File di presentazione dell`attività
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Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Franco Favilli, Laura Maffei, Carlo Romanelli Nucleo: Relazioni e funzioni Esplorazione di SONA Per mezzo di interazione fra pari con il supporto di Software SonaPoligonali Carta e penna Attraverso la formulazione di congetture, le discussioni collettive guidate dall’insegnante hanno lo scopo di Riconoscere regolarità nel tracciamento di sona Scoprire relazioni fra le ‘dimensioni P e Q dei sona’ Fare ipotesi sulla relazione fra P, Q e il numero N di linee chiuse Sfruttando i concetti di ‘multiplo’ e ‘divisore’ di un numero naturale, che emergeranno durante la discussione, fino a far coincidere N con il ‘più grande divisore comune a P e Q’, l’insegnante ha cura di Definire il concetto di ‘Massimo Comune Divisore’ (MCD) Presentare metodi ‘tradizionali’ di calcolo di MCD Mettere in risalto l’efficienza dei metodi presentati in base al contesto Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Tematica: Costruzione del concetto di Massimo Comun Divisore a partire dall‟analisi di tracciati prodotti, con apposito software od a mano, nel rispetto di regole implicitamente assegnate e riconosciute. I tracciati utilizzati corrispondono ad attività grafiche (i SONA) caratteristiche di culture indigene dell‟Africa e dell‟Asia. Finalità e obiettivi di apprendimento: Riconoscere regolarità e proprietà in contesti diversi. Individuare multipli e divisori di un numero naturale e multipli e divisori comuni a più numeri. Comprendere significato ed utilità del divisore comune più grande, anche in situazioni di problem solving. Scomporre numeri naturali in fattori primi. Metodologia: Esplorare tramite software ed attività grafica*. Riflettere e congetturare. Argomentare fra pari e con l‟insegnante. *Ove non sia possibile fare utilizzare il software agli alunni, tutte le attività potranno essere condotte esclusivamente con carta e penna. In tal caso, però, poiché tutti i tracciati saranno eseguiti a mano, occorre prevedere un tempo maggiore per il completamento delle attività Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? proposte. Sarebbe comunque auspicabile che in classe fosse disponibile almeno un PC con il software installato e collegato ad un videoproiettore. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività Il concetto di M.C.D. risulta spesso di scarso interesse per gli alunni, soprattutto a causa della difficoltà di riconoscere la motivazione della sua introduzione nel momento in cui questa avviene. Per gli alunni, il concetto di M.C.D., per l‟intrinseca semplicità del suo significato strettamente linguistico, si identifica, pressoché immediatamente, con l‟algoritmo per il suo calcolo. L‟attività proposta si prefigge di superare questa identificazione tramite la posizione di un problema di natura apparentemente grafico / geometrica. Infatti, attraverso l‟analisi del tracciato (ottenuto sia tramite uno specifico software che manualmente) di particolari linee, con questa attività viene proposto un percorso che, a partire dall‟individuazione di regolarità in tali tracciati, arriva alla esigenza di introdurre la nozione di M.C.D. fra due numeri. Lo scenario da cui la proposta trae lo spunto può essere particolare stimolante per l‟attenzione degli alunni, in quanto è rappresentato da antiche pratiche adottate da contastorie della tradizione popolare di alcune aree dell‟Angola, ma anche dell‟Asia centromeridionale e della Polinesia. Queste persone, pressoché illetterate, accompagnano il loro racconto disegnando sulla sabbia una serie di punti, ordinati in forma di tabella, e tracciando, in modo obliquo, una linea continua, seguendo determinate regole ed avendo il fine di racchiudere tutti i punti. L‟illustrazione di alcuni tipici disegni (detti SONA) prodotti da questi contastorie, oltre a catturare ancora di più l‟attenzione degli alunni, li rende partecipi di culture profondamente differenti da quella occidentale e mostra come tali narratori siano capaci di valutare il M.C.D., nel momento in cui effettuano la scelta iniziale delle dimensioni della tabella che costituisce il supporto per l‟attività grafica che accompagna il racconto. Questa attività, presentata in aula in maniera dinamica e interattiva con l‟impiego di apposito software grafico e di apposite schede, favorisce la formulazione di congetture e il loro controllo da parte degli allievi stessi. La semplicità dei prerequisiti permette di affrontare l‟attività fin dalla classe prima di