Capitolo 6 - Montgomery

Douglas C. Montgomery
Progettazione e analisi degli esperimenti
© 2006 McGraw-Hill
CAPITOLO 6
Il piano fattoriale 2k
Metodi statistici e probabilistici per l’ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
A.A. 2009-10
Facoltà di Ingegneria, Università di Padova
Docente: Dott. L. Corain
Il Piano Fattoriale 2k
• Il piano 22
• Il piano 23
• Il piano generale 2k
• Il piano 2k con una sola replicazione
• L’aggiunta dei punti centrali al piano 2k
1
Il piano fattoriale 22
Il livello alto e il livello
basso dei fattori sono
indicati rispettivamente con
“+” e “-”
Basso e alto sono nomi
arbitrari
Geometricamente, le quattro
prove formano gli angoli del
quadrato
I Fattori possono essere
quantitativi o qualitativi,
sebbene la loro trattazione
nel modello finale possono
essere diversi
Esempio Processo Chimico
A = concentrazione reagente
B = quantità catalizzatore
Y = resa
2
Procedura di Analisi per un Piano
Fattoriale
• Stima degli effetti dei fattori
• Creazione del modello iniziale
– Con replicazione: usare il modello completo
– Con una sola replicazione di piano: usare il
grafici di probabilità normale
•
•
•
•
Test statistici (ANOVA)
Messa a punto del modello
Analisi dei residui (graficamente)
Interpretazione dei risultati
Stima degli effetti dei fattori
A = y A+ − y A−
ab + a b + (1)
−
2n
2n
= 1n [ab + a − b − (1)]
=
B = yB+ − yB−
ab + b a + (1)
=
−
2n
2n
1
= n [ab + b − a − (1)]
ab + (1) a + b
−
2n
2n
1
= n [ab + (1) − a − b]
AB =
Vedere il libro a pag.
248 Per i calcoli
manuali
Gli effetti stimati sono:
A = 8.33, B = -5.00, AB
= 1.67
Interpretazione pratica?
Analisi Design-Expert
3
Stima degli effetti dei Fattori
Model
Model
Model
Model
Error
Error
Term
Effect
SumSqr
% Contribution
Intercept
A
8.33333
208.333
64.4995
B
-5
75
23.2198
AB
1.66667
8.33333
2.57998
Lack Of Fit 0
0
P Error
31.3333
9.70072
Lenth's ME
Lenth's SME
6.15809
7.95671
Test Statistici: tabella ANOVA
Response:Conversion
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
B
AB
Pure Error
Cor Total
Sum of
Squares
291.67
208.33
75.00
8.33
31.33
323.00
Std. Dev.
Mean
C.V.
1.98
27.50
7.20
R-Squared
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.9030
0.8666
0.7817
PRESS
70.50
Adeq Precision
11.669
DF
3
1
1
1
8
11
Mean
Square
97.22
208.33
75.00
8.33
3.92
F
Value
24.82
53.19
19.15
2.13
Prob > F
0.0002
< 0.0001
0.0024
0.1828
4
Stima puntuale e intervallare
dei parametri
Coefficient
Factor
Intercept
A-Concent
B-Catalyst
AB
Standard
Estimate DF Error
27.50
1 0.57
4.17
1 0.57
-2.50
1 0.57
0.83
1 0.57
95% CI
Low
26.18
2.85
-3.82
-0.48
95% CI
High
28.82
5.48
-1.18
2.15
VIF
1.00
1.00
1.00
Modello finale
Response:Conversion
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
B
Residual
Lack of Fit
Pure Error
Cor Total
Sum of
Squares
283.33
208.33
75.00
39.67
8.33
31.33
323.00
Std. Dev.
Mean
C.V.
