Regina reginella a cura di Fabio Brunelli, Roberto Imperiale

Regina reginella
a cura di Fabio Brunelli, Roberto Imperiale, Carmela Milone, Franco Spinelli
Introduzione ....................................................................................................2
Descrizione dell'attività......................................................................................2
Indicazioni metodologiche..................................................................................5
Spunti per un approfondimento disciplinare ..........................................................6
Eventuali difficoltà e suggerimenti.......................................................................7
Bibliografia ......................................................................................................8
Proposta di attività per il corsista ........................................................................8
Introduzione
L’attività proposta prende spunto da un gioco ampiamente e variamente diffuso:
appunto “Regina reginella”, ed ha come tema la simmetria spaziale ed eventualmente
il suo “recupero”. Questo gioco si realizzerà concretamente in palestra (o comunque in
luogo aperto) e successivamente sarà “rappresentato” trasferendolo sul foglio di carta.
La rappresentazione del gioco mediante rette opportunamente contrassegnate
conduce alla razionalizzazione di uno spazio lineare bi-direzionale e normato. A partire
da questa scoperta, attraverso l’uso di percorsi “a frecce” si arriva a introdurre il piano
cartesiano (a coordinate intere positive e negative) ed eventualmente la linea dei
numeri interi relativi con la loro “somma algebrica”. L’attività si colloca naturalmente
in una classe prima e permette così di porre basi solide a competenze assolutamente
indispensabili e che coinvolgono appunto l’orientamento e la simmetria spaziale.
Descrizione dell'attività
Fase 1: “Regina reginella” con gli animali
In palestra l’insegnante ricorda il gioco “Regina reginella” che probabilmente tutti
conoscono: è un gioco d’infanzia della nostra tradizione (“Regina reginella, quanti
passi devo fare per venire al tuo castello con la fede e con l’anello, con la piuma e col
mantello?”). Di solito una conta assegna ad una bambina il ruolo di regina. La regina e
gli altri giocatori si collocano l’una di fronte agli altri ai due lati opposti di un
rettangolo, che è il campo da gioco: la linea di partenza da un lato e il “castello”
dall’altro.
La regina darà a turno a ciascun giocatore istruzioni del tipo: “Fai tre passi avanti da
leone… fai tre passi indietro da formica… (risp. da passero, da rana, da pecora, da
maiale, da leone, da cavallo, da giraffa… etc…”) che colloca il giocatore (chiamiamolo
giocatore 1 per comodità) ad un punto della retta “direzione”, quella, cioè, che unisce
idealmente lo stesso giocatore e la reginella. Questo accade per ogni giocatore.
Quando si conclude “il giro” e si ritorna al giocatore 1, reginella gli impartirà un nuovo
“comando” e questi ripartirà dal punto sul quale è arrivato in precedenza. I giocatori,
seguendo gli ordini del capogioco devono raggiungere – per primi, ovviamente - il
castello. È importante che nella prima fase del gioco i passi siano avanti e indietro e
che siano passi di lunghezza diversa (perciò si usano passi “di animali” molto diversi
tra loro…).
Infatti, in questa fase lo scopo è quello di far avvertire la mancanza di una unità di
misura dei passi comune ed uguale per tutti, che, introdotta, consentirebbe al gioco di
essere equo, grazie ad una lunghezza dei passi non più dipendente dal corpo ma
prefissata comune ed invariante per ogni giocatore. Questo perché due giocatori tra
loro diversi che eseguissero liberamente “istruzioni uguali” (es: tre passi da gatto
avanti) partendo dallo “stesso punto” otterrebbero certamente risultati diversi dovuti
alla diversa lunghezza delle loro…gambe.
L’insegnante dovrà guidare i ragazzi a rilevare questa esigenza e a stabilire insieme
l’unità di misura: questa può essere pari a una mattonella o a una striscia
2
convenzionale. (In seguito, si potrebbe anche stabilire che il passo “da….” possa
essere equivalente ad es. a 3 unità e quello “da….” a 1 unità; o addirittura, se
l’insegnante lo ritenesse opportuno, si potrebbe anche stabilire che un passo “da...”, “
sia “lungo” 1/2 di unità, 1/4..., 1/3… ecc… di unità… richiamando così il concetto di
frazione…). La scelta della lunghezza “intera” del passo è, in questa fase, comunque
preferibile.
