguale il numero di spire N1 = N2 = N3 = N dei tre
avvolgimenti, (condizione non restrittiva e che può essere rimossa introducendo opportuni
trasformatori ideali), si assumono come uguali tutte le mutue induttanze.
L12 = L23 = L31 = Lm .
Esprimendo le autoinduttanze in termini di induttanze mutue e di dispersione:
L11 = L1d + Lm ;
L22 = L2d + Lm ;
L33 = L3d + Lm
le precedenti equazioni possono essere riscritte come segue:
V1 = R1I1 + jL1dI1 + jLm(I1 +I2 +I3) = Z1I1 + jLm(I1 +I2 +I3)
V2 = R2I2 + jL2dI2 + jLm(I1 +I2 +I3) = Z2I2 + jLm(I1 +I2 +I3)
V2 = R3I3 + jL3dI3 + jLm(I1 +I2 +I3) = Z3I3 + jLm(I1 +I2 +I3)
E' chiaro che la quantità Lm(I1 +I2 +I3) rappresenta il flusso totale concatenato con i tre
avvolgimentic, e che jc è la f.e.m. indotta (uguale nei tre avvolgimenti in ragione
dell'uguaglianza del numero di spire); egualmente è individuata Xo = Lm. Volendo interpretare
Trasformatore a 3 avvolgimenti: circuito equivalente in termini fisici l'ipotesi introdotta della uguaglianza delle mutue induttanze, si vede che essa
porta a supporre che ciascuna forza magnetomotrice agisca su un proprio circuito di dispersione,
e sul medesimo circuito magnetico comune alle altre due; non sono quindi presi in
considerazione concatenamenti tra coppie di avvolgimenti. La rete magnetica che rappresenta
questa situazione è indicata in fig. 2, e la rete elettrica ad essa equivalente, che può essere
ottenuta con i metodi della dualità e d'altra parte é quella che è descritta dal sistema
V1 =Z1I1 + jLm(I1 +I2 +I3)
V2 = Z2I2 + jLm(I1 +I2 +I3)
V2 =Z3I3 + jLm(I1 +I2 +I3) ,
ha naturalmente la configurazione indicata in fig. 3. Infine l'introduzione di 2 trasformatori ideali
fornisce il circuito equivalente completo del trasformatore monofase a tre avvolgimenti (fig. 4).
Fig. 2–rete magnetica di un trasformatore a 3
avvolgimenti nell’ipotesi L12=L23=L31= Lm.
Fig. 3 – Rete elettrica equivalente alla rete
magnetica di fig. 5.12.2.
Fig. 4 – Circuito equivalente completo del trasformatore a tre avvolgimenti.
2. Prove sui trasformatori a tre avvolgimenti
Una volta stabilito il circuito equivalente della macchina, il problema è determinarne mediante
prove i valori degli elementi circuitali, che vengono espressi in modo del tutto analogo a quanto
visto per i trasformatori a due avvolgimenti, ossia mediante le perdite a vuoto ed in corto
circuito, e la corrente a vuoto e le tensioni di corto circuito percentuali.
Nessuna differenza tra trasformatori a due ed a tre avvolgimenti per quanto riguarda la prova a
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Trasformatore a 3 avvolgimenti: circuito equivalente vuoto, da cui, con identiche modalità, si ottengono perdite a vuoto e corrente a vuoto
percentuale.
Per quanto riguarda la prova in corto circuito, è subito evidente che la determinazione diretta
delle impedenze serie Z1, Z2, Z3 è impossibile.
Si fanno quindi delle prove di corto circuito binarie, in cui un avvolgimento è alimentato, l'altro è
in corto circuito ed il terzo è a vuoto (fig. 5).
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Fig. 5. – I tre diversi corti circuiti binari: 1-2 (3 a vuoto); 1-3 (2 a vuoto); 2-3 (1 a vuoto).
Sono quindi possibili 3 prove, da cui si ottengono le 3 impedenze binarie, riferite al N° spire N1:
Z12 = Z1 +Z’2 ; Z13 = Z1 +Z’3 ; Z23 = Z’2 +Z’3 .
Da tali impedenze si desumono i valori desiderati:
Z1 = (Z12 +Z13 Z23 )/2 ; Z’2 = (Z12 +Z23 Z13 )/2 ; Z’3 = (Z13 +Z23 Z12 )/2 .
Poiché però in definitiva quelli che interessano non sono i valori delle impedenze serie, ma quelli
delle perdite in corto circuito e delle tensioni di corto circuito percentuali, per queste quantità
possono essere scritte espressioni formalmente analoghe alle precedenti; inoltre, essendo le
perdite percentuali e le tensioni di corto circuito percentuali indipendenti dal lato di misura (ossia
hanno fattore di trasporto 1), tali relazioni hanno valore anche se N1  N2  N3 .
Sarà quindi, per le perdite in corto circuito a 75° C e a corrente nominale:
Pcc1 = (P12 + P13  P23 )/2 ;
Pcc2 = (P12 + P23  P13 )/2 ;
Pcc3 = (P13 + P23  P12 )/2 .
e per le tensioni di corto circuito binarie a 75° C ed a corrente nominale:
vcc1= (vcc12 +vcc13 vcc23 )/2;
vcc2= (vcc12 +vcc23 vcc13 )/2;
vcc3= (vcc13 +vcc23 vcc12 )/2.