il testo di accompagnamento.

Pavia, 13 giugno 2012
Stage di orientamento per le scuole superiori
Dipartimento di Matematica ‘F. Casorati’, Università di Pavia
MOSAICI, SIMMETRIE IMPOSSIBILI E
QUASI–CRISTALLI
c Annalisa Marzuoli
1
Considerazioni introduttive:
una storia lunga 400 anni (1611–2011)
Il filo conduttore di questa conferenza 1 si sviluppa intorno al
dualismo esagono–pentagono,
vale a dire sulla contrapposizione tra mosaici (tessellazioni oppure
tassellazioni, pavimentazioni o tiling del piano) le cui tessere hanno
la forma di esagoni regolari e mosaici più complessi formati da
tessere di diverse forme, tra cui sono presenti pentagoni regolari (i
cosiddetti Penrose tilings).
Slide (1.1)
La simmetria esagonale, che si manifesta in forma spettacolare nella
struttura microscopica di singoli fiocchi di neve (cristalli di ghiaccio), può essere realizzata a livello macroscopico riproducendo in
modo periodico piastrelle esagonali fino a ricoprire un pavimento
di estensione infinita: qualsiasi sia il punto in cui ci soffermiamo,
vediamo intorno a noi lo stesso tipo di configurazione infinitamente
ripetuta e uguale a se stessa. Al contrario, i tiling di Penrose (e altri
1
una quasi–lezione perché è volutamente di carattere interdisciplinare, e quindi non corrisponde al modello standard di lezione universitaria
1
tipi di tessellazioni apparentemente più innocue) non sono replicabili uniformemente in modo da ricoprire l’intero piano: esistono regioni di estensione finita che manifestano la simmetria pentagonale
quasi ovunque, ma tale simmetria si perde al crescere dell’estensione
della regione considerata, cioé spingendo lo sguardo sempre più lontano. Si potrebbe chiamare tale fenomeno rottura di simmetria (termine però utilizzato nella moderna fisica teorica in riferimento a
simmetrie di origine dinamica).
Slide (1.2)
La linea di ragionamento che seguirò si ispira alla monografia
di Marjorie Senechal [1] che tratta, in modo non troppo tecnico e
permeabile a varie contaminazioni culturali e artistiche, la disciplina
nota come
cristallografia matematica,
dalle sue origini ottocentesche agli anni ’90 del Novecento. Nel
libro si fa anche riferimento ai quasi–cristalli, la cui scoperta sperimentale, avvenuta nel 1982 2 ha portato nel 2011 all’ assegnazione
del premio Nobel per la Chimica a Dan Shechtman. Altri riferimenti
(e fonti delle immagini) sono riportati nella slide. Si consiglia anche
il libro di Herman Weyl, un ‘classico’ sulle simmetrie [2].
Slide (1.3)
Il personaggio che ci farà da guida è Johann Kepler (1571–
1630), ricordato al giorno d’ oggi principalmente per il suo contributo fondamentale all’astronomia. Nel libello Strena seu de nive
sexangula del 1611, ‘dedicato ad un amico come regalo per il nuovo
anno’, Keplero fornisce un paio di spiegazioni sul motivo per cui i
fiocchi di neve hanno forma esagonale (ci tornerò tra breve). Nei
2
ma all’ epoca di pubblicazione di questo libro non ancora convalidata dalla comunità degli
scienziati
2
primi due capitoli del successivo trattato Harmonices mundi (1619)
sono discusse le proprietà di congruenza delle figure piane e solide al
fine di riconoscere la pervasiva presenza di proporzioni ‘armoniche’,
che potremmo accostare se pure alla lontana con il concetto moderno
di
simmetria,
inteso come gruppo delle trasformazioni rigide che lasciano una
certa figura o configurazione geometrica invariata (isometrie). Quello
che qui voglio evidenziare è che in questi capitoli vengono poste le
basi per lo studio sistematico delle tessellazioni piane: tra quelle
riprodotte vi sono anche alcuni esempi di tiling non periodici, tra
cui il famoso mostro di Keplero, da lui denotato con il simbolo Aa,
e ottenuto cercando di incastrare tessere di forma pentagonale nel
modo più armonico possibile.