2.10
27.50
7.63
R-Squared 0.8772
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.8499
0.7817
PRESS
70.52
Adeq Precision
12.702
DF
2
1
1
9
1
8
11
Mean
Square
141.67
208.33
75.00
4.41
8.33
3.92
F
Value
32.14
47.27
17.02
Prob > F
< 0.0001
< 0.0001
0.0026
2.13
0.1828
5
Controlli Diagnostici e Residui
Normal plot of residuals
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Co n ve rsi o n
Residuals vs. Predicted
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Co n ve rsi o n
2.16667
99
N orm a l % pro ba b ility
95
0.916667
90
80
R es iduals
70
50
-0.333333
30
20
10
-1.58333
5
2
1
-2.83333
-2.83333
-1.58333
-0.333333
0.916667
20.83
2.16667
24.17
27.50
30.83
34.17
Predicted
R es id ua l
Superficie di Risposta
t
C onversion
3
2.00
3
n
34. 1667
23. 0556
30. 8333
1.75
Co n ve rsi o n
B: C a talys t
27. 5
24. 1667
25.2778
27. 5
1.50
20. 8333
29.7222
1.25
31.9444
2. 00
25. 00
1. 75
3
3
1.00
15.00
17.50
20.00
22.50
25.00
22. 50
1. 50
B : Ca ta l yst
20. 00
1. 25
17. 50
A : Co n ce n tra ti o n
A: C oncentration
1 . 00
15. 00
6
Il Piano Fattoriale 23
Effetti nei Piani Fattoriali 23
A = y A+ − y A−
B = yB + − yB −
C = yC + − yC −
etc, etc, ...
Analisi fatta
via computer
7
Esempio di un Piano Fattoriale 23
A = carbonatazione, B = pressione,
C = velocità, y = scarto riempimento
Tabella dei segni algebrici (– e +) per calcolare gli
effetti nel piano fattoriale 23 (pag. 258)
Factorial Effect
Treatment
Combin.
I
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
(1) = -4
+
-
-
+
-
+
+
-
a=1
+
+
-
-
-
-
+
+
b = -1
+
-
+
-
-
+
-
+
ab = 5
+
+
+
+
-
-
-
-
c = -1
+
-
-
+
+
-
-
+
ac = 3
+
+
-
-
+
+
-
-
bc = 2
+
-
+
-
+
-
+
-
abc = 11
+
+
+
+
+
+
+
+
Contrast
24
18
6
14
2
4
4
Effect
3.00
2.25
0.75
1.75
0.25
0.50
0.50
8
Proprietà della Tabella
• Tranne la colonna I, ogni colonna ha un egual numero di segni +
e–
• La somma dei prodotti dei segni in ogni coppia di colonne è zero
• La colonna I moltiplicata per ogni colonna lascia tale colonna
inalterata (I elemento identità)
• Il prodotto di una qualunque coppia di colonne produce una
colonna presente nella tabella:
A × B = AB
AB × BC = AB 2C = AC
• Piani Ortogonali
• L’ortogonalità è un’importante proprietà per tutti i piani fattoriali
Stima degli effetti dei Fattori
Model
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Term
Effect
Intercept
A
3
B
2.25
C
1.75
AB
0.75
AC
0.25
BC
0.5
ABC
0.5
LOF
0
P Error
SumSqr % Contribution
Lenth's ME
Lenth's SME
1.25382
1.88156
36
20.25
12.25
2.25
0.25
1
1
46.1538
25.9615
15.7051
2.88462
0.320513
1.28205
1.28205
5
6.41026
9
Riassunto ANOVA – Modello Completo
Response:Fill-deviation
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Pure Error
Cor Total
Sum of
Squares
73.00
36.00
20.25
12.25
2.25
0.25
1.00
1.00
5.00
78.00
Mean
Square
10.43
36.00
20.25
12.25
2.25
0.25
1.00
1.00
0.63
Std. Dev.
Mean
C.V.
0.79
1.00
79.06
R-Squared 0.9359
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.8798
0.7436
PRESS
20.00
Adeq Precision
13.416
DF
7
1
1
1
1
1
1
1
8
15
F
Value
16.69
57.60
32.40
19.60
3.60
0.40
1.60
1.60
Prob > F
0.0003
< 0.0001
0.0005
0.0022
0.0943
0.5447
0.2415
0.2415
Coefficienti – Modello Completo
Coefficient
Standard
Factor
Estimate
95% CI 95% CI
DF
Error
Low
High
Intercept
1.00
1
0.20
0.54
1.46
A-Carbonation
B-Pressure
C-Speed
AB
AC
BC
ABC
1.50
1.13
0.88
0.38
0.13
0.25
0.25
1
1
1
1
1
1
1
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
1.04
0.67
0.42
-0.081
-0.33
-0.21
-0.21
1.96
1.58
1.33
0.83
0.58
0.71
0.71
VIF
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
10
Messa a Punto del Modello-Rimozione
dei Fattori non Significativi
Response:
Fill-deviation
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
B
C
AB
Residual
LOF
Pure E
C Total
Sum of
Squares
70.75
36.00
20.25
12.25
2.25
7.25
2.25
5.00
78.00
DF
4
1
1
1
1
11
3
8
15
Mean
Square
17.69
36.00
20.25
12.25
2.25
0.66
0.75
0.63
F
Value
26.84
54.62
30.72
18.59
3.41
Prob > F
< 0.0001
< 0.0001
0.0002
0.0012
0.0917
1.20
0.3700
Std. Dev. 0.81
Mean
1.00
C.V.