una scuola secondaria di primo grado Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività Multipli e divisori di un numero. Numeri primi. Strumenti forniti agli allievi Software SonaPoligonali_1.1 con scheda introduttiva al suo uso. Schede per il lavoro in classe, comprensive di tabelle per annotare i risultati delle esperienze fatte e di esempi di disegni Sona. Organizzazione della classe e metodologia L‟attività proposta viene svolta nell‟aula informatica. Nelle fasi di utilizzo del software gli alunni lavorano a coppie. L‟utilizzo del software consente di esplorare situazioni, riflettere e congetturare. Per favorire la riflessione, viene richiesto un uso consapevole del software tramite l‟introduzione in esso di una limitazione al suo utilizzo. Le fasi di riflessione e congettura possono/devono essere accompagnate da attività grafiche con carta e penna. Le congetture, presentate all‟intera classe, devono essere sostenute da opportune argomentazioni ed offerte alla discussione fra pari. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Nelle fasi di argomentazione e discussione collettiva il ruolo dell‟insegnante è principalmente quello di facilitatore, lasciando alla classe il compito di obiettare, ribattere, fornire esempi e contro-esempi a favore o contro le diverse possibili congetture, concludere il percorso che porta gli alunni alla “scoperta” del M.C.D. Fasi e tempi (indicativi) La proposta didattica consiste di tre attività della durata complessiva di cinque ore e di due altre attività, della durata di un‟ora ciascuna, pensate come raccordo fra il nuovo percorso proposto per l‟introduzione del M.C.D. e quello tradizionale, con il relativo algoritmo di calcolo. Attività 1 2 3 4 5 Luogo * classe aula computer aula computer classe aula computer Scheda Attività 1 Attività 2 Attività 3 Attività 4 Attività 5 Tempo 2h 1h 2h 1h 1h * Ove non sia possibile utilizzare il software, tutte le attività potranno essere condotte in classe utilizzando solo carta e penna. Software utilizzato per realizzare l'unità: Maffei, L. & Favilli, F. (2009). SonaPoligonali_1.1.zip (in allegato) Biblio - Sitografia Favilli, F. (2005). Matematica ed Intercultura: quale didattica? Introduzione, inquadramento teorico e risultati di ricerca. Atti del XXII Seminario Nazionale di ricerca in didattica della matematica. [http://www.dm.unito.it/semdidattica/favilli.pdf] Favilli, F. (2009). Alunni di cultura minoritaria e competenze matematiche: una sfida per gli insegnanti!. In Imperiale, R., Pesci, A., Sandri, P. & Vighi, P. (eds.), Le competenze matematiche per l‟identità, l‟autonomia, la cittadinanza, pp. 123-128. Bologna: Pitagora Editrice. Gerdes, P. (1999). Geometry from Africa. Mathematical and Educational Explorations. The Mathematical Association of America: Washington, D.C. Maffei, L. & Favilli, F. (2004). Piloting the software SonaPolygonals_1.0: a didactic proposal for the GCD, in Favilli, F. (ed.), Ethnomathematics and Mathematics Education Proceedings of the ICME10-DG15, pp. 99-106. TEP: Pisa. [http://www.icme-organisers.dk/dg15/DG15_LM&FF_final_ed.pdf] Michieli Vitturi (de), M. & Favilli, F. (2006). Sona drawings, mirror curves and pattern designs. Proceedings of the 3rd International Conference on Ethnomathematics – Cultural Connections and Mathematical Manipulations. University of Auckland. [http://www.math.auckland.ac.nz/Events/2006/ICEM-3/MoreAbstracts.html] Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Verifica dei requisiti Cognome: Nome: SCUOLA DATA Tempo a disposizione: 30 minuti Consegna 1. Sicuramente saprai che 3·7 = 21. Quali di queste affermazioni sono vere? a) 3 è un multiplo di 21 b) 3 è un divisore di 7 c) 7 è un divisore di 3 d) 7 è un divisore di 21 e) 21 è un multiplo di 3 f) 21 è un multiplo di 7 g) 3 divide 21 V F □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ V F □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ Consegna 2. Quali di queste affermazioni sono vere? a) Considera i numeri 3 e 5. Il loro prodotto è un numero primo b) 33333 non è un numero primo c) 234567894 è un numero primo d) 13 è un numero primo e) il triplo di numero primo è un numero primo Consegna 3. Considera il numero 36. E‟ un numero primo? ________________________ Se non lo è, indica almeno due suoi divisori ____________________________________________________ Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per il laboratorio di informatica Il software utilizzato per l‟attività in classe è l‟applet Java SonaPoligonali_1.1. Tale versione del software è stata implementata