Nota
In questa fase, poi, (seguendo quello che i bimbi fanno spontaneamente) il
movimento si esegue (deve eseguirsi) “avanti-indietro”, senza mai “girare su se
stessi”: i giocatori sono sempre rivolti verso il Castello (la loro meta) e spostano,
appunto il corpo in avanti o indietro (simulando in questo caso “il gambero”).
Fase 2: “Regina reginella” con i robot
Nella seconda fase del gioco ci si servirà ancora dell’unità di misura stabilita: i
comandi saranno del (solito) tipo “fai due passi avanti … fai 3 passi indietro …” ma
questa volta i giocatori devono diventare (o immaginare di essere o addirittura usare)
dei “robot”: poiché il robot è rigido, esso deve girarsi per tornare indietro…. Girarsi su
se stessi è – come infatti si vedrà tra poco - operazione necessaria al proseguimento
didattico/pedagogico del “gioco”.
Per terra segneremo col nastro una retta suddivisa in segmenti riportando l’unità di
misura stabilite e le assegneremo un verso corrispondente all’avanti (di conseguenza il
verso opposto corrisponderà all’indietro: il girarsi per “andare indietro” corrisponde
precisamente al riconoscere l’esistenza dei due versi). La linea di partenza sarà
perpendicolare alla direzione del movimento (la retta disegnata per terra) e sarà
posizionata in un punto che si trova all’incirca a metà del nastro, in maniera da
rendere naturale ed equivalente il movimento in avanti o indietro in qualsiasi
momento del gioco e da rendere anche possibile una sequenza del tipo “fai 5 passi
avanti… fai 7 passi indietro”. Ove lo si ritenga opportuno, si potrebbero introdurre 2
castelli ai due estremi della retta. E il vincitore, essere colui/colei che arrivi per
primo/a a uno dei due castelli.
In questa fase alcuni ragazzi giocheranno, altri osserveranno. Naturalmente giocatori
e osservatori si alterneranno. gli osservatori devono collocarsi in modo che l’avanti sia
verso la loro destra e il dietro alla loro sinistra (quindi, si diceva, si posizioneranno su
una retta perpendicolare alla direzione del gioco). Gli osservatori dovranno descrivere
su un foglio loro assegnato gli spostamenti dei giocatori. In fase successiva i giocatori
possono anche passare da più ad uno solo o al massimo due, essendo divenuto
“secondario lo scopo” del gioco e “primaria la sua descrizione/comprensione”.
In classe, infatti, si esamineranno questi fogli e si individuerà una modalità condivisa
di rappresentazione degli spostamenti dei giocatori. È importante che nella discussione
relativa emergano i seguenti punti:
•
l’equivalenza dei due versi di spostamento sulla retta (concetto che comporta il
riconoscimento di una “simmetria” nello spazio e dal punto di vista matematico
prelude all’introduzione dei numeri negativi e delle operazioni inverse);
3
•
•
la necessità di rappresentare simbolicamente in due modi, chiaramente
differenziati, gli spostamenti in un verso o nell’altro;
la convenzionalità del “punto di arrivo” (se Reginella, contestualmente agli
spostamenti dei giocatori, potesse spostare il suo castello a suo piacimento, il
gioco avrebbe comunque termine?); questa “domanda” prelude naturalmente
alla scoperta del concetto della bi-infinità della retta...
Le modalità di rappresentazione dei due versi sulla retta proposte dai ragazzi di solito
prevedono due colori diversi (es. blu / rosso) oppure frecce (→ / ←) accanto o
sopra/sotto al numero dei passi. L’insegnante può a questo punto adottare le modalità
proposte dai ragazzi oppure presentare a sua volta la possibilità dei numeri con
segno: +5 rappresenterà 5 passi in avanti, -3 rappresenterà 3 passi indietro.
Qualunque sia la rappresentazione adottata, è comunque fondamentale che
l’insegnante chiarisca trattarsi di scrittura simbolica; i segni quali (+, -) non dovranno
avere alcun riferimento al loro significato aritmetico (né tanto meno alla “somma
algebrica”).
Si osservi che a questo punto, proprio riprendendo il gioco di “Regina reginella”, verrà
naturale il compiere di seguito i passi indicati nelle istruzioni ricevute, cioè continuare i
percorsi/spostamenti dal punto nel quale il giocatore è precedentemente arrivato.
Individuato il “modello rappresentativo”, si può quindi far spostare sulla retta
disegnata sul proprio quaderno un pupazzo (il robot di Reginella) secondo una
sequenza di istruzioni scritta sulla lavagna.