Inciso su Keplero:
La seconda parte di Harmonices mundi tratta dell’origine delle proporzioni armoniche nella musica, delle configurazioni armoniche in
astrologia e infine delle armonie riscontrabili nel moto dei pianeti,
proprietà formalizzate alla fine del trattato nella terza legge delle
orbite che stabilisce che il cubo del semiasse maggiore dell’ orbita ellittica di un pianeta è proporzionale al quadrato del suo periodo di rivoluzione. (La prima e seconda legge erano state stabilite
precedentemente nell’opera Astronomia Nova). Le basi filosofiche
neopitagoriche e neoplatoniche di Kepler si fonderanno successivamente in modo singolare nel suo tentativo (Mysterium cosmographicum, 1597) di legare le regolarità osservate nel nostro sistema
planetario a precise proprietà dei cinque solidi platonici iscritti uno
nell’altro. N
E’ proprio ragionando sulle proprietà morfologico–strutturali del
tiling Aa – modalità di composizione delle varie tessere e di estendibilità – che Roger Penrose, matematico e fisico ancora vivente,
3
ha introdotto a metà degli anni ’70 il primo dei suoi tiling non periodici. Il fenomeno della rottura di simmetria non comporta però una
transizione a configurazioni completamente irregolari e caotiche:
guardando e riguardando si scoprono infatti zone che presentano
un certo grado di regolarità, anche se non riusciamo a formalizzare
queste impressioni...
4
2
De nive sexangula
Slide (2.1)
Grazie a tecniche fotografiche ultraraffinate possiamo apprezzare le
immagini di miriadi di tipologie di cristalli di ghiaccio, e in effetti
quello che colpisce è la costante presenza della simmetria esagonale (l’esagono regolare è il poligono convesso con sei lati uguali e,
ovviamente, sei angoli uguali di 2π/6 = 60◦ ).
Qual è l’origine fisica di tale simmetria?
Nelle opere sopra citate Keplero fornisce due spiegazioni
Slide (2.2)
I) Il fiocco di neve che si forma e si muove liberamente nel suo
ambiente naturale (l’aria umida delle nuvole) avrebbe la forma
di una stella le cui sei punte sono dirette verso i sei vertici di un
ottaedro: cadendo al suolo si appiattisce assumendo una forma
esagonale, vale a dire mantenendo ‘memoria’ della sua simmetria originaria.
Questa spiegazione, rifiutata da Kepler stesso, ci appare ancora
oggi almeno verosimile, anche se l’eventualità che si formino
in tal modo esagoni perfettamente regolari non può essere che
un caso raro, in contrasto con l’osservata simmetria della stragrande maggioranza dei cristalli di neve.
Inciso su Platone:
Trovo curioso che il neoplatonico Kepler associ il fiocco di neve
al solido platonico che rappresenta l’ aria: forse aveva intuito che
queste forme cristalline possono formarsi solo inglobando nelle gocce
d’ acqua ampie zone ‘vuote’, occupate appunto dall’aria. Platone,
nel Timeo, associa il tetraedro, l’ottaedro, il cubo, e l’icosaedro
rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi
fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua. Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene
5
per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all’immagine del
cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza. N
Slide (2.3)
II) La seconda spiegazione fornita in Harmonices Mundi contiene
l’idea che i cristalli di neve siano originati da aggregazioni
di gocce d’ acqua sferiche, e che la loro struttura geometrica
macroscopica rifletta quindi analoghe proprietà microscopiche.
Robert Hooke ha ripreso questa intuizione di Kepker circa 50
anni più tardi (Micrographia 1665), arricchendola di una più
solida base fenomenologica dovuta all’ utilizzo del microscopio Le intuizioni di Keplero e Hooke sulla struttura modulare
dei cristalli sono state formalizzate solo nel 1822 dall’ abate
francese Renè–Just Haüy, il padre della cristallografia moderna
(si veda il capitolo introduttivo di [1] per maggiori dettagli sullo
sviluppo storico della cristallografia matematica).