modificando SonaPoligonali_1.0 (Maffei & Favilli, 2004) in modo che fosse più efficace per il raggiungimento degli obiettivi didattici dell‟unità di apprendimento proposta. Descrizione SonaPoligonali_1.1 è un software grafico per disegnare i sona (al singolare, lusona), attività grafiche sulla sabbia caratteristiche di culture indigene dell‟Africa, dell‟Asia e dell‟Oceania. Il software traccia sona, per mezzo di un algoritmo ricorsivo, a partire da un reticolo di P×Q punti e calcola il numero N di linee richieste per tracciarlo. Gli input del programma sono due numeri naturali, P e Q, che rappresentano le dimensioni del reticolo, ed un'ordinata Y0, che costituisce il punto da cui si decide di far iniziare il disegno del lusona. Y0 deve essere un numero dispari in quanto il reticolo di P×Q punti viene inserito dalla procedura in un rettangolo di dimensioni 2P e 2Q (Fig.1). Fig. 1. L'interfaccia del software SonaPoligonali_1.1. Raggiunto il limite dei 10 utilizzi consentiti, se l‟utente prova a inserire nuovi valori per P o Q, il software mostra una finestra di avvertimento (Fig. 2) in cui l‟utente è avvertito dell‟impossibilità di procedere. (Nota per l‟insegnante: tale limitazione è fittizia, in quanto il software riprenderà a funzionare qualora venga chiuso e nuovamente aperto). Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Fig. 2. La finestra di avvertimento del software dopo 10 prove. Installazione Requisiti minimi richiesti: Un browser provvisto di plugin per Java Virtual Machine. Per installare il software è necessario estrarre la cartella SonaPoligonali_1.1 dalla cartella SonaPoligonali_1.1.zip. Per accedere al software è necessario aprile il file SonaPoligonali_1.1.htm. Si consiglia di creare il collegamento a tale file sul desktop di ogni computer degli alunni, in modo che ogni alunno possa accedere al software aprendo tale collegamento. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività 1 ‘Impariamo a tracciare’ Cognome: Nome: Cognome: Nome: SCUOLA DATA Consegna 1. Osservate con attenzione la seguente figura. Consegna 2. Provate a completare il tracciato. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 3. Ripetete il medesimo tracciato sul reticolo vuoto. Consegna 4. Scrivete le regole che avete seguito per disegnare il tracciato. Consegna 5. Dopo averne parlato con l‟insegnante e con i vostri compagni, dovrebbero esservi più chiare le regole per tracciare il disegno. Con queste nuove informazioni, scrivete di nuovo le regole che avete seguito. Consegna 6. Qual è, secondo voi, lo scopo di tracciare tale disegno? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 7. Provate ora a disegnare il tracciato nel caso di un reticolo (3,2), tenendo presente lo scopo e seguendo le regole individuate. Provate poi a disegnare il tracciato nel caso di un reticolo (4,3). Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Indicazioni per il docente Attività 1 ‘Impariamo a tracciare’ Tipologia: Attività di esplorazione, verbalizzazione e congettura Obiettivo didattico: Individuare le regole di tracciamento del „disegno‟ (Lusona, sing. – Sona, pl.). Tempo: 2 ore Fase 1: Osservazione e tracciamento In questa fase gli alunni lavorano in maniera individuale. Una volta consegnata la scheda, li si dovrà lasciarli liberi di interpretare e „leggere‟ il tracciato parzialmente disegnato (Consegna 1), completare le linee tracciate (Consegna 2) e ridisegnare l‟intero tracciato (Consegna 3), senza fornire loro ulteriori indicazioni (punti 1, 2 e 3). Analisi delle Consegne 1, 2 e 3 – Gli alunni sono esplicitamente invitati ad osservare prima di iniziare a disegnare. L‟invito non è superfluo: una „lettura‟ attenta del tracciato parziale consente, infatti, di notare come le porzioni di tracciato della figura diano alcune indicazioni che formeranno il supporto oggettivo alle regole, di cui sarà chiesta l‟indicazione nella successiva Consegna 4. La „lettura‟ e l‟interpretazione del tracciato parziale porterà invece molti degli alunni a completare il tracciato, prima, ed a ripeterlo, poi, in maniera molto diversa. Fase 2: Descrizione e condivisione delle regole La descrizione delle regole (Consegna 4) rappresenta il passaggio dall‟attività di esplorazione a quella di riflessione e verbalizzazione. La successiva discussione consente agli alunni di confrontare diversi punti di vista e di arrivare ad una determinazione di regole „oggettivamente‟ accettabili (Consegna 5). Analisi delle Consegne 4 e 5 – Gli alunni si trovano a dover ripensare all‟attività grafica svolta, traducendo quindi un‟attività