Fase 3: Torniamo in palestra
Sul pavimento stavolta saranno tracciate due rette perpendicolari, entrambe (con i
relativi versi secondo la convenzione adottata dalla classe) e il corrispondente
quadrettato delle rette ad esse perpendicolari (in pratica un piano cartesiano a
coordinate intere).
Si posizionano tutti i ragazzi in modo tale che tutti abbiano la stessa visuale del
terreno (gradinate, balconata, una parete, …). Si dividono i ragazzi a coppie e si dà a
ogni coppia una sequenza di istruzioni di questo tipo, chiedendo di eseguirle senza
dare loro spiegazioni particolari:
(1) +2 +2| -5 -5| +3 +3|
(2) +2 +3| -1 -2| -2
(3) +2 +3| -5| -4| +4 +2|
Chi crede di aver capito va a provare sul terreno; l’insegnante confermerà o meno la
correttezza del procedimento, ma senza anticipare suggerimenti, in modo che ogni
coppia possa ragionare per proprio conto.
Nota per l'insegnante
La convenzione qui adottata +2 -3 sarà naturalmente rappresentata secondo la
convenzione stabilità con la classe e dunque non dovrebbe rappresentare un
problema. ciò che i ragazzi dovranno capire è che il segno __ (“sotto il numero dei
passi”) indica spostamenti su una retta “orizzontale” mentre l’altro | (“accanto a
4
destra del numero dei passi”) indica spostamenti sulla retta ad essa perpendicolare ed
intersecata, cioè sulla “verticale”. Ogni percorso “comincerà obbligatoriamente dal
punto-incrocio delle due rette, che si chiamerà perciò, punto di partenza.
Naturalmente anche in questo caso, ci aspettiamo che le istruzioni vengano eseguite
l’una di seguito all’altra, continuando dal punto in cui si è arrivati dopo l’istruzione
precedente. Scopo di questa fase è far vedere che ogni punto del quadrettato può
essere raggiunto dopo aver percorso passi destra/sinistra e sopra/sotto variamente
combinati.
Indicazioni metodologiche
Un prerequisito che si ritiene necessario per avviare processi di apprendimento in
geometria è naturalmente il potersi/sapersi orientare nello spazio/tempo. L’attività
proposta presenta una modalità di intervento ma al tempo stesso di diagnosi di
eventuali difficoltà del ragazzo, difficoltà in questo caso riferite all’orientamento
spaziale. La diagnosi, infatti, consente di conoscere (appunto “attraversandolo”) i
nostri studenti, ed è quindi fondamentale per praticare costantemente
l’individualizzazione didattica.
La prima fase di questa attività concerne la simmetrizzazione dello spazio, operazione
che – si riscontra sempre più spesso - non è posseduta da un numero molto alto e
progressivamente crescente di studenti (anche in assenza di particolari patologie o DA
o DSA); se questa difficoltà è presente, si riscontrano naturalmente problemi connessi
con la capacità di orientamento spaziale. Quello spaziale è il primo orientamento del
quale i bambini/ragazzi possono avere consapevolezza ed è il più facile da
diagnosticare (la didattica dello spazio in genere “è più facile” della didattica del
tempo). Tuttavia questo tipo di difficoltà presenta altre implicazioni meno ovvie ma
ormai dimostrate: nella nostra cultura, ad es. lo spazio è orientato da sinistra verso
destra. Questo comporta che, in generale, le attività cognitive in quasi tutti i campi del
sapere (dalla scrittura alla matematica: operazioni o geometria; dalla geografia alle
arti figurative ed espressive) comportino operazioni “orientate”, che abbiano cioè un
verso privilegiato “sinistra-destra” ma che ne prevedano anche l’“opposto”. Da qui
possono provenire le difficoltà quando si debba operare – appunto - nel verso
opposto, ad esempio invertendo le operazioni. Il contesto privilegiato in cui tale
difficoltà può essere diagnosticata è quello ludico (in particolare, motorio); questo
diventa anche contesto d’apprendimento, in quanto campo d’esperienza, e può
dunque coinvolgere tutti gli studenti permettendo dunque di usufruire di un
“tutoraggio fra pari” implicito e naturale, quale quello che s’instaura in situazione di
gioco. Altrettanto importante e per gli stessi motivi è la “negoziazione” dei significati
attuata durante la discussione in classe.
