History of mathematics: why and how

André Weil
Storia della matematica:
perché e come
Traduzione italiana a cura di Massimo Galuzzi
. . . infine
Questo secol di fango o vita agogni
E sorga ad atti illustri, o si vergogni.
Ad Angelo Mai, 1820.
Premessa
La divulgazione scientifica
La divulgazione scientifica era considerata, sino a pochi anni or sono, con
un certo grado di sufficienza, o addirittura con aperta ostilità, all’interno di
alcune comunità scientifiche. Neppure mancavano, in queste, coloro i quali
ritenevano che discipline dotate di un alto livello di formalizzazione, come la
matematica o la fisica, non fossero affatto suscettibili di divulgazione dei loro
contenuti essenziali. O lo fossero solo per il tramite di radicali impoverimenti,
atti più a snaturare la disciplina che a fornire elementi di comprensione reale
di essa.
Oggi il rilievo delle discipline scientifiche nell’insegnamento mostra una
sempre più accentuata diminuzione, in particolare in quella parte di esso che
genericamente si indica come atta a “formare il cittadino”. Ciò, naturalmente,
è ancor più vero per quanto attiene alla matematica. Il contrasto con la
consapevolezza largamente diffusa del rilievo che la scienza, e in particolare
la matematica, assume sempre più nella vita economica, nel mondo della
finanza, o nella produzione di oggetti tecnologici assai sofisticati presenti
nella vita d’ogni giorno, è solo apparente. Anzi, proprio la necessità di operatori scientifici altamente qualificati suggerisce l’uso di criteri di selezione
molto severi, con un netto privilegio della qualità rispetto alla quantità.
Non è solo dalla ferma consapevolezza dell’importanza di una disciplina
scientifica che possiamo attenderci il diffondersi nella società della razionalità
che la pervade; ma anche dalla paziente opera di costruzione di un sistema
educativo che riconosca questa razionalità come essenziale.
Molti oggi, dunque, sono indotti a guardare alla divulgazione scientifica
in modo diverso: come un tentativo importante, e da condurre con razionalità paragonabile a quella che dobbiamo usare nella ricerca, di contrastare
il generarsi di una società ove la diffusione dei più raffinati prodotti tecnologici si affianchi ad un uso quasi magico di essi. Di una società ove le
i
straordinarie possibilità offerte dalla “rete” si manifestino in modo eminente
nella possibilità di fruire degli oroscopi in “tempo reale”.
Per la matematica, uno strumento importante di divulgazione è, da sempre, e tradizionalmente, la storia. Ma parlare di storia “tout court” è semplicistico e forse fuorviante. La storia, intesa come introduzione alla disciplina, come suscitatrice di interesse verso di essa, non può certo essere la
storia erudita, il cui assunto preliminare è questo stesso interesse. Né può essere la ‘storia interna’,- l’indagine sull’evoluzione d’una teoria, ad esempio,ove non siano posti saldamente e preliminarmente i motivi per i quali questa
stessa teoria debba risultare interessante.
L’ufficio naturale che la storia della matematica assume nel contesto della divulgazione è soprattutto quello di rimuovere i pregiudizi che ostacolano
il confronto con la matematica. L’apparente a-temporalità della matematica, l’apparente permanere di aspetti essenziali di essa dall’antichità ad oggi, hanno sovente un aspetto paralizzante su chi si accosta a questa disciplina. Salutare e gradevole è comprendere, o anche solo intuire, come l’indubbia stabilità dei risultati sia frutto di una perenne riconquista e non il
semplice giustapporsi di “fatti”.
Del pari, un notevole arricchimento culturale viene conseguito quando
il rigore, non più inteso come una sorta di costrizione morale arbitraria, si
dispiega nel suo percorso storico dall’antichità ad oggi.
L’elenco dei benefici potrebbe continuare. Tuttavia spesso, sempre più
spesso, accade che un eccesso di fervore, un impegno fermo, ma vagamente
determinato, d’assegnare rilievo culturale alla matematica connettendola in
vari modi ad altre discipline, alla filosofia o all’arte, producano effetti non
desiderati.
Accanto ad una divulgazione della matematica affidata alla storia di
buono, od ottimo livelloa) si affianca cosı̀ una produzione minore, ma largamente diffusa, ove la bontà delle intenzioni non corrisponde necessariamente
ai risultati ottenuti.b)
Vengono alla mente le severe prese di posizione di Sciascia contro l’acquisizione di una sorta di professionalità dell’impegno anti-mafia. Con ben
minore rilevanza, certo, ma con analogo divario tra le intenzioni e l’effetto raggiunto, si può creare una multiforme industria di divulgazione della
a)
Un esempio ragionevole di divulgazione è fornito da (D. Guedj, Il teorema del
pappagallo, Trad. it. (Milano: Longanesi, 2000)).
b)
Mi sembra che molta divulgazione che vuol prescindere dall’intralcio di ogni formalismo
per comunicare soltanto le ‘idee’ sia passibile di questo giudizio.
ii
matematica, attraverso la storia di essa variamente raccontata, ridotta ad
un repertorio di aneddoti o a un vago oscillare tra le teorie filosofiche più
disparate; o alla ricerca di ‘concrete’ motivazioni politiche o economiche per
ogni singola acquisizione teorica.
Il saggio di Weil
Il testo di André Weil del quale ho compiuto la traduzione italiana è di natura
assai diversa. Il lettore che giunga alla fine del saggio noterà come per Weil
la matematica e la sua storia sono sostanzialmente identificate.c)
La conseguenza, ovvia, che se ne trae è che la storia non può fornire
elementi introduttivi alla matematica stessa: l’interesse per la matematica è
un dato preliminare, ed è a partire da esso che può determinarsi l’interesse
per la storia. Nessun espediente retorico può circoscrivere o temperare tutto
ciò. Ricorda Enrico Bombieri, nella sua Introduzione alla Teoria dei numeri,
forse la maggiore opera storica di André Weil, come caratteristica essenziale
della sua opera sia:
. . . il rigore quasi monastico delle idee, unito a una ampiezza di
respiro che troviamo solo nei grandissimi matematici.d)
Il rigore monastico è conseguenza di una scelta radicale compiuta in precedenza. Per prolungare l’uso della metafora, potremmo parlare di “vocazione”.
Posto saldamente, come premessa, un fermo interesse per la matematica, ogni aspetto della sua storia, anche il più minuto, anche un dettaglio
biografico diviene rilevante.e)
Le parole che Bombieri utilizza per descrivere l’atteggiamento che Weil
manifesta nella sua Teoria dei numeri, potrebbero applicarsi identicamente
al saggio qui presentato:
La sua preparazione per questo libro va ben oltre lo studio delle
fonti matematiche e comporta anche la considerazione del conc)
I riferimenti alla traduzione del testo di Weil avranno la forma [W, p. ]. In questo caso
il riferimento è [W, p. 14].
d)
Cfr. (A. Weil, Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre, A
cura di C. Bartocci. Trad. it. di A. Collo. Introduzione di E. Bombieri (Torino: Einaudi,
1993), p. XII).
e)
Cfr. [W, p. 4].
iii
testo storico, sociale e umano nel quale si muovono i quattro grandi personaggi dell’opera: Fermat, Eulero, Lagrange e Legendre.f)
Ma il contesto ove operarono Fermat, Eulero, Lagrange e Legendre diviene interessante perché, preliminarmente, siamo interessati alla loro opera. I
termini della questione non possono essere invertiti.
Il lettore noterà anche che il tono del saggio di André Weil è pervaso da
una forte vis polemica.g) Una lettura frettolosa può persino suggerire l’idea
che, secondo il suo giudizio, solo un grande matematico possa fare la storia
in modo proficuo.
