Struttura per scadenza

Esercizi di matematica finanziaria
1
Struttura per scadenze
Esercizio 1.1. Si consideri il flusso di cassa promesso da un titolo:
Scadenza (anni)
1/4
3/4
5/4
Movimento di cassa
80
80
1085
1. Se ne determini il prezzo corrente P1 nell’ipotesi che il suo rendimento annuo
(composto) sia x∗ = 8%.
2. Si calcoli la duration del flusso di cassa.
3. Si determini il prezzo corrente P2 del titolo sulla base della seguente struttura
per scandenza dei tassi d’interesse:
Scadenza (anni)
1/4
3/4
5/4
Tasso annuo spot
7%
8%
9%
Soluzione:
1. Il prezzo richiesto è:
80
1085
80
+
+
= 1139.5
1/4
3/4
1.08
1.08
1.085/4
P1 =
2. La duration è:
D=
1
4
·
80
1.081/4
+
3
4
·
80
1.083/4
1139.5
+
5
4
·
1085
1.085/4
= 1.148
3. Il prezzo richiesto è:
P2 =
80
80
1085
+
+
= 1128.4
1/4
3/4
1.07
1.07
1.095/4
1
Esercizio 1.2. In un mercato finanziario vigono i seguenti tassi spot a 1, 2, 3 anni
rispettivamente.
Scadenza
1
2
3
Tasso spot
h(0) (0, 1) = 3%
h(0) (0, 2) = 4%
h(0) (0, 3) = 5%
Un titolo pagherà a tali scadenze le somme a1 = 80, a2 = 80, a3 = 1083.
1. Determinare il prezzo odierno P del titolo.
2. Dire se il suo rendimento effettivo è superiore a 4%, motivando la risposta.
3. Calcolare il tasso forward h(0) (1, 3) attualmente vigente per un impiego da 1
a 3 in ipotesi d’impossibilità d’arbitraggio.
Soluzione:
1. Il prezzo odierno del titolo è:
P =
80
80
1083
+
+
= 1087.2
2
1.03 1.04
1.053
2. Poichè il DCF del titolo è:
G(x) = −1087.2 +
80
1083
80
+
+
2
1 + x (1 + x)
(1 + x)3
essendo:
G(0.04) = −1087.2 +
80
80
1083
+
+
= 26.5 > 0
2
1 + 0.04 (1 + 0.04)
(1 + 0.04)3
si pu asserire che il rendimento è maggiore di 4% perchè il DCF è una funzione
decrescente del tasso.
3. Il tasso forward richiesto h(0) (1, 3) risolve la seguente equazione nell’incognita
h:
1.03 · (1 + h)2 = 1.053
onde:
h(0) (1, 3) = 6.0145%
2
Esercizio 1.3. Si consideri un titolo che pagherà le somme 120 e 1120, rispettivamente tra 1 e 2 anni. La struttura per scadenza attuale contiene i due tassi spot
h(0) (0, 1) = 12% e h(0) (0, 2) = 13%.
1. Calcolare il prezzo P (0) del titolo in funzione della struttura per scadenza
corrente.
2. Calcolare il tasso forward h(0) (1, 2), per impieghi da 1 a 2, coerente con la
struttura corrente.
3. Calcolare il prezzo che il titolo avrà tra 1 anno se il tasso spot tra un anno
per impieghi a un anno h(1) (1, 2), sarà salito d’un punto percentuale rispetto
al corrispondente tasso spot corrente.
Soluzione:
1. Si ha:
P (0) =
120
1120
+
= 984.27
1.12 1.132
2. Il tasso richiesto risolve l’equazione in x:
1.12 · (1 + x) = 1.132
onde:
x = 14.009%
3. Il prezzo richiesto è:
P (1) =
1120
= 991.15
1.13
Esercizio 1.4. Si consideri il flusso di cassa promesso da un titolo:
Scadenza (anni)
1/4
3/4
5/4
Movimento di cassa
80
80
1085
1. Se ne determini il prezzo corrente P1 nell’ipotesi che il suo rendimento annuo
(composto) sia x∗ = 8%.
2. Si calcoli la duration del flusso di cassa.
3. Si determini il prezzo corrente P2 del titolo sulla base della seguente struttura
per scadenza dei tassi d’interesse:
3
Scadenza (anni)
1/4
3/4
5/4
Movimento di cassa spot
7%
8%
9%
Soluzione:
1. Il prezzo richiesto è:
P1 =
80
80
1085
+
+
= 1139.5
1/4
3/4
1.08
1.08
1.085/4
2. La duration è:
D=
1 80
4 1.081/4
+
3 80
4 1.083/4
+
5 1085
4 1.085/4
1139.5
= 1.148
3. Il prezzo richiesto è:
P2 =
80
80
1085
+
+
= 1128.4
1/4
3/4
1.07
1.08
1.095/4
Esercizio 1.5. In un mercato finanziario vigono i seguenti tassi spot a 1, 2, 3 anni
rispettivamente.
Scadenze
1
2
3
Tasso spot
= 3%
h(0) (0, 2) = 4%
h(0) (0, 3) = 5%
h(0) (0, 1)
Un titolo pagherà a tali scadenze le somme a1 = 80, a2 = 80, a3 = 1083
1. Determinare il prezzo odierno P del titolo.
2. Dire se il suo rendimento effettivo è superiore a 4%, motivando la risposta.
3. Calcolare il tasso forward h(0) (1, 3) attualmente vigente per un impiego da 1
a 3 in ipotesi d’impossibilità d’arbitraggio.
Soluzione:
1. Il prezzo odierno del titolo è:
P =
80
1083
80
+
+
= 1087.2
2
1.03 1.04
1.053
4
2. Poichè il DCF del titolo è:
G(x) = −1087.2 +
80
1083
80
+
+
2
1 + x (1 + x)
(1 + x)3
essendo:
G(0.04) = −1087.2 +
1083
80
80
+
= 26.5 > 0
+
2
1 + 0.04 (1 + 0.04)
(1 + 0.04)3
si può asserire che il rendimento è maggiore di 4% perchè il DCF è una funzione
decrescente del tasso.
3. Il tasso forward richiesto h(0) (1, 3) risolve la seguente equazione nell’incognita
h:
1.03 · (1 + h)2 = 1.053
onde:
h(0) (1, 3) = 6.0145%
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