La risposta moderna alla domanda iniziale si basa su una serie di
nozioni di chimica, fisica delle transizioni di fase e matematica delle
strutture frattali. Mi limiterò solo all’ illustrazione di pochi concetti
di base.
Slide (2.4)
L’ origine di tutto è ovviamente nella formula chimica della molecola
dell’ acqua, H2 O, e nell’osservazione ovvia che questa sostanza si
presenta nella vita di tutti i giorni nei tre possibili stati (o fasi): stato
gassoso (vapore acqueo), liquido e solido (ghiaccio). In figura si
vede il diagramma di fase, che riporta in ascissa la temperatura e
in ordinata la pressione. Le curve all’ interno del diagramma separano regioni corrispondenti alle tre fasi: lungo tali curve due stati
coesistono e in particolare nel punto evidenziato a sinistra in basso
troviamo il punto triplo che corrisponde ai valori di pressione e temperatura in cui tutte e tre le fasi coesistono. Da notare anche le
6
varie denominazioni dei fenomeni di ‘passaggio tra stati’, ad esempio la transizione tra stato liquido e stato gassoso si chiama ‘vaporizzazione’. La formazione di fiocchi di neve avviene sostanzialmente
(ma non esclusivamente) attraverso la ‘deposizione’ (chiamata anche in modo impreciso ‘condensazione’). Ci troviamo quindi a temperature inferori a 0 0 C, e il vapore acqueo presente nelle nubi solidifica in cristalli senza passare per lo stato liquido.
Il passo successivo consiste nel realizzare che il modo di cristallizzazione ‘normale’ per l’ acqua è quello esagonale, come si vede
nell’ immagine in alto a destra: questa forma corrisponde alla fase
stabile del ghiaccio, che si manifesta a pressioni e temperature compatibili con i fenomeni naturali di cui stiamo parlando.
La simmetria esagonale nasce quindi da qui, ma questa spiegazione cosı̀ semplice non è sufficiente per dar conto delle molteplici
forme dei cristalli di neve che possono manifestare configurazioni
stellate con ramificazioni varie delle punte (‘dendriti’) che rimandano a strutture frattali sovrapposte alla simmetria esagonale.
Slide (2.5)
Nella figura è riportato un diagramma, ottenuto da esperimenti in
laboratorio, che mostra la complessità della morfologia dei cristalli
di neve: in ascissa la temperatura (che diminuisce andando verso
destra) e in ordinata un parametro che misura il grado di umidità
dell’ ambiente in cui le strutture si formano. Vediamo quindi una
grande variabilità morfologica: strutture esagonali piatte più o meno
compatte e suddivise in settori, prismi esagonali (solidi o vuoti all’
interno), aghi... I cristalli tendono a forme più semplici quando l’
umidità (supersaturation) è bassa, ma il meccanismo per cui le forme
cambiano cosı̀ marcatamente con la temperatura non è stato ancora
spiegato. Siamo in presenza infatti di processi di crescita molto
complessi: descrivere il modo in cui molecole di vapore acqueo
sono incorporate in un certo cristallo che si sta formando coinvolge
un grande numero di parametri fisici e dipende anche dal modello
7
fisico–matematico che descrive la dinamica di crescita (si rimanda
al libro [3] e, volendo, all’ articolo specialistico [4] per approfondimenti).
Inciso su dati fenomenologici:
In un cubetto di ghiaccio di 1 centimetro cubico (che ha la massa di
1 grammo) ci sono 3 × 1022 molecole di acqua (1 molecola ha una
massa di 3 × 10−23 grammi).
