Ri=igU\r-2ncDa2\

M. PASCAL (Napoli - Italia)
COSTRUZIONI GEOMETRICHE PER LA CORRENTE PIANA
CIRCUITO-ROTATORIA INTORNO AD UNA LAMINA RETTILINEA
In una sua Nota il sig. E. CAROFOLI (*), prendendo le mosse dal potenziale
complesso della corrente provocata da una lamina piana rotante in seno ad un
fluido in riposo, già determinato dal CALDONAZZO (2), ha trovato l'analogo potenziale per il moto intorno ad una lamina rotante in una corrente che ha una
nota velocità all'infinito e che possiede ancora una circuitazione non nulla intorno
all'ostacolo. Supponendo che la velocità all'infinito sia Z7=cost. parallela all'asse x
(fisso e con l'origine nel centro di rotazione), che la velocità angolare co sia del
pari costante, e dicendo _T la circuitazione, li la distanza del punto medio della
lamina dal centro di rotazione, a l'angolo costante che la lamina forma con la
congiungente l'origine col centro della lamina, 4a la lunghezza della lamina, la
risultante delle azioni dinamiche su questa è
R=R,. + iR}l=ig Tir— 2Ì7Tgcoa2 U+ 8jzga2co2h cos aei{Mt+aì +
+ 6ijiQ(oa2Uei*lrot+a) — gcoh cos «ZV<a,H"a> — gwhl V w
riferita agli assi fissi, ed il momento risultante rispetto all'origine è
MQ = ghlireos
oot-\-27iga2U2 sen 2(œt + a).
Se si suppone n=0, queste espressioni possono ovviamente semplificarsi e
possono scriversi
n +47? 7? + 7? _> 7?
M0 = \R2\h2 + \R3\h3,
avendo posto
Ri=igU\r-2ncDa2\
R2=6jigcoa2Uie2icot
R> = 2gcDh \4:7xa2co-r\ ekof,
ed avendo indicato con h2, hs i bracci delle forze R2 e R,} rispetto all'origine,
e con \R2\, \ R3 \ le grandezze di tali forze.
(*) E. CAROFOLI : Sur le mouvement autour d'une plaque plane en rotation. Comp. Rendus,
Paris, t. 184, 1927; p. 804-806.
(2) B. CALDONAZZO : Sopra la rotazione uniforme di un solido in un liquido
indefinito.
Nuovo Cimento (7), v. 26, a. 69, 1923; p. 25-39.
276
COMUNICAZIONI
Il moto riferito ad assi fissi non è permanente; ma per quel che riguarda
la determinazione della posizione delle forze agenti sulla lamina e la loro variazione al variare del tempo può essere facilmente studiato.
Noi ci proponiamo appunto di far vedere come con alcune semplici costruzioni geometriche sia possibile assegnare in ogni istante la posizione e la grandezza
della forza risultante agente sulla lamina in rotazione uniforme.
1. - Supponiamo in primo luogo che sia h=Q; la lamina, adagiata inizialmente sull'asse x, abbia cioè il suo punto di mezzo nelf origine e roti uniformemente intorno a tale punto.
L'espressione della forza risultante è allora
(1)
R=Ri + R2
e quella del momento risultante rispetto all'origine
(2)
M0 =
\R2\k2.
Prescindendo per ora dalla forza Ri che non dipende dal tempo, è costantemente
diretta secondo l'asse y, ed è quindi tale che il suo momento rispetto all'origine
è zero, si ha subito che il braccio rispetto all'origine della forza R2 è
(3)
Ä 2 -=- sen 2o)t
avendo posto
3co
L'equazione della linea d'azione di tale forza è dunque
(4)
x cos 2cot + y sen 2œt=~—sen 2œt.
Si ricava subito allora che la linea d'azione della forza R2 passa costantemente per il punto di coordinate lx=Q,
y=-).
La linea d'azione (4) incontra la direzione inclinata dell'angolo œt sull'asse x
(cioè — si può dire — la lamina, quantunque la lunghezza di questa possa esser
tale che il punto d'intersezione si trovi soltanto sul prolungamento) nel punto Pi
di coordinate
x=- sen 2œt,
y=A sen2 œt
ad una distanza cioè dall' origine (centro di rotazione e punto medio della lamina)
ò=A sen cot.