Bisogna considerare il testo con calma: si scopre allora che molte affermazioni di Weil sembrano eccessive poiché contrastano, senza mezzi termini,
altrettanti luoghi comuni che alcuni storici hanno fatto propri, consacrando
una sorta di minorità della storia come suo elemento costitutivo.
È assai difficile condividere completamente le opinioni di Hardy su chi
“scrive” di matematica senza essere un matematico:
Non c’è disprezzo più profondo né tutto sommato più giustificato
di quello che gli uomini “che fanno” provano verso gli uomini
“che spiegano”. Esposizione, critica, valutazione sono attività per
cervelli mediocri.h)
A prima vista la posizione di Weil sembra essere abbastanza simile, non fosse
che per il preciso riferimento ad Housman, che entrambi gli autori fanno.i) Se
f)
Cfr. ibid., p. XIII.
Un articolo di Sabetai Unguru di pochi anni prima, ove venivano messe in discussione
le modalità di scrittura della storia della matematica antica (S. Unguru, ’On the need to
rewrite the history of Greek mathematics’, Archive for history of exact sciences, pp. 67–
114 (1975/76)),- e della storia della matematica in generale,- aveva animato una notevole
discussione, gli echi della quale sono forse ancora presenti nel saggio di Weil. L’articolo di
Unguru era, a mio giudizio, assai debole (ed anche assai scortese), ma la replica di Weil
è molto violenta (A. Weil, ’Who betrayed Euclid? Extract from a letter to the editor’,
Archive for history of exact sciences, pp. 91–93 (1978/79)). Non dissimile, comunque è
anche la replica di van der Waerden (B.L. Van der Waerden, ’Defense of a ”shocking”
point of view’, Archive for history of exact sciences, pp. 199–210 (1975/76)).
h)
Cfr. (G. H. Hardy, A mathematician’s apology, Ristampa, con una Prefazione di C.P.
Snow (Cambridge: Cambridge University Press, 1965), p. 61). Preferisco tradurre direttamente dall’edizione inglese invece di utilizzare la traduzione italiana, a mio giudizio non
completamente soddisfacente.
i)
Per Weil si veda oltre [W, p. 5]. Hardy si riferisce ad Housman nel paragrafo successivo
a quello citato.
g)
iv
si considera il testo di Weil con più attenzione, si noterà che il suo obiettivo
polemico non è l’attività dello storico tout court, ma quella sorta di rivendicazione che alcuni storici ingenuamente avanzano pretendendo che la storia
abbia una sua ragion d’essere largamente indipendente dalla matematica. Sı̀
che, anche chi avesse compreso profondamente le linee direttive d’una teoria matematica al punto tale da poter contribuire al suo sviluppo, dovrebbe
rigorosamente astenersene per non compromettere la sua professionalità di
storico. Per Weil, al contrario, non vi è alcuna distinzione da fare. Comprendere profondamente l’evoluzione delle idee matematiche si identifica con il
favorirne il progredire. Come concretamente, poi, questo possa avvenire non
ha a che fare con le distinzioni accademiche.j)
Alcune affermazioni di Weil, all’apparenza estremamente decise, vanno
considerate con cautela. Ad esempio, la netta ostilità espressa contro la commistione di storia della matematica e storia della filosofia effettuata in certe
università [W, p. 6] va posta a confronto con i precisi e continui riferimenti
a Leibniz [W, pp. 1, 3, 4, 10]. Del pari, il diniego del ruolo della filosofia
greca nel dar forma alla matematica è reso un po’ meno deciso dal confronto
con la citazione implicita di Platone che Weil lascia cadere con noncuranza
[W, p. 7]. Il bersaglio non è tanto la riflessione filosofica, quanto l’abuso che si
può fare del linguaggio della filosofia importandolo acriticamente all’interno
della matematica.k)
Ancora, è la forza polemica con la quale Weil rivendica alla storia della
matematica il diritto di essere in primo luogo storia delle ‘idee matematiche’
che può suscitare fraintendimenti.
Dauben, considerando l’affermazione secondo la quale i matematici possono non saper descrivere che cos’è un’idea matematica, ma sanno riconoscerla quando la incontrano [W, p. 6], ha ripreso la citazione che Weil trae da
Housman per coniare la formula, lievemente irridente,‘teoria del naso’.l) Tuttavia, sarebbe difficile immaginare una storia della matematica minimamente
j)
Si noti, comunque, che Weil, che ovviamente ben conosce il saggio di Hardy, si riferisce
ad Housman in modo diverso. Hardy ne tratta in merito alla distinzione tra critica e poesia,
‘fare’ e ‘descrivere’; Weil vi si riferisce in merito alle ‘idee’ matematiche. A mio giudizio
(giudizio, naturalmente, opinabile) Weil dispiega, in questo sottile gioco di rinvii, una
strategia ben precisa.
k)
Cfr. (A. Weil, Ricordi di apprendistato, A cura di C. Bartocci (Torino: Einaudi, 1994),
p. 21). Ma si veda anche ibid., p. 47.
l)
Cfr. (J. W. Dauben, ’Mathematics: an historian’s perspective’, in (S. Chikara, S.
Mitsuo & J.W. Dauben eds., The intersection of history and mathematics (Basel - Boston
- Berlin: Birkhäuser, 1994)), pp. 1–13 (1994)).
v
interessante ove non potessimo parlare di idee matematiche e non avessimo
il potere di riconoscerle. Che ciò non possa avvenire allo stesso livello di
chiarezza con la quale valutiamo un’identità aritmetica è piuttosto ovvio.
Un paragone, che mi sembra abbastanza adatto in riferimento ad André
Weil,m) può essere introdotto da questa domanda: quali strumenti concettuali
possiamo utilizzare per sapere che Mozart in Die Zauberflöte esprime delle
idee musicali significative? Almeno ad un primo livello, credo che ci si possa
accontentare della risposta: “Ascoltando!”
Naturalmente questo non esclude che possano (e debbano) esservi analisi
storiche successive. Ma l’idea musicale, matematica, artistica o poetica, deve
imporsi con forza primigenia.n)
In realtà, nella storia della scienza, o nella storia dell’arte o della musica, quando la si consideri come compiuta, si consolida al tempo stesso una
tradizione che assegna il ruolo indiscusso di capolavori a determinate produzioni: i Principia o la Scuola d’Atene, le Disquisitiones Arithmeticae o il
Don Giovanni, ecc. Fin tanto che ci si attiene a questa tradizione solo qualche
espediente retorico fa differire la considerazione di questi capolavori nell’uno
o nell’altro testo storico e non può esservi grande contrasto. Il lavoro storico
si riduce all’aggiunta di qualche abbellimento ad una melodia già formata.
Il problema sorge quando, anziché accettare passivamente la tradizione,
si deve ricostruire il percorso storico che conduce all’oggi [W, p. 7]. Questo
è il momento in cui occorre riconoscere le ‘idee matematiche’; e non è la
chiarezza d’una singola definizione che si riverbera sulla totalità costruita
ma, al contrario, è la legittimità, la plausibilità, di quest’ultima che indica la
capacità d’avere individuato le idee matematiche.
Naturalmente, la posizione di Weil sulla matematica, in particolare sulla
matematica moderna è chiara, ben delineata, e riflette le idee (e i pregiudizi)
di Bourbaki. Pochi logici si sentirebbero di sottoscrivere la netta separazione
che Weil traccia tra Aristotele e la matematica [W, p. 6].o)
m)
(Weil, Ricordi di apprendistato, p. 86).