Un tipico fiocco di neve di massa 3 × 10−5 grammi contiene quindi
circa 3×1018 molecole [1 miliardo = 109 ]. Di queste, una parte sono
aggregate in forma liquida e le altre in cristalli di ghiaccio. Un fiocco
che cade a latitudini tipiche della parte centrale del Nord America ha
un rapporto acqua/neve tra 0.04 e 0.10. N
Slide (2.6)
In questa slide, per contrasto con la descrizione moderna della
struttura fisico–chimica dei cristalli di ghiaccio, riporto delle immagini di fiocchi di neve disegnati da Hooke (uno scienziato) e da
Cartesio (filosofo e scienziato)3 .
In questi contesti cosı̀ diversi viene svelato come, dietro alla semplicità un po’ banale e monotona di un esagono regolare, si possano
nascondere in realtà strutture altamente complesse sia da un punto
di vista fenomenologico che dal punto di vista della modellizzazione
matematica.
Inciso: la passeggiata di Castorp
Un percorso mentale opposto, che parte dalla complessità per arrivare alla simmetria esagonale perfetta, si ritrova in un brano da La
Montagna Incantata di Thomas Mann [5] che descrive la passeggiata sugli sci del protagonista, Castorp, sotto una nevicata nelle
campagne che circondano il sanatorio in cui è ricoverato.
3
il libro Parlo dunque sono di cui si vede la copertina è del linguista Andrea Moro (Adelphi
2012)
8
Separo il testo in due parti: la prima trasmette il senso di meraviglia
per la varietà e complessità di cui ho appena parlato
Castorp fece un passo avanti per far(ne) cadere alcuni fiocchi sulla manica e osservarli con la competenza
dello studioso dilettante. Sembravano straccetti informi,
ma più di una volta egli ne aveva visti attraverso la sua
buona lente e sapeva benissimo di che gioielli graziosamente regolari erano composti, di oggetti preziosi, stelle
cavalleresche, fermagli di brillanti, che più ricchi e minuziosi non avrebbe saputo creare neanche il più coscienzioso gioielliere,... anzi quel bianco polverio, lieve e soffice, che ammassato gravava sul bosco e copriva la landa,
e sul quale lo portavano le sue assicelle, era pur diverso
dalla natia rena marina, alla quale faceva pensare: questi
non erano, si sa, granelli di sasso, bensı̀ miriadi di particelle d’acqua congelate e variamente cristallizzate – particelle della sostanza inorganica che fa sbocciare anche il
plasma della vita, il corpo dei vegetali e dell’uomo – e tra
quelle miriadi di stelline magiche nella loro minuta e segreta magnificenza, inaccessibile e d’altronde neanche destinata al nudo occhio umano, non ce n’ era una che fosse
uguale all’altra; una illimitata gioia d’inventare si manifestava nella variazione e nella finissima elaborazione di
uno stesso invariabile schema, quello dell’esagono equilatero – equiangolo;
mentre nella seconda parte si insinua la repulsione per l’eccessiva
regolarità e monotonia, e prende voce l’ angoscia del protagonista
che comincia a presagire il suo destino
ma in se stesso ciascuno di quei freddi prodotti era
di una simmetria assoluta, di una gelida regolarità, anzi
questo era il loro lato inquietante, antiorganico, ostile alla
9
vita; erano troppo regolari, la sostanza organizzata per vivere non lo è mai fino a tal punto, la vita aborre la precisione esatta, la considera letale, come l’enigma della
morte stessa, e Castorp credette di intuire perché i costruttori di templi antichi abbiano introdotto di nascosto piccole divergenze nella simmetria dei loro ordini di colonne.
N
Si potrebbe chiosare questa citazione in termini scientifici dicendo che i processi di evoluzione (non solo organica) sono prodotti
da meccanismi dinamici di competizione tra ordine (simmetria) e
‘divergenze nella simmetria’. Si potrebbero poi anche riabilitare
i fiocchi di neve osservando come oggi sia largamente accettata l’
ipotesi avanzata dagli astrobiologi che la vita sulla terra abbia avuto
origine grazie all’ arrivo di molecole organiche intrappolate in cristalli
di ghiaccio (non necessariamente H2 O) diffusi dalle comete nello
spazio interplanetario.
