Lez.16 - Cinematica relativa

CINEMATICA RELATIVA
Z
z
y
Tempo ܶ per osservatore ܱ,
o
x
O
X
Terna
Mobile
Tempo ‫ ݐ‬per osservatore ‫݋‬.
Y
Terna Fissa
Consideriamo un osservatore che diciamo fisso e un secondo osservatore che è in movimento
rispetto al primo.
Esempi di moto percepito differentemente dai due osservatori:
1) Punto della periferia di una ruota di un veicolo. Descrive una circonferenza per un osservatore a
bordo del veicolo, ma una cicloide per un osservatore a terra.
2) Moto del sole rispetto alle stelle fisse (rettilineo uniforme) e rispetto alla terra (ruota rispetto a
noi per il movimento diurno).
Il movimento di un punto P è visto dai due osservatori come
ܺ = ܺ (ܶ), ܻ = ܻ (ܶ), ܼ = ܼ (ܶ)
‫)ݐ( ݔ = ݔ‬, ‫)ݐ( ݕ = ݕ‬, ‫)ݐ( ݖ = ݖ‬
(1) si dice MOTO ASSOLUTO
(2) si dice MOTO RELATIVO
(1)
(2)
In cinematica è indifferente considerare come assoluto un moto, oppure l’altro (non è così in
dinamica).
Postulati:
1) È determinabile un tempo indipendente dall’osservatore, per cui:
‫ܶ=ݐ‬
2) Il moto di una terna rispetto al’altra è RIGIDO, per cui si presentano le lunghezze:
݈=‫ܮ‬
(quindi si preservano anche gli angoli)
1
VELOCITA’ ASSOLUTA, ACCELERAZIONE ASSOLUTA
(ܲ − ‫ ܫ ܺ = )݋‬+ Y ‫ ܬ‬+ ܼ ‫ܭ‬
ܸ = ܺሶ ‫ ܫ‬+ ܻሶ ‫ ܬ‬+ ܼሶ ‫ܭ‬
I versori ‫ܫ‬, ‫ܬ‬, ‫ ܭ‬si ritengono FISSI.
‫ܺ = ܣ‬ሷ ‫ ܫ‬+ ܻሷ ‫ ܬ‬+ ܼሷ ‫ܭ‬
Velocità ed accelerazione relativa
(ܲ − ܱ) = (ܲ − ‫ )݋‬+ (‫ ݋‬− ܱ) = ‫ ݅ ݔ‬+ ‫ ݆ ݕ‬+ ‫ ݇ ݖ‬+ (‫ ݋‬− ܱ)
Deriviamo rispetto al tempo (ܶ = ‫ ܸ ;)ݐ‬si dice VELOCITÀ ASSOLUTA.
݆݀
݀݅
݀݇
ܸ = ‫ݔ‬ሶ ݅ + ‫ݕ‬ሶ ݆ + ‫ݖ‬ሶ ݇ + ‫ݔ‬
+ ‫ݕ‬
+ ‫ݖ‬
+ ܸ௢
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
ܸ = ‫ݔ‬ሶ ݅ + ‫ݕ‬ሶ ݆ + ‫ݖ‬ሶ ݇ + ‫ ݅ × ߱ ݔ‬+ ‫ ݆ × ߱ ݕ‬+ ‫ ݇ × ߱ ݖ‬+ ܸ଴
Abbiamo usato le formule di Poisson
(NB: si ricordi che il simbolo × indica il prodotto vettoriale)
Allora:
ܸ = ‫ ݒ‬+ ߱ × (ܲ – ‫ )݋‬+ ܸ଴
‫ݐ݅ܿ݋݈݁ݒ = ݒ‬à ‫ݔ = ܽݒ݅ݐ݈ܽ݁ݎ‬ሶ ݅ + ‫ݕ‬ሶ ݆ + ‫ݖ‬ሶ ݇
Poniamo ܸ௦ = ܸ௢ + ߱ × (ܲ − ‫ )݋‬: si dice velocità di trascinamento, poiché è la velocità che
avrebbe il punto ܲ rispetto all’osservatore ܱ, se fosse rigidamente connesso con la terna ‫݋‬, ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬.
ESEMPIO: pioggia che cade vista da un veicolo in corsa:
ܸ௦
ܸ஺
−ܸ௦
ܸ௥
ܸ௥ = ܸ஺ + ቀ− ܸ௦ ቁ
La pioggia sembra cadere obliquamente.
2
ܸ஺
ACCELERAZIONE
݀ ቀ‫ݔ‬ሶ ݅ + ‫ݕ‬ሶ ݆ + ‫ݖ‬ሶ ݇ቁ ݀ ቀܸ଴ + ߱ × (ܲ − ‫)݋‬ቁ
݀൫ܸ௥ + ܸ௦ ൯
ܸ݀
‫=ܣ‬
=
=
+
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
‫ݔ = ܣ‬ሷ ݅ + ‫ݕ‬ሷ ݆ + ‫ݖ‬ሷ ݇ + ‫ݔ‬ሶ ߱ × ݅ + ‫ݕ‬ሶ ߱ × ݆ + ‫ݖ‬ሶ ߱ × ݇ + ‫ܣ‬଴ + ߱ሶ × (ܲ − ‫ )݋‬+ ߱ × (ܸ − ܸ଴ )
Ma ܸ − ܸ଴ = ‫ݒ‬௥ + ߱ × (ܲ − ‫)݋‬
‫ ܽ = ܣ‬+ ߱ × ‫ݒ‬௥ + ‫ܣ‬௢ + ߱ሶ × (ܲ − ‫ )݋‬+ ߱ × ‫ݒ‬௥ + ߱ × ൣ߱ × (ܲ − ‫)݋‬൧
‫ ܽ = ܣ‬+ 2߱ × ‫ݒ‬௥ + ቂ‫ܣ‬଴ + ߱ሶ × (ܲ − ‫ )݋‬+ ߱ × ൣ߱ × (ܲ − ‫)݋‬൧ቃ
‫ܣ‬௦
‫ܽ = ܣ‬௥ + ‫ܣ‬௦ + 2 ߱ × ‫ݒ‬௥
‫ܣ‬௦ si dice accelerazione di trascinamento: è quella che ܲ avrebbe rispetto all’osseratore assoluto
se fosse collegato solidamente alla terna relativa.
ܽ௖ = 2߱ × ‫ݒ‬௥ si dice accelerazione di Coriolis: nasce dal fatto che la terna (‫݋‬, ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ )ݖ‬è mobile con
߱ ≠ 0.
COMPOSIZIONE DI ATTI DI MOTO
1) Componendo due atti di moto traslatori si ottiene un atto di moto traslatorio.
A
A’
A’’
2) Componendo un atto di moto traslatorio con uno rotatorio, si ha un atto di moto
rototraslatorio.
x
ߠ
3) Componendo due atti di moto rotatori attorno a due assi di istantanea rotazione concorrenti in
un punto O, si ottiene un atto di moto rotatorio attorno ad un asse passante per O, con velocità
angolare ߱ = ߱ଵ + ߱ଶ .
4) Componendo due atti di moto rotatori generici, si ottiene un atto di moto rototraslatorio. Se
߱ଵ = − ߱ଶ si ottiene un atto di moto traslatorio.
5) Se ߱ଵ e ߱ଶ sono parallele, gli assi di istantanea rotazione concorrono in un punto all’infinito e
l’atto di moto composto è rotatorio con ߱ = ߱ଵ + ߱ଶ.
6) Componendo 2 atti di moto rototraslatorio, si ottiene un atto di moto rototraslatorio.
3