È certamente di grande interesse scoprire quanto la notissima aria di Papageno debba
allo studio di Bach (F. W. Sternfeld, ’The melodic source of Mozart’s popular Lied ’, in
(P.H. Lang ed., The creative world of Mozart (New York and London: W.W. Norton &
Company, 1963)), pp. 127–136 (1963)). Tuttavia è partendo dall’indimenticabile impressione che suscita quest’aria cosı̀ popolare che trae motivo l’interesse successivo della ricerca
storica.
o)
Weil sembra andare anche al di là di quanto espresso nel celebre saggio-manifesto del
1948, ove pur si afferma che la logica che serve al matematico “...pour l’essentiel, est celle
n)
vi
Infine, ci si può chiedere se gli esempi storici addotti da André Weil
mantengano, dopo tanti anni, la stessa forza persuasiva. In taluni casi le
ricerche successive hanno rafforzato quanto espresso da Weil. Il metodo delle
tangenti di Descartes, ad esempio, ha rilevato la sua piena importanza, non
solo per la ragione addotta nel testo (cfr. [W, p. 11]), ma anche perché con
la monumentale edizione dei Mathematical Papers di Newton, ad opera di
D.T. Whiteside, è divenuto sempre più chiaro il ruolo di questo metodo come
premessa per il calcolo differenziale.
In altri casi, come nell’analisi fornita della teoria delle proporzioni euclidea [W, p. 9] le conclusioni ‘bourbakiste’ sembrano meno convincente e il
progresso degli studi sulla storia della matematica antica sembra suggerire
una visione meno ‘strutturalista’.
Ma la forza del saggio di André Weil non sta nella pertinenza o nella
pregnanza dei singoli esempi. Sta nella ferma rivendicazione del valore della
matematica, e della sua storia, che con essa si identifica.
codifiée depuis Aristote sous le nom de ¿logique formelleÀ, convenablement adaptée aux
buts particuliers du mathématicien” (N. Bourbaki, ’L’architecture des mathématiques’, in
(F. Le Lionnais ed., Les grands courants de la pensée mathématique (Paris: Cahiers du
Sud, 1948)), pp. 35–47 (1948), p. 37).
vii
Storia della matematica:
perché e come ‡
‡
Ringrazio il prof. Olli Martio, del Dipartimento di Matematica dell’Università di
Helsinki, che mi ha cortesemente autorizzato a pubblicare la traduzione di (A. Weil,
’History of mathematics: why and how’, in Proceedings of the International Congress
of Mathematicians (Helinski, 1978) (Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980)). Il saggio è anche riprodotto in (A. Weil, Œuvres scientifiques. Collected papers. 3 volumi (New York,
Heidelberg, Berlin: Springer, 1980), vol.3, pp. 434-442).
Avvertenza. Nella traduzione che segue compaiono due tipi di note. Le
note contrassegnate dalle cifre arabe 1, 2, 3, . . . sono quelle originariamente
apposte da André Weil. Le note corrispondenti alla numerazione romana
sono state introdotte da me.
Può sembrare presuntuoso aggiungere delle note ad un testo di André
Weil. In realtà queste note sono per lo più schiarimenti terminologici o
riferimenti a testi dello stesso Weil elaborati in tempi successivi.
Il mio primo punto sarà piuttosto ovvio. In contrasto con alcune scienze la
cui storia consiste interamente di reminiscenze personali di alcuni fra i nostri
contemporanei, la matematica non solo ha una storia, ma ha una lunga storia
che è stata scritta almeno a partire da Eudemo (un discepolo di Aristotele).
Sicché la questione “Perché?” è forse superflua, o potrebbe essere meglio
formulata come “Per chi?”.
Per chi si scrive la storia, intesa nella sua accezione generale? per le persone colte, come fece Erodoto? per gli statisti ed i filosofi, come fece Tucidide?
o per i colleghi storici come si fa per lo più oggi? Qual è il pubblico giusto
per lo storico dell’arte? i suoi colleghi, o tutti coloro che amano l’arte, o gli
artisti stessi (che pure sembrano non curarsi molto di lui)? E che dire della
storia della musica? Essa si rivolge principalmente agli appassionati di musica, ai compositori, agli esecutori, agli storici della cultura o è una disciplina
completamente indipendente il cui apprezzamento è ristretto ai soli praticanti? Questioni simili sono state dibattute con veemenza per molti anni da
storici della matematica eminenti, come Moritz Cantor, Gustav Enerström,
Paul Tannery. Ma già Leibniz aveva qualcosa da dire su questo argomento,
cosı̀ come su molte altre questioni:
“L’utilità della storia non consiste tanto nel fatto che essa debba attribuire a ciascuno ciò che gli spetta, e che altri possano
attendere un’equa valutazione dei loro meriti, quanto nel fatto
che l’arte dell’invenzione sia promossa e che il metodo di questa
divenga manifesto attraverso esempi illustri.” 1 i
Che il genere umano debba essere spronato dalla prospettiva della fama eterna a sempre più grandi conquiste è naturalmente un tema classico, ereditato
dall’antichità; sembra che noi siamo divenuti meno sensibili ad esso di quanto
non fossero i nostri avi, sebbene esso non abbia forse del tutto persa la sua
forza. Ma per quanto riguarda l’ultima parte dell’affermazione di Leibniz, il
1
“Utilissimum est cognosci veras inventionum memorabilium origines, praesertim
earum, quae non casu sed vi meditatione innotuere. Id enim non eo tantum prodest,
ut Historia literaria suum cuique tribuat et alii as pares laudes invitentur, sed etiam ut
augeatur ars inveniendi, cognita methodo illustribus exemplis. Inter nobiliara hujus temporis inventa habetur novum Analyseos Mathematicarum genus, Calcululi differentialis
nomine notum ...” (Math. Schr., ed. C.I. Gerhardt, t. V, p. 392).
i
Nella nota 1, come si vede, Weil riporta il testo di Leibniz in forma più estesa. Si
tratta del celeberrimo incipit della Historia et origo calculi differentialis.
1
suo proposito è chiaro. Egli voleva che gli storici scrivessero in primo luogo
per scienziati creativi o per coloro che aspirassero ad essere tali. Questo era
il pubblico al quale egli pensava mentre a posteriori scriveva intorno alla sua
“nobilissima invenzione” del calcolo.
D’altra parte, come ha osservato Moritz Cantor, è possibile, trattando di
storia della matematica, considerare questa come una disciplina ausiliaria,
adatta a fornire al vero storico un catalogo attendibile di fatti matematici
disposti in ordine di data o di luogo, di argomento o di autore. In questo
caso è semplicemente una parte, e non molto significativa, della storia della tecnica e delle arti ed è ragionevole considerarla interamente dall’esterno.