10
3
Tessellazioni del piano: simmetrie e periodicità
Torniamo all’ argomento principale, i mosaici (tessellazioni, tiling)
nel piano.
In continuità con l’ osservazione fatta alla fine della sezione precedente, la teoria matematica delle tessellazioni può essere illustrata
alla luce della contrapposizione simmetria–rottura di simmetria, a
sua volta legata in modo abbastanza sottile alle proprietà di periodicità.
Slide (3.1)
Nella figura sono mostrati diversi esempi di mosaici composti da
tessere a forma di poligoni regolari convessi: la richiesta fondamentale è che la pavimentazione ricopra il piano
• senza lasciare spazi vuoti
• senza sovrapposizioni di piastrelle.
Slide (3.2)
Se vengono usate tessere di un singolo tipo,
triangoli, quadrati, esagoni,
risulta evidente che si può ricostruire tutto il pavimento utilizzando
1 tessera riprodotta infinite volte: le operazioni geometriche coinvolte in questa ‘generazione’ sono tipi particolari isometrie del piano che hanno proprietà gruppali rispetto alla composizione
• rotazioni di 2π/n del poligono con n lati attorno all’asse passante per il suo centro e ortogonale al piano
• traslazioni lungo particolari direzioni della tessera in modo da
riprodurne una copia che tocca la precedente solo sul bordo
Esempi. Per il quadrato è sufficiente utilizzare le traslazioni:
posta la prima tessera, basta riprodurla seguendo ad esempio la direzione ‘verticale’ e poi traslando in ‘orizzontale’ ciascun quadrato
11
della striscia verticale. Per il triangolo invece bisogna comporre le
traslazioni con opportune rotazioni.
Slide (3.3)
In questa figura sono mostrati dei tiling più complicati (le tessere
sono poligoni regolari di 2 o 3 forme diverse) in cui esiste sempre
una configurazione di base (il dominio fondamentale) formata da
un piccolo numero di tessere che può essere riprodotta (rotazioni e
traslazioni) fino a ricoprire tutto il piano.
Si conclude quindi che
la periodicità, vale a dire l’estendibilità a tutto il piano di una
certa tessellazione in modo tale che la configurazione che un osservatore vede attorno a sé sia sempre la stessa, deriva da una
perfetta compatibilità tra simmetrie rotazionali e traslazionali.
Slide (3.4)
Quando si cerca di usare piastrelle pentagonali per costruire un
mosaico ci si accorge subito che la richiesta di ‘non lasciare vuoti’
non può essere soddisfatta, sicuramente usando soli pentagoni.
Attenzione: si possono combinare 12 pentagoni regolari in un
dodecaedro, ma in questo modo non si ottiene una tessellazione del
piano, bensı̀ della superficie di una sfera bidimensionale (pallone)
immersa nello spazio euclideo tridimensionale.
Slide (3.5)
La formalizzazione matematica di tali osservazioni intuitive è il
cosiddetto teorema della ‘restrizione cristallografica’
(Haüi 1882, si veda [1] Cap 1, Teor 1.2):
La simmetria rotazionale pentagonale (5–fold) è incompatibile con l’ invarianza traslazionale propria dei reticoli
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periodici (tessellazioni riproducibili a partire da una singola tessera o da un piccolo gruppo di tessere, il dominio
fondamentale). Il teorema vale sia nel piano che nello
spazio e inoltre esclude anche le simmetrie rotazionali di
ordine maggiore di 6 (ettagonali, ottagonali, decagonali,
ecc.).
Il teorema va oltre il problema che stiamo considerando poiché preclude l’esistenza di tessellazioni che siano periodiche e con simmetrie rotazionali di ordine uguale a 5 e maggiore di 6 anche nello
spazio4 .
Slide (3.6)
Nella teoria dei mosaici è quindi molto semplice rompere l’ordine
perfetto della periodicità: basta voler inserire, come Keplero in Harmonices Mundi, dei pentagoni tra le tessere per rompere la simmetria roto–traslazionale e quindi ottenere necessariamente tessellazioni non periodiche.
