Roberto Sozzi

Valutazione Economica degli Effetti Sanitari
dell’Inquinamento Atmosferico:
La Metodologia dell’EEA
Taranto 23-24 luglio 2012
La Modellistica: dalle Emissioni alle
Concentrazioni
Roberto Sozzi
Arpa Lazio
Percorso EEA per giungere alla quantificazione degli impatti
sanitari sulla popolazione e dei relativi impatti economici.
Stima della distribuzione nello
spazio e nel tempo della concentrazione al livello del suolo delle
principali sostanze inquinanti (CO,
SO2, NO2, O3, PM10, PM2.5, IPA,
metalli, ecc.)
Questa stima deve essere realizzata nella maniera più realistica possibile perché l’errore
ad essa associato si propaga attraverso tutti i
passi della metodologia, rendendo irrealistici i
risultati finali ottenuti.
La stima della distribuzione spazio-temporale della
concentrazione delle diverse sostanze inquinanti
schematicamente comporta i seguenti passi logici:
1.
Individuazione delle possibili sorgenti potenzialmente
inquinanti (centri abitati, strade, impianti industriali,
ecc.)
2.
Individuazione delle sostanze emesse da
sorgente
3.
Quantificazione
delle
modulazione temporale
4.
Modalità
di
emissione
temperatura e portata)
A questo punto sappiamo:
•
•
•
Cosa viene emesso
Dove
come
quantità
emesse
(velocità
di
ciascuna
e
loro
emissione,
Una volta emesse, le sostanze inquinanti sono inglobate nelle
masse d’aria in movimento nella Bassa Troposfera e vengono:
1.
Trasportate dal moto medio delle masse d’aria
2.
Diffuse dalla turbolenza tipica di questa parte di troposfera
3.
Vengono in contatto con la superficie terrestre e quindi catturate
con processi chimico-fisici (deposizione secca)
4.
Vengono catturate dalla pioggia e quindi depositate al suolo
(deposizione umida)
5.
Reagiscono chimicamente tra loro (chimica dell’atmosfera)
Processi complessi che richiedono conoscenze approfondite di
•
Fluidodinamica
•
Meteorologia della parte bassa della Troposfera
•
Chimica dell’atmosfera
Modelli: insieme completo di relazioni matematiche che
descrivono quantitativamente la fisica e la chimica
dei processi di dispersione degli inquinanti in aria.
Possono essere più o meno complessi a seconda della
complessità del problema da trattare e della realisticità che
si richiede.
Questi modelli matematici vengono poi tradotti in Codici di Calcolo
per ottenere numericamente i campi di concentrazione desiderati
⇒ Modelli Meteorologici
⇒ Modelli di dispersione degli inquinanti in aria
Un Operatore non ha mai a disposizione una black box informatica
che gli consenta di operare con una conoscenza limitata dei processi
Deve essere un professionista del settore, soprattutto se è
necessario lavorare con una elevata risoluzione spaziale e
temporale
Il punto di partenza per la quantificazione realistica dell’inquinamento
atmosferico
Conoscenza approfondita della parte bassa della Troposfera
dove hanno luogo normalmente i processi di dispersione degli
inquinanti emessi dalle varie sorgenti, il loro impoverimento e la
loro reattività chimica
Prima tratteremo la Fisica dei Bassi Strati della Troposfera
Poi la Dispersione degli Inquinanti in Aria
Caratteristiche Generali del
Planetary Boundary Layer
(PBL)
Troposfera → parte dell’Atmosfera (involucro gassoso che circonda
l’intero globo terrestre)
Stratificazione tipica
120
Termosfera
100
Mesopausa
Quota (km)
80
La Troposfera è la parte più bassa
dell’atmosfera a diretto contatto con
la superficie terrestre.
Mesosfera
60
Stratopausa
40
Stratosfera
20
Tropopausa
Troposfera
0
-100
-80
-60
-40
-20
0
Temperatura (°C)
20
40
Ai fini dello studio dell’inquinamento
atmosferico, siamo interessati solo ad
una porzione di essa, quella a più
diretto contato col suolo.
Questo strato di Troposfera si estende
dal suolo fino ad una quota che varia durante il giorno e
da giorno a giorno
(estensione massima di 1 – 2 km nelle ore diurne e soleggiate).
Possiede caratteristiche fisiche e chimiche nettamente distinte dal
resto della troposfera.
Prende il nome di:
Planetary Boundary Layer (PBL)
Strato Limite Planetario
Atmospheric Boundary Layer
25
Individuazione
preliminare
del PBL
20
Quo ta (km)
2000
15
1900
1800
10
Quo ta (m)
m)
1700
5
1600
1500
1400
0
1300
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
Temperatura (°C)
Profilo verticale di
temperatura nella Troposfera
1200
1100
1000
10
11
12
13
14
15
Temperatu ra (°C )
16
17
18
CARATTERIZZAZIONE DEL PBL
Il PBL è un sistema fisico che si deve studiare nel
contesto della Fluidodinamica
Sistema fisico ⇒ miscuglio di gas
Per il suo studio è necessario definire:
•
•
•
•
un
un
un
un
dominio di indagine
sistema di coordinate di riferimento
insieme di variabili fisiche che descrivono il PBL
insieme di variabili chimiche che descrivono il PBL
Dominio di Indagine
Volume geometrico entro cui si studia un fenomeno (in questo
caso lo stato ed il moto delle masse d’aria dell’Atmosfera).
Il Dominio di Indagine ha:
• la caratteristica principale di avere sempre la superficie
terrestre come sua frontiera inferiore;
• è differente se si sta effettuando uno studio di Meteorologia
Generale o di Micrometeorologia
Il primo tipo di dominio spaziale è costituito da tutta
l’atmosfera che circonda la Terra. Un modello che adotta
un tale dominio di calcolo è un Modello Globale
Il secondo tipo di dominio è costituito da una porzione di
atmosfera sovrastante un’area limitata della superficie
terrestre (Modello ad Area Limitata)
Sistema di riferimento
⇓
A differenza della Meteorologia a grande scala, nello
studio del PBL si usa un Sistema di riferimento
Cartesiano Ortogonale
⇓
Asse x diretto in direzione W–E (positivo verso E)
• Asse y diretto in direzione S-N (positivo verso N)
• Asse z diretto Basso-Alto (positivo verso l’alto)
Alto
Nord
z
y
x
Est
Consideriamo una generica porzione d’aria (Particella) in
un punto P(x,y,z) dello spazio
La particella si muove
⇒ Velocità della Particella
Velocità della particella
⇒ Vento (Vettore)
Come ogni vettore, anche il vento è descritto dalla sue tre
componenti rispetto agli assi del sistema di riferimento:
⇒ Vx oppure u
⇒ Vy oppure v
⇒ Vz oppure w
componente rispetto all’asse x
componente rispetto all’asse y
componente verticale (che spesso viene
trascurata)
Velocità del vento
Direzione di Provenienza
del Vento (0°: da N; 90°: da
E; 180°: da S; 270°: da W)
Altre Variabili di Interesse
Temperatura T (in gradi Kelvin)
Pressione Barometrica P (in hPa o mb)
Temperatura e pressione variano da punto a punto e con la quota.
E’ possibile impiegare una relazione approssimata per stimare la
pressione barometrica ad una generica quota z nota la temperatura
T(K) a quella quota
p = p0 ⋅ exp[− (0.0342 T ) ⋅ z ]
Aria Secca
Aria priva di acqua (acqua liquida, solida e vapor d’acqua)
E’ un’astrazione che, però, ben rappresenta le situazioni polari
Aria secca ⇒ Gas perfetto
p = Rd ρT
ρ = 0.34837
Densità dell’aria:
Calore Specifico a pressione
costante:
ρC p = 350.125
Cp
p
T
p
T
2
(
T − 250)
= 1005 +
3364
Composizione tipica dell’Aria Secca
Componente
Simbolo
Peso Molecolare
Concentrazione (% in volume)
Azoto
N2
28.01
78.084
Ossigeno
O2
32.00
20.946
Argon
Ar
39.95
0.934
Biossido di Carbonio
CO2
44.01
0.030
Neon
Ne
20.18
2.821
10-3
Elio
He
4.00
0.524
10-3
Metano
CH4
16.04
0.150
10-3
Kripton
Kr
83.80
0.114
10-3
Idrogeno
H2
2.02
0.050
10-3
Xeno
Xe
132.30
0.009
10-3
Ozono
O3
48.00
0.007
10-3
Ammoniaca
NH3
16.04
0.001
10-3
Iodio
I2
253.81
0.001
10-3
Biossido di Azoto
NO2
46.01
0.0001
10-3
Biossido di Zolfo
SO2
64.06
0.00002 10-3
Monossido di Azoto
NO
30.00
0.00002 10-3
Acido Solfidrico
H2S
34.08
0.00002 10-3
Monossido di Carbonio
CO
28.01
tracce
Nell’aria è sempre presente dell’acqua soprattutto allo stato
gassoso (vapor d’acqua) ⇒ Aria Umida.
Contenuto di vapor d’acqua
• Tensione di vapore e (pressione parziale di vapor d’acqua, mb).
Massimo valore tensione di saturazione = pressione di saturazione es.
• Umidità relativa RH (%): 100 e/es
• Umidità assoluta a: massa di acqua in 1 m3 di aria
• Umidità specifica q: grammi di acqua per grammo di aria umida
• Rapporto di mescolanza r: grammi acqua per grammo di aria secca
Aria umida = gas perfetto, rispetta l’equazione di stato
Tv è la temperatura virtuale
Tv = T (1 + 0.608q )
p = Rd ⋅ ρ ⋅ Tv
Alcune Considerazioni Termodinamiche
A) Equazione Idrostatica
In una particella, in assenza di moto verticale, la gravità bilancia
esattamente il gradiente verticale di pressione
dp
= − gρ
dz
B) Temperatura Potenziale e stabilità statica
Conseguenza del Primo Principio della Termodinamica applicato ad
una particella in movimento adiabatico in aria.
Se T è la temperatura della particella in un punto del PBL a pressione p e la si trasporta adiabaticamente alla pressione di riferimento p0 (es. 1000 mb) la sua temperatura diventa θ.
θ ⇒ Temperatura potenziale
Relazione esatta tra θ e T:
Relazione approssimata
tra θ e T:
1000 
ϑ =T