81.18
R-Squared
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.9071
0.8733
0.8033
PRESS
Adeq Precision
15.424
15.34
Coefficienti Modello
Stima puntuale e intervallare
Coefficient
Factor
Estimate
Intercept
1.00
A-Carbonation 1.50
B-Pressure
1.13
C-Speed
0.88
AB
0.38
DF
1
1
1
1
1
Standard 95% CI 95% CI
Error
Low
High
0.20
0.55
1.45
0.20
1.05
1.95
0.20
0.68
1.57
0.20
0.43
1.32
0.20
-0.072 0.82
11
Modello Statistico Completo (pag. 264)
• R2 e R2 corretto (Adj)
R2 =
SS Model 73.00
=
= 0.9359
SST
78.00
2
RAdj
= 1−
SS E / df E
5.00 / 8
= 1−
= 0.8798
SST / dfT
78.00 /15
• R2 prediction (basato sulla statistica PRESS)
2
RPred
= 1−
PRESS
20.00
= 1−
= 0.7436
SST
78.00
Modello Statistico Completo (pag. 264)
• Errore standard di ciascun coefficiente
se( βˆ ) = V ( βˆ ) =
σ2
n2
k
=
MS E
0.625
=
= 0.20
k
n2
2(8)
• Intervalli di confidenza per ciascun
coefficiente di regressione
βˆ − tα / 2,df se( βˆ ) ≤ β ≤ βˆ + tα / 2,df se( βˆ )
E
E
12
Modello di Regressione
Final Equation in Terms of Coded Factors:
Fill-deviation
+1.00
+1.50
*A
+1.13
*B
+0.88
*C
+0.38
*A*B
=
Final Equation in Terms of Actual Factors:
Fill-deviation
=
+9.62500
-2.62500
* Carbonation
-1.20000
* Pressure
+0.035000 * Speed
+0.15000
* Carbonation * Pressure
I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti
Normal plot of residuals
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Fi l l -d e vi a ti o n
99
N orm al % probability
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-1.67
-0.84
0.00
0.84
1.67
Studentized R es iduals
13
Interpretazione del Modello
Interaction Graph
DE S IG N-E X P E RT P l o t
B: Pres s ure
Fi l l -d e vi a ti o n
6
Misura
dell’interazione
tra il livello di
carbonatazione e
la pressione
X = A : Ca rb o n a ti o n
Y = B : P re ssu re
3.75
Fill-de viatio n
B - 2 5 .0 0 0
B + 3 0 .0 0 0
A ctu a l Fa cto r
C: S p e e d = 2 2 5 .0 0
1.5
-0.75
-3
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
A: C arbonation
Interpretazione del Modello
C ube Graph
DE S IG N-E X P E RT P lo t
Fill-d eviatio n
Fi l l -d e vi a ti o n
X = A : Ca rb o n a ti o n
Y = B : P re ssu re
Z = C: S p e e d
1.13
B+
B: Pres s ure
-0 .63
4.88
3.1 3
-0.37
1.88
C+
C : Speed
BA-
-2 .13
0.1 2
A: C arbon ation
I grafici a cubo
sono spesso
usati per
visualizzare
graficamente i
risultati degli
esperimenti
CA+
14
Superficie di risposta rappresentata
mediante linee di livello con velocità di
livello alto
DE S IG N-E X P E RT P lo t
Fill-deviation
2
30.00
2
Fi l l -d e vi a ti o n
X = A : Ca rb o n a ti o n
Y = B : P re ssu re
4.875
De si g n P o i n ts
28.75
3.5625
3.125
A ctu a l Fa cto r
C: S p e e d = 2 5 0 .0 0
Fi l l -d e vi a ti o n
B: Pres s ure
2.25
0.9375
2.25
27.50
-0.375
1.375
0.5
26.25
30.00
12.00
28.75
2
2
25.00
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
11.50
27.50
11.00
B : P re ssu re 26.25
10.50
A : Ca rb o n a ti o n
A: C arbonation
2 5.00
10.00
Il Piano Generale 2k
• Paragrafo 6-4, pag. 269, Tabella 6-9, pag. 271
• Il modello potrebbe comprendere k effetti
principali, e
k 
  interazioni a due fattori
2
k 