4
Il problema generale dell’ esistenza di tessellazioni periodiche (in uno spazio euclideo di
dimensione n qualsiasi) è noto come ‘180 Problema di Hilbert’, ma l’ argomento è un po’ troppo
avanzato per essere trattato qui.
13
4
Tiling di Penrose
Roger Penrose ha scoperto un gran numero di tiling non periodici
con simmetria pentagonale (si veda la bibliografia originale fornita
in [1]) a partire dalla metà degli anni ’70.
Slide (4.1)
Quello mostrato in figura (Penrose 1) ha una evidente parentela
con il tiling Aa di Keplero. La costruzione di questo particolare
mosaico si basa su 6 proto–tessere (quelle usate originariamente da
Penrose) la cui forma ci appare piuttosto complicata e in un certo
senso artificiosa.
Slide (4.2)
Successivamente si è riconosciuto come in realtà il numero delle
proto–tessere potesse essere ridotto: in figura vediamo un tiling in
cui due possibili scelte di insiemi di prototessere sono sovrapposte
tra loro. Si notano in particolare le configurazioni a forma di decagono
già presenti nel tiling Aa di Keplero.
Slide (4.3)
L’ evoluzione dell’analisi di Penrose lo ha portato a introdurre un
insieme di due sole proto–tessere, dart (freccia) e kite (aquilone), a
patto di introdurre particolari regole di incastro, illustrate in figura.
Slide (4.4)
In realtà esistono infiniti modi distinti per pavimentare un piano con dart e kite, nessuna di queste pavimentazioni è periodica,
e quello che colpisce è il gioco fra ordine apparente e asimmetrie
inaspettate. Passeggiando in una stanza pavimentata da Penrose,
avremmo la possibilità di incontrare, più meno a caso, una qualsiasi
delle possibili sette disposizioni delle due tessere utilizzate.
14
Slide (4.5)
L’ ultima figura di questa sezione vuole evocare un’ idea suggestiva, che si è fatta strada nel corso del tempo, vale a dire la possibilità che le quasi–simmmetrie delle tessellazioni non periodiche
siano ottenute proiettando su un piano delle ‘ipertessellazioni’ regolari che vivono in spazi di dimensione 4,5,..5 Le regole a cui soddisfano tali operazioni di proiezione hanno ovviamente il difetto di
non essere facilmente visualizzabili, come invece accade quando si
ha a che fare con la geometria proiettiva nel piano e nell’ ordinario
spazio tridimensionale (si richiama qui la spiegazione I di Keplero
illustrata all’ inizio della conferenza come analogia, anche se in quel
contesto non costituiva la corretta interpretazione del fenomeno).
5
M. Senechal ne parla abbastanza diffusamente nel libro, e quindi rimando al Capitolo 7 per
maggiori dettagli.
15
5
Le simmetrie impossibili realizzate nei quasi–cristalli
Dalla formalizzazione matematica della simmetria pentagonale come
associata alla struttura non periodica delle pavimentazioni di Penrose è nata quasi subito la sfida a scoprire se tali configurazioni siano
realizzate e osservabili in cristalli (in effetti quasi–cristalli) esistenti
in natura. Sulla base del teorema della restrizione cristallografica
dovremmo affermare che tale simmetria è impossibile, dal momento
che le unità atomiche o molecolari che formano i cristalli si devono
disporre in modo regolare cosı̀ da riempire completamente lo spazio
(o il piano) senza lasciare spazi vuoti.
Slide (5.1)
La scoperta dei quasi–cristalli fu fatta nel 1982 da Dan Shechtman, e la storia travagliata del riconoscimento di questo risultato,
culminata con l’assegnazione del premio Nobel per la Chimica nel
2011, è riportata in due note informative che si possono reperire sul
sito della Accademia Svedese delle Scienze [6].