 p 
R Cp
ϑ ≅ T + 0.0098 ⋅ z
Relazione tra il gradiente verticale di T e di θ
dϑ dT
=
+ 0.0098
dz dz
ad un gradiente di temperatura di –0.0098 K/m corrisponde un
gradiente di temperatura potenziale di 0 K/m
La temperatura potenziale può essere considerata come una nuova
definizione di temperatura che applicata al profilo verticale di
temperatura (relativo a un’ora diurna e soleggiata) visto in
precedenza, si ottiene sorprendentemente ciò che appare nella figura
1400
1200
Quota (m)
Prima non si notava alcunché di
particolare, ora si nota chiaramente
una porzione di atmosfera in cui
possono essere individuati tre strati
corrispondenti a zone con diversi
gradienti verticali di temperatura
potenziale.
1000
800
600
400
200
0
300.4
300.8
301.2
301.6
Temperatura Potenziale (K)
302.0
Nelle ore diurne con soleggiamento (cui si riferisce il profilo
termico precdente), si nota:
• una zona vicino al suolo (dθ/dz negativo)
• una zona intermedia (dθ/dz circa nullo)
• un'altra zona (dθ/dz molto positivo)
⇒
⇒ Strato Superficiale SL
⇒
Strato Rimescolato ML
Strato di Entrainment EL
• una zona superiore (dθ/dz positivo, ma inferiore alla precedente, che
continua con gradiente circa uguale fino alla sommità della troposfera)
⇒ Atmosfera Libera
Dalle relazioni precedenti si ha che:
- se dT/dz < -0.0098 (K/m), dθ /dz < 0
- se dT/dz = -0.0098 (K/m), dθ /dz = 0
- se dT/dz > -0.0098 (K/m), dθ /dz > 0
Come si comporta una particella in aria se si altera di
poco la sua posizione verticale con una perturbazione
verticale δz?
d 2 (δz ) g  ∂θ 
+   ⋅ δz = 0
2
dt
θ  ∂z 
Il movimento verticale della particella
dipende dal gradiente di temperatura
potenziale
⇒ Se dθ /dz è positivo:
δz =
 g  ∂θ 
N =   0 
θ 0  ∂z 
w0
⋅ sen( N ⋅ t )
N
12
La particella oscilla attorno alla propria posizione
originale con frequenza N (Frequenza di Brunt-Vaisala)
⇒ Se dθ /dz è negativo:
w
δz = 0
2
  g ∂θ
exp
  θ ∂z
 