strettamente manuale, spesso condotta in maniera istintiva, in una di riflessione e verbalizzazione. Molto probabilmente, la maggior parte degli alunni indicherà come regole la descrizione dettagliata di ciò che hanno fatto (ho visto…ed allora…, poi…), le caratteristiche e le proprietà che hanno voluto attribuire ai loro disegni (ho completato il tracciato per ottenere qualcosa di simmetrico…). La scelta di far scrivere le regole di tracciamento è pensata nell‟ottica di favorire, negli alunni, l‟uso di un linguaggio corretto e funzionale ad una comunicazione efficace. Scrivere le regole permette di porre maggiore attenzione alle stesse, mentre la successiva lettura facilita la discussione collettiva permettendo di far intervenire anche gli alunni più timidi. L‟insegnante potrà iniziare proprio da loro chiedendo di leggere quanto scritto. Sicuramente la consegna di scrivere le regole non è facile per alunni di una classe prima; per tale motivo l‟insegnante di volta in volta, nella discussione collettiva, dovrà valorizzare quanto emerge di positivo. Esaminate alcune risposte potrà anche chiedere agli alunni di revisionare quanto scritto. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Fase 3: Scopo del tracciare Si chiede agli alunni di provare ad individuare lo scopo del disegnare il tracciato (Consegna 6) e di disegnarne altri tenendo presenti le regole condivise e lo scopo indicato (Consegna 7). Analisi delle Consegne 6 e 7 – Nell‟esplicitare le regole seguite nel disegnare il tracciato (Consegna 4), alcuni alunni avranno molto probabilmente segnalato quello che, a questo punto dell‟attività grafica, può essere ragionevolmente indicato come il suo scopo: racchiudere tutti i punti del reticolo all‟interno del tracciato. Così come per le regole, anche per lo scopo vi potrebbero essere anche proposte diverse, ma solo quella su indicata è sicuramente ed incontrovertibilmente coerente con quanto risulta dall‟esempio dato (5,4). La successiva Consegna 7 si prefigge allora di consolidare negli alunni sia la capacità di tracciare rispettando le regole condivise che di confermare la validità dello scopo appena attribuito all‟attività grafica. L‟ uso di carta e penna, coinvolgendo la manualità, permette di comprendere meglio le regole precedentemente enunciate. Nei ragazzi di questa età la manualità del disegno non è ancora completamente sviluppata, per cui, nonostante le regole per il tracciamento siano state correttamente enunciate, l‟insegnante potrebbe ancora osservare disegni anche molto discordanti. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività 2 ‘Impariamo a disegnare…come il software!’ Cognome: Nome: Cognome: Nome: SCUOLA DATA Consegna 1: Aprite il software SonaPoligonali e, nella finestra sulla destra, inserite al posto di P il numero 2 ed al posto di Q il numero 3; premete poi il tasto Ricomincia. Dopo, provate ad inserire, al posto della coppia (P,Q), le coppie di numeri (5,4), (4,9), (5,2) (11,5), (20,27); ogni volta, riportate nell‟ultima colonna della tabella che trovate qui sotto il numero N di linee poligonali che il programma ha tracciato: N lo trovate indicato nella stessa finestra del software. Osservate sempre con molta attenzione il modo in cui il software traccia i vari „disegni‟ nella finestra sulla destra. P Q (2,3) 2 3 (5,4) 5 4 (4,9) 4 9 (5,2) 5 2 (11,5) 11 5 (20,27) 20 27 Coppia Numero poligonali N Consegna 2: Ci sono differenze fra le regole seguite dal software e quelle seguite da voi per fare i tracciati a mano? Se sì, quali? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 3: Secondo voi, c‟è una relazione fra il numero N di poligonali e la coppia di numeri (P,Q)? Consegna 4: Senza usare il software, ma facendo uso delle regole che avete individuato, provate ora a tracciare a mano i „disegni‟ nel caso delle seguenti coppie di numeri (P,Q): (5,3), (4,2), (3,3). Per facilitarvi il compito sono stati tracciati i reticoli per ognuno dei tre casi da esaminare. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Indicazioni per il docente Attività 2 ‘Impariamo a disegnare…come il software!’ Tipologia: Attività di esplorazione Obiettivo didattico: Individuare le regole di tracciamento del „disegno‟. Fare scaturire congetture sulla relazione fra la coppia assegnata (P,Q) di numeri naturali ed il numero N risultante. Tempo: 1 ora Fase 1: Familiarizzazione con il software. L‟insegnante presenta il software SonaPoligonali con un videoproiettore. Mostra il caso (P,Q)=(5,4) e fa osservare che il software costruisce un reticolo di 5 punti posti in orizzontale e 4 in verticale. L‟insegnante sceglie poi come punto di partenza Y0 un valore che soddisfi la condizione riportata nella finestra interfaccia del software. Chiede agli alunni di indicare altri valori possibili e spiega che quello è il punto da cui il software inizia a disegnare: i disegni ottenuti si chiamano Sona. L‟insegnante mostra poi il funzionamento dei pulsanti Ricomincia, Ferma, Tempo di avanzamento. Infine, avverte gli alunni che, per ogni attività che sarà svolta al PC, il software permetterà di eseguire al più 10 disegni. Fase 2: Lavoro a coppie con il software. Agli alunni viene data una scheda con 6 coppie di numeri primi fra loro, in corrispondenza dei quali il software disegna una sola poligonale, che racchiude tutti i punti del reticolo (Consegna 1). Analisi della Consegna 1 – Gli alunni acquisiscono familiarità con il software, ottenendone dati numerici e prime indicazioni sul suo modo di tracciare. Si chiede agli alunni di provare a confrontare, sulla stessa scheda, le regole che il software segue per tracciare le poligonali con quelle seguite tracciando a mano durante l‟Attività 1 (Consegna 2). Analisi della Consegna 2 – Da un‟osservazione attenta del comportamento del software e da una discussione fra pari, facilitata dall‟insegnante, si vogliono far emergere in maniera più precisa le regole di tracciamento già delineate nel corso dell‟Attività 1. In particolare, gli alunni avranno conferma del fatto che il tracciato può essere iniziato a partire dal punto medio di una coppia qualunque di punti consecutivi del reticolo, purché presi entrambi lungo una stessa riga o colonna; il tracciato viene disegnato muovendosi in direzione obliqua (inclinazione 45°) rispetto alle linee del reticolo; si hanno cambiamenti di direzione solo in corrispondenza di punti giacenti sul bordo del reticolo (90° se interni al bordo, 180° se vertici). Rispetto alle regole individuate durante l‟Attività 1, in cui i tracciati sono stati disegnati a mano, gli alunni potranno essere portati ad immaginare la tabella come se fosse contenuta all‟interno di un rettangolo i cui lati sono degli specchi. Il differente modo di curvare in corrispondenza di punti sul bordo che siano interni o siano dei vertici, emersi nel tracciare a mano, viene ad essere unificato dall‟osservazione che, immaginando il tracciato come il percorso di un punto Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? luminoso, in corrispondenza di punti del vertice del rettangolo si ha in effetti una doppia riflessione. Fase 3: Lavoro a coppie con carta e penna. Si chiede agli alunni di ipotizzare una relazione fra N e la coppia (P,Q) (Consegna 3). Analisi della Consegna 3 – Una congettura potrebbe essere che N coincida con la differenza QP, un‟altra che N coincida con P-Q… A ciascuna congettura potrebbe essere però opposta una diversa congettura od un contro-esempio. Il problema rimane aperto! L‟insegnante favorirà allora l‟inizio di una discussione, che può essere accompagnata dall‟uso del software da parte degli alunni, alla ricerca di conferme o smentite delle varie congetture: l‟uso non indiscriminato del software, ottenuto tramite l‟introduzione di una limitazione, vuole spingere gli alunni a pensare prima di agire... Potrebbe, comunque, rimanere negli alunni il dubbio della sensatezza della domanda, tenuto conto del fatto che in tutti i casi esaminati N è sempre uguale a 1! Gli alunni devono confrontarsi con il disegno, con carta e penna, di altri tracciati (Consegna 4). Analisi della Consegna 4 – Avendo ormai individuato, in modo definitivo, le regole di tracciamento (Consegna 2), si chiede agli alunni di applicarle producendo essi stessi dei tracciati con valori di P e Q assegnati; gli alunni osserveranno che, mentre il caso (5,3) è analogo a tutti i casi della consegna 1, in cui con una sola poligonale si riusciva a racchiudere tutti i punti del reticolo, nel caso (4,2) e nel caso (3,3) sono necessarie, rispettivamente, N=2 e N=3 poligonali. Viene così introdotto il problema di cosa succede quando P e Q non sono primi fra loro (concetto a loro non noto e da non introdurre!) e, in particolare, quando P=Q. La proposizione di questo problema rappresenta quindi un momento di rottura con le precedenti attività, che si presume possa essere superato avendo chiaro che lo scopo è quello di racchiudere tutti i punti del reticolo. Il problema, oltre che a dare un senso alla domanda della Consegna 3, dovrebbe comunque stimolare l‟attenzione e l‟interesse degli alunni in vista della successiva Attività 3. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività 3 ‘Alla ricerca di regolarità’ Cognome: Nome: Cognome: Nome: SCUOLA DATA Consegna 1: Provate a tracciare a mano, come farebbe il software, i „disegni‟ nei casi (4,6), (6,3), (4,4). Consegna 2: Fate tracciare al software i disegni corrispondenti alle stesse coppie (4,6), (6,3), (4,4): sono uguali ai vostri? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 3: Pensando a quello che avete trovato ora ed a quello che avevate ottenuto durante le Attività 1 e 2, provate a dire di nuovo che relazione c‟è, ogni volta, fra i numeri P, Q ed il numero N. Potete utilizzare il software per fare le prove che ritenete utili per essere sicuri di quello che pensate. Nella tabella sottostante annotate le prove che fate. Ricordate che il software permette di fare al massimo 10 prove! Coppia P Sapreste allora dire che relazione c‟è fra N e P? e fra N e Q? e, infine, fra N e la coppia di numeri (P,Q)? Q Numero poligonali N Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 4: Potete usare questa tabella per annotare le coppie prese in considerazione dai vostri compagni ed analizzate insieme. Coppia P Q Numero poligonali N Provate ora a dire che relazione c‟è fra il numero N e la coppia di numeri (P,Q). Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Indicazioni per il docente Attività 3 ‘Alla ricerca di regolarità’ Tipologia: attività di riflessione Obiettivo didattico: riferire il numero di poligonali N a un divisore comune, il massimo, di P e Q, con P e Q dimensioni del reticolo. Tempo: 2 ore Fase 1: Tracciati con carta e penna e con il software. Viene chiesto agli alunni di tracciare con carta e penna alcuni „disegni‟ (Consegna 1). Analisi della Consegna 1 – Gli allievi riprendono familiarità con le regole di tracciamento e ritrovano il problema con cui avevano terminato l‟attività precedente; infatti, pur essendo nei tre casi N diverso da 1, nel primo caso si ha che N è Q-P, nel secondo è P-Q, nel terzo è N=P=Q. A questo punto si chiede agli alunni di utilizzare il software per controllare se i „disegni‟ della consegna precedente sono stati eseguiti correttamente (Consegna 2). Analisi della consegna 2 – La consegna permette di fare una autocorrezione della consegna 1 e, ottenutala, motiva la nuova riproposizione della domanda della Consegna 3 della precedente Attività 2. Fase 2: Prime congetture Viene poi chiesto agli alunni di ipotizzare un legame fra N e P, N e Q , N e (P,Q) (Consegna 3). Analisi della consegna 3 – La domanda della Consegna 3 della precedente Attività 2 viene ora riproposta in forma guidata, con domande intermedie, così da rendere più semplice il percorso che dall‟analisi attenta dei dati indicati nelle loro tabelle li dovrebbe gradualmente condurre alla relazione cercata. Vogliamo sottolineare come il fatto che il numero di prove possibili con il software sia 10 spinga gli alunni ad un suo uso consapevole e rende la scelta delle coppie una esplorazione ragionata, finalizzata alla costruzione di una congettura. Fase 2: Discussione collettiva. Si apre la discussione in cui l‟insegnante mostra tramite un videoproiettore le prove fatte dagli alunni che a turno interverranno. Viene richiesto a tutti di riempire una tabella con le prove fatte dagli altri (Consegna 4). Analisi della consegna 4 – L‟analisi dei dati ottenuti nella tabella ed in quelle precedenti permette di arrivare, prima, a dire che il numero N di linee è un divisore comune sia a P che a Q e, poi, a concludere che è il massimo fra i divisori comuni di P e Q, cioè il MCD(P,Q). L‟insegnante avrà quindi cura di definire il MCD come divisore comune massimo fra due o più numeri naturali. E‟ facile che i ragazzi propongano congetture intermedie del tipo „se i due numeri sono pari il numero di linee è pari‟; l‟insegnante favorirà le indagini al riguardo, al termine delle quali dovrà comunque essere chiaro che si sta cercando qualcosa di più generale e che si può comunque ottenere qualcosa di più preciso. Nel caso di congetture errate dovranno essere gli stessi alunni a confutarle, avvalendosi anche del software. L‟insegnante dovrà gestire abilmente i vari interventi degli alunni durante la discussione, cercando di coinvolgere sia gli alunni meno propensi a intervenire sia gli alunni che sembrano più lontani dalla soluzione. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività 4 ‘MCD … con disinvoltura’ Cognome: Nome: Cognome: Nome: SCUOLA DATA Consegna 1: Considerate la coppia di numeri (20;12). Qual è l‟insieme dei divisori di 20? [Ti consigliamo di procedere in “maniera ordinata” da 1·20= 20, 2·10= 20 e così via] D 20 = 1; 2; …………………; 10; 20 Qual è l‟insieme dei divisori di 12? D 12 = 1; …………………;12 Qual è l‟insieme dei divisori comuni? D c = ………..