Lo storico del secolo diciannovesimo ha bisogno di qualche conoscenza dei
progressi fatti nella costruzione delle locomotive; per questo dovrà dipendere
dagli specialisti, ma non ha bisogno di sapere come funziona una locomotiva, né deve sapere dei giganteschi sforzi intellettuali che confluirono nella
creazione della termodinamica. Similmente, lo sviluppo delle tavole nautiche
e di altri sussidi per la navigazione non sono d’importanza minore per lo
storico dell’Inghilterra del diciassettesimo secolo, ma la parte che vi ha avuto
Newton potrebbe assegnargli al più una nota a piè di pagina; Newton come
Direttore della Zecca, o forse ancor più come zio dell’amante di un gran
signore, è più vicino ai suoi interessi di Newton il matematico.ii
Da un altro punto di vista, la matematica può talvolta fornire allo storico
della cultura una sorta di “tracciante” per indagare intorno alle interazioni tra
varie culture. Con questo si giunge più vicini a questioni di interesse genuino
per noi matematici; ma anche qui la nostra attitudine può essere assai diversa
da quella degli storici di professione. Per essi una moneta romana, trovata
in qualche luogo dell’India ha un significato preciso; difficilmente una teoria
matematica può avere lo stesso valore.
ii
L’affascinante nipote di Newton, Catherine Barton, poi Catherine Barton Conduitt
(la celebre Bartica, amica di Swift), fu (con grande probabilità) l’amante del conte di
Halifax (Charles Montague) (D. Gjertsen, The Newton handbook (London and New York:
Routledge & Kegan Paull, 1986), pp. 55-58). È probabile che Weil abbia in mente il
passo seguente di Voltaire: “Avevo pensato, nella mia giovinezza, che Newton dovesse la
sua fortuna ai suoi meriti. Supponevo che la corte e la città di Londra lo avessero nominato Direttore della Zecca per acclamazione. Niente affatto. Isaac Newton aveva una
nipote molto affascinante, Madame Conduitt, che aveva conquistato il ministro Halifax.
Le flussioni e la gravitazione sarebbero state inutili senza una graziosa nipote.” (Voltaire,
Dictionnaire philosophique; Œuvres completes de Voltaire, 70 volumi (Parigi, 1785-9), vol.
42, p. 165). Cfr. anche (R. Westfall, Never at rest (Cambridge: Cambridge University
Press, 1980), p. 596, nota).
2
Non si vuol certo negare che un teorema possa essere stato riscoperto
innumerevoli volte, anche in contesti culturali molto diversi. Sembra che
alcuni sviluppi in serie siano stati scoperti indipendentemente in India, in
Giappone ed in Europa. Metodi per risolvere l’equazione di Pell sono stati
esposti in India da Bhaskara nel dodicesimo secolo e poi di nuovo, a seguito
di una sfida di Fermat, da Wallis e Brouncker nel 1657.iii È anche possibile
addurre delle argomentazioni a sostegno della tesi che metodi simili potevano
essere noti ai Greci, e forse allo stesso Archimede; la soluzione indiana, se si
volesse seguire un suggerimento di Tannery, potrebbe dunque essere di origine
greca; ma fino ad ora tutto ciò è pura speculazione. Certamente nessuno se
la sentirebbe di suggerire una connessione tra Bhaskara e gli autori del nostro
diciassettesimo secolo.
D’altra parte, quando equazioni di secondo grado, risolte algebricamente
nei testi cuneiformi, emergono di nuovo in Euclide, rivestite in forma geometrica ma senza un’ombra di motivazione geometrica, i matematici trovano
del tutto appropriato descrivere il secondo modo di trattazione come “algebra geometrica” e saranno del tutto disponibili a presumere una qualche
forma di connessione con Babilonia, pur nell’assenza di ogni concreta evidenza “storica”. Nessuno chiede documenti per testimoniare l’origine comune
della lingua greca, di quella russa e del sanscrito o si oppone ad indicarli
tutti come linguaggi indo-europei.
Ora, abbandonando le opinioni ed i desideri del pubblico genericamente
colto e degli specialisti di altre discipline, è tempo di far ritorno a Leibniz
e di considerare il valore della storia della matematica, sia intrinsecamente
che dal nostro punto di vista egoistico di matematici. Discostandoci solo
lievemente da Leibniz, possiamo dire che il suo uso principale per noi è di
porre o di tenere costantemente di fronte ai nostri occhi “esempi illustri” di
eccellente lavoro matematico.
Questo implica la necessità di storici? Forse no. Einstein si innamorò
della matematica in età giovanile leggendo Eulero e Lagrange; nessuno storico
gli disse di farlo o lo aiutò nella lettura. Ma ai suoi tempi la matematica
progrediva ad un ritmo meno febbrile di oggi. Senza dubbio un giovane può
cercare modelli ed ispirazione nel lavoro dei suoi contemporanei; ma questo
si dimostrerà in breve tempo una severa limitazione. D’altra parte, se egli
vuole andare molto all’indietro nel tempo, potrà trovarsi nella necessità di
iii
Cfr. (Weil, Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre, p.
161).
3
una guida; è compito dello storico, o comunque del matematico dotato di
sensibilità storica, fornirgli aiuto.
Ma lo storico può aiutarci anche in altro modo. Tutti sappiamo per esperienza quanto vi sia da guadagnare dalle relazioni personali quando vogliamo
studiare i lavori contemporanei; i nostri incontri ed i nostri congressi difficilmente si può dire abbiano altro scopo. Le vite dei grandi matematici del
passato spesso sono state monotone e poco eccitanti o possono essere sembrate tali ai non matematici; per noi le loro biografie non sono di minor valore
nel restituirci la vita degli uomini e del loro ambiente dei loro stessi scritti.
Quale matematico non vorrebbe conoscere su Archimede di più del ruolo che
si suppone egli abbia avuto nella difesa di Siracusa? La nostra comprensione
della teoria dei numeri di Eulero sarebbe la stessa se noi avessimo solamente
i suoi scritti a nostra disposizione? La vicenda non diviene infinitamente più
interessante quando leggiamo del suo stabilirsi in Russia, dello scambio di lettere con Goldbach, dell’acquisire familiarità, quasi per caso, con le opere di
Fermat e poi, assai più tardi nella sua vita, dell’inizio di una corrispondenza
con Lagrange sulla teoria dei numeri e sugli integrali ellittici? Non dovremmo
provare piacere nel fatto che, attraverso queste lettere, un tal uomo divenga
un nostro intimo conoscente?
Ma ancora, fino a qui ho solo sfiorato la superficie del mio tema. Leibniz raccomandava lo studio degli “esempi illustri” non solo per il fine del
godimento estetico, ma principalmente perché “l’arte dell’invenzione fosse
promossa”.iv
A questo punto occorre chiarire la distinzione, negli argomenti scientifici,
tra tattica e strategia.
Per tattica io intendo la pratica di ogni giorno, che consiste nel maneggiare gli strumenti a disposizione dello scienziato o dello studioso in un dato
momento; questo si impara nel modo migliore da maestri competenti e dallo
studio delle opere contemporanee. Per il matematico si può trattare dell’uso
del calcolo differenziale in un’occasione, o dell’algebra omologica in un’altra.
Per lo storico della matematica, la tattica ha molto in comune con quella dello storico generale. Deve cercare la sua documentazione alla fonte, o
avvicinarsi ad essa per quanto è possibile; informazioni di seconda mano sono
di scarso valore. In alcune aree di ricerca egli deve divenire un cacciatore di
iv
Weil traduce l’espressione di Leibniz “augeatur ars inveniendi ” con “the art of discovery be promoted ”. La lingua inglese consente di utilizzare questa traduzione anche in
corrispondenza a forme verbali poste in tempi diversi. Questo è impossibile in italiano.
4
manoscritti e saperli leggere; in altre egli può limitarsi ai testi pubblicati, ma
il problema della loro attendibilità o della loro inadeguatezza deve sempre
essere tenuto presente. Un requisito indispensabile è una conoscenza adeguata della lingua nella quale sono scritte le fonti; è un principio basilare e
assolutamente valido di tutta la ricerca storica che una traduzione non può
mai sostituire l’originale quando questo è disponibile. Fortunatamente per la
storia della matematica occidentale dopo il quindicesimo secolo raramente è
richiesta qualche conoscenza linguistica maggiore di quella del latino e delle
lingue moderne dell’Europa occidentale; per molti propositi il francese, il
tedesco e talvolta l’inglese possono essere sufficienti.
