I numeri di Bell

I numeri di Bell: definizione, connessioni con altri
numeri (Fibonacci e partizioni) distribuzione
logaritmica, ecc
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we will show some connection between Bell’s
numbers, Fibonacci numbers, partition’s numbers
Riassunto
In questo lavoro tratteremo i numeri di Bell con
particolare attenzione per la loro, la loro distribuzione logaritmica
e nella striscia numerica 2T+ a ed eventuali relazioni con altri
numeri (es. di Fibonacci e partizioni) l’eventuale utilità pratica o
teorica, essendo simili, in qualche modo, alla partizioni di numeri
p(n)
Definizione da Wikipedia:
Numeri di Bell
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
1
In matematica i numeri di Bell - indicati con Bn - sono definiti come il numero di partizioni di
un insieme di n elementi, cioè il numero di modi in cui questo insieme può essere ottenuto
come unione disgiunta di suoi sottoinsiemi non vuoti.
La notazione Bn viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bernoulli; per distinguerli
talora per i numeri di Bernoulli si usa la notazione bn.
Ad esempio,
B3 = 5
poiché per un insieme di tre elementi {a,b,c} esistono 5 differenti modi di dividerlo in
sottoinsiemi non vuoti:
{{a},{b},{c}}
{{a,b},{c}}
{{a,c},{b}}
{{a},{b,c}}
{a,b,c}
La sequenza
I primi numeri di Bell sono
B0 = 1
B1 = 1
B2 = 2
B3 = 5
B4 = 15
B5 = 52
B6 = 203
(Sequenza A000110 dell'OEIS)
I primi valori di n per cui Bn è un numero primo sono 2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (Sequenza
A051130 dell'OEIS.) e i numeri primi di Bell generati sono 2, 5, 877, 27644437, ... (Sequenza
A051131 dell'OEIS.) Solo nel 2004 è stato dimostrato da I. Canestro, dopo 17 mesi di calcolo,
che
è un numero primo.
Proprietà
•
I numeri di Bell possono essere calcolati mediante la relazione di ricorrenza
2
•
Oppure usando la formula di Dobiński
•
Un altro metodo usato per calcolare i numeri di Bell è tramite il triangolo di Bell:
1
1
2
5
15
52
203
2
3
7
20
67
255
5
10
27
87
322
15
37 52
114 151 203
409 523 674 877
•
La funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell è
•
La congruenza di Touchard asserisce che se p è primo
Voci correlate
•
•
Triangolo di Bell
Partizione di un insieme
Circa la relazione con i numeri di Fibonacci, essi sono
vicini a numeri di Fibonacci ma saltandone alcuni 3, 8, 21,
34, 89, 144 in modo quasi regolare come vediamo nella
seguente tabella comparativa, anche con T, numeri di Lie
L(n) =2T +1 e partizioni di numeri p(n):
3
TABELLA 1
Fibonacci Numeri
di Bell
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
…
1
1
5
15
52
203
877
…
T
2T+1
1
1
3
6
10
15
21
55
91
136,
153*
231
378
630
990
1596
2556
…
3
7
13
21
57
91
133
P(n)
Osservazioni
Differenze
numeri di
Bell con
Fibonacci e
partizioni
1
1
2
3
5
7
11
22
30
56
77,101*
135
0; 0
0; 0
0; 0
2; 4
-3; -4
241
231
-30; -28
381
385
651
627
993 792,1002* -110; -20
1561
1575
2551
2436
…
…
…
4
Osservazioni utili:
* media aritmetica (77+101)/2 = 89 numero di Fibonacci
e ≈ 91 numero triangolare e anche numero di Lie
* media aritmetica (792+1002)/2 = 897 ≈ 877 numero di
Bell. (Inoltre 897 – 877 = 20 = 21 – 1, con 21 ed 1 numeri
di Fibonacci)
* media 144 ≈ (136+153)/2 = 144,5
Il prossimo numero di Bell è 4140, vicinissimo alla media
dei due numeri di partizioni più vicini:
(3718 + 4565)/2 = 4141,5 ≈ 4140
come per 877, ma più preciso, mentre il numero di
Fibonacci più vicino è 4181
Differenze 4140 – 4181 = - 41 ; 4140 - 4141 = - 1.
Inoltre: 41 = 1 + 3 + 3 + 34, con 1, 3 e 34 numeri di
Fibonacci.
Come sospettato, i numeri di Bell sono vicini, oltre che ai
numeri di Fibonacci (e/o loro somme algebriche) e ai
numeri di Lie, anche alle partizioni di numeri (molto
importanti in natura, vedi Rif.1) direttamente o anche come
la quasi media aritmetica di due numeri di partizione, come
nel caso di 877 e 4140 (anche in questo intervallo si
saltano due numeri di Fibonacci consecutivi unica
eccezione, fin qui, il numero 8 tra 5 e 15); anche se non si
conoscono ancora connessioni tra numeri di Bell e
fenomeni naturali.