  interazioni a tre fattori
3
M
1 interazioni a k − fattori
15
Il piano 2k con una sola replicazione
• Questi sono piani fattoriali 2k con una prova ad
ogni angolo del “cubo”
• Il piano 2k con una sola replicazione è anche a volte
chiamato “fattoriale non replicato” del piano 2k
• Questi piani sono ampiamente usati
• Rischio… se c’è una sola prova ad ogni angolo, c’è
la possibilità di conclusioni fuorvianti
• Principio della rarità degli effetti
Spaziatura tra i Livelli
del Fattore su un Piano
2k Non Replicato
Se la distanza tra i
livelli
del
fattore
aumenta, cresce la
possibilità
che
le
fluttuazioni
aleatorie
coprano i veri effetti del
segnale
Aumentare decisamente
la distanze è buona
pratica
16
Il piano 2k con una sola replicazione
• Mancanza di replicazione causa potenziali problemi
nei test statistici
– Una replicazione può rendere valida una stima di
“errore puro” (stime interne dell’errore)
– Senza replicazione, il modello completo risulta
avere zero gradi di libertà per l’errore
• Possibili soluzioni a questo problema
– Uso comune di certe interazioni di ordine elevato
per stimare l’errore
– Grafico di probabilità normale degli effetti
(Daniel, 1959)
– Altri metodi … vedere il testo, pag. 283
Esempio di un piano 2k con una sola
replicazione
• Un piano 24 viene condotto per studiare gli effetti di
quattro fattori che influiscono sulla filtrazione della
resina
• I fattori sono A = temperatura, B = pressione,
C = concentrazione di formaldeide,
D = velocità di mescolamento
• L’esperimento viene condotto in un impianto pilota
17
L’ Esperimento della Resina
L’ Esperimento della Resina
18
Stima degli Effetti
Term
Intercept
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Model
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Effect
SumSqr % Contribution
21.625
3.125
9.875
14.625
0.125
-18.125
16.625
2.375
-0.375
-1.125
1.875
4.125
-1.625
-2.625
1.375
1870.56
39.0625
390.062
855.563
0.0625
1314.06
1105.56
22.5625
0.5625
5.0625
14.0625
68.0625
10.5625
27.5625
7.5625
Lenth's ME
Lenth's SME
32.6397
0.681608
6.80626
14.9288
0.00109057
22.9293
19.2911
0.393696
0.00981515
0.0883363
0.245379
1.18763
0.184307
0.480942
0.131959
6.74778
13.699
Grafico della Probabilità Normale
degli Effetti
Norm al plo t
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Fi l tra ti o n Ra te
T e m p e ra tu re
P re ssu re
Co n ce n tra ti o n
S ti rri n g Ra te
99
A
95
N orm al % probab ility
A:
B:
C:
D:
90
AD
80
C
70
D
50
30
20
10
5
AC
1
- 18.12
-8.19
1.75
11.69
21.62
E ffe ct
19
Grafico di Probabilità Semi - Normale
Half Normal plot
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Fi l tra ti o n Ra te
T e m p e ra tu re
P re ssu re
Co n ce n tra ti o n
S ti rri n g Ra te
99
97
H alf N orm al % proba bility
A:
B:
C:
D:
A
95
90
AC
85
AD
80
D
70
C
60
40
20
0
0.00
5.41
10.81
16.22
21.63
|Effect|
Riassunto ANOVA del Modello
Response:Filtration Rate
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
C
D
AC
AD
Residual
Cor Total
Sum of
Squares
5535.81
1870.56
390.06
855.56
1314.06
1105.56
195.12
5730.94
Std. Dev.
Mean
C.V.