……… Qual è il Massimo Comune Divisore? M.C.D. = …… Consegna 2 Ho un mazzo di 40 carte. Quanti mazzetti uguali posso formare? Di quante carte ciascuno? Consegna 3: Calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri, facendo uso ogni volta di entrambi i metodi: (36; 24) ….. (12;84) ….. (1680;5400) ….. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Indicazioni per il docente Attività 4 ‘M.C.D. … con disinvoltura’ Tipologia: attività di esplorazione / riflessione / raccordo ai metodi tradizionali. Obiettivo didattico: Calcolo del M.C.D. sia come intersezione di insiemi che tramite l‟algoritmo usuale. Comprendere il ruolo dei fattori nella scomposizione di un dato numero. Tempo: 1 ora (escluso il tempo previsto dall‟insegnante per il calcolo del M.C.D. per fattorizzazione) Fase 1. M.C.D. come intersezione di insiemi. Dopo le prime tre attività, l‟insegnante mostra i metodi tradizionali per il calcolo del M.C.D. Il punto di partenza è la determinazione insiemistica, che viene presentata mettendo in luce l‟importanza di una strategia nella ricerca dei divisori di un dato numero: si parte da 1, per trovare sia 1 che il numero dato, si prova 2 e così via, fino a completare l‟insieme dei divisori. In questa fase potrebbero emergere alcune difficoltà; in tal caso l‟insegnante dovrebbe fornire ulteriori esercizi. L‟insegnante parlerà quindi di „metodo delle intersezioni‟, utilizzando l‟espressione „metodo grafico‟ per indicare il calcolo attraverso l‟impiego dei sona. Fase 2. Il ruolo dei divisori La strategia per la determinazione di divisori è importante per risolvere semplici problemi ed è propedeutica per i successivi sviluppi della proposta (Attività 5). Fase 3. Calcolo del M.C.D. attraverso la fattorizzazione. La richiesta c) della terza consegna, il calcolo del MCD (1680;5400) mette in luce che il metodo delle intersezioni è inefficace quando si hanno numeri grandi. Il calcolo del MCD si potrà comunque effettuare attraverso il software. Si potrà dunque aprire una discussione con i ragazzi, al termine della quale l‟insegnante potrà presentare il metodo tradizionale, basato sulla scomposizione in fattori primi, che potrebbe essere introdotta in questo momento. L‟insegnante parlerà quindi di „metodo della fattorizzazione‟. E‟ importante associare un nome diverso a ciascuno di questi tre metodi per evitare possibili confusioni da parte dei ragazzi. In seguito sarà infatti richiesto espressamente l‟utilizzo dei vari metodi. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività 5 ‘Divisori … con disinvoltura’ Cognome: Nome: Cognome: Nome: SCUOLA DATA Consegna 1 Se ho 12 rose, quanti mazzetti uguali posso comporre? Di quante rose? Se ho 8 tulipani, quanti mazzetti uguali posso comporre? Di quanti tulipani? Utilizzando tutti i fiori disponibili, vorrei ora ottenere il maggior numero possibile di mazzi, che contengano lo stesso numero di rose e di tulipani. Quanti mazzetti ugualmente composti posso ottenere? Quante rose e quanti tulipani contengono? Consegna 2 Servendoti del software, oppure a mano, disegna adesso il reticolo (12,8) e calcola il numero di poligonali. Pensa adesso che i puntini della “base” del tuo reticolo siano le 12 rose, mentre sulla “altezza” siano disposti i tulipani. Quante rose e quanti tulipani sono „contenuti‟ in ciascuna di queste poligonali? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Indicazioni per il docente Attività 5 ‘Divisori … con disinvoltura’ Tipologia: attività di esplorazione / riflessione. Obiettivo didattico: Risoluzione di problemi attraverso la determinazione dei divisori. Ulteriori osservazioni sul software SonaPoligonali. Tempo: 1 ora Consegna 1: Problema risolubile con MCD Viene proposto un problema risolubile con il calcolo dei divisori comuni. Stabilito che il M.C.D.