Tale punto
(5)
si muove dunque
al variare
del tempo sulla
.r + ^ _ _ J = = T
circonferenza
M. PASCAL : Costruzioni
geometriche per la corrente piana
che ha per centro il punto fisso per il quale passa costantemente
la forza
211
R2,
ed ha per raggio - .
Se a partire dal punto Pi riportiamo sulla direzione della retta (4) un segmento
proporzionale alla grandezza della forza, cioè
C2=9kgœ2na2A=k
\ R21
(in cui il coefficiente k ha opportune dimensioni) otterremo il punto P2 di coordinate
x= (± + C2) sen 2cot,
sen2 œt+ C2
y = (A-2C2)
y
il cui luogo al variare del tempo è l'ellisse
(6)
+
- 20A
pj3)'
(é
2
/
\
2
2
= 1
di centro [x=0,y=~\
e con gli assi paralleli agli assi
Fig. i.
coordinati.
Si vede facilmente che l'ellisse (6) è tutta esterna alla circonferenza (5).
Poiché queste due curve possono facilmente costruirsi appena sia assegnata
la corrente circuito-rotatoria, è chiaro che si potrà in ogni istante disegnare in
posizione e grandezza la forza dipendente dal tempo che agisce sulla lamina.
Basta infatti congiungere col centro del cerchio (5) il secondo punto d'intersezione della lamina colla circonferenza stessa, e prolungare fino all'intersezione
con l'ellisse (6).
2. - La forza RL indipendente dal tempo, che del pari agisce sulla lamina,
ha, come abbiamo detto, la direzione dell'asse y. Immaginandola applicata nel
punto (x=0,y=-),
essa potrà facilmente esser composta con la forza R2.
Diciamo d un segmento proporzionale alla grandezza della forza RL. L'equazione della linea d'azione della risultante di tutte le forze agenti sulla lamina
nel caso ora in esame (h=0) è
(7)
CA
x[C2 cos 2œt-\- Ci] + yC2 sen 2œt= -~- sen 2œt.
Anche la forza risultante passa per ogni valore del tempo per il
punto
(x=0,y=-J.
Il luogo del secondo estremo del suo vettore rappresentativo applicato
in lx=0,y=-\
è la circonferenza
X2 +
H
(A
+ Ci
di centro (a;=0, y = - + Ci) e di raggio C2.
=Cì
278
COMUNICAZIONI
Il punto di applicazione della forza risultante sulla lamina ha per coordinate
y= „ '] „ sen"2 cot
x= -„-*. - ~ sen œt cos œt,
^ î ~v ^2
^i ~r ^2
alla distanza dal centro di rotazione
CU
,
Al variare del tempo, tale punto descrive la circonferenza
{
*" + ^ ~~ 2(C[+ C2)) - 4(Ci + Cf
'
tangente all'asse x sull'origine.
Disegnata dunque tale circonferenza, si ha subito la posizione della risultante,
congiungendo l'intersezione della lamina con la circonferenza stessa col centro
di questa.
3. - Se h è diverso da zero, compare nella espressione della risultante il termine
Rs=2gœh\4C7ta2œ-r]
ed in quella del momento risultante rispetto all'origine il termine
g Uhr cos œt.
Il braccio dunque della forza R3 rispetto all'origine è
hz = B cos œt
avendo posto
B
ÜF
2Q\4t7ia2m—r\'
L'equazione della linea d'azione della R:) è allora
x sen œt — y cos œt=B cos œt.
La forza R3 passa costantemente per il punto
(x=0,y=—B).
Il punto P di intersezione delle linee d'azione delle due forze R2 e R:ì ha
per coordinate
x=(A+2R)
sen œteos œt,
y=—B+(A
+ 2B) sen2 œt.
