4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici

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Introduzione e modellistica dei sistemi
Modellistica dei sistemi elettromeccanici
Principi fisici di funzionamento
Motore elettrico in corrente continua (DC-motor)
DC-motor con comando di armatura
DC-motor con comando di eccitazione
Esempio di rappresentazione in variabili di stato
2
Introduzione
I sistemi elettromeccanici operano una
conversione elettromeccanica di energia:
Conversione di energia elettrica in energia meccanica
⇒ motori elettrici
Conversione di energia meccanica in energia elettrica
⇒ generatori elettrici o dinamo elettriche
Per esigenze di brevità, in questo modulo saranno
considerati soltanto i motori elettrici e in particolare
quelli alimentati in corrente continua, noti più
semplicemente come DC-motor
Saranno ora richiamati i principi fisici che sono alla
base del funzionamento dei sistemi elettromeccanici
4
Forza di Lorentz
Un conduttore elettrico di lunghezza A percorso da
una corrente i (t ) e immerso in un campo magnetico
d’intensità B (t ) è sottoposto alla forza di Lorentz
G
JG
JG
F (t ) = A i (t ) ∧ B (t )
&
F
i
B
A
5
Coppia di Lorentz
Una spira conduttrice di superficie A percorsa da
una corrente i (t ) e immersa in un campo magnetico
d’intensità B (t ) è sottoposta alla coppia di Lorentz
T (t ) = i (t ) A B sin θ (t )
θ
A
6
Legge dell’induzione elettromagnetica
Se un conduttore elettrico forma un circuito chiuso e
concatena un flusso Φ (t ) di un campo magnetico,
per la legge di Faraday – Henry – Lenz dell’induzione
elettromagnetica viene a crearsi nel conduttore una
tensione nota come forza elettromotrice indotta
(o f.e.m. indotta)
d Φ(t )
e (t ) = −
dt
7
Parti principali di un DC-motor (1/4)
Un motore elettrico alimentato in corrente continua
è costituito da
Spazzola
Magnete dello statore
Avvolgimenti del rotore
θ, ω
Albero
Cuscinetti
Spazzola
Collettore
Uno statore : è la parte più esterna e non rotante,
responsabile della generazione del campo magnetico
mediante
Semplici magneti permanenti e/o
Una serie opzionale di avvolgimenti alimentati in
corrente continua, costituenti il circuito di eccitazione
9
è costituito da
Spazzola
θ, ω
Albero
Cuscinetti
Spazzola
Collettore
Un rotore : è la parte più interna e mobile, costituita
da un cilindro di materiale ferromagnetico lamellato e
opportunamente sagomato, su cui sono posti numerosi
avvolgimenti che formano il circuito di armatura;
tale circuito genera un campo magnetico concatenato
con quello dello statore
10
è costituito da
Spazzola
θ, ω
Albero
Cuscinetti
Spazzola
Collettore
Un interruttore rotante detto collettore a spazzole
o anello di Pacinotti : permette al circuito di
armatura di entrare in contatto elettrico con due
spazzole, attraverso le quali il motore riceve energia
elettrica sotto forma di corrente di armatura
11
è costituito da
Spazzola
θ, ω
Albero
Spazzola
Cuscinetti Collettore
Un albero motore : solidale con il rotore e dotato
di un proprio momento d’inerzia, è di solito collegato
meccanicamente alla carcassa del motore mediante
uno o più cuscinetti a sfera
12
Modello di un DC-motor (1/6)
Il modello del DC-motor è di natura ibrida:
ia