In contrasto con tutto ciò, la strategia significa l’arte di riconoscere i
problemi principali, assalirli nei loro punti deboli, organizzare future linee di
avanzamento. La strategia matematica riguarda obiettivi di lungo corso; essa
richiede una comprensione profonda delle direzioni generali e dell’evoluzione
delle idee sui lunghi periodi. Tutto ciò quasi coincide con quello che Gustav Eneström era uso descrivere come l’oggetto principale della storia della
matematica, ossia “le idee matematiche, considerate storicamente”2 o, per
dirla con Paul Tannery, “la filiazione delle idee e la concatenazione delle
scoperte”.3 Eccoci al cuore della disciplina della quale parliamo, ed è un fatto
fortunato che l’aspetto al quale, secondo Enerström e Tannery, lo storico della
matematica deve dirigere la propria attenzione in modo eminente, sia anche
quello del più grande valore per ogni matematico che voglia guardare al di là
dell’uso giornaliero dei propri strumenti.
La conclusione raggiunta non è di gran momento, certamente, se non troviamo un accordo su cosa è e cosa non è un’idea matematica. Qui i matematici hanno un assai scarso desiderio di consultare gente estranea.v Per usare
le parole di Housman (quando gli si domandava di definire la poesia), il
matematico può non essere capace di definire che cos’è un’idea matematica,
2
Die mathematischen Ideen in historicher Behandlung (Bibl. Math. 2 (1901), p.1).
La filiation des idées et l’enchainement des découvertes (P. Tannery, Œuvres, vol. X,
p. 166).
3
v
Ho reso il termine ‘outsiders’ con ‘gente estranea’.
5
ma ama pensare che quando ne fiuta una la sa riconoscere.vi Non gli sembra di vedere una tale idea, per esempio, nelle speculazioni di Aristotele
sull’infinito, né in quelle di numerosi pensatori medioevali sullo stesso argomento, anche se alcuni di questi pensatori avevano assai più interesse per la
matematica di quanto Aristotele ne abbia mai avuto; l’infinito è diventato
un’idea matematica solo dopo che Cantor ha definito gli insiemi equipotenti ed ha dimostrato alcuni teoremi su di essi. Le opinioni dei filosofi greci
sull’infinito possono essere di grande interesse considerate in se stesse; ma
dobbiamo davvero credere che esse abbiano avuto grande influenza sul lavoro dei matematici greci? È a causa di queste, ci dicono, che Euclide si
trattiene dal dire che esistono infiniti numeri primi, e deve esprimere questo
fatto in modo diverso. Ma come si spiega allora che, poche pagine dopo, egli
affermi “esistono infinite linee”4 incommensurabili con una linea data? Alcune università hanno istituito delle cattedre per “la storia e la filosofia della
matematica”: è difficile per me immaginare che cosa queste due discipline
possano avere in comune.
La questione di dove le “nozioni comuni” (per usare l’espressione di Euclide) abbiano termine e dove inizi la matematica non è definita in modo
altrettanto chiaro. La formula per la somma dei primi n interi, cosı̀ strettamente legata al concetto “pitagorico” di numeri triangolari sicuramente ha il
diritto di essere chiamata un’idea matematica; ma cosa dobbiamo dire della
aritmetica commerciale elementare cosı̀ come compare in innumerevoli testi
dall’antichità sino alla frettolosa operettavii di Eulero sullo stesso argomento? Il concetto di icosaedro regolare appartiene certamente alla matematica;
4
<Upˆrqousin eÎjeØai pl jei Špeiroi (Bk. X, Def. 3).
vi
Probabilmente Weil cita a braccio. Una formulazione vicina a quella riferita da Weil
si trova nel saggio “The name and nature of poetry”, originariamente la Leslie Stephen
Lecture del 1933:
A year or two ago, in common with others, I received from America a request
that I would define poetry. I replied that I could no more define poetry that
a terrier can define a rat, but that I thought we both recognised the object
by the symptoms which it provokes in us (A.E. Housman, The Name and
Nature of Poetry (New York: New Amsterdam books, 1989), p. 193).
Si tratta della stessa conferenza alla quale fa riferimento anche Hardy. Cfr. nota i).
vii
Potboiler.
6
dobbiamo dire la stessa cosa per il concetto di cubo, di rettangolo o di cerchio (il quale concetto forse non è separato dall’invenzione della ruota)? Qui
abbiamo una zona crepuscolare che si colloca fra storia della culture e storia
della matematica; ma non importa dove si tracci il confine. Tutto ciò che il
matematico può dire è che il suo interesse tende a scemare quanto più ci si
avvicina a superarlo.
Comunque sia, una volta che ci siamo accordati sul fatto che le idee
matematiche sono i veri oggetti della storia della matematica, se ne possono
trarre alcune utili conseguenze; una è stata formulata da Tannery in questo
modo (loc. cit., (footnote 3), p. 164). Non vi è alcun dubbio, egli dice,
che uno scienziato può possedere o acquisire tutte le qualità necessarie per
fare un lavoro eccellente sulla storia della sua scienza; e quanto maggiore è il
suo talento come scienziato tanto migliore si può presumere sia il suo lavoro
storico. Tra gli esempi egli menziona Chasles per la geometria; e cosı̀ Laplace
per l’astronomia, Berthelot per la chimica; forse egli pensava anche al suo
amico Zeuthen. Avrebbe anche potuto citare Jacobi, se Jacobi avesse vissuto
abbastanza per pubblicare il suo lavoro storico.5
Ma gli esempi non sono poi cosı̀ necessari. In effetti è evidente che l’abilità di riconoscere le idee matematiche in forma oscura o incipiente, e di
seguirne le tracce nei molti travestimenti che esse possono assumere prima di
manifestarsi nella piena luce del giorno, è verosimilmente unita ad un talento
matematico migliore di quello medio. Ma ancor più di questo, è una componente essenziale di questo talento, poiché in larga misura l’arte della scoperta
consiste nell’afferrare saldamente le idee vaghe che sono “nell’aria”, alcune
delle quali volano intorno a noi mentre altre (per citare Platone) circolano
nelle nostre menti.
Quanto sapere matematico si deve possedere per trattare della storia
della matematica? Secondo alcuni è richiesto poco più di ciò che era noto
agli autori dei quali si intende scrivere la storia;6 altri si spingono fino al
5
Jacobi, da studente, aveva esitazioni tra matematica e filologia; egli mantenne sempre
un profondo interesse per la matematica greca e per la storia della matematica; degli
estratti fra i suoi scritti su questo argomento sono stati pubblicati da Koenisberger nella
sua biografia di Jacobi (incidentalmente, un buon modello per una biografia orientata in
senso matematico di un grande matematico): si veda L. Koenisberger, Carl Gustav Jacob
Jacobi, Teubner, 1904. pp. 385-395 e 413-414.
6
Sembra che questa sia stata l’opinione di Loria: “Per comprendere e giudicare gli
scritti appartenenti alle età passate, basta di essere esperto in quelle parti delle scienze che
trattano dei numeri e delle figure e che si considerano attualmente come parte della cultura
generale dell’uomo civile” (G. Loria, Guida allo Studio della Storia delle Matematiche, U.