4.42
70.06
6.30
R-Squared 0.9660
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.9489
0.9128
PRESS
499.52
Adeq Precision
20.841
DF
5
1
1
1
1
1
10
15
Mean
Square
1107.16
1870.56
390.06
855.56
1314.06
1105.56
19.51
F
Value
56.74
95.86
19.99
43.85
67.34
56.66
Prob >F
< 0.0001
< 0.0001
0.0012
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
20
Modello di Regressione
Final Equation in Terms of Coded Factors:
Filtration Rate
=
+70.06250
+10.81250 * Temperature
+4.93750 * Concentration
+7.31250 * Stirring Rate
-9.06250 * Temperature * Concentration
+8.31250 * Temperature * Stirring Rate
I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti
Normal plot of residuals
DE SIG N-E XP E RT Pl o t
Fi l trati on Rate
99
N orm al % probability
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-1.83
-0.96
-0.09
0.78
1.65
Studentized Res iduals
21
Interpretazione del Modello –
Interazioni
Interaction Graph
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Interaction Graph
DE S IG N-E X P E RT P l o t
C : C oncentration
Fi l tra ti o n Ra te
104
Fi l tra ti o n Ra te
X = A : T e m p e ra tu re
Y = C: Co n ce n tra ti o n
D : Stirring R ate
104
X = A : T e m p e ra tu re
Y = D: S ti rri n g Ra te
88.4426
D- -1 .0 0 0
D+ 1 .0 0 0
A ctu a l Fa cto rs
B : P re ssu re = 0 .0 0
C: Co n ce n tra ti o n = 0 .0 0
Filtration R ate
Filtration R ate
C- -1 .0 0 0
C+ 1 .0 0 0
A ctu a l Fa cto rs
B : P re ssu re = 0 .0 0
D: S ti rri n g Ra te = 0 .0 0
72.8851
88.75
73.5
57.3277
58.25
41.7702
43
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
A: Tem perature
-0.50
0.00
0.50
1.00
A: Tem perature
Interpretazione del Modello
C ube Graph
DE S IG N-E X P E RT P l o t
Se un fattore viene
rimosso, il piano
con
una
sola
replicazione verrà
proiettato in due
repliche a 23
Filtra tion R a te
Fi l tra ti o n Ra te
X = A : T e m p e ra tu re
Y = C: Co n ce n tra ti o n
Z = D: S ti rri n g Ra te
92 .38
72.2 5
A ctu a l Fa cto r
B : P re ssu re = 0 .0 0
C+
C : C on ce ntration
7 4.2 5
61 .13
10 0.63
44.2 5
D+
D : Stirring R ate
CA-
4 6.2 5
69 .38
A: Te m pe rature
DA+
Proiettare un piano è
una
proprietà
estremamente usata
(vedere
piani
fattoriali frazionati)
22
Interpretazione del Modello –
Superficie di risposta
DE S IG N-E X P E RT P l o t
DE S IG N-E X P E RT P lo t
1.00
Filtration Rate
Fi l tra ti o n Ra te
X = A : T e m p e ra tu re
Y = D: S ti rri n g Ra te
Fil tra ti o n Ra te
X = A : T e m p e ra tu re
Y = D: S ti rri n g Ra te
90.125
0.50
83.75
A ctu a l Fa cto rs
100.625
B : P re ssu re = 0 .0 0
C: Co n ce n tra ti o n = 86.5313
-1 .0 0
72.4375
77.375
Fi l tra ti o n Ra te
D : Stirring R ate
A ctu a l Fa cto rs
B : Pre ssu re = 0 .0 0
C: Co n ce n tra ti o n = -1 .0 0
58.3438
0.00
51.9395
56.935
71
64.625
44.25
-0.50
1.00
1.00
0.50
0.50
-1.00
-1.00
0.00
-0.50
0.00
0.50
0.00
1.00
D: S ti rri n g Ra te-0.50
-0.50
A : T e m p e ra tu re
A: Tem perature
-1 .00
-1.0 0
Con la concentrazione sia al livello alto o basso, alta temperatura e
alto mescolamento si stima che risulti alta la velocità di filtrazione
Esperimento di Trivellazione
Esempio 6.5B, pag. 285
A = carico sulla trivella, B = portata, C = velocità di
rotazione, D = tipo di fango di trivellazione usato,
y = velocità di avanzamento nella trivellazione
23
Stima Effetti – Esperimento di
Trivellazione