La “scelta collettiva” di modalità condivise per rappresentare i percorsi spinge ogni
alunno a suggerire e confrontare la propria proposta con quelle degli altri. Qualora la
soluzione condivisa dalla classe fosse troppo distante da quelle usuali, l’insegnante
non deve intervenire imponendo la modalità consueta ma creare una situazione che
faccia emergere questa difficoltà: ad esempio un gioco analogo a quelli proposti ma da
attuare a distanza con un’altra classe… In tal caso le due classi dovranno concordare
una modalità comune che sia la più efficace possibile, proprio a fini comunicativi.
5
Spunti per un approfondimento disciplinare
Scheda 1: Percorsi e coordinate del punto d’arrivo
Riprendiamo i percorsi su cui i ragazzi hanno lavorato in palestra:
(1) +2 +2| -5 -5| +3 +3|
(2) +2 +3| -1 -2| -2
(3) +2 +3| -5| -4| +4 +2|
si riscontra subito che un percorso come l’(1) ha il punto di arrivo coincidente col
punto di partenza, mentre il (2) e il (3) hanno il punto d’arrivo non coincidente con
quello di partenza. percorsi come l’(1) li diremo chiusi, quelli come il (2) e (3), aperti.
Si verifica facilmente che i percorsi chiusi hanno lo stesso numero di “passi orizzontali”
e di “passi verticali” (contati indipendentemente dal verso) che, perciò, la loro somma
algebrica è 0. non è sempre vero il contrario. infatti in (2) – percorso aperto - il
numero dei passi + è uguale al numero dei passi -, mentre in (3) - percorso aperto –
il numero dei passi + non è uguale al numero dei passi –.
Approfittando della “proprietà” dei percorsi appena esposta, si può far vedere che,
qualunque sia e ovunque (nel piano; o, equivalentemente, su un “nodo” del
quadrettato) sia collocato il punto di arrivo di un percorso aperto (il percorso chiuso
diventa caso particolare o “singolare”), esso è raggiungibile, a partire dal punto di
partenza, attraverso un/il “percorso minimo” eseguito in “orizzontale/verticale”. tale
percorso minimo consente di ottenere 2 numeri con segno (i passi che costituiscono il
percorso in questione) che costituiscono, com’è noto, le (coppie ordinate dette)
coordinate di un punto sul piano cartesiano (+ ; +) ; (+ ; –) ; (– ; +) ; (– ; –)
È anche interessante far vedere che i percorsi aperti che abbiano ugual numero di
passi “più” e “meno” (+ ; –), hanno ovviamente i punti di arrivo di coordinate (+n ; n) e quindi sono posti sulla bisettrice del 2° e 4° quadrante (somma algebrica delle
coordinate uguale a zero); e che i percorsi aperti i cui punti di arrivo abbiano uguale
somma algebrica diversa da zero si trovino sulle parallele della stessa bisettrice. (Si
genera così una corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri interi…).
Tutte queste osservazioni possono essere “scoperte”, congetturate e verificate dei
ragazzi: non è importante a questo livello scolastico avere delle “dimostrazioni” ma
questa è una palestra sufficientemente efficace per discutere, congetturare,
argomentare, cercare e produrre esempi e contro esempi… data la concretezza con cui
il percorso è partito e il livello abbastanza astratto a cui siamo arrivati.
Scheda 2: Taxi-geometria
La geometria del taxi (Taxicab geometry oppure Manhattan distance in inglese, che
potrebbe anche essere tradotta come geometria di Torino, vista la conformazione
delle strade del centro della città di Torino), il cui studio è stato introdotto da
Minkowski, è un tipo di geometria in cui la metrica usuale della geometria euclidea è
6
sostituita da una nuova metrica in cui la distanza tra due punti è la somma delle
differenze (in valore assoluto) delle loro coordinate. Tale distanza viene appunto detta
distanza del taxi, perché è la minore distanza che dovrebbe essere percorsa da
un'automobile per muoversi tra due punti situati in una città suddivisa in isolati
quadrati, come Manhattan o Torino (indipendentemente da eventuali vincoli di
circolazione e limitandosi ai punti a coordinate intere). Ogni percorso che va da un
punto a un altro punto situato 4 isolati a est e 6 isolati a nord dovrà essere lungo
almeno 10 isolati; il percorso minimo comprende esattamente 10 isolati. È un tipo di
geometria molto intuitiva e si presta a “rivisitare” in chiave niente affatto banale le
definizioni di molte delle figure piane. Si può far vedere che i punti di arrivo di
“percorsi aperti” (i percorsi chiusi, come abbiamo già detto sono casi particolari o
“singolari”) posti sulla bisettrice del 2° e 4° quadrante e sulle sue parallele soddisfano
alla metrica di cui sopra.