12

 g ∂θ

t − exp −

 θ ∂z


12

t 


La particella si allontana indefinitamente dalla propria
posizione originale.
⇒ Se dθ /dz è nullo:
la particella non reagisce alla
perturbazione
Profilo verticale di temperatura potenziale in una
tipica situazione diurna e soleggiata
2000
1800
Free Atmosphere
1600
Entrainment Layer
Quota (m)
1400
1200
1000
800
Mixed Layer
600
400
200
Surface Layer
0
290
291
292
293
294
Temperatura potenziale virtuale (°K)
295
Se si ha una struttura del PBL come quella della figura
precedente
(gradiente temperatura potenziale positivo in SL, nullo in
ML, positivo in EL)
Se si rilascia al suolo una particella con una componente verticale
positiva della velocità, essa:
⇒ abbandona il SL senza ritornare, accelerando,
⇒ attraversa indisturbata il ML,
⇒ si blocca nel EL e ridiscende garantendo la conservazione della
massa.
Il PBL è una vera e propria trappola per le particelle emesse
al suo interno ed in particolare per quelle emesse al suolo.
Chi è il motore dell’Atmosfera e del PBL, cioè la causa
prima dei moti delle masse d’aria ed, in ultima analisi,
della vita sulla Terra?
Il Sole
Bilancio Energetico del PBL
Il PBL è una macchina termica gigante che trasforma
l’energia solare in movimento dell’aria. Il sole è, quindi,
la principale fonte di energia del PBL.
Il sole emette radiazione
elettromagnetica nell’intervallo 0.1÷1 µm (visibile)
come un corpo nero a
Temperatura
di
6000K.
(radiazione
ad
onda
corta).
Solo un ristretto numero di gas
presenti in aria può assorbire
direttamente una porzione di
questa energia (≈7%).
Una parte di radiazione solare è assorbita e riflessa dalle
nubi (≈ 27%)
Un’altra parte è riflessa dalle particelle sospese (≈17%)
Un’altra parte è riflessa direttamente dal suolo (albedo ≈6%)
Circa il 43% della radiazione solare arriva
direttamente al suolo!
Radiazione Solare incidente
Radiazione riflessa dal suolo
⇒ Radiazione Globale Rg
αRg
⇒ Albedo = -α
(α = coefficiente di albedo)
Energia solare trasferita al suolo:
E = (1-α
α) Rg
SOLE
Assorbimento
e scattering
molecolare
Riflessione
Trasmissione
Assorbimento
e scattering
da aerosol
Assorbimento e scattering
Trasmissione
Riflessione
Riflessione
Assorbimento
Assorbimento
Assorbimento
OCEANO
SUOLO
Ci sono due reazioni del sistema fisico al trasferimento di
radiazione solare:
⇒ L’atmosfera (corpo caldo) ⇒ emette radiazione all’infrarosso
I ↓ verso la superficie terrestre
⇒ Il suolo (corpo caldo)
⇒ emette radiazione infrarossa I↑
↑
verso l’atmosfera
Questi due contributi energetici sono ad onda lunga.
Legge di Stefan-Boltzmann
I = σT 4
La quantità di energia disponibile al suolo
(Radiazione Netta) è pari a:
RN = (1-α
α) Rg + I ↓↑
↓ I↑
800
1
1
2
3
4
Flusso Radiative (W/m²)
600
Radiazione solare globale
Albedo
Infrarosso dal cielo
infrarosso terrestre
400
3
200
0
2
-200
4
-400
-600
0
800
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Ora Locale
Rg
Flusso Radiative (W/m²)
600
RN
Nelle ore diurne (dopo l’alba e prima
del tramonto) l’energia disponibile
all’interfaccia aria-suolo è positiva,
mentre nelle ore notturne è negativa.
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
Ora Locale
14
16
18
20
22
24
24
A fronte di questa disponibilità energetica si ha che:
⇒ Una parte di energia disponibile viene trasmessa per conduzione al
suolo
(Flusso di Calore nel suolo G)
⇒ una parte viene usata per evaporare l’acqua presente nel suolo e
nella vegetazione
(Flusso Turbolento di Calore Latente HE)
⇒ il resto viene emessa dal suolo e trasmessa ai primi millimetri d’aria
e si trasforma in movimenti irregolari delle masse d’aria del PBL
(Flusso Turbolento di Calore sensibile H0)
Meccanismo a bolle di Oke per il
trasferimento di H0 all’aria del
PBL
⇒ RN è positiva nelle ore diurne fino a che Rg ≥ 20 W/m2
⇒ RN è sempre negativa di notte nelle aree rurali
⇒ G è una frazione di RN
⇒ La ripartizione tra HE e H0 dipende dal tipo di suolo e
dalla umidità presente sullo stesso.
L’aria che passa sopra la superficie terrestre scambia energia ed
altera le proprie caratteristiche fisiche:
⇒ riceve dal suolo H0 e HE e queste sono le sorgenti di energia
convettiva.
⇒ a causa della rugosità del suolo, perde energia per attrito
(perdita di energia meccanica). Si genera quindi, come per
tutti i fluidi turbolenti in moto su una superficie rugosa, una
turbolenza meccanica.
⇒ nelle ore diurne quando RN>0 l’energia persa per attrito è
quasi sempre minore di quella acquisita per convezione
(Situazioni convettive)
⇒ nelle ore notturne (Rn<0), c’è solo una perdita globale di
energia (Situazioni Stabili).
⇒ lo stato del PBL è differente di giorno e di notte
⇒ anche il modo con cui si disperdono gli inquinanti è
diverso nei due casi
Situazioni Convettive
2000
1800
Free Atmosphere
1600
Entrainment Layer
Profilo di temperatura potenziale ⇒
Quota (m)
1400
1200
1000
800
Mixed Layer
600
400
200
Surface Layer
0
290
291
292
293
294
Temperatura potenziale virtuale (°K)
⇐ Struttura dei vortici turbolenti
800
700
600
Profilo della velocità del vento ⇒
Altura (m)
500
400
Viento Geostrófico
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
Velocidad del viento (m/s)
6
295
Si vengono ad instaurare:
⇒ un flusso ascendente di aria (up-draft)
⇒ un flusso discendente di aria (down-draft)
Gli inquinanti emessi vengono catturati dai flussi ascendenti e
discendenti e presentano pennacchi caratteristici.
Estensione verticale del PBL ⇒ Altezza di Rimescolamento
(secondo la nomenclatura usata
nei modelli di dispersione degli
inquinanti)
Presenta un’evoluzione diurna caratteristica:
⇒ è minima nelle prime ore della mattina (dovuta soltanto alla
turbolenza meccanica)
⇒ aumenta con l’arrivo di energia solare fino al tramonto ed in
particolare in modo proporzionale all’integrale nel tempo del
Flusso Turbolento di calore sensibile.
⇒ decade molto rapidamente al tramonto con il venir meno
dell’apporto energetico solare.
Situazioni Stabili
1000
Profilo di temperatura potenziale ⇒
Quota (m)
800
600
400
200
0
290
292
294
296
Temperatura potenziale virtuale (°K)
⇐ Struttura dei vortici turbolenti
800
700
600
Profilo verticale del vento ⇒
Altura (m)
500
400
300
200
CLP Nocturna
100
0
0
1
2
3
Velocidad del viento (m/s)
4
298
Evoluzione Giornaliera dell’altezza
di Rimescolamento
Descrizione Statistica della
Turbolenza
Moto Turbolento
Osservazioni sperimentali dei fluidi geofisici (es. atmosfera)
regime di moto irregolare ed apparentemente privo di logica.
Possiamo individuare:
⇒ un comportamento sostanzialmente regolare (moto medio)
⇒ cui si sovrappongono disturbi di dimensione e durata variabile
I disturbi a scala maggiore tendono a frantumarsi in disturbi a scala
sempre più piccola, suggerendo una sorta di cascata dimensionale
Moto
laminare
Moto
Turbolento
La Turbolenza del PBL
Se si misurano le tre componenti del vento e la temperatura
con sensori a risposta rapida si vede che:
Le variabili presentano un andamento abbastanza regolare
cui si sovrappongono irregolarità elevate che paiono
“rumore” con caratteristiche di un segnale casuale.
Segnale = andamento medio regolare + fluttuazioni irregolari
(turbolente)
Caratteristica esteriore rilevante della turbolenza nel PBL ed in tutti i
fluidi turbolenti di interesse geofisico.
La quantificazione della Turbolenza deve essere necessariamente dedotta
dall’analisi delle fluttuazioni (irregolarità) contenute nel segnale.
Vel _ x (m/s)
2.0
1.0
0.0
-1.0
-2.0
-3.0
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
900
Vel _ y (m
m/s)
3.0
2.0
1.0
0.0
-1.0
-2.0
0
Vel. vertical (m/s)
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
900
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
900
Ipotesi di Reynolds
Ogni segnale meteorologico è la sovrapposizione di un
andamento medio regolare e di fluttuazioni turbolente
apparentemente casuali aventi media nulla.
A(t ) = A + A' (t )
Un esempio è la componente u del vento:
u (t ) = u + u ' (t )
Indicatori statistici di turbolenza del PBL
⇒ standard deviation che, per la componente u del vento, è:
σu =
(
1 N
ui − u
∑
N − 1 i =1
)
2
=
1 N
2
(
)
u
'
∑
N − 1 i =1
Il quadrato della deviazione standard è la varianza.
⇒ dalla varianza delle tre componenti del vento, è calcolabile
l’energia cinetica turbolenta (energia posseduta dall’aria a
causa della turbolenza presente) definita come:
TKE =
{
1 2
σ u + σ v2 + σ w2
2
}
Tra due variabili si può definire la covarianza.
Considerando, per esempio,
la temperatura potenziale θ e la componente w del vento:
{(
)(
)}
1 N
1 N
w'θ ' = ∑ θ − θ ⋅ w − w = ∑ {θ ' w'}
N i =1
N i =1
Si può dimostrare che:
la covarianza tra una delle componenti del
vento ed una variabile scalare
(temperatura e umidità) rappresenta
(a meno di una costante)
il flusso turbolento della variabile scalare nella
direzione della componente del vento.
Flusso Turbolento di Calore Sensibile
1 N
H 0 = ρC p ∑ w'θ '
N i =1
∂θ ∂z < 0
∂θ ∂z = 0
∂θ ∂z > 0
⇒
H0 > 0
⇒ Situazione Convettiva
⇒
H0 = 0
⇒ Situazione Adiabatica
⇒
H0 < 0
⇒ Situazione Stabile
Flusso Turbolento di Calore Latente
H E = w'q'
Covarianze tra
le componenti u e v del vento e la componente w
(a meno di una costante)
sforzo di taglio orizzontale dovuto all’attrito delle masse d’aria
sulla superficie terrestre.
In particolare lo sforzo di taglio è dato da:
τ = ρ ⋅ u*2
dove u* (friction velocity) è la velocità di scala definita come:
 1
2
u* = 
 N
2
 1 N

u
'
w
'

+

v
'
w
'
∑ i i   N ∑ i i 
i =1
  i =1

N
2



Parametri che caratterizzano la turbolenza del PBL
⇒Forzante Convettiva: Flusso Turbolento Calore Sensibile
H 0 = ρ ⋅ C p ⋅ w'θ '
⇒Forzante Meccanica: Friction velocity
2
u* = u ' w' + v' w'
4
⇒ Altezza di Rimescolamento zi
Parametri Accessori
Temperatura di Scala T*
T* = − w'θ ' u*
Lunghezza di Monin-Obukhov
T u*3
L=−
kg w'θ '
Velocità convettiva di scala
 g H0 
w* = 
z
 T ρC i 
p