5
Così come la successione di Fibonacci è una progressione
numerica quasi perfetta di ragione 1,618 (rapporto tra un
numero di Fibonacci e il precedente), la successione dei
numeri di Bell, più rarefatta rispetto alla successione di
Fibonacci, deve avere una ragione maggiore, come
vedremo con i rapporti successivi :
TABELLA 2
Numeri di Bell
fino a 21147
Rapporti successivi r
Crescenti
Osservazioni: 2°
rapporto r’→ 1
k
r’≈ √r con k qui
crescente da 2 a 4
1
1
2
5
15
52
203
877
4140
21147
…
1/1 = 1
2/1=2
5/2= 2,5
15/5=3
52/15=3,46
203/52= 3,62
877/203= 4,32
4140/877=4,72
21147/4140=5,10
…
2/1=2
2,5/2= 1,25
3/2,5 =1,2
3,46/3=1,15
3,62/3,46= 0,92
4,32/3,62=1,19
4,72/4,32 =1,09
5,10/4,72 =1,08
…
La media di questi nove valori è, fino a 21147, la loro
somma diviso nove, e cioè 29,72/9 = 3,30, circa due volte
1,618 della serie di Fibonacci (1,618 *2 = 3,23)
Moltiplicando quindi un numero di Bell per 3,30 si ottiene
6
Con buona approssimazione il successivo, per es . 5*3,30 =
16,5 ≈ 15, 52*3.30= 171,6 ≈ 203
Circa il paradosso di Fibonacci, per il quale il quadrato di
un numero di Fibonacci è il prodotto dei due numeri
adiacenti + 1, per es. = 13^2= 169 = 8*21 + 1 = 168 + 1,
ora abbiamo anche qui qualcosa di simile, per es.
2^2 = 4 = 1*5 - 1 =5 - 1
5^5=25= 2*15- 5 =30 - 5
15^2 = 225 = 5*52 = 260 – 35
52^2 =2704 = 15*203 = 3045 – 341
877^2= 769129 = 203*4140 = 840420 - 71291 e così via,
ma sempre col segno meno – e con la differenza finale circa
fino a un decimo del prodotto fin qui, ma ancora crescente
in seguito.
Una connessione con i numeri di Fibonacci è la seguente:
TABELLA 3
F(n) ≈ √ Bn
Bn
1
2
5
15
52
877
4140
21147
115975
√Bn
1
1,42
2,23
3,8
7,21
29,61
64,34
145,42
340,55
≈ F(n)
1
1
2
3
8
≈Media (21+34/2=27,5
55(55+8+1)
144
377 (377-34-3)
Per numeri di Bell più grandi si tende ad una media tra due
numeri di Fibonacci, successivi, per esempio per numero di
7
Bell 4213597 abbiamo √ 4213597= 2052 ≈(1597+2584)/2 =
2090,5 ≈ 2052 (=2052+ 34 + 3 + 1)
Non si conoscono ancora connessioni tra numeri di Bell e
fenomeni naturali, ma ci potrebbero essere, viste le loro
connessioni con i numeri di Fibonacci e le partizioni di
numeri.
Circa i numeri primi di Bell, sono molto rari e quindi di
poco interesse in questo lavoro, e quindi li trascureremo
(Vedi nota 1)
Circa la distribuzione logaritmica dei numeri di Bell fino a
10^n, vediamola con la presente
TABELLA 4
N
10^n
Numero di a(Bn)
1
10^1
(1 iniziale
contato solo una
volta)
k*n con k→n
decrescente
2
3
4
5
6
7
8
9
10^2
10^3
10^4
10^5
10^6
10^7
10^8
10^9
5
7
8
8
10
11
12
13
≈ 2n
≈ 2n
≈ 2n
≈ 2n
≈ 2n
≈ 2n
≈ 1,5 n
≈ 1,5 n
3
8
Stima log.
< 2 Log 10^n
Fino ad un miliardo, quindi, ci sono solo 13 numeri di Bell
(contando una sola volta l’ 1 iniziale), e fino a 10^18 ce ne
sono solo 22 (sequenza A00110 OESIS, che ne considera
23 ripetendo due volte l’1 iniziali) e con rapporto
k = a(Bn) / Log 10^18 = 22/18 = 1,22… → ad 1; per n
molto più grandi, a(Bn) coinciderà infine con n.
Questo significa che i numeri di Bell si rarefanno sempre
più al crescere di 10^n.
