Sapienza Universit`a di Roma Facolt`a di Ingegneria Civile

Sapienza Università di Roma
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
Fisica I per Ing. Energetica
Prof. A.Schiavi - A.A. 2011-2012
Esercizio: auto e motocicletta
Un’automobile sta percorrendo a velocità costante va = 180 km/h un tratto rettilineo di
autostrada, quando raggiunge una postazione di controllo, dove staziona un poliziotto
su una motocicletta. Nell’istante in cui l’auto sfreccia davanti al poliziotto, quest’ultimo si lancia all’inseguimento. La motocicletta si muove con accelerazione costante
am = 10 m/s2 . Determinare la durata dell’inseguimento e la velocità della motocicletta
quando questa raggiunge l’auto.
Soluzione proposta
Scegliamo di fissare l’origine dei tempi nell’istante in cui l’auto passa davanti al poliziotto, mentre l’origine delle coordinate x sia posta in corrispondenza alla postazione
di controllo. L’auto si muove di moto rettilineo uniforme, mentre la motocicletta di
moto rettilineo uniformemente accelerato.
La posizione dell’auto è descritta da
xa (t) = x0a + va t = va t ,
dal momento che a t = 0 l’auto passa per l’origine delle coordinate (x0a = 0).
La motocicletta si muove secondo la legge
1
1
xm (t) = x0m + v0m t + am t2 = am t2
2
2
poiché parte dall’origine (x0m = 0) e da ferma (v0m = vm (0) = 0).
L’inseguimento termina quando la motocicletta raggiunge l’auto. Cerchiamo quindi
l’istante in cui xa (t) = xm (t), ovvero
1
1
va t = am t2 ⇒ t (va − am t) = 0 .
2
2
Questa equazione ha due soluzioni. Quella banale t = 0, corrisponde all’istante iniziale,
quando l’auto si trova in corrispondenza della motocicletta. La seconda soluzione ci
fornisce la durata dell’inseguimento
t∗ =
2 va
50 m/s
=2
= 10 s ,
am
10 m/s2
mentre la velocità finale della moto è data da
vm (t∗ ) = am t∗ = 10
m
m
km
10
s
=
100
=
360
.
s2
s
h
Variante 1: teniamo conto del tempo di reazione del poliziotto: dal momento in cui l’auto
passa dalla posizione di controllo a quello in cui il poliziotto, constatata l’infrazione,
1
mette in moto la motocicletta passano ∆t = 5 s. Determinare nuovamente la durata
dell’inseguimento e la velocità della motocicletta quando questa raggiunge l’auto.
Scegliamo di far partire il cronometro (t = 0) nell’istante in cui la moto comincia
ad accelerare. Il moto dell’auto è descritto da
xa (t) = x0a + va t ,
con x0a = va ∆t = 50 m/s · 5 s = 250 m. La legge del moto della motocicletta è
1
xm (t) = am t2
2
Cerchiamo le soluzioni xa (t) = xm (t), ovvero
1
1
x0a + va t = am t2 ⇒ am t2 − va t − x0a = 0 .
2
2
L’equazione di secondo grado ha due soluzioni: una nel passato (da scartare: moto non
avvenuto realmente) ed una nel futuro:
va
t∗ =
+
am
s
va
am
2
+
√
2 x0a
50 √
+ 25 + 50 = 5 + 75 = 13,7 s .
=
am
10
Quindi la corsa della moto dura 13,7 s e l’auto viene raggiunta 18,7 s dopo essere
transitata davanti alla postazione di controllo. La velocità finale della moto è pari
a
m
km
vm (t∗ ) = am t∗ = 10 · 13,7 = 137 ' 490
,
s
h
una velocità certamente eccessiva per una motocicletta.
Variante 2: aggiungiamo alle condizioni della Variante 1 anche il vincolo che la velocità
massima della moto sia vmax = 300 km/h.
dell’inseguimento.
Determinare nuovamente la durata
Dividiamo il moto della motocicletta in tre intervalli di tempo:
∆t1 = 5 s: la motocicletta sta ferma (tempo di reazione)
∆t2 = tempo impiegato per raggiungere la velocità massima (m. unif. accelerato)
∆t3 = fase di moto rett. uniforme fino al termine dell’inseguimento
Ricaviamo il tempo di accelerazione dalla relazione vmax = am ∆t2 da cui
83,3
300 m 1 s2
·
=
s = 8,33 s.
∆t2 =
3,6 s 10 m
10
Scegliamo di far partire il cronometro (t = 0) nell’istante in cui la motocicletta ha
raggiunto la velocità massima. Le posizioni dell’auto e della moto rispetto all’origine
sono date da
x0a = va (∆t1 + ∆t2 ) = 50 · (5 + 8,33) = 667 m ,
1
x0m = am (∆t2 )2 = 5 · (8,33)2 = 347 m .
2
2
Nel terzo intervallo di tempo, sia l’auto che la motocicletta si muovono di moto rettilineo
uniforme:
xa (t) = x0a + va t ,
xm (t) = x0m + vmax t .
L’inseguimento termina quando
x0a + va t = x0m + vmax t ⇒ t∗ =
∆x
320
x0a − x0m
=
=
= 9,6 s .
vmax − va
∆v
33,3
Quindi la corsa della moto dura 17,9 s e l’auto viene raggiunta 22,9 s dopo essere
transitata davanti alla postazione di controllo.
3