13
2
RIASSUMENDO
Condizioni Convettive:
u* > 0
H0>0
T*<0
L<0
Condizioni Adiabatiche:
u*>0
H0 =0
T*=0
L →±∞
Condizioni Stabili:
u*>0
H0<0
T*>0
L>0
Modello Matematico del PBL
PBL ⇒ porzione di troposfera ⇒ Fluido Newtoniano Viscoso
A) Dominio di Calcolo e Variabili.
Dominio di calcolo = porzione di troposfera a forma di parallelepipedo
a base inferiore al suolo e superiore oltre l’altezza
di rimescolamento.
Sistema di coordinate = cartesiano ortogonale meteorologico.
Variabili considerate = valori istantanei di
⇒
⇒
⇒
⇒
componenti u, v e w del vento
temperatura potenziale θ
pressione barometrica p
densità dell’aria ρ
⇒ concentrazione di d’acqua come vapore liquido e solido
Relazioni base del Modello
•
•
•
•
legge di conservazione della massa
legge di conservazione della quantità di moto
legge di conservazione dell’entalpia
equazione dei gas perfetti
(Per semplicità non si considera l’acqua liquida e le sostanze inquinanti
presenti nel PBL)
1. Conservazione della massa
Nell’ipotesi di fluido incomprimibile:
∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
Conservazione della Quantità di Moto
 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u 
1 ∂p
∂u
∂u
∂u
∂u
+ u + v + w = fcv −
+ν  2 + 2 + 2 
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v 
1 ∂p
∂v
∂v
∂v
∂v
+ u + v + w = − f cu −
+ν  2 + 2 + 2 
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂y
∂z 
 ∂x
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 
∂w
∂w ∂w
∂w
1 ∂p
+u
+v
+w
= −g −
+ν  2 + 2 + 2 
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
∂y
∂z 
 ∂x
Conservazione dell’Entalpia
 ∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ 
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
+u
+v
+w
= ν θ  2 + 2 + 2  + Source / Sink
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
Conservazione del vapor d’acqua
∂ 2q ∂ 2q ∂ 2q 
∂q
∂q
∂q
∂q
+ u + v + w = ν q  2 + 2 + 2  + Sorce / Sink
∂y
∂z 
∂t
∂x
∂y
∂z
 ∂x
Legge dei Gas Perfetti
p = ρRT
In tutte le equazioni si considerano i valori istantanei delle
variabili.
Le variabili sono 7(u,v,w,ρ,p,q,θ), le equazioni sono
7,
il sistema è formalmente chiuso.
In teoria:
• se si conoscessero le condizioni iniziali del fluido
• e le condizioni al contorno
il sistema di equazioni differenziali alle derivate
parziali dovrebbe potersi risolvere.
Data la complessità matematica, non è possibile una sua risoluzione
analitica, tuttavia è sperabile una sua soluzione almeno numerica.
Ciò in pratica non è possibile perché:
⇒ le equazioni non sono lineari e hanno caratteristiche
tipiche dei sistemi caotici (sono deterministiche, ma il
loro comportamento risulta estremamente irregolare e
apparentemente stocastico);
⇒ per una loro risoluzione numerica su un dominio di calcolo
realistico sarebbero necessari computer con potenze di
calcolo lontane dalle possibilità attuali;
⇒ si dovrebbero fornire al modello le condizioni iniziali e al
contorno relative alle variabili istantanee in tutto il
dominio di calcolo.
Cosa totalmente impossibile in pratica, soprattutto
per il fatto che i sistemi caotici risultano
estremamente sensibili a piccoli errori proprio nelle
condizioni iniziali.
v (ms-1 )
u (ms-1 )
Che l’irregolarità, o meglio la caoticità, sia intrinseca alle variabili
meteorologiche misurate nel PBL è un’evidenza sperimentale.
10
8
6
4
2
0
4
2
0
-2
-4
-6
T (K)
w (ms -1 )
3
2
1
0
-1
-2
302
301
300
299
298
297
0
600
1200
1800
tempo (s)
2400
3000
3600
Questo modello, corretto e chiuso, non può essere
impiegato in pratica
Ciò che realisticamente si può conoscere, sono i valori medi delle
variabili caratteristiche del PBL e pochi altri indicatori statistici
(come varianze e covarianze).
E’ necessario, quindi, costruire un modello in cui siano presenti
non i valori istantanei, ma i valori medi ed eventualmente
varianze e covarianze.
Per poter costruire un modello matematico utilizzabile
in pratica
Si usa l’ipotesi di Reynolds secondo cui una variabile F è la
somma di un valor medio e di una fluttuazione a media nulla:
F = F + F'
Legge di Conservazione della Massa
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
Legge di conservazione della Quantità di Moto
 ∂ u ' u ' ∂ u ' v' ∂ u ' w' 
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
= fcv − 
+
+

∂t
∂x
∂y
∂z
∂
x
∂
y
∂
z


 ∂ v' u ' ∂ v' v' ∂ v' w' 
∂v
∂v
∂v
∂v
+u
+v
+w
= − fcu − 
+
+

∂t
∂x
∂y
∂z
∂
x
∂
y
∂z 

∂ w' u ' ∂ w' v' ∂ w' w' 
∂w
∂w ∂w
∂w
+u
+v
+w
= −g − 
+
+

∂t
∂x
∂y
∂z
∂
x
∂
y
∂
z


La presenza dell’ultimo termine implica che la turbolenza deve
sempre essere considerata, anche quando si sia interessati soltanto
alle variabili medie.
Ciò sottolinea il fatto che il valore medio di una componente del
vento non dipende solo dal valore medio delle altre, ma anche dalla
loro covarianza.
Legge di Conservazione dell’Entalpia
 ∂ θ ' u ' ∂ θ ' v' ∂ θ ' w' 
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
+u
+v
+w
= −
+
+
 + Source / Sink
x
y
z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂


Legge di Conservazione del vapor d’acqua
 ∂ q' u ' ∂ q' v' ∂ q' w' 
∂q
∂q
∂q
∂q
+u
+v
+w
= −
+
+
 + Source / Sink
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
x
∂
y
∂
z


Legge dei Gas Perfetti
p = ρRT
Trascurando per semplicità l’equazione del vapor d’acqua nel
modello le variabili sono:
 p, ρ , θ 


,
,
,
u
v
w


 u ' u ', v' v', w' w' , 


'
'
,
'
'
,
'
'
,
u
v
u
w
v
w


 u 'θ ', v'θ ', w'θ ' 