Visita i siti:
Modello del Taxi
(http://www.dmf.bs.unicatt.it/~bibsoft/provatesi/modello_del_taxi.htm)
Taxicab Geometry
(http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Sexton/GeoFinalProject/Taxicab/taxi.htm)
Eventuali difficoltà e suggerimenti
Questa attività nasce (nacque, 1982) proprio in relazione a casi di difficoltà di
apprendimento, in particolare in situazioni in cui le difficoltà riguardino
l’organizzazione spaziale e l’orientamento. Si noti che negli ultimi anni questo tipo di
difficoltà risulta diffusa anche fra alunni apparentemente senza alcun problema
scolastico... Proprio per questo è importante che l’attività si avvii così come proposta,
con il gioco motorio (nonostante l’apparente “semplicità” non si riscontrano di solito
rifiuti a giocarlo come tale); la versione “più sedentaria” che coinvolge il pupazzorobot andrà riservata ai momenti di approfondimento e servirà per confermare o meno
quanto i ragazzi avranno appreso dall’attività motoria.
Lo stesso gioco potrà essere ripreso (eventualmente con un numero minore di alunni)
nei casi in cui vi siano delle particolari necessità di rinforzo dei concetti proposti. Ad
esempio, l’introduzione dell’unità di misura dovrebbe risultare naturale, dato il
contesto; qualora vi siano però alunni che non ne comprendano il motivo, li si farà
ancora giocare nei diversi ruoli, eventualmente in contraddittorio fra loro.
Meno ovvio è invece il percorso che porta alle coordinate cartesiane da un lato e alla
somma algebrica fra interi dall’altro. Anche in questo caso è importante dare spazio
all’esperienza concreta, corporea diretta o mediata dal pupazzo. L’individuazione delle
coordinate di un punto arriva al termine di un percorso di apprendimento che si giova
molto della ripetizione dei giochi dei percorsi: eventualmente in una prima fase si
potranno proporre percorsi molto semplici, oppure si potrà invitare l’alunno a
“raggruppare” gli spostamenti in orizzontale e verticale in modo da tenere meglio
sotto controllo gli spostamenti. La ripetizione in forma ludica dell’attività costituirà uno
stimolo significativo per gli alunni che troveranno le proprie strategie di soluzione.
Analogamente si raccomanda di non insistere troppo presto sul calcolo automatico
della “somma algebrica” permettendo all’alunno di compiere il percorso “avantiindietro” ogni volta che lo ritenga necessario. Ancora una volta l’esperienza insegna
che stimolati dal contesto ludico (ed eventualmente supportati da altre proposte
7
relative al calcolo mentale) i ragazzi giungono da soli ad acquisire le competenze
collegate al calcolo della somma algebrica e allo spostamento ad essa collegato.
Bibliografia
R. Imperiale, Il tempo, le frecce ed una reginella; in (a cura di C. Caredda, B. Piochi,
P. Sandri): Handicap e svantaggio: Individuare risorse ed interpretare errori per
fissare obiettivi in matematica, Pitagora Editrice, Bologna, 1994
R. Imperiale, Catturare il tempo e rinchiuderlo nello spazio; in (a cura di C. Caredda,
B. Piochi, P. Vighi): Lo spazio e il tempo: esperienza e apprendimento, Pitagora
Editrice, Bologna, 1996
R. Imperiale, Avanti, indietro, destra, sinistra; in (a cura A. Davoli, R. Imperiale, B.
Piochi, P. Sandri): Alunni, insegnanti, matematica. Progettare, animare, integrare,
Pitagora Editrice, Bologna, 2005
O. Modenini, Metodologia e pratica di insegnamento, In (a cura di A. Contardi e B.
Piochi) Ed. Erickson, Trento, 2002
Proposta di attività per il corsista
Da condividere e discutere in rete.
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti.
1. Individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
2. Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e
conoscenze.
3. Sperimentare l’unità proposta:
o fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà
l'attività;
o esplicitare gli adattamenti necessari;
o formulare il progetto didattico relativo;
o preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità
relative alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove
OCSE-PISA e INVALSI).
4. Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla
proposta didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di
costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono state
superate le difficoltà.
5. Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi
sono stati responsabilizzati all'apprendimento.
8