Model
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Term
Intercept
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Effect
SumSqr % Contribution
0.9175
6.4375
3.2925
2.29
0.59
0.155
0.8375
1.51
1.5925
0.4475
0.1625
0.76
0.585
0.175
0.5425
3.36722
165.766
43.3622
20.9764
1.3924
0.0961
2.80563
9.1204
10.1442
0.801025
0.105625
2.3104
1.3689
0.1225
1.17722
Lenth's ME
Lenth's SME
1.28072
63.0489
16.4928
7.97837
0.529599
0.0365516
1.06712
3.46894
3.85835
0.30467
0.0401744
0.87876
0.520661
0.0465928
0.447757
2.27496
4.61851
Grafico di Probabilità Semi –
Normale degli Effetti
Half Normal plot
DE S IG N-E X P E RT P l o t
a d v._ ra te
load
fl o w
sp e e d
m ud
99
97
H alf N orm al % probability
A:
B:
C:
D:
B
95
90
C
85
D
80
BD
BC
70
60
40
20
0
0.00
1.61
3.22
4.83
6.44
|Effect|
24
Grafici Residui
Normal plot of residuals
ot
Residuals vs. Predicted
t
2.58625
99
1.44875
90
80
70
R es idu als
50
0.31125
R esiduals vs. Pr edicted
DE S G
I N - EX P ER T P l ot
adv ._ r at e
. 58625
2
. 44875
1
Re s id u al s
N orm al % pro bability
95
. 31125
0
-0 . 826
25
-1 . 963
75
1.6 9
4.7 0
7. 7
0
10.7 1
13. 71
P re di ct e d
30
20
10
-0.82625
5
1
-1.96375
-1.96375
-0.82625
0.31125
1.44875
2.58625
1.69
R es idual
4.70
7.70
10.71
13.71
Predicted
Grafici Residui
• I grafici residui indicano quali sono i problemi con le
assunzioni di omogeneità della varianza
• La consueta impostazione a questo problema è
assumere una interpretazione adeguata della risposta
• Le trasformazioni sono ampiamente usate
y* = y λ
• Le trasformazioni sono usualmente fatte per
– Omogeneizzare la varianza
– Portare normalità
– Semplificare il modello
25
Selezionare una Trasformazione
• Selezione Empirica di lambda
• Più importante (teoria) conoscenza o esperienza
può spesso indicare la forma di una
trasformazione
• Selezione Analitica di lambda: Box-Cox (1964)
metodo (contemporaneamente stima i parametri
del modello e il parametro lambda della
trasformazione)
• Box-Cox metodo attuato in Design-Expert
Il Metodo Box-Cox
DE S IG N-E X P E RT P l o t
a d v._ ra te
Box-C ox Plot for P ower Transforms
Una trasformazione log è
consigliata
6.85
Lam bda
Cu rre n t = 1
B e st = -0 .2 3
L o w C.I. = -0 .7 9
Hi g h C.I. = 0 .3 2
La procedura fornisce un
intervallo di confidenza
sulla trasformazione del
parametro landa
5.40
Ln(R es idualSS)
Re co m m e n d tra n sfo rm :
Log
(L a m b d a = 0 )
3.95
Se l’unità è inclusa nel
intervallo di confidenza,
la trasformazione non è
necessaria
2.50
1.05
-3
-2
-1
0
1
2
3
Lam bda
26
Stima degli Effetti Seguendo la
Trasformazione Log
Half Normal plot
DE S IG N-E X P E RT P l o t
L n (a d v._ ra te )
load
fl o w
sp e e d
m ud
99
97
H alf N orm al % probability
A:
B:
C:
D:
B
95
90
Niente indicazioni sulla
grandezza delle
interazioni degli effetti
C
85
D
80
I tre principali effetti
sono grandi
70
60
Che cosa succede alle
interazioni?
40
20
0
0.00
0.29
0.58
0.87
1.16
|Effect|
ANOVA Seguendo la
Trasformazione Log
Response:
adv._rate
Transform: Natural log
Constant: 0.000
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Sum of
Mean
F
Source Squares DF
Square Value
Prob > F
Model
7.11
3
2.37
164.82 < 0.0001
B
5.35
1
5.35
371.49 < 0.0001
C
1.34
1
1.34
93.05
< 0.0001
D
0.43
1
0.43
29.92
0.0001
Residual 0.17
12
0.014
Cor Total 7.29
15
Std. Dev. 0.12
Mean
1.60
C.V.