Le variabili sono 15, le equazioni sono sempre 6
⇓
il sistema di equazioni non è chiuso.
Mancando equazioni, bisogna individuare relazioni semiempiriche che
esprimono le variabili in eccesso (varianze e covarianze) in funzione
delle variabili medie.
Schemi di Chiusura
Il modo più semplice per esprimere le variabili in eccesso (varianze
delle componenti del vento e covarianze tra temperatura e singole
componenti del vento) è la Chiusura di Tipo K:
v' w' = − K m
∂v
∂z
w' F ' = − K F
∂F
∂z
u ' w' = − K m
∂u
∂z
KF Coefficiente di
diffusività turbolenta
w'θ ' = − K k
∂θ
∂z
Ipotesi di base
⇓
Flusso/covarianza verticale/orizzontale di una variabile proporzionale al
gradiente locale verticale/orizzontale della variabile stessa.
Coefficiente di proporzionalità = Diffusività turbolenta
Alcuni esempi:
⇒ Condizioni Stabili:
⇒ Condizioni Convettive:
K m ( z ) = ku* z ⋅ (1 − z / h )
1. 5
(1 + 4.7 z / L )
K m ( z ) = 2.5w* zi (1 − z zi )( z zi )
1 .5
Molte sono le relazioni semiempiriche che esprimono i vari
coefficienti K (coefficienti di diffusività turbolenta).
Tutte sono dipendenti dai parametri che
caratterizzano la turbolenza del PBL, cioè:
⇒
⇒
⇒
⇒
u*
H0
zi
w*
Un Modello Matematico di PBL può ottenere una soluzione solo per
via numerica e può essere impiegato in almeno due maniere
distinte:
Maniera
ricostruttiva:
ricostruzione della distribuzione spaziale e
temporale dei campi meteorologici e di turbolenza in
un dominio spaziale limitato e in un periodo limitato,
ma passato, per cui si dispone di misure realizzate al
suolo e/o in quota.
Questo impiego è spesso dettato dall’esigenza di
analizzare situazioni passate per comprendere
meglio i fenomeni che hanno avuto luogo.
Maniera predittiva: si prevede la distribuzione spaziale dei campi meteorologici e di turbolenza
(+24, +48, +72 ore).
nell’immediato
futuro
Ovviamente si conoscono solo le misure al suolo e/o
in quota al tempo t0, inizio della previsione.
I modelli Globali, operando con continuità, sono sempre in grado di fornire
(a bassa risoluzione) la distribuzione spaziale e temporale delle variabili
meteorologiche sia per periodi passati che per l’immediato futuro e quindi
possono fornire, previa opportuno processing, le necessarie condizioni
iniziali ed al contorno.
Utilizzo Ricostruttivo
Dati del Dominio
Misure Meteo
Locali
Analisi da
Modello Globale
Processing
Assimilazione
t=t0
Misure
Meteo a t
Assimilazione
Previsioni
Globali a t
Modello ad
Area Limitata
t=t+∆t
Output a t
(Campi)
Utilizzo Predittivo
Dati del Dominio
Misure Meteo
Locali
Analisi da
Modello Globale
Processing
Assimilazione
t=t0
Downscaling
Previsioni
Globali a t
Modello ad
Area Limitata
t=t+∆t
Output a t
(Campi)
Teoria della Similarità
Modellizzazione fluidodinamica del PBL ⇒ del tutto
generale e valida in ogni situazione ….
… ma …
è costituita da un sistema di equazioni differenziali alle
derivate parziali di problematica integrazione.
In analogia con quanto fatto dalla Fluidodinamica stessa, si è
cercato (con successo) di ottenere delle relazioni per i profili
verticali delle principali variabili medie, delle varianze e
delle covarianze basate completamente sulle osservazioni
sperimentali in:
• situazioni quasi stazionarie
• e con terreno piatto ed omogeneo.
Quando queste ipotesi non sono soddisfatte completamente, le
relazioni dedotte perdono una parte di validità, pur restando
una descrizione abbastanza realistica dei profili verticali.
Le relazioni cercate dalla Teoria della Similarità hanno le
seguenti caratteristiche :
• sono algebriche
• sono basate sulle osservazioni sperimentali
• dipendono dai parametri descrittori della turbolenza del
PBL, cioè u*, H0, T*, L e zi
Di fatto,
l’insieme delle relazioni individuate per le principali variabili
meteorologiche medie e per i principali momenti statistici
costituisce,
in un terreno piatto ed omogeneo,
un modello alternativo di PBL totalmente algebrico e del
tutto generale.
La Relazione di Similarità (universale) che descrive il profilo verticale
della velocità del vento entro il SL è quindi:
u (z ) =
u*   z 
 z 
ln  − ΨM  
k   z0 
 L 
La Relazione di Similarità del profilo del valor medio di temperatura
potenziale media θ nel SL
θ ( z ) = θ z0 +
T*   z 
 z 
ln  − ΨH  
k   z0 
 L 
Commenti
⇒ nel SL, in un sito piano e omogeneo, in condizioni quasi-stazionarie,
noto z0, u* e 1/L è possibile ottenere il profilo verticale della velocità
media del vento e della temperatura potenziale.
⇒ Come anticipato, si è quindi ottenuto un modello del profilo verticale
della velocità del vento e della temperatura potenziale:
- alternativo a quello fluidodinamico,
- ristretto al solo SL e
- di tipo algebrico (molto più facilmente utilizzabile nella pratica)
Sono state determinate Relazioni di Similarità anche per le
varianze e le covarianze delle principali variabili di interesse
micrometeorologico.
Relazione di Similarità del profilo verticale di σθ nel SL
 2(1 + 9.5 z L )−1 3
=
T* 2(1 + 0.5 z L )-1
σθ
se z/L < 0
se z/L ≥ 0
Relazione di Similarità del profilo di σw nel SL.
(1 + 3 z L )1 3
= 1.25 ⋅ 
u*
 (1 + 0.2 z L )
σw
se z L < 0
se z L > 0
Modello di Similarità del SL
200
200
160
160
120
120
Ta = 293 K
U* = 0.2 m/s
Quota (metri)
Quota (metri)
Z0 = 0.2 m
80
80
H0 = 100 W/m2
40
40
0
0
292.4
292.8
Tempe ratura Po ten ziale (K)
200
200
160
160
160
160
120
120
120
120
80
40
80
40
0
0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
Dev. Std. comp. u/v (m/s)
1.8
80
40
0
0.4
Quota (metri)
200
Quota (metri)
200
Quota (metri)
Quota (metri)
292
0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
Dev. Std. comp. u/v (m/s)
1.8
0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
Velocità vento (m/s)
80
40
0
0.4
293.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dev. Std . co mp. w (m/s)
1.2
0.2
0.4
0.6
Dev. Std . te mp eratu ra (K)
0.8
2
Relazioni di Similarità per l’intero PBL
Sono state sviluppare anche Relazioni di Similarità valide per
l’intero PBL che si basano sulla conoscenza di:
⇒ forzante meccanica u*
⇒ forzante convettiva H0
⇒ estensione verticale del PBL zi
⇒ un nuovo parametro di scala w* (convective velocity scale) che
è nullo nelle situazioni stabili mentre nelle situazioni convettive
è definito come:
13
 g H0 
w* = 
z
 T ρC i 
p