Il luogo di tale punto è la circonferenza
*-+(y-2J-(—H
A _1_ 9 / ?
che ha per raggio — - — ed è concentrica alla circonferenza che abbiamo già
trovata come luogo del punto d'intersezione della linea d'azione della forza R2
con la lamina.
M. PASCAL : Costruzioni
geometriche
per la corrente piana
279
La posizione della forza Rs è quindi molto facilmente determinabile.
Dal punto P riportiamo nella direzione e verso delle due forze R2 e Rs due
segmenti C2 e Cs proporzionali alle grandezze di tali due forze.
Il punto Q, secondo estremo della risultante applicata in P ha per coordinate
x=[(A + 2B—2C2) sen œt+ C:ì] cos œt
y = [(A-\~2B-2C2)
sen œt+Cs] sen cot +
C,-B
ed il luogo di tale punto al variare del tempo è
(9)[x* + (y-[C2-B]y-(A+2B-2CMy-[C,-B])Y==Ct[x!
+
(y-[a-B]yi
che è una lumaca di PASCAL che ha il suo punto doppio in (x=0,y=C2 — B).
L'equazione della linea d'azione della risultante delle due forze R2 e _R3 è poi
(10)
x[2C2 sen2 œt— C:ì sen œt— C2]—y[2C2 sen œt— (73] cos œt-\-j-[C2A sen «)t+ C^B] cos œt=Q
la quale retta incontra l'asse y nel punto S
_ CU sen cot + C3B
y~~ 2C2senojt—
C* '
Componendo infine le tre forze Ri, R2, Rs, si ottiene come equazione della
linea d'azione della risultante
(11)
x[ d + d + ( Ci - 2 C2 sen œt) cos œt] —y[C:ì—2C2 sen œt) cos œt—(C2A sen œt+ C^B) cos œt=0.
La risultante di tutte le forze agenti sulla lamina incontra questa nel punto T
di coordinate
CU sen cot + C,B
x=
-
+
^
,
-t_ cos œt,
CU sen cot + C>B
y=
'
c + a
sen œt
che è il centro di pressione sulla lamina.
Al variare del tempo esso descrive la lumaca di Pascal
(12)
CU
*2 + 2 , 2 - ---}—„
Ci + <V
C*B2
2
=ir^7^(x +y>)
(Ci
mar-
che ha il suo punto doppio nell'origine. Per h=0 essa si riduce alla circonferenza (8) che abbiamo già trovata.
La (12) può essere disegnata molto agevolmente appena sia stata assegnata
la corrente circuito-rotatoria da studiare : come intersezione della (12) con la
retta di inclinazione œt sulla quale è adagiata la lamina si ottiene il centro di
pressione su questa.
280
COMUNICAZIONI
Se poi si riporta da T sulla direzione della retta .d'azione (11) della risultante un segmento C proporzionale alla grandezza di questa, si ottiene il punto
x=
[CU — 2C2{Ci + C2)] sen <ot + CS(B + Ci + C2)
eosœt
Ci+C2
y==Ci + C2 +
[C2A
2C2(d + C2)] sen cot+Csjß
+ C4 + Cfe) g e n
^
Ci+ c2
il cui luogo al variare del tempo è la lumaca di Pascal
(13)
x2 + y~-
CU +
2C2(Ci+C2)
Vi
Ci + C2
= C2(d+C2 + B)2(x2 + y2)
dove yi = y — (C±+ C2), che ha il punto doppio nel
punto (x=0, y= d + C2).
Per mezzo delle due lumache di Pascal (12)
e (13), la costruzione della risultante di tutte le
forze agenti sulla lamina in rotazione per ogni valore del tempo, è molto semplice.
Come intersezione della lamina con la (12) si
determina infatti immediatamente il centro di pressione che è il punto di applicazione della risultante
sulla lamina.
Condotta poi dal punto ( # = 0 , y=d+
C2) la
parallela alla direzione della lamina per quel tempo
che si considera, se ne determina l'intersezione Tr con la lumaca di Pascal (13): il
vettore T' — T rappresenterà in grandezza e posizione il vettore rappresentativo
della risultante di tutte le forze agenti sulla lamina in rotazione, per quell'istante.