va
ie
ve
Ra
La
Re
Le
e
Circuito di eccitazione
(statore)
J
+
-
Tm
β θ, ω
Tr
Circuito di armatura (rotore)
Infatti è costituito da:
Un modello di tipo elettrico del rotore e dello statore
(nel caso in cui siano presenti avvolgimenti statorici)
Un modello di tipo meccanico del rotore e
dell’eventuale carico applicato
13
ia
va
ie
ve
Ra
La
Re
Le
e
(statore)
J
+
-
Tm
β θ, ω
Tr
Il modello elettrico del rotore è descritto da
di a (t )
v a (t ) = Ra i a (t ) + La
+ e (t )
dt
va , ia = tensione e corrente di armatura
Ra , La = resistenza ed induttanza equivalenti di armatura
(proporzionali al numero di spire del rotore)
e = forza elettromotrice indotta (f.e.m. indotta del rotore)
14
ia
va
ie
ve
Ra
La
Re
Le
e
(statore)
J
+
-
Tm
β θ, ω
Tr
Se sono presenti avvolgimenti sullo statore ⇒
il modello elettrico dello statore è descritto da
di e (t )
v e (t ) = Re i e (t ) + Le
dt
ve , ie = tensione e corrente di eccitazione
Re , Le = resistenza ed induttanza equivalenti di eccitazione
(proporzionali al numero di spire dello statore)
15
ia
va
ie
ve
Ra
La
Re
Le
J
+
e
(statore)
-
Tm
β θ, ω
Tr
Il modello meccanico del rotore è descritto da
J θ(t ) = J ω (t ) = T (t ) − T (t ) − βω(t )
m
J
Tm
Tr
β
=
=
=
=
r
inerzia dell’albero motore, avente posizione angolare θ
coppia motrice del motore
coppia resistente (dovuta al carico applicato al motore)
coefficiente d’attrito equivalente (tiene conto dei vari
fenomeni d’attrito, fra cui quelli dovuti ai cuscinetti) 16
Il fenomeno della conversione elettromeccanica di
energia è descritto dalle relazioni:
e (t ) = K Φ(t ) ω(t )
Tm (t ) = K Φ(t ) i a (t )
e = forza elettromotrice indotta (f.e.m. indotta), [e ] = V
K = costante caratteristica del motore, [K ] = V T-1 m-2 s/rad
Φ =
ω =
Tm =
ia =
flusso del vettore di induzione magnetica, [Φ] = T m2
velocità angolare dell’albero motore, [ω ] = rad/s
coppia motrice del motore, [Tm ] = N m
corrente di armatura, [ia ] = A
17
Se il flusso magnetico dello statore è generato da
magneti permanenti ⇒ Φ(t ) = Φ = costante, ∀t
Se il flusso magnetico dello statore è generato da
spire percorse dalla corrente di eccitazione ie (t ) ⇒
Φ(t ) risulta essere una funzione non lineare di ie (t )
del tipo:
Φ
Φ(t ) = Φ(ie (t ))
ie
18
Modalità di funzionamento di un DC-motor
Nel caso di DC-motor con comando di armatura
Il flusso magnetico dello statore è tenuto costante,
utilizzando magneti permanenti e/o alimentando il
circuito di eccitazione con una corrente costante
Il comando del motore è la tensione variabile va (t )
applicata al circuito di armatura del rotore
Nel caso di DC-motor con comando di eccitazione
La corrente di armatura nel rotore è tenuta costante
Il comando del motore è la tensione variabile ve (t )
applicata al circuito di eccitazione dello statore ⇒
variano sia la corrente di eccitazione ie (t ) sia il flusso
magnetico dello statore Φ(t ) = Φ(ie (t ))
19
DC-motor con comando di armatura (1/2)
Il flusso magnetico dello statore è tenuto costante
Φ(t ) = Φ, ∀t
utilizzando magneti permanenti e/o alimentando
le spire dello statore con una corrente costante i e ⇒
l’equazione del circuito di eccitazione è di tipo statico:
d ie
v e (t ) = Re i e + Le
= Re i e = v e , ∀t
dt