N.B. Il rapporto zi/w* rappresenta il tempo impiegato da una bolla
turbolenta che parte dal suolo a raggiungere la sommità del
PBL. Se zi=1000m e w*=1.5 ms-1, il tempo impiegato dalla
bolla è circa 11 minuti.
Modelli Prognostici, Diagnostici
e
Processori Meteorologici
1. Modello Prognostico del PBL
Molte applicazioni pratiche (es. simulazione della dispersione
degli inquinanti in aria e previsioni meteorologiche) richiedono
la conoscenza, nello spazio e nel tempo,
delle principali caratteristiche del PBL.
Il tipo ed il numero delle variabili micrometeorologiche richieste dalle varie
applicazioni pratiche può essere il più vario e va da una descrizione
dettagliatissima del PBL e degli strati nuvolosi (per i modelli di simulazione
della dispersione degli inquinanti di tipo fotochimico) ad una descrizione
molto più sommaria per modelli di simulazione di screening.
Ci sono tre modi per risolvere questo problema:
⇒ utilizzo di unl modello prognostico numerico del PBL
basato sulle leggi prognostiche di conservazione.
(prognostico = capace di stimare la variazione temporale di una
variabile oltre che la relativa variazione spaziale). Di
questo tipo di modello si è trattato finora.
⇒ si può usare una base teorica più semplice (di tipo
diagnostico) fondata prevalentemente sulle misure
sperimentali disponibili, rinunciando però alla previsione
della loro variabilità nel tempo e lavorando quindi per stati
quasi stazionari
⇒ si possono usare solo le misure sperimentali quando il
problema è prevalentemente locale ed i modelli (es. di
dispersione degli inquinanti in aria impiegati sono stazionari
e semplici.
Modelli Meteorologici Prognostici Numerici
Informazioni rete
Meteo - micro
Analisi a
grande scala
Previsione
a grande scala
Condizioni al
contorno
Modello prognostico numerico
Condizioni
iniziali
Basato sull’integrazione spaziotemporale delle equazioni
fluidodinamiche del PBL
Struttura terreno
(land use,
orografia, ecc.)
Campi meteo-micrometeo per modelli
dispersivi
Alcuni Modelli prognostici disponibili
•RAMS (Regional Atmospheric Modeling System) sviluppato da Colorado
State University;
•HOTMAC (Higher Order Turbulence Model for Atmospheric Circulation)
sviluppato da YSA Corporation (Santa Fe , New Mexico);
•ARPS (Advanced Regional Prediction System) sviluppato dal Center for
Analysis and Prediction of Storms (CAPS), University of Oklahoma.
La disponibilità di uno di questi modelli non garantisce
automaticamente la capacità di ricostruire le variabili di
interesse:
⇒ richiedono condizioni iniziali ed al contorno nel dominio di
calcolo e la determinazione di ciò richiede un lavoro non semplice e la disponibilità di misure e di previsioni a scala globale;
⇒ questi modelli non sono (e non possono essere) user-friendly e
richiedono specialisti per la loro gestione.
2. Modello diagnostico del PBL.
E’ un modello molto meno complesso che :
⇒ si basa prevalentemente sulle misure sperimentali ottenute
al tempo in cui si richiede di ricostruire i campi meteorologici
di interesse;
⇒ considera la variazione nel tempo del fenomeno meteorologico
come una successione di stati quasi-stazionari;
⇒ utilizza relazioni fisiche semplici, (normalmente la legge di
conservazione della massa e le relazioni di similarità).
Il modello è decisamente più semplice di quello prognostico, ma
la sua realisticità dipende completamente dalla bontà delle
misure su cui si basa.
Informazioni del PBL ottenute dal modello
⇒ Distribuzione al suolo (Campo 2D):
Radiazione Netta, cioè la disponibilità energetica esistente all’interfaccia aria suolo;
Flusso di calore nel suolo, cioè la porzione di energia disponibile catturata dal suolo e trasmessa alla vegetazione;
Friction velocity, cioè la forzante meccanica della turbolenza dell’intero
PBL;
Flusso turbolento di calore sensibile, cioè la forzante convettiva della
turbolenza del PBL;
Flusso turbolento di calore latente, cioè l’entità dell’evapotraspirazione, termine che costituisce il link con il bilancio idrico superficiale.
⇒Distribuzione spaziale (Campo 3D):
Il campo vettoriale medio del vento, cioè il campo delle tre componenti
medie del moto dell’aria;
Il campo della temperatura (potenziale) media dell’aria;
Il campo dell’umidità media dell’aria;
Il campo della deviazione standard delle componenti del vento (longitudinale, trasversale e verticale) σu, σv e σw;
….. ed anche ….
- la deviazione standard della temperatura potenziale;
- l’Energia Cinetica Turbolenta,
- la dissipazione dell’energia cinetica turbolenta,
- i Tempi Euleriani e Lagrangiani di scala.
Applicazione al LAZIO
Misure: rete S.M.A.M. Lazio + radiosondaggio S.M.A.M Pratica di
Mare
4760000
Dominio
4740000
4720000
2100
2000
1900
Viterbo
1800
4700000
Monte Terminillo
Rieti
1700
1600
1500
4680000
1400
1300
Civitavecchia
1200
4660000
1100
Roma Urbe
4640000
1000
Guidonia
900
800
Fiumicino
Ciampino
700
600
4620000
500
400
Pratica di Mare
Frosinone
4600000
Latina
300
200
100
1
4580000
0
4560000
4540000
220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000
213 km (W-E) → 93 celle
290 km (N-S) → 99 celle
Coordinate terrain-following
Radiosondaggio di Roma – Pratica di Mare
4000
⇐ Contro brezza
Qu
uota (m)
3000
2000
⇐ Brezza di Mare
1000
0
2
4
6
8
10
Ve locità del vento (m/s)
12
0
60
120
180
240
Direzione (°N)
300
360
Ricostruzione Campo di Vento
Ricostruzione campo nel SL con algoritmo 3D
4760000
4740000
4720000
4700000
4680000
4660000
4640000
4620000
4600000
4580000
4560000
4540000
220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000
Ricostruzione Campo di Vento
Ricostruzione campo alla sommità del dominio con algoritmo 3D
4760000
Completa congruenza col
regime di controbrezza
rilevato dal radiosondaggio
4740000
4720000
4700000
4680000
4660000
4640000
4620000
4600000
4580000
4560000
4540000
220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000
Ricostruzione Campo di Vento
Ricostruzione campo a 50 metri dal suolo con algoritmo 3D
4760000
La ricostruzione evidenzia
sia l’influenza profonda
dell’orografia che le
caratteristiche di brezza
mostrate dal radiosondaggio
4740000
4720000
4700000
4680000
4660000
4640000
4620000
4600000
4580000
4560000
4540000
220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000
Ricostruzione Campo di Vento
Ricostruzione campo a 150 metri dal suolo con algoritmo 3D
4760000
La ricostruzione evidenzia come
salendo con la quota le masse
d’aria ruotino in senso antiorario
come evidenziato dal
radiosondaggio e siano sempre
meno influenzate dalla presenza
dell’orografia
4740000
4720000
4700000
4680000
4660000
4640000
4620000
4600000
4580000
4560000
4540000
220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000
3. Modello 1D (Processore) per modelli di dispersione degli
inquinanti di tipo ingegneristico.
Per stima preliminare d’impatto di sorgenti inquinanti
spesso si usano modelli semplificati che richiedono una
descrizione semplificata della meteorologia e turbolenza
Le ipotesi meteorologiche che tali modelli fanno sono:
⇒ variazione nel tempo della meteorologia = sequenza di stati stazionari;
⇒
campo di vento e di temperatura omogeneo in orizzontale;
⇒
sia la velocità del vento che la temperatura
verticale dato dalle relazioni di Similarità;
⇒
la turbolenza atmosferica deve essere descritta in maniera semplice.
hanno
un
profilo
In pratica, tutti i modelli di questo tipo richiedono:
• velocità e direzione del vento ad una quota di riferimento,
• temperatura dell’aria ad una quota di riferimento,
• una descrizione della turbolenza del PBL differente a
del modello considerato,
seconda
• altezza di rimescolamento (unica per tutto il dominio)
La principale differenza tra un modello ed un altro sta proprio nella
descrizione della turbolenza.
⇒ Modelli moderni: u*, H0 e L
⇒ Modelli “antichi”: usano un parametro sintetico detto Classe di
Stabilità Atmosferica.
Classe di stabilità atmosferica.
Tradizionalmente tutta la variabilità della struttura del
PBL era condensata in 6 classi differenti:
Categoria A(1):
Categoria B(2):
Categoria C(3):
Categoria D(4):
Categoria E(5):
Categoria F(6):
situazioni diurna molto convettive con vento
basso e forte insolazione
situazione diurna mediamente convettiva con
vento moderato e media insolazione
situazione diurna con vento forte e insolazione
bassa
situazione diurna e notturna con vento molto
forte,
insolazione
praticamente
nulla
e
copertura del cielo
situazione notturna con vento elevato e media
copertura del cielo
situazione notturna con vento molto debole e
assenza di nubi.
Determinazione pratica delle categorie di
stabilità.
E’ importante ricordare che quando si
utilizzano le Classi di stabilità Atmosferica
non si può sperare che i calcoli della
dispersione degli inquinanti in aria siano
realistici, se non in situazioni molto
prossime all’adiabaticità.
Misure Meteorologiche
Tipologia di Postazioni Meteorologiche
Postazioni meteorologiche tipo
- Misura diretta dei principali
parametri meteorologici rilevanti
- Misura diretta dei parametri di
turbolenza atmosferica
Postazioni meteorologiche
secondarie
Sistemi remote-sensing
- Misura diretta dei principali
parametri meteorologici rilevanti
- Stima indiretta dei parametri di
turbolenza atmosferica
Misura del profilo
verticale di alcune
variabili
meteorologiche
Postazione Meteorologica Tipo
Sensori
⇒Anemometro ultrasonico triassiale
⇒Termoigrometro
⇒Sistema radiativo
⇒Barometro
⇒Sistema di misurazione del flusso di calore nel suolo
+
Sistema di acquisizione, elaborazione e trasmissione
dei dati
Anemometro Ultrasonico Triassiale
Strumento ad elevata precisione, risposta
rapida e privo di inerzia che misura:
- le tre componenti del vettore vento (u,v,w)
- la temperatura virtuale dell’aria (Ts)
con frequenza di campionamento pari ad almeno 10 Hz
Calcolo diretto di:
- valore medio della velocità e direzione del vento
- valore medio della temperatura virtuale dell’aria
- deviazione standard della direzione del vento
- matrice varianza-covarianza delle componenti del vento
- vettore covarianza componenti del vento-temperatura
- friction velocity u*
- flusso turbolento di calore sensibile H0
- lunghezza di Monin-Obukhov (L)
Sistema radiometrico
Radiazione infrarossa
dall’atmosfera
RG
Temperatura della struttura
per correzione misure
infrarosso
α RG
Radiazione infrarossa dal
suolo
Flusso di calore nel terreno
Una piastra di flusso a - 5 cm
Un termometro a
- 5 cm
Un termometro a
- 10 cm
Un termometro a
- 50 cm
Termoigrometro
Barometro
Pluviometro
Profilo verticale di temperatura
RASS
Sistema elettroacustico spesso
accoppiato col SODAR.
Altri profilatori …….
Teoria di base della Dispersione degli
Inquinanti in Atmosfera
Dispersione degli Inquinanti nel PBL
Evoluzione spazio-temporale della concentrazione in aria di
una sostanza emessa in un punto della spazio ad un certo
istante t0
Obiettivo = individuare un modello matematico in grado di
descrivere la variazione spazio-temporale della
concentrazione dell’inquinante immesso in aria
L’ambiente in cui si disperde l’inquinante è il PBL e quindi
la turbolenza che ne caratterizza lo stato dovrà certamente
condizionare profondamente il processo di dispersione
Sono possibili due distinti approcci teorici:
⇒ Approccio Euleriano
⇒ Approccio Lagrangiano
Approccio Euleriano
Lo stato del PBL e la dispersione degli inquinanti vengono descritti
in un quadro di riferimento in cui le varie proprietà del fluido
come la velocità u(x,y,z,t) e la concentrazione dell’inquinante
c(x,y,z,t) sono definite in ogni punto x dello spazio e del tempo t.
In sostanza, tale descrizione si realizza scrivendo:
• le varie equazioni che descrivono il fluido (aria)
• le equazioni di conservazione delle differenti specie inquinanti.
Approccio Euleriano = descrizione fluidodinamica di un
mezzo continuo e presuppone una
visione totalmente deterministica
del fenomeno.
Approccio Lagrangiano
Nella descrizione lagrangiana l’inquinante non è considerato un
fluido continuo immesso in un altro fluido, ma un insieme di
particelle (con caratteristiche analoghe al concetto di particella
dato in Meteorologia) tra loro indipendenti ed individuabili
singolarmente, immesse in un fluido il cui moto è noto (moto
medio e fluttuazioni turbolente).
La descrizione del moto di ciascuna particella, strettamente
legato al moto generale del fluido, non può più essere
ritenuto deterministico, ma stocastico a causa della turbolenza
del PBL.
La concentrazione degli inquinanti nel PBL viene
descritta analizzando la traiettoria (posizione nel
tempo) di ogni particella entro il fluido.
La posizione di ogni particella X(x0,t0,t) e
la sua velocità U(x0,t0,t)
ad ogni istante temporale dipende:
⇒ dalla posizione della particella al tempo iniziale t0
⇒ dal tempo attuale t
⇒ dal livello di turbolenza del fluido entro cui si trovano
a muoversi le particelle
1. La Descrizione Euleriana
Il modello matematico di PBL è costituito dalle equazioni di conservazione
della quantità di moto, della massa e dell’energia, oltre alla legge dei gas
perfetti. Per descrivere anche la dispersione della varie specie
inquinanti immesse in aria, è necessario aggiungere a queste le
equazioni di conservazione di ciascuna delle specie chimiche che
si intende studiare (una per ciascuna specie chimica considerata).
(
)
( )
(
)
∂ ck
∂c
∂c
∂c
∂
∂
∂
+u k +v k +w k = −
u ' ck ' −
v ' ck ' −
w' ck ' + R + S
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
K=1,2,..,N
Considerazioni:
⇒ il termine R (Reazioni Chimiche) dipende dalla concentrazione media di ogni specie
considerata e quindi le N equazioni restano ancora tra loro legate;
⇒ l’insieme delle equazioni dipende direttamente dalla Meteorologia attraverso il campo
di vento medio;
⇒ ne dipende anche implicitamente attraverso le covarianze (flussi) tra la concentrazione dei vari inquinanti e le componenti del vento;
⇒ anche in questo caso, il sistema complessivo di equazioni non è chiuso.
E’ necessaria una Ipotesi di Chiusura per il sistema
Analogamente a quanto visto per il modello di PBL, le possibili
chiusure sono numerose e di varia complessità.
La più usata ⇒ chiusura di tipo K:
I flussi turbolenti vengono espressi mediante i gradienti locali
delle variabili medie
u ' ck ' = − K xx
∂ ck
∂x
v' ck ' = − K yy
∂ ck
∂y
w' ck ' = − K zz
∂ ck
∂z
Kxx, Kyy, Kzz ⇒ Coefficienti di diffusività turbolenta
Impiego di una chiusura di tipo K
Disaccoppiamento delle equazioni di bilancio di massa degli N
inquinanti dalle equazioni che descrivono l’evoluzione delle
variabili meteorologiche
Operativamente, è possibile prima ricostruire il campo di vento (che è
poi, apparentemente, l’unica variabile meteorologica che interessa) e
poi risolvere le equazioni di dispersione degli inquinanti.
Apparentemente
La turbolenza atmosferica è stata tutta condensata nei coefficienti di
diffusione Kxx, Kyy, Kzz.
Determinazione diretta mediante il modello meteorologico o indiretta
mediante parametrizzazioni che si fondano tutte, direttamente o
indirettamente sulla Teoria della Similarità
Per semplificare ulteriormente, si ipotizzi che le varie specie
considerate non reagiscano chimicamente tra loro e non
presentino decadimenti.
In questo caso il termine R si annulla e le equazioni per i diversi
inquinanti risultano tra loro indipendenti.
Consideriamo quella di un generico inquinante:
 ∂ 
∂c
∂c
∂c
∂c
∂ c ∂ 
∂ c  ∂  ∂ c  
+u
+v
+w
= −   K xx
+
K