7.51
R-Squared
Adj R-Squared
Pred R-Squared
0.9763
0.9704
0.9579
PRESS
Adeq Precision
34.391
0.31
27
Seguendo la Trasformazione Log
Equazione Finale Codificata in Termini di
Fattori:
Ln(adv._rate) =
+1.60
+0.58 * B
+0.29 * C
+0.16 * D
Seguendo la Trasformazione Log
Normal plot of residuals
DE S IG N-E X P E RT P l o t
L n (a d v._ ra te )
Residuals vs. P redicted
DE S IG N-E X P E RT P l o t
L n (a d v._ ra te )
0.194177
99
0.104087
90
80
R es id ua ls
N orm a l % p ro ba bility
95
70
50
0.0139965
30
20
10
-0.0760939
5
1
-0.166184
-0.166184
-0.0760939
0.0139965
R es idua l
0.104087
0.194177
0.57
1.08
1.60
2.11
2.63
Pred icte d
28
Altri Esempi di Piani 2k con una
sola replicazione
• Esperimento per pannelli di rivestimento (Esempio 6.5C,
pag. 289)
– Due fattori influiscono sulla difettosità media
– Un terzo fattore influisce sulla variabilità
– I grafici sui residui sono usati per identificare gli effetti di
dispersione
• Esperimento del forno di ossidazione (Esempio 6.5B,
pag. 293)
– Osservazioni replicate contro ripetizioni (o duplicazioni)?
– Modello con all’interno - prova variabilità
Altri metodi per analizzare Piani
Fattoriali 2k Non Replicati
• Metodo di Lenth (Vedere testo, pag. 283)
– Metodo analitico per stimare gli effetti, usa la stima
dell’errore formata dalla messa in comune di piccoli
contrasti
– Alcuni adattamenti ai valori critici nel metodo originale
possono essere utili
– E’ consigliato di usarlo come supplemento all’abituale
grafico di probabilità normale degli effetti
• Carte d’inferenza condizionale (pag.284 & 285)
29
L’aggiunta di punti centrali del piano2k
• Basato sull’idea di replica di alcune prove
nel piano fattoriale
• Prove al centro mantengono una stima di
errore e permettere all’esperimento di
distinguere tra due possibili modelli:
k
k
k
First-order model (interaction) y = β 0 + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + ε
i =1
k
k
i =1 j > i
k
k
Second-order model y = β 0 + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + ∑ β ii xi2 + ε
i =1
i =1 j > i
i =1
yF = yC ⇒ no "curvature"
Le ipotesi sono:
k
H 0 : ∑ β ii = 0
i =1
k
H1 : ∑ β ii ≠ 0
i =1
SS Pure Quad =
nF nC ( yF − yC ) 2
nF + nC
Questa somma dei quadrati
ha un solo grado di libertà
30
Esempio 6.6A, Pag. 303
nC = 5
Abitualmente per
poter lavorare bene
servono tra i 3 e i 6
punti centrali
Design-Expert
provvede all’analisi,
includendo il test - F
per una vera curva
quadratica
ANOVA Esempio 6.6
Response: yield
ANOVA for Selected Factorial Model
Analysis of variance table [Partial sum of squares]
Source
Model
A
B
AB
Curvature
Pure Error
Cor Total
Sum of
Squares
2.83
2.40
0.42
2.500E-003
2.722E-003
0.17
3.00
Std. Dev.
Mean
0.21
40.44
C.V.
0.51
Pred R-Squared
N/A
PRESS
N/A
Adeq Precision
14.234
DF
3
1
1
1
1
4
8
Mean
Square
0.94
2.40
0.42
2.500E-003
2.722E-003
0.043
F
Value
21.92
55.87
9.83
0.058
0.063
R-Squared
Adj R-Squared
Prob > F
0.0060
0.0017
0.0350
0.8213
0.8137
0.9427
0.8996
31
Se la curvatura è significativa, aumentare il piano con prove
negli assi per creare un piano composito centrale. Il CCD è un
piano molto efficace per accostare il modello di secondo - ordine
Usi Pratici dei Punti Centrali (pag. 304)
• Usare condizioni operative correnti come punto
centrale del piano
• Controllare se qualche condizione “strana” si è
verificata durante l’esperimento
• Controllare l’andamento nel tempo
• Usare i punti centrali come alcune prove quando
c’è poca o non c’è informazione sulla variabilità
riferito alla grandezza del errore
• Punti centrali sono fattori qualitativi?
32
Punti Centrali e Fattori Qualitativi
33