A sinistra si vede l’immagine originale dell’ esperimento (pubblicato nel 1984, cioé ben due anni dopo): una lega di alluminio (Al)
con un 10–14 % di manganese (Mn) viene fatta solidificare rapidamente e quindi sottoposta a un trattamento chiamato diffrazione a
raggi X. Al microscopio elettronico (capace di una risoluzione dell’
ordine delle scale atomiche) si vedono cerchi concentrici, ciascuno
composto da dieci punti brillanti equidistanziati tra loro.
Nelle parode dello scopritore:
tali creature non possono esistere!
16
Inciso: reticoli di diffrazione
Il termine diffrazione6 si riferisce a una varietà di situazioni fisiche
in cui un’ onda (un fronte d’onda, per essere precisi) incontra un ostacolo.
• Nella fisica classica il fenomeno della diffrazione si osserva per
onde sonore, onde nell’ acqua e onde elettromagnetiche (a tutte le
varie lunghezze d’onda, dal visibile ai raggi X, alle onde radio). Si
può descrivere grossolonamente dicendo che l’ onda, quando incontra un ostacolo o viaggia in un mezzo con indice di rifrazione variabile, viene deviata o ‘curvata’ e, in presenza di fenditure sul suo
cammino, si separa disperdendosi in diversi fronti.
• Nella fisica quantistica si deve ricordare che esistono anche particelle che si comportano in certe circostanze come onde (per esempio gli elettroni degli atomi che costituiscono un certo campione), e
quindi il fenomeno della diffrazione viene indotto facendo passare
onde e.m. di lunghezza d’ onda opportuna attraverso un ‘reticolo di
diffrazione’.
Il termine grating (grata, graticcio) si riferisce nello specifico a
un dispositivo ottico con una struttura periodica che separa (diffrange)
la luce in vari fasci che viaggiano in direzioni diverse. Oltre la grata,
una volta raccolte su uno schermo le immagini di questa molteplicità
di fronti d’onda, si vedrebbe una figura di interferenza7 . I punti
(zone) brillanti corrispondono a interferenza costruttiva delle creste
delle onde che si intersecano mentre nelle zone scure creste e ventri
si neutralizzano a vicenda.N
6
coniato dallo scienziato italiano Francesco Maria Grimaldi nel 1665
Richard Feynman ha osservato che ”no-one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage, and there is no
specific, important physical difference between them.”
7
17
Slide (5.2)
Questa immagine, sempre riferita a esperimenti di diffrazione
(anche in sostanze trovate di recente allo stato naturale) è finalizzata a mettere in luce lo stretto legame tra simmetria pentagonale e
decagonale, come già si era potuto notare nel mostro di Keplero e
in tiling di Penrose. E’ infine il caso di ricordare che il pentagono
regolare ha codificata nella sua struttura la sezione aurea
√
D
1+ 5
ϕ = , ϕ =
= 1, 6180339...,
L
2
dove D è la lunghezza della diagonale e L quella del lato.
Inciso: E’ interessante ricordare come ϕ sia il limite dei rapporti di
termini successivi della sequenza di Fibonacci, come dimostrato per
la prima volta da Keplero:
ϕ = lim
n→∞
F (n + 1)
F (n)
N
Slide (5.3)
Carrellata finale di immagini raffiguranti realizzazioni mentali e
naturali della simmetria pentagonale.
c Annalisa Marzuoli 2012
18
References
[1] M. Senechal: Crystalline Symmetries: an informal mathematical introduction, Adam Hilger (Bristol) 1990
[2] H. Weyl: La Simmetria, Feltrinelli Editore Milano, Prima edizione italiana 1962
[3] Ian Steward: Che forma ha un fiocco di neve? Numeri magici
in natura, Bollati Boringhieri 2003
[4] J. A. Adam: Flowers of Ice–beauty, symmetries and complexity, Notices Amer. Math. Soc. 52, No. 4 (2005) 402
[5] T. Mann: La Montagna Incantata, traduzione di E. Pocar, Corbaccio Ed. 1992
[6] www.nobelprize.org The discovery of quasicrystals (Premio
Nobel per la Chimica 2011)
19