 yy
 +  K zz
 + S
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x  ∂y 
∂y  ∂z 
∂z  
 ∂x 
Equazione Semiempirica Euleriana per la descrizione
della dispersione di un inquinante in aria
Equazione di base della descrizione euleriana della
dispersione di un inquinante in aria
Semiempirica ⇒ Risultato delle semplificazioni
introdotte
1) Chiusura di tipo K
2) Disaccoppiamento dal modello meteorologico
3) Parametrizzazione dei coefficienti di diffusività
turbolenta
Note.
La chiusura di tipo K presuppone che i flussi nelle tre direzioni siano
tra loro indipendenti. Questo non è molto realistico, soprattutto nelle
situazioni convettive dove questo modello presenta i maggiori limiti.
Soluzioni Analitiche Tipiche
In termini generali, l’equazione semiempirica euleriana, con
tutte le semplificazioni adottate e con la conoscenza del campo di
vento medio, non consente una soluzione analitica.
Se, però, si considerano situazioni fortemente idealizzate,
è possibile ottenere alcune soluzioni analitiche, due delle
quali rivestono un’importanza applicativa notevole.
1. Soluzione Base Puff
2. Soluzione Base Plume
Puff
1. Soluzione Base Puff
Si considerino le condizioni seguenti:
⇒ sorgente nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0) con
asse x nella direzione media del vento;
⇒ dalla sorgente al tempo t0=0 viene emesso un puff istantaneo
di inquinante (q = massa dell’inquinante);
⇒ il campo di vento è uniforme sia in orizzontale che in
verticale e la velocità vale U;
⇒ i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx, Kyy, Kzz sono costanti.
Nota
La soluzione Base puff è l’idealizzazione di un rilascio istantaneo di
una sostanza inquinante. Un esempio è il rilascio di una sostanza
pericolosa dovuto ad un evento accidentale che, per esempio,
depressurizza istantaneamente un contenitore in cui tale sostanza
era contenuta a pressione superiore a quella atmosferica
2. Soluzione Base Plume
Si considerino le condizioni seguenti:
⇒ una sorgente posta nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0)
con asse x posto lungo la direzione del vento medio;
⇒ dalla sorgente e dal tempo t0=-∞ in poi viene emessa una
quantità costante di inquinante (Q = tasso di emissione =
quantità di inquinante per unità di tempo). Da questo punto
nello spazio parte quindi un pennacchio (plume) di
inquinante;
⇒ il campo di vento è considerato uniforme in senso orizzontale e
verticale e la velocità è pari a U;
⇒ i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx,Kyy,Kzz sono costanti.
Nota
Questa situazioni ideale simula una sorgente punto che emette con
continuità come, per esempio, il fumo di una ciminiera emesso da un
impianto termoelettrico.
2. La Descrizione Lagrangiana
Dispersione di inquinante
⇓
Movimento di un elevato numero di particelle.
La massa di ogni particella si conserva nel tempo (se non
hanno luogo reazioni chimiche o processi di decadimento)…
…. quindi ….
il campo della concentrazione media cambia solo per la
ridistribuzione delle particelle nello spazio.
Se l’asse x è diretto lungo la direzione verso cui spira il vento, l’asse
y nella direzione trasversale e z in direzione verticale
ad un istante t0 una particella viene emessa da una sorgente posta
nel punto P0=P(x0,y0,z0;t0) e si muove seguendo i movimenti
dell’aria del PBL (medi e turbolenti).
La particella emessa si muoverà in maniera apparentemente
disordinata, come l’aria del PBL, e il suo moto potrà essere
descritto solo in termini probabilistici.
La Teoria Lagrangiana abbandona quindi una descrizione
deterministica del fenomeno di trasporto e dispersione di una
specie in aria a favore di una descrizione puramente
statistica.
Una particella che a t0 si trova nella posizione X0(x0,y0,z0), negli
istanti successivi t può muoversi nell’aria con un movimento
disordinato e casuale, giungendo ad una nuova posizione
X(x,y,z).
X ⇒ X(x,y,z;t) è la traiettoria della particella.
160
Asse Y
120
80
40
0
-40
0
200
400
600
Asse x
800
1000
Se si considerano moltissime particelle diverse, tutte emesse
nel punto X0(x0,y0,z0), al tempo t0,
al tempo t, per la casualità intrinseca al loro moto, derivante
dalla turbolenza del PBL, esse potranno trovarsi in punti diversi
dello spazio, cioè:
ciascuna particella possiederà una traiettoria differente.
160
120
Asse Y
80
40
0
-40
-80
0
200
400
600
Asse X
800
1000
Si consideri un punto P(x,y,z) ad un dato istante t.
L’approccio Lagrangiano costruisce un modello stocastico
della distribuzione
⇒ delle particelle emesse al tempo t
⇒ delle particelle emesse a tutti gli istanti precedenti
determinandone
spazio-tempo.
l’influenza
nel
punto
desiderato
dello
La complessità formale della formulazione generale del
modello lagrangiano è formidabile.
Si vedrà più avanti come costruire da essa (o meglio aggirandola,
mantenendone i fondamenti teorici) un modello formalmente più
semplice e straordinariamente realistico.
Modelli di dispersione
di Tipo Stazionario
Modello gaussiano Plume
Deriva dalla soluzione base plume dell’equazione euleriana
della dispersione di un inquinante in aria che ne costituisce
lo scheletro, su cui però è stato aggiunto un apparato
sostanzialmente semiempirico.
E’ stato il primo tipo di modello impiegato per scopi applicativi ed
ingegneristici.
Può essere applicato per stime di prima approssimazione
quando:
⇒ il suolo è privo di orografia significativa,
⇒ le sorgenti sono ciminiere abbastanza elevate che emettono in
modo pressoché continuo inquinanti poco reattivi,
⇒ i parametri meteorologici e micrometeorologici presentano una
variazione temporale abbastanza lenta,
⇒ il PBL è in condizioni quasi adiabatiche
Fotografia, integrata in un’ora, di un plume di una ciminiera elevata con
tasso di emissione Q (g/s).
Tre Zone Distinte
1
2
3
A
A
Zona 1 (zona ascensionale).
Il plume esce verticale dalla sorgente per piegarsi sottovento con
baricentro orizzontale. Se h è l’altezza fisica del camino e hm è la quota
del baricentro del plume, si definisce plume rise: ∆h = hm-h
1
2
3
A
A
Zona 2 (dispersione senza interazione col suolo).
Dopo il livellamento,il plume si dilata (più o meno a seconda della
turbolenza senza raggiungere il suolo).
Zona 3 (interazione col suolo).
La parte bassa del plume giunge al suolo dove subisce una riflessione
totale o parziale a seconda del tipo di suolo e di inquinante.
In questa zona il plume interagisce col suolo e, nelle situazioni
convettive, con la sommità del PBL (quota di rimescolamento)
Ipotesi = riflessione totale
del plume al suolo
e
alla
quota
di
rimescolamento.
Se si tiene conto delle riflessioni multiple, si ha la forma
completa del Modello Gaussiano Stazionario
 y2 
C ( x, y , z ) =
⋅ exp  −
⋅ fz
2
2πσ yσ zU
2
σ