Le equazioni dinamiche si riducono quindi a:
di a (t )
v a (t ) = Ra i a (t ) + La
+ K Φ ω(t )
dt
J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ i a (t ) − T r (t ) − βω(t )
21
DC-motor con comando di armatura (2/2)
Poiché le equazioni dinamiche sono:
di a (t )
v a (t ) = Ra i a (t ) + La
+ K Φ ω(t )
dt
J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ i a (t ) − T r (t ) − βω(t )
le variabili di stato sono, in generale:
⎡i a (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x (t ) = θ (t ) = ⎢x 2 (t )⎥
⎢
⎥
⎣ω(t ) ⎦ ⎢⎣x 3(t )⎥⎦
mentre le variabili di ingresso sono:
⎡v a (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤
u (t ) = ⎢
=⎢
⎥
⎥
u
(
t
)
T
(
t
)
⎣ r ⎦ ⎣ 2 ⎦
22
DC-motor con comando di eccitazione (1/4)
La corrente di armatura del rotore è tenuta costante
i a (t ) = i a , ∀t
utilizzando un generatore ideale di corrente i a ⇒
l’equazione del circuito di armatura è di tipo statico:
d ia
v a (t ) = Ra i a + La
+ K Φ(t )ω(t ) = Ra i a + K Φ(t )ω(t ), ∀t
dt
Le equazioni dinamiche si riducono quindi a:
di e (t )
v e (t ) = Re i e (t ) + Le
dt
J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ(t ) i a − T r (t ) − βω(t )
24
La corrente di eccitazione dello statore ie (t ) varia
nell’intorno del punto di funzionamento i e ⇒
il flusso magnetico dello statore varia a sua volta
nell’intorno del valore Φ(i e (t )) = Φ(i e ) = Φ = K e i e ⇒
si può approssimare la caratteristica non lineare di Φ
Ke i e
con la legge lineare Φ
Φ(t ) ≅ K e i e (t )
Φ(t ) = Φ(ie (t ))
Φ
ie
ie
25
Grazie all’approssimazione lineare Φ(t ) ≅ Ke ie (t ) ,
l’equazione dinamica della parte meccanica diventa:
J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ(t ) i a − T r (t ) − βω(t )
≅ K K e i e (t ) i a − T r (t ) − βω(t )
K*
= K *i e (t ) − T r (t ) − βω(t )
⇒ la si può ritenere in prima approssimazione lineare:
J θ(t ) = J ω (t ) ≅ K *i (t ) − T (t ) − βω(t )
e
r
26
Poiché le equazioni dinamiche sono:
di e (t )
v e (t ) = Re i e (t ) + Le
dt
J θ(t ) = J ω (t ) ≅ K *i e (t ) − T r (t ) − βω(t )
le variabili di stato sono, in generale:
⎡i e (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x (t ) = θ (t ) = ⎢x 2 (t )⎥
⎢
⎥
⎣ω(t ) ⎦ ⎢⎣x 3(t )⎥⎦
mentre le variabili di ingresso sono:
⎡v e (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤
u (t ) = ⎢
=⎢
⎥
⎥
u
t
(
)
T
t
(
)
⎣ r ⎦ ⎣ 2 ⎦
27
Esempio di rappresentazione (1/12)
Ricavare la rappresentazione di stato del seguente
sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2
Ra
ia
va
giunzione
elastica smorzata
La
β1
+
e
Tm θ1,ω1
DC-motor comandato in armatura,
con statore a magneti permanenti
cuscinetto
a sfera
β12
J1
albero
motore
K12
Td
J2
θ2,ω2
carico
(pannello solare)
Equazione dinamica della maglia di armatura:
di a
1) v a = Ra i a + La
+ K Φ ω1
dt e
29
Ra
ia
giunzione
elastica smorzata
La
e
va
β1
+
Tm θ1,ω1
cuscinetto
a sfera
β12
J1
albero
motore
K12
Td
J2
θ2,ω2
carico
(pannello solare)
Equazione del moto dell’albero motore d’inerzia J1:
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
Tm
30
La
Ra
ia
giunzione
elastica smorzata
e
va
β1
+
Tm θ1,ω1
cuscinetto
a sfera
β12
J1
K12
Td
J2
θ2,ω2
carico
(pannello solare)
albero
motore
Equazione del moto del pannello solare d’inerzia J2:
3) J θ = −T − K (θ − θ ) − β (ω − ω )
2 2
d
12
2
1
12
2
1
31
Ra
ia
giunzione
elastica smorzata
La
e
va
β1
+
Tm θ1,ω1
cuscinetto
a sfera
β12
J1
albero
motore
K12
Td
J2
θ2,ω2
carico
(pannello solare)
Variabili di stato:
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎦⎥
32
Ra
ia
va
giunzione
elastica smorzata
La
e
β1
+
Tm θ1,ω1
cuscinetto
a sfera
Variabili di ingresso:
⎡v a (t )⎤ ⎡u1(t )⎤
=⎢
u (t ) = ⎢
⎥
⎥
⎣Td (t )⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
β12
J1
albero
motore
K12
Td
J2
θ2,ω2
carico
(pannello solare)
33
Equazioni dinamiche:
1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ,
u (t ) =
T
t
u 2 (t )⎥⎦
(
)
⎢
⎥
⎢
⎣
⎣
⎦
d
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
v a Ra
KΦ
Ra
KΦ
u1
x1 = di a dt = − i a −
x 4 + = f1 (t,x,u )
ω1 = − x1 −
La
La
La
La
La
La
34
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 )
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ,
u (t ) =
T
t
u 2 (t )⎥⎦
(
)
⎢
⎥
⎢
⎣
⎣
⎦
d
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
x2 = d θ1 dt = ω1 = x 4 = f2 (t,x,u )
x3 = d θ2 dt = ω2 = x 5 = f3 (t,x,u )
35
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 )
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ,
u (t ) =
T
t
u 2 (t )⎥⎦
(
)
⎢
⎥
⎢
⎣
⎣
⎦
d
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
x4 = d ω1 dt = θ1 = ⎡⎣K Φi a − β1ω1 − K12 (θ1 −θ2) − β12 (ω1−ω2)⎤⎦ J1 =
KΦ
K12
K12
β1 + β12
β12
=
x1 −
x2 +
x3−
x 4 + x 5 = f 4 (t,x,u )
J1
J1
J1
J1
J1
36
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 )
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ,
u (t ) =
T
t
u 2 (t )⎥⎦
(
)
⎢
⎥
⎢
⎣
⎣
⎦
d
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦
Equazioni di stato:
x5 = d ω2 dt = θ2 = ⎡⎣−Td − K12 (θ2 −θ1) − β12 (ω2 −ω1)⎤⎦ J 2 =
β12
β12
K 12
K 12
u2
x2−
x3+
x4−
x5−
=
= f 5 (t , x ,u )
J2
J2
J2
J2
J2
37
2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 )
3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 )
⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥
v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
⎡
=
x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ,
u (t ) =
T
t
u 2 (t )⎥⎦
(
)
⎢
⎥
⎢
⎣
⎣
⎦
d
⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥
⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦
Equazione di uscita:
y = θ2 = x 3 = g (t ,x ,u )
38
Ra
⎧
Equaz. di stato: x1 = − L x 1 − KLΦ x 4 + L1 u1
a
a
a
⎪
2 = x 4
x
⎪
⎪x3 = x 5
⎨
K12
K12
β1 +β12
β12
Φ
K
⎪x4 = J x 1 − J x 2 + J x 3 − J x 4 + J x 5
1
1
1
1
1
⎪
K12
K12
β12
β12
1u
−
x
=
x
−
x
+
x
−
x
⎪⎩ 5 J 2 2 J 2 3 J 2 4 J 2 5 J 2 2
Equaz. di uscita: y = x 3
Se J1, J2,K12, β1, β12, Ra, La, K e Φ sono costanti ⇒
il sistema è LTI ⇒ ha come rappresentazione di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
39
Se J1, J2,K12, β1, β12, Ra, La, K e Φ sono costanti ⇒
il sistema è LTI ⇒ ha come rappresentazione di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
⎡− Ra
0
0
0 ⎤
−KΦ
⎡1
⎤
0
La
⎢ La
⎥
⎢La
⎥
0
0
1
0 ⎥
⎢0
⎥
⎢ 0
0
⎢
⎥
⎢
⎥
0
0
0
0
1
,B = ⎢ 0
A=
0 ⎥,
⎢ K Φ − K 12 K 12 − β1 +β12 β12 ⎥
⎢0
0 ⎥
⎢ J1
J1
J1
J1
J1 ⎥
⎢
⎥
1
K 12
K
β12
β ⎥
⎢ 0
⎢0 − ⎥
− 12
− 12
J2 ⎦
⎣
⎢⎣
J2
J2
J2
J 2 ⎥⎦
C = [0 0 1 0 0] , D = [0 0]
40

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