Circa un’altra connessione con i numeri di partizione,
(parte decimale della loro radice quadrata prossima a 0,60,
mentre per i numeri di Fibonacci è 0,40 e per i numeri di
Lie è 0,50, quindi a circa metà strada tra un quadrato e il
successivo, cosa preferita dalla Natura per i suoi numeri) ,
vedi Nota 2
Conclusione
Qui terminiamo questo lavoro sui numeri di Bell,
sottolineando le connessioni con i numeri di Fibonacci, di
Lie e di partizione, cioè con i numeri preferiti dalla natura,
secondo l’equazione dei numeri di Lie L(n) = n^2+ n + 1,
alle cui soluzioni per ogni n i numeri di Fibonacci e le
partizioni sono molto vicini (Rif. 2 e Rif. 3), e quindi
sarebbero possibili connessioni, ancora da scoprire anche
tra i numeri di Bell e qualche fenomeno naturale.
Caltanissetta 1.9.2011
Riferimenti
9
1) “Connessioni tra partizioni di numeri p(n) e funzione di
Landau come ipotesi RH equivalente”Michele Nardelli, Francesco Di
Noto
2)” IL PRINCIPIO GEOMETRICO ALLA BASE
DELLE TEORIE DI STRINGA”Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Prima e seconda parte)
3) “Una teoria aritmetica, o aritmetica-geometrica, per la TOE
(Il principio aritmetico per le teorie di stringa, PATS, complementare
al PGTS)” Francesco Di Noto – Michele Nardelli
e relativi riferimenti finali
Nota 1
Sui numeri primi di Bell.
Come abbiamo visto nella definizione di Wikipedia,
“I primi valori di n per cui Bn è un numero primo sono 2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (Sequenza
A051130 dell'OEIS.) e i numeri primi di Bell generati sono 2, 5, 877, 27644437, ... (Sequenza
A051131 dell'OEIS.) Solo nel 2004 è stato dimostrato da I. Canestro, dopo 17 mesi di calcolo,
che
è un numero primo.
I numeri primi di Bell sono molto rari (solo quattro fino a
27644437) e quindi poco utili e poco importanti per il
nostro scopo (connessioni con fenomeni naturali). Potremo
dire qualcosa sulla loro forma numerica, che per i numeri
primi in generale è 6k +1
A parte il 2 iniziale (eccezione , insieme al 3, per queste
forme), vediamo che:
10
5
=
877
=
27 644 437 =
6*1
6*146
6* 4 607 406
- 1
+ 1
+ 1
35742549198872617291353508656626642567
=6*59570915331454362152255847761403
…quindi in modo alternato e ciclico:
- 1
-, +,+,-
Infatti il successivo numero primo di Bell :
359334085968622831041960188598043661065388726959079837
è di forma 6k +1
Ulteriori ricerche confermeranno tale ciclo aritmetico
Notiamo che i coefficienti k sono:
1 = numero di Fibonacci,
146 - 2 = 144 = numero di Fibonacci,
4 607 406 ≈ media tra i due numeri di Fibonacci. Difatti:
(3524578 + 5702887)/2 = 4 613 732,5 ≈ 4 607 406, con
una differenza 4 613 732,5 – 4607406 = 6 326,5 circa lo
0,13% di 4 607 406 e di 4 613 732,5, cosa difficilmente
dovuta al caso.
Nota 2
Tabella 5 con le radici quadrate dei numeri di Bell, con la
parte decimale prossima a 0,60 come per i numeri di
partizione:
11
TABELLA 5
Bn
√Bn
1
1
2
5
15
52
203
877
4 140
21 147
115 975
678 570
4 213 597
27 644 437
190 899 322
1
1
1,41
2,23
3,87
7,21
14,24
29,61
64,34
145,42
340,55
823,75
2052,70
5257,79
13816,63
parte decimale >
0,50
0,87
0,61
0,55
0,75
0,70
0,79
0,63
Dopo 115 975, la parte decimale della radice quadrata dei
numeri di Bell, si stabilizza su numeri decimali maggiori di
0,50 (propri dei numeri di Lie) e anche di 0,60 (propri dei
numeri di partizione); questo significa che i numeri di Bell
si collocano mediamente in genere, specialmente i più
grandi, attorno al 70% dell’intervallo tra un quadrato e il
successivo, essendo 2n +1 = 100% l’intervallo tra un
quadrato e il successivo; per esempio, 4 213 597
12
ha come radice quadrata 2052,70; poiché il quadrato
precedente è 2052^2 = 4 210 704, distante 2*2052+1= 4105
dal quadrato successivo 2053^2 = 4 214 809; la differenza
4213597 – 4210704 =2893 = 70% di 4105, infatti
4105*0,70 = 2873,5 ≈ 2893 .
Per questo pensiamo a qualche possibile connessione,
seppure debole e non ancora osservata,dei numeri di Bell
(con parti decimali di ≈ il 70%)con fenomeni naturali, i cui
numeri (Fibonacci, Lie e partizioni) hanno parti decimali
attorno al 40%, 50% e 60% dell’intervallo quadratico.
FINE
13