Soluzioni
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Foglio 1: Antipasti Esercizio 1 1. ∀ x ∈ N ∃ k ∈ N : x = 2k. Falso, si pensi a n = 1. 2. ∀ x ∈ N ∃ k ∈ N : x = 2k ∨ x = 2k + 1. Vero 3. ∀ x ∈ C ∃ y ∈ C : xy = 1. Falso, si pensi a x = 0. 4. ∀ x ∈ Z( ((∃ y ∈ Z : xy = 1) ∧ (x 6= ±1)) ⇒ (∃ k ∈ Z : x = 42k) ). Vero: gli unici invertibili di Z sono ±1. 5. ∃! x ∈ Z2 : ∃ y ∈ Z2 : xy = 1. Vero 6. ∀ A ⊆ R ∃ f : R → R : ∀ x ∈ R( (f (x) = 1 ⇔ x ∈ A) ∧ (f (x) = 0 ⇔ x 6∈ A) ). Vero 7. Non formalizzabile a causa del riferimento a “questo foglio”. 8. Paradosso del mentitore 9. ∀ p ∈ K[x](deg(p) > 0 ⇒ ∃ x0 ∈ K : p(x0 ) = 0). Falso: x2 + 1 non ha radici su R. 10. (∃ k ∈ N : 4 = 2k) ∨ (∃ h ∈ N : 4 = 3h). Vero Esercizio 2 1. 1 + i, i, 1, −i √ √ √ √ √ 2. 2 + π, 2π, 22 , ππ √ √ 3. (27 + 3√1 3 )i, −3 3, −3 3i, −i 27 4. 1, 0, 6 ∃, 1 5. 2 + (1 + √ √ √ √ 7)i, − 7 + 2i 7, 52 − 5i , −i7 7 Esercizio 3 1. (x + 3)(x − 3) su R, C e (x + 1)2 su Z2 . 2. x2 + 9 su R, (x + 3i)(x − 3i) su C e (x + 1)2 su Z2 . 3. (x − 1)(x − 2) su R, C e x(x + 1) su Z2 . 4. (x − 1)(x − 2)(x + 3) su R, C e x(x + 1)2 su Z2 . Esercizio 4 1. p = q(x − 1). sı̀. 2 2. p = q( x2 + 34 x + 98 ) + 3. p = q(3x + 32 ) + x 2 27 . 8 no. + 1. no. 4. p = q − 9. no. √ √ 5. p = q(x3 + 2x2 + 2x + 2 2). sı̀. 1 6. p = q(x3 − 6x2 + 2x − 1). sı̀. Esercizio 5 1. Su R si ha x = 22 ,y 13 = −3 . 13 Su Z2 si ha x = 0, y = 1. 2. Su R si ha x = 3 ,y 11 = 10 . 11 Su Z2 si ha x = 1 e y qualunque. 3. Su R si ha x = 21 , y = −1 ,z 3 = 65 . Su Z2 non ci sono soluzioni. 4. Su R non ci sono soluzioni. Su Z2 si ha x = t = z = 1 e y qualunque. 5. Su R ci sono infinite soluzioni. Su Z2 si ha x = 0, y = 1 oppure x = 1, y = 0. 6. Non ci sono soluzioni né su R né su Z2 . 2