y 

Q
  1  z + 2 jz − h  2 
 1  z + 2 jz + h  2  
i
m
i
m
  + exp − 
  
f z = ∑ exp − 
2
σ
2
σ
 
j = 0, ±1, ±2 ,.... 
 
z
z
  
  
formula che, una volta noto:
• il tasso di emissione Q (g/s)
• le coordinate (x,y,z) del punto dove si vuol conoscere la concentrazione
(punto ricettore)
• la velocità del vento U (m/s) supposta costante in orizzontale e verticale
• le standard deviation σy e σz
• la quota di livellamento del plume hm
consente di determinare (con i limiti sottolineati) la concentrazione
dell’inquinate in esame nel punto ricettore.
Sistema di Coordinate adottato.
Semplificazioni più usate:
⇒ concentrazione solo al livello del suolo
⇒ si trascurano tutte le riflessioni tranne quella al suolo.
 y2 
 hm2 
C ( x, y,0) ≅
exp − 2  ⋅ exp − 2 
πσ yσ zU
 2σ y 
 2σ z 
Q
Ulteriore
semplificazione:
concentrazione al suolo
sottovento alla sorgente.
 hm2 
C ( x, y,0) =
⋅ exp − 2 
πσ yσ zU
 2σ z 
Q
Sovrapposizione degli effetti ⇒ in un punto ricettore
la concentrazione è la somma dei contributi dovuti a
tutte le sorgenti presenti in quel punto.
e
Nel modello gaussiano plume i fumi emessi da una sorgente
punto vengono:
⇒ trasportati dal vento nella direzione sottovento
⇒ dispersi in senso trasversale (y) e questa dispersione, di tipo
gaussiano, è regolata dal parametro σy
⇒ dispersi in senso verticale (z) e questa dispersione, di tipo
gaussiano, è regolata dal parametro σz
σy e σz ⇒ Parametri di dispersione del modello gaussiano
In questi due parametri si vengono a riassumere tutte le
interazioni che i fumi hanno con la turbolenza del PBL sia nella
fase di emissione che nella fase di dispersione in atmosfera
⇒ Interazione con la turbolenza dell’atmosfera
Questa è l’interazione più importante e studiata e dipende dal
livello di turbolenza del PBL. Per un modello gaussiano plume, ciò
è riassunto nei due parametri di dispersione σyt e σzt.
La determinazione dei parametri di dispersione σyt e σzt può essere
condotta seguendo due metodi:
⇒ Metodo Moderno: i due parametri sono funzione dei parametri
che caratterizzano la turbolenza del PBL (u*, H0, L, zi)
⇒ Metodo Antico : i due parametri sono espressi in funzione della
Categoria di Stabilità Atmosferica
Metodo Moderno
⇒ Parametro di dispersione trasversale
12


0.25w*2
σ y = t ⋅ 
+ u*2 
 1 + 0.9 x w* ( ziU )

NB: questa relazione si può usare anche in condizioni stabili,
ponendo w* a zero.
⇒ Parametro di dispersione verticale
Situazioni Convettive:
2
σ z2 = σ zm
+ σ zc2
σ 2 zc = 0.33w*2t 2
2
2
σ zm
= σ zmu
= 1.2u*2t 2 exp[− 0.6t u* hm ]
2
2
σ zm
= σ zmu
= 1.2u*2t 2 exp[− 0.6]
per tu* / hm < 1
per tu* / hm ≥ 1
Situazioni Stabili:
2
σ z2 = σ zmu
(1+ 1.11t u* L )
N.B.
t=U/x
Metodo Antico
La turbolenza è descritta in modo bulk dalle Classi di Stabilità
Atmosferica. Sono state impiegate diverse parametrizzazioni
semiempiriche derivanti da campagne sperimentali ormai molto
antiche.
⇒ Relazioni Pasquill-Gifford.
-
derivano dalla campagna di Prairie Grass
con emissioni al suolo
con suolo piano, non urbanizzato e a bassa rugosità
con tempo di mediazione 10 minuti
fino a distanze sottovento inferiori a 1000 m.
σ y (x ) =
k1 x
[1 + (x k2 )]k3
σ z (x ) =
k4 x
[1 + (x k2 )]k5
A
B
C
D
10000
E
F
1000
A
B
10000
C
1000
sig_z (m)
sig_y (m)
D
100
E
10
10
1
1
100
1000
10000
Distanza Sottovento (m)
100000
F
100
100
1000
10000
Distanza Sottovento (m)
100000
Innalzamento del Pennacchio
All’emissione, i fumi caldi salgono verticalmente con aumento
progressivo della sezione trasversale a causa dell’inglobamento
progressivo di aria esterna;
Successivamente il plume si piega in direzione sottovento,
perdendo progressivamente la propria individualità (quantità di
moto e galleggiamento)
Al termine il plume presenta un baricentro che procede
orizzontale sottovento (altezza efficace del plume).
In pratica, ad una distanza