(12,8) = 4, otteniamo il numero di mazzetti la cui composizione è Rose = 12/4 = 3 e Tulipani = 8/4 = 2. Analisi della Consegna 1 – Questo problema può risultare abbastanza complesso. Nel caso si riscontrassero eccessive difficoltà, si potrebbe passare all‟attività di recupero proposta nell‟apposita scheda, che potrà essere proposta anche portando del materiale in classe. Questa scheda potrà essere considerata come una vera e propria verifica formativa, dal cui esito l‟insegnante dovrebbe comprendere se gli alunni siano o meno in grado di affrontare la successiva verifica finale. Consegna 2: Problema con utilizzo dei sona La seconda consegna è un ritorno al software SonaPoligonali che ne mette in luce un‟ulteriore proprietà. Si potrà infatti osservare che le 4 linee del reticolo (12,8), oltre a darci il M.C.D., che è il numero di mazzetti, ci indicano anche la composizione di questi mazzetti. Analisi della Consegna 2 – Se pensiamo di disporre sul lato di base del reticolo le 12 rose e sul lato di altezza 8 tulipani, ogni linea racchiude 3 rose della base e 2 tulipani dell‟altezza: cioè la composizione del mazzetto. Di seguito sono riportati alcune figure riguardanti possibili utilizzi del software allo scopo di risolvere il problema. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività di verifica Cognome: Nome: SCUOLA DATA Tempo a disposizione: due ore Consegna 1. Spiega con parole tue il significato del termine Massimo Comune Divisore (MCD). Consegna 2. Stabilisci qual è il MCD fra le seguenti coppie di numeri utilizzando sia il „metodo grafico‟ sia il „metodo delle intersezioni‟: a. MCD (5,7) b. MCD (10,4) c. MCD (12,6) Consegna 3. Stabilisci quali fra le proposizioni che seguono sono vere e quali sono false giustificando le tue risposte: a. Il MCD tra due o più numeri naturali è sempre il più grande fra questi numeri V □ F □ Perché_________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _______________________________________________________ b. Il MCD tra due o più numeri naturali può essere uguale a uno dei due numeri V □ F □ Perché_________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________ Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? c. Il MCD tra due o più numeri naturali è sempre il più piccolo tra i numeri dati V □ F □ Perché_________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _______ d. Il MCD tra due numeri naturali multipli tra loro coincide con uno di essi V □ F □ Perché_________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _______ Consegna 4. Due scatole contengono rispettivamente 120 penne nere e 96 penne rosse. Si vogliono confezionare dei pacchetti uguali contenenti il massimo numero di penne nere e rosse. a. Quanti pacchetti si possono confezionare? b. Quante penne rosse e quante penne nere sono contenute in ciascun pacchetto? Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività di recupero Cognome: Nome: SCUOLA DATA Tempo a disposizione: due ore Consegna 1. Completa la tabella inserendo una X quando un numero della colonna di sinistra è divisore di un numero della prima riga. …è divisore di … 12 15 64 2 3 4 5 Consegna 2. Trova i divisori comuni ai numeri 20 e 45 e poi quelli comuni a 13 e 24. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Consegna 3. Disegna i reticoli (7;4), (4;4), (3;6) e traccia le poligonali in modo da racchiudere tutti i punti. Quante poligonali ottieni? Consegna 4. Se hai 18 caramelle all‟arancia e 24 caramelle al limone a. in quanti gruppetti uguali fra loro puoi ripartire le 18 caramelle all‟arancia? (es.: 1 gruppetto da 18 caramelle... 2 gruppetti da 9 caramelle... ) b. in quanti gruppetti uguali fra loro puoi suddividere le 24 caramelle al limone? c. quanti sacchetti puoi confezionare, utilizzando tutte le caramelle, in modo che valgano contemporaneamente tutte e tre le condizioni seguenti? ciascun sacchetto contiene lo stesso numero di caramelle; il numero dei sacchetti è il massimo possibile; in ogni sacchetto vi sono caramelle di ognuno dei due tipi. Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C. Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione? Scheda per lo studente Attività integrativa Cognome: Nome: SCUOLA DATA Tempo a disposizione: due ore Consegna 1. Considera i reticoli di dimensione (4;1), (4;2), (4;3); in ciascuno dei tre casi, quante poligonali servono per racchiudere tutti i punti del reticolo? (4,1) … (4,2) … (4,3) … Consegna 2. Considera i reticoli di dimensione (5;1), (5;2), (5;3), (5;4); in ciascuno dei quattro casi, quante poligonali servono per racchiudere tutti i punti del reticolo? (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) … … … … Consegna 3. Se p è un numero primo e consideri i reticoli di dimensione (p,1), (p,2) .......(p, p-1), quante poligonali ti servono per racchiudere tutti i punti di ciascuno di questi reticoli? (p,1) … (p,2) … (p,3) … ….... … (p,p-1) … Consegna 4. Se n è un numero composto e consideri i reticoli di dimensione (n,1), (n,2) .......(n, n-1), ottieni sempre lo stesso numero di poligonali? (n,1) … (n,2) … (n,3) … ….... … (n,n-1) … Consegna 5. Come potresti fare per scoprire se un numero è primo?