7
punto di dire che quanto meno si sa, tanto meglio si è preparati a leggere
questi autori con la mente scevra da pregiudizi e ad evitare anacronismi. In
effetti è vero l’opposto. Una comprensione profonda della matematica di un
qualsiasi periodo è difficilmente raggiungibile senza una conoscenza che vada
ben al di là della sua forma apparente. Più spesso di quanto non si creda,
ciò che la rende interessante è esattamente il primo manifestarsi di concetti e
metodi destinati ad emergere solo successivamente nella mente cosciente dei
matematici; il compito dello storico è quello di liberarli e di rintracciare la loro
influenza o la mancanza di influenza sugli sviluppi successivi. L’anacronismo
consiste nell’attribuire ad un autore una conoscenza consapevole che egli non
ha mai posseduta; vi è una grande differenza tra il riconoscere Archimede
come un precursore del calcolo integrale e differenziale, la cui influenza sui
fondatori del calcolo difficilmente può essere sopravvalutata, e l’immaginare
di vedere in lui, come talvolta si è fatto, un dei primi praticanti di questo
calcolo. D’altra parte, non c’è alcun anacronismo nel vedere Desargues come
il fondatore della geometria proiettiva delle sezioni coniche; ma lo storico ha
il dovere di segnalare che il suo lavoro, come quello di Pascal, è rapidamente
caduto nell’oblio più profondo e potè solo essere recuperato dopo che Poncelet
e Chasles riscoprirono indipendentemente l’intera materia.
Nello stesso ordine di idee, si consideri la seguente affermazione: i logaritmi stabiliscono un isomorfismo tra il semigruppo moltiplicativo dei numeri
compresi tra 0 ed 1 ed il semigruppo additivo dei numeri reali positivi. Tutto
ciò non aveva senso fino a poco tempo fa. Se, tuttavia, trascuriamo la formulazione linguistica e guardiamo ai fatti che stan dietro alle affermazioni,
non c’è dubbio che essi erano perfettamente chiari per Nepero quando egli
inventò i logaritmi, fatta eccezione per la circostanza che il suo concetto dei
numeri reali non era altrettanto chiaro del nostro; ed è per questo che egli
doveva far riferimento a concetti cinematici per chiarirne il significato, cosı̀
come aveva fatto Archimede, per ragioni simili, nella sua definizione della
spirale.7viii Andiamo ancora più indietro; il fatto che la teoria dei rapporti
Hoepli, Milano, 1946, p. 271).
7
Cfr. N. Bourbaki, Élements d’histoire des mathématiques, Hermann, 1960, pp. 167168 e 174; questa collezione di saggi storici, estratta, con un titolo fuorviante, dagli
Éléments de mathématique dello stesso autore sarà citata in seguito con NB.
viii
EÒ ka eÎjeØa âpizeuqj¬ gramm€ ân âpipèdú kaÈ mènontc toÜ átèrou pèratoc aÎtac Êsotaxèwc perieneqeØsa æsakisoÜn ‚pokatastaj¬ pˆlin, íjen ¹rmasen, ‰ma dà t” gramm” periagomènø fèrhtaÐ ti sameØon Êsotaqèwc aÎtä áautÄ kat€ tc eÎjeÐac ‚rxˆmenon ‚pä toÜ
8
di grandezze e dei rapporti di interi, sviluppata da Euclide nei libri V e VII
dei suoi Elementi debba essere considerata come un capitolo iniziale della
teoria dei gruppi è posto al di là di ogni dubbio dalla espressione “rapporto
duplicato” che egli utilizza per ciò che noi chiameremmo il quadrato di un
rapporto.ix Dal punto di vista storico è abbastanza plausibile che la teoria
musicale abbia fornito le motivazioni originali per la teoria greca del gruppo
dei rapporti fra interi,x in forte contrasto con il trattamento puramente additivo delle frazioni in Egitto; e se si accetta questo abbiamo un primo esempio
della mutua interazione tra matematica pura ed applicata. In ogni modo,
è impossibile per noi analizzare correttamente i contenuti del libro V e del
libro VII di Euclide senza il concetto di gruppo ed anche quello di gruppo con
operatori, poiché i rapporti di grandezze sono trattati come un gruppo moltiplicativo che opera sul gruppo additivo delle grandezze stesse.8 Quando si
adotta questo punto di vista, questi libri di Euclide perdono il loro carattere
misterioso, e diventa facile seguire la linea che conduce direttamente da essi
ad Oresme e Chuquet e poi a Nepero ed ai logaritmi (cf. NB, pp. 154-159 e
167-168). Nel far questo, naturalmente non attribuiamo il concetto di gruppo ad alcuno di questi autori; e neppure va attribuito a Lagrange, neppure
quando egli faceva ciò che noi ora chiamiamo teoria di Galois. D’altra parte,
anche se Gauss non possedeva la terminologia, egli certamente aveva chiaro
8
È ancora un punto dubbio se Euclide considerasse o meno il gruppo dei rapporti tra
grandezze come indipendente dal genere di grandezze considerate; cf. O. Becker, Quellen
u. Studien 2 (1933), 369-387.
mènontoc pèratoc, tä sameØon élika grˆyei ân tÄ âpipèdú. Ossia: se una linea retta è mossa
in un piano e se, restando immobile uno dei suoi estremi essa gira con velocità costante
un numero qualunque di volte per riprendere la posizione dalla quale è partita, e se inoltre
un punto si muove sulla retta con velocità costante a partire dall’estremo fisso, il punto
descriverà una spirale (élika ) nel piano (Archimede, Œuvres, vol. II , Edite da C. Mugler
(Paris: Les Belles Lettres, 1971), p. 31).
ix
L’espressione euclidea occorre per la prima volta negli Elementi, nella definizione 9 del
libro V: << VOtan dà trÐa megèjh ‚nˆlogon ®, tä prÀton präc tä trÐton diplasÐona lìgon êqein
lègetai ¢per präc tä deÔteron>> (Euclide, Euclides Elementa, Editi da E.S. Stamatis post
I.L. Heiberg (Leipzig: Teubner, 1970), p. 2). Ossia, se sussiste la relazione A : B = B : C,
si dice che la grandezza A, rispetto alla grandezza C, ha rapporto duplicato di quello della
grandezza A stessa rispetto a B.
x
Con molta probabilità è un riferimento implicito alle tesi di Á. Szabó, in particolare (Á.
Szabó, Anfänge der grieschischen Mathematik (Munich-Vienna: R. Oldenbourg, 1969)).
Á. Szabó è stato spesso fortemente criticato dagli esponenti del gruppo bourbakista.
9
il concetto di gruppo commutativo finito, ed era stato ben preparato ad esso
dai suoi studi sulla teoria dei numeri di Eulero.
Lasciatemi citare qualche altro esempio. Le affermazioni di Fermat indicano che egli era in possesso della teoria delle forme quadratiche
X 2 + nY 2
per n = 1, 2, 3
utilizzando dimostrazioni basate sul metodo della “discesa infinita”.xi Egli
non ha annotato queste dimostrazioni; ma successivamente Eulero sviluppò
questa teoria ancora usando la discesa infinita, di modo che possiamo presumere che le dimostrazioni di Fermat non fossero troppo diverse da quelle
di Eulero. Perché la discesa infinita funziona in questi casi? Questo è spiegato facilmente dallo storico che sa che i corrispondenti campi quadratici
possiedono un algoritmo euclideo; quest’ultimo, trascritto nel linguaggio e
nelle notazioni di Fermat ed Eulero dà proprio le loro dimostrazioni con la
discesa infinita, esattamente come la dimostrazione di Hurwitz per l’aritmetica dei quaternioni, trascritta nello stesso modo, dà la dimostrazione di
Eulero (che era forse anche quella di Fermat) per la rappresentazione di un
intero come somma di 4 quadrati.
