2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm
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2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm
Appello di Elettromagnetismo per la trasmissione dell’Informazione, 14 Gennaio 2014 1) Data un’impedenza di carico ZL=10+j10 Ohm, dimensionare un adattatore in singolo stub serie, per trasformare tale impedenza in 50 Ohm. Si considerino stub in corto circuito. Soluzione: il carico normalizzato è 0.2+j0.2; lo individuiamo sulla Carta di Smith e tracciamo una circonferenza che passa attraverso questo carico e interseca la circonferenza a parte reale 1. Abbiamo due soluzioni possibili (ne basta una): un’intersezione a z1=1+j1.844 ad una distanza d1=0.152 nel quadrante superiore ed una nel quadrante inferiore: z2=1-j1.844 ad una distanza d2=0.283. Lo stub posto a d1 deve produrre una reattanza X=-j1.844. Dalla Carta Di Smith, partiamo dal cortocircuito per le impedenze (il punto -1,0) e ruotiamo verso il generatore (senso orario) fino a leggere -1.844 (quadrante inferiore) per la reattanza: otteniamo così che la lunghezza dello stub nel primo caso è 0.329. Nel secondo caso invece la reattanza da produrre è la medesima ma nel quadrante superiore (j1.844). A tal fine occorre una rotazione di 0.171. 2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm è chiusa su di un carico con impedenza Zl=150+j150; quanto valgono l'impedenza massima e quella minima lungo tale linea? soluzione: il modulo del coefficiente di riflessione vale 0.721, e quindi il ROS è 6.168; l'impedenza massima è Zo ROS=308.56 Ohm, mentre l'impedenza minima è Zo/ROS=8.102 Ohm 3) Su di una linea di trasmissione a 50 Ohm si misura un ROS di 2. Sapendo che un minimo di tensione viene misurato a 0.125 dal carico, quanto vale l’impedenza di carico? soluzione: In un punto di minimo di tensione l’impedenza normalizzata vista in tale sezione è minima e vale 1/ROS=0.5. Basta quindi individuare z1=0.5 sulla carta di Smith, e sapere che il carico si trova a /8, quindi ruotare di /8 (un quarto di giro) verso il carico (senso antiorario) e leggere il valore normalizzato: si trova zl=0.8-j0.6, che denormalizzato restituisce 40-j30 Ohm 4) In un sistema di telecomunicazioni quale è la massima frequenza assoluta (taglio primo modo superiore) a cui possiamo utilizzare un cavo coassiale con diametro esterno 5mm, diametro interno 1.429mm e riempito con polietilene (er=2.3)? soluzione: Sappiamo che il kc è approssimativamente 2/(RaggioInterno+RaggioEsterno), quindi con i diametri, 4/somma dei diametri, circa 622 [rad/m]. Quindi fc kc /( 2 0 0 r ) =19.58GHz 5) Quanto vale la matrice ABCD del circuito in figura (si tratta del parallelo di due serie di linee, ciascuna linea lunga un ottavo d’onda)? Quali sarebbero i valori di A,B,C,D nel caso particolare in cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm? Z0=zo1 Ohm /8 Z0=zo2 Ohm /8 PORTA1 PORTA 2 Z0=zo1 Ohm /8 Z0=zo2 Ohm /8 soluzione: Conviene sfruttare la simmetria (pari), che consente di dividere la parte superiore e la parte inferiore del circuito con un muro magnetico (due punti corrispondenti tra la metà superiore e quella inferiore sono sempre allo stesso potenziale). Quindi possiamo analizzare la matrice ABCD della sola metà. Tuttavia per avere la matrice ABCD complessiva dobbiamo sapere come ricombinare i risultati delle due metà: intuitivamente sappiamo che sono circuiti identici in parallelo, e nel parallelo le impedenze si dimezzano e le ammettenze raddoppiano, così che potremmo aspettarci un raddoppio della C ed un dimezzamento della B. Verifichiamolo: la corrente che entra nella porta 1 (o nella porta 2) si divide in parti uguali alla prima biforcazione. Quindi se I1 è la corrente a sinistra e I2 è la corrente a destra, analizzando solo metà circuito dovremmo scrivere: V1 A B V2 I / 2 C D I / 2 dove la matrice ABCD è solo quella della metà superiore (o inferiore) ovvero, se 2 1 esplicitiamo i contributi: V1=AV2+(B/2)I2 e I1=2CV2+DI2, per cui, in modo compatto avremmo che V1 A I 2C 1 B / 2 V2 D I 2 Confermando la nostra prima intuizione. A questo punto dobbiamo solo calcolare la matrice ABCD della metà del circuito , che è una cascata di linee in cui i conti sono semplificati dalla lunghezza elettrica /8, per cui sia seno che coseno restituiscono 2 / 2: 2 2 j 2 2 zo1 2 2 2 2 j 2 2 2 2 zo2 jzo1 2 1 zo1 2 2 1 zo2 j 1 1 2 2 zo1 zo2 2 jzo 2 j zo1 zo2 2 1 zo2 1 2 zo1 Quindi la matrice ABCD totale, considerando quanto detto sopra, sarà: 1 zo1 2 1 zo2 1 1 j zo1 zo2 j zo1 zo2 4 che è il risultato cercato. 1 zo2 1 2 zo1 Nel caso in cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm, sostituendo i valori numerici si ha: A=0.25, B=j37.5 Ohm, C=j0.03 Siemens, D=-0.5. Notate che la struttura è reciproca (il determinante restituisce sempre 1) ma non simmetrica (A e D sono diversi)