COMPITO 1

COMPITO 1
Esercizio 1. Un’acciaieria può produrre trafilati di due tipi differenti. Per produrre uno stock di
trafilati del primo tipo sono necessarie 3 tonnellate di materiale grezzo, mentre per produrre uno
stock di trafilati del secondo tipo ne sono necessarie 8. L’acciaieria ha a disposizione 24 tonnellate di
materiale grezzo. Motivazioni tecnologiche impongono che sia prodotto almeno uno stock di ciascun
tipo. Il profitto di ciascuno stock del secondo tipo è il quadruplo del profitto di ciascuno stock del
primo tipo.
1. Scrivere il modello di programmazione lineare intera che massimizza il profitto conseguito.
2. Disegnare con cura la regione ammissibile del corrispondente rilassamento continuo, utilizzando
3 quadretti per ogni unità.
3. Risolvere il problema tramite l’algoritmo branch-and-bound, risolvendo per via grafica i rilassamenti continui necessari. Per il branching si scelga la variabile frazionaria di indice minimo
e si esplori per primo il nodo corrispondente alla condizione xj ≤ bac. Si riporti l’albero decisionale e si indichi, per ciascun nodo, la regione ammissibile associata e la soluzione ottima del
rilassamento continuo e l’upper bound corrispondente.
4. Per il rilassamento continuo del problema, si indichi l’insieme dei vertici le cui combinazioni
convesse determinano l’insieme delle soluzioni ottime.
Esercizio 2. Risolvere il problema della determinazione dell’albero ricoprente a costo massimo sul
grafo non orientato individuato dalla seguente forward star, indicando come devono essere modificati
l’algoritmo ed il teorema di Prim a tale scopo:
• p = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• u = {2, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 7, 8, 8}
• c = {9, 7, 5, 1, 4, 8, 8, 1, 3, 5}
COMPITO 2
Esercizio 1. Filippo deve progettare un nuovo potentissimo mazzo di carte PokemonT M principalmente basato su PokemonT M elettrici e d’acqua. L’efficacia media di un PokemonT M elettrico
è pari a 3 mentre quella di uno d’acqua è 2. Il numero di PokemonT M elettrici deve essere al più
tre unità superiore a quello di PokemonT M d’acqua. Il mazzo deve inoltre comprendere un numero
di carte Energia Elettrica pari a 2 volte il numero di PokemonT M elettrici scelti ed un numero di
carte Energia Acqua pari a 3 volte il numero di PokemonT M d’acqua scelti: il numero totale di carte
Energia incluse nel mazzo non può essere superiore a 24.
a) Scrivere il modello di programmazione lineare intera del problema che massimizza l’efficacia
del mazzo costruito.
b) Risolvere il problema per via grafica mediante l’algoritmo branch-and-bound, facendo branching
prima sulla variabile frazionaria di indice minimo e considerando per primo il nodo corrispondente alla condizione xi ≤ bac (disegnare con cura la regione ammissibile - 3 quadretti per
unità - e riportarvi le soluzioni di ciascun rilassamento e i corrispondenti tagli).
Esercizio 2. Risolvere il problema della determinazione del cammino dal vertice 1 al vertice 8, tale
che il massimo costo di un arco nel cammino sia minimizzato, sul grafo orientato individuato
dalla seguente forward star, indicando come deve essere modificato l’algoritmo di Dijkstra a tale
scopo:
• p = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• u = {2, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 7, 8, 8}
• c = {9, 7, 5, 1, 4, 8, 8, 1, 3, 5}
COMPITO 3
Esercizio 1. Una fabbrica di caramelle produce due tipi di caramelle (A e B) in lotti indivisibili.
Il profitto ottenibile da un lotto di ciascun tipo è identico. Un lotto di A richiede 50 quintali di
zucchero mentre un lotto di B ne richiede solo 40. Sono disponibili complessivamente a magazzino
200 quintali di zucchero. Ragioni di mercato impongono inoltre che il numero di lotti di B prodotti
sia al massimo uguale a quello di A più uno.
a) Definire il modello di programmazione lineare intera che massimizza il profitto complessivo.
b) Risolvere il problema mediante branch-and-bound: facendo branching prima sulla variabile
frazionaria di indice massimo e considerando per primo il nodo corrispondente alla condizione
xi ≤ bac (disegnare con cura la regione ammissibile - 4 quadretti per unità - e riportarvi le
soluzioni di ciascun rilassamento e i corrispondenti tagli).
c) Studiare l’andamento della soluzione ottima del rilassamento continuo del problema al variare
della quantità di zucchero disponibile da 0 a ∞.
Esercizio 2. Si consideri il grafo orientato aciclico che rappresenta le durate e le relazioni di
precedenza tra 10 attività (senza l’uso di archi dummy) individuato dalla seguente forward star:
• p = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• u = {2, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 7, 8, 8}
• c = {9, 7, 5, 1, 4, 8, 8, 1, 3, 5}
a) Indicare quali sono le relazioni di precedenza tra attività implicate dal grafo.
b) Determinare, mediante l’algoritmo del cammino critico, l’istante di inizio di ciascuna attività
in modo che sia minimizzata la durata complessiva del progetto associato al grafo.
c) Determinare il cammino di durata massima dal vertice 1 al vertice 8 nel grafo.