R
O si consideri la notazione di Leibniz y dx nel calcolo. Egli ha insistito
ripetutamente sul suo carattere invariante, dapprima nella sua corrispondenza con Tschirnaus (che mostrava di non comprendere la questione) poi
negli Acta Eruditorum del 1686; egli aveva anche una formulazione linguistica per questo concetto (“universalitas”). Gli storici hanno discusso con
veemenza sul quando, o se, Leibniz scoprı̀ il risultato, assai meno importante
al paragone, che in alcuni manuali va sotto il nome di “teorema fondamentale del calcolo”. Ma l’importanza della scoperta di Leibniz dell’invarianza
della notazione ydx difficilmente poteva essere compresa adeguatamente prima che Élie Cartan introducesse il calcolo delle forme differenziali esterne e
mostrasse l’invarianza della notazione y dx1 · · · dxm non solo per i cambiamenti delle variabili indipendenti (o delle coordinate locali), ma anche per il
“pull-back”.9
Si consideri ora il dibattito che sorse tra Descartes e Fermat sulle tangenti (cf. NB, p. 192). Descartes, avendo deciso, una volta per tutte che
9
Cf. NB, p. 208, e A. Weil, Bull. Amer. Math. Soc. 81(1975), 683.
xi
Si veda (Weil, Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre).
L’argomento è svolto ampiamente nelle Appendici al capitolo secondo.
10
solo le curve algebriche erano un argomento adatto per i geometri, inventò
un metodo per trovarne le tangenti basato sull’idea che una curva variabile,
intersecando una curva data C in un punto P diviene la tangente di C in P
quando l’equazione corrispondente alle loro intersezioni acquista una radice
doppia in corrispondenza a P . Ben presto, Fermat, avendo trovato la tangente alla cicloide con un metodo infinitesimale, sfidò Descartes a fare la
stessa cosa con il suo metodo. Naturalmente questi non lo poteva fare; ma
essendo l’uomo che era trovò una risposta (Œuvres II, p. 308), diede una
dimostrazione adeguata (“assolutamente breve e semplicissima”, usando il
centro di istantanea rotazione che egli inventò per questa occasione) e aggiunse che egli poteva anche fornire un’altra dimostrazione “più di suo gusto
e più geometrica” che tralasciava “per risparmiarsi la fatica di scriverla”; in
ogni caso, egli disse, “queste linee sono meccaniche” e dunque le aveva escluse dalla geometria. Naturalmente questo era il punto che Fermat voleva
considerare; egli sapeva, come del resto Descartes, cos’era una curva algebrica, ma restringere la geometria a queste curve era del tutto estraneo al
suo modo di pensare cosı̀ come a quello della maggior parte dei geometri del
diciassettesimo secolo.
Poter scoprire il carattere di un grande matematico cosı̀ come poter scoprire le sue debolezze è un piacere innocente che perfino uno storico serio
non deve necessariamente negarsi. Ma che altro si può concludere da questo
episodio? Assai poco finché la distinzione tra geometria differenziale e geometria algebrica non è stata chiarita. Il metodo di Fermat apparteneva alla
prima; esso dipendeva dai primi termini dello sviluppo di una serie di potenze
in un punto; esso forniva il punto di partenza di tutti gli sviluppi successivi
della geometria differenziale e del calcolo differenziale. Dall’altra parte, il
metodo di Descartes appartiene alla geometria algebrica, ma essendo confinato in essa, esso rimase una curiosità finché non sorse la necessità di metodi
validi sopra un campo base arbitrario. Cosı̀ il punto in questione non poteva
essere e non fu compreso adeguatamente fin tanto che la geometria algebrica
astratta non gli diede il suo pieno significato.
Vi è anche un’altra ragione per la quale l’arte della storia della matematica può essere praticata nel migliore dei modi da coloro fra noi che sono o
sono stati matematici attivi o almeno da coloro che sono in stretto contatto
con i matematici attivi; ci sono vari tipi di fraintendimenti che capitano non
di rado e dai quali la nostra esperienza ci può salvare. Sappiamo anche troppo bene, per esempio, che non bisogna credere sempre che un matematico
sia pienamente consapevole dei lavori dei suoi predecessori, neppure quan11
do li elenca tra i suoi riferimenti bibliografici; chi di noi ha letto realmente
tutti i libri che ha inserito nelle bibliografie dei suoi scritti? Noi sappiamo
che i matematici sono influenzati raramente nel loro lavoro da considerazioni
filosofiche, anche quando affermano di prenderle seriamente; noi sappiamo
che essi hanno il loro modo particolare di trattare le questioni fondazionali,
alternando un atteggiamento di totale indifferenza o un atteggiamento di estrema attenzione critica. Soprattutto, abbiamo imparato la differenza tra il
pensiero originale e quella sorta di ragionamento di routine che un matematico spesso sente di dover utilizzare per registrare le sue idee per soddisfare i
suoi pari o forse anche per soddisfare se stesso. Una dimostrazione laboriosa
ed affaticante può essere il segno del fatto che l’autore è stato veramente
infelice nel doversi esprimere; ma assai più spesso, come sappiamo, essa indica che egli ha lavorato con limitazioni che gli hanno impedito di tradurre
direttamente in parole od in formule alcune idee molto semplici. Si possono
dare innumerevoli esempi di questo, che spaziano dalla geometria greca (che
forse finı̀ per essere soffocata proprio da queste limitazioni) fino al rigore talvolta eccessivo della formalizzazione in termini di ε e δ xii e fino a Nicolas
Bourbaki, che considerò anche, almeno una volta, l’idea di usare un segno
speciale a margine per avvisare il lettore della presenza di dimostrazioni di
questo genere. Un compito importante dello storico della matematica serio,
e talvolta uno dei più difficili, è esattamente quello di separare questa routine
da ciò che è realmente nuovo nel lavoro dei grandi matematici del passato.
Naturalmente il talento matematico e l’esperienza matematica non sono
sufficienti per qualificare un matematico come storico. Per citare ancora Tannery (loc. cit (nota 3), p. 165) “ciò che è necessario soprattutto è un gusto
per la storia; bisogna sviluppare un senso storico”. In altre parole è richiesta
una forma di simpatia intellettuale, che abbracci le epoche del passato nello
stesso modo della nostra. Anche matematici assolutamente notevoli possono
esserne privi. Ognuno di noi può forse fare il nome di qualcuno che rifiuta
assolutamente di essere posto a contatto con qualsiasi genere di lavoro diverso dal suo. È anche necessario non cedere alla tentazione (una tentazione
naturale per un matematico) di concentrarsi esclusivamente sui più grandi
matematici del passato e di trascurare il lavoro che abbia solo valore sussidiario. Anche dal punto di vista del godimento estetico si rischia di perdere
molto con questo atteggiamento, come ogni amante dell’arte sa; dal punto di
xii
Weil usa sbrigativamente il termine gergale ‘epsilontic’, che non ha un corrispondente
in italiano, e che ho cercato di rendere con un giro di parole.
12
vista storico può essere fatale, poiché il genio raramente prospera in assenza
di un ambiente opportuno, ed una qualche familiarità con quest’ultimo è un
prerequisito essenziale per un giusto apprezzamento del genio. Anche i libri
di testo in uso ad ogni stadio dello sviluppo matematico dovrebbero essere
esaminati accuratamente per distinguere, quando possibile, ciò che era e ciò
che non era conoscenza comune in un dato periodo.
Anche le notazioni hanno il loro valore. Perfino quando apparentemente
esse non hanno importanza, possono fornire suggerimenti utili per lo storico;
per esempio, quando egli trova che, per molti anni, ed anche ora, la lettera K
è stata usata per denotare i campi e le lettere tedesche sono state utilizzate
per denotare gli ideali, è parte del suo compito spiegare perché. D’altra
parte, è spesso accaduto che le notazioni siano state inseparabili dai più
grandi avanzamenti teorici. Cosı̀ è stato per il lento sviluppo delle notazioni
algebriche, portato infine a compimento nelle mani di Viète e di Descartes. E
cosı̀ ancora è stato con la creazione sommamente personale delle notazioni per
il calcolo di Leibniz (forse il più grande dominatore del linguaggio simbolico
che sia mai esistito); come abbiamo visto, esse incorporarono le scoperte di
Leibniz in modo cosı̀ soddisfacente che gli storici successivi, ingannati dalla
naturalezza della notazione, mancarono di notare alcune di queste scoperte.
Dunque gli storici hanno i loro compiti peculiari, anche se essi si sovrappongono a quelli dei matematici e talvolta possono coincidere con questi.
Cosı̀ nel diciassettesimo secolo, è capitato che alcuni tra i migliori matematici, nell’assenza di predecessori immediati in qualsiasi campo della matematica eccetto l’algebra, fecero molto lavoro che ai nostri occhi appartiene agli
storici curando edizioni critiche, pubblicando, ricostruendo l’opera dei greci, di Archimede, Apollonio, Pappo, Diofanto. Ma anche ora lo storico della
matematica ed il matematico si trovano non raramente su un terreno comune
quando studiano le produzioni scientifiche del diciannovesimo e del ventesimo secolo, per non menzionare una qualsiasi cosa di un tempo più recente.
Per la mia stessa esperienza, posso testimoniare sul valore dei suggerimenti
trovati in Gauss ed in Eisenstein. Le congruenze di Kummer per i numeri di
Bernoulli, dopo essere state considerate poco più di una curiosità per molti
anni, hanno trovato nuova vita nella teoria delle L-funzioni p-adiche, e le idee
di Fermat sull’uso della discesa infinita nello studio delle equazioni diofantee
di genere 1 hanno dimostrato il loro valore nei lavori contemporanei sullo
stesso argomento.
Che cosa, allora, separa lo storico dal matematico quando entrambi studiano il lavoro del passato? In parte, senza dubbio, le loro tecniche, o, come io
13
ho proposto di vedere la questione, le loro tattiche; ma principalmente, forse,
le loro attitudini e le loro motivazioni. Lo storico tende a dirigere la sua attenzione ad un passato più distante e ad una più grande varietà di culture; in
tali studi, il matematico può trovare poco profitto al di là della soddisfazione
estetica di scorgere le proprie origini o del piacere di sperimentare indirettamente la gioia della scoperta. Il matematico tende a finalizzare queste letture
o almeno ha la speranza di poterne ricavare qualche fruttuoso suggerimento. Qui possiamo citare le parole di Jacobi dei suoi anni giovanili relative
ad un libro che aveva appena finito di leggere: “Fino ad ora, egli diceva,
ogni volta che ho studiato un’opera di qualche valore, essa mi ha stimolato
verso pensieri originali; questa volta ne sono uscito quasi a mani vuote”.10
Come notato da Dirichlet, dal quale ho tratto questa citazione, è un’ironia il
fatto che il libro in questione non fosse altro che gli Exercise de calcul integral di Legendre, contenente risultati sugli integrali ellittici che assai presto
dovevano fornire ispirazione per le più grandi scoperte di Jacobi; ma le parole
sono comunque emblematiche. Il matematico compie la sua lettura per essere
stimolato verso pensieri originali (o, potrei aggiungere, talvolta non del tutto
originali); non vi è slealtà, mi sembra, nell’affermare che il suo proposito è
più direttamente utilitaristico di quello dello storico. Tuttavia, il compito
essenziale di entrambi è quello di trattare delle idee matematiche, quelle del
passato, quelle del presente e, quando essi possono farlo, quelle del futuro.
Entrambi possono trovare possibilità di formazione professionale e di chiarificazione intellettuale di valore inestimabile nel lavoro reciproco. E dunque il
mio problema originale “Perché la storia della matematica?” si riduce infine
a questo: ‘Perché la matematica?”, una questione alla quale non mi sembra
sia necessario rispondere.
10
Wenn ich sonst ein bedeutendes Werk studiert habe, hat es mich immer zu eignen
Gedanken angeregt...Diesmal bin ich ganz leer augegangen und nicht zum geringsten
Einfall inspiriert worden”. (Dirichlet, Werke, Bd. II S. 231).
14
Riferimenti bibliografici
Archimede, Œuvres, vol. II , Edite da C. Mugler (Paris: Les Belles Lettres,
1971).
Bourbaki, N., ’L’architecture des mathématiques’, in (Lionnais), pp. 35–47
(1948).
Bourbaki, N., Elements of the history of mathematics, Trad. dal francese di
J. Meldrum (Berlin, Heidelberg, ecc.: Springer-Verlag, 1994).
Cartier, P., ’Il mio André Weil’, Lettera matematica Pristem, pp. 43–58
(2000), Trad. di R. Tettamanzi di “André Weil (1906-1998): adieu à
un ami’, nei quaderni del Séminaire de Philosophie et de mathématique
della Ecole Normale Supérieure.
Chikara, S., Mitsuo, S. & Dauben, J.W. eds., The intersection of history and
mathematics (Basel - Boston - Berlin: Birkhäuser, 1994).
Dauben, J. W., ’Mathematics: an historian’s perspective’, in (Chikara et al.),
pp. 1–13 (1994).
Euclide, Euclides Elementa, Editi da E.S. Stamatis post I.L. Heiberg
(Leipzig: Teubner, 1970).
Gjertsen, D., The Newton handbook (London and New York: Routledge &
Kegan Paull, 1986).
Guedj, D., Il teorema del pappagallo, Trad. it. (Milano: Longanesi, 2000).
Hardy, G. H., A mathematician’s apology, Ristampa, con una Prefazione di
C.P. Snow (Cambridge: Cambridge University Press, 1965).
Housman, A.E., The Name and Nature of Poetry (New York:
Amsterdam books, 1989).
New
Lang, P.H. ed., The creative world of Mozart (New York and London: W.W.
Norton & Company, 1963).
Lionnais, F. Le ed., Les grands courants de la pensée mathématique (Paris:
Cahiers du Sud, 1948).
15
Sternfeld, F. W., ’The melodic source of Mozart’s popular Lied ’, in (Lang),
pp. 127–136 (1963).
Szabó, Á., Anfänge der grieschischen Mathematik (Munich-Vienna: R.
Oldenbourg, 1969).
Unguru, S., ’On the need to rewrite the history of Greek mathematics’,
Archive for history of exact sciences, pp. 67–114 (1975/76).
der Waerden, B.L. Van, ’Defense of a ”shocking” point of view’, Archive for
history of exact sciences, pp. 199–210 (1975/76).
Weil, A., ’Who betrayed Euclid? Extract from a letter to the editor’, Archive
for history of exact sciences, pp. 91–93 (1978/79).
Weil, A., ’History of mathematics: why and how’, in Proceedings of the
International Congress of Mathematicians (Helinski, 1978) (Acad. Sci.
Fennica, Helsinki, 1980).
Weil, A., Œuvres scientifiques. Collected papers. 3 volumi (New York,
Heidelberg, Berlin: Springer, 1980).
Weil, A., ’Review of “The mathematical career of Pierre de Fermat, by M.S.
Mahoney”’, in (Weil, Œuvres scientifiques. Collected papers. 3 volumi),
pp. 266–277 (1980).
Weil, A., Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre,
A cura di C. Bartocci. Trad. it. di A. Collo. Introduzione di E. Bombieri
(Torino: Einaudi, 1993).
Weil, A., Ricordi di apprendistato, A cura di C. Bartocci (Torino: Einaudi,
1994).
Westfall, R., Never at rest (Cambridge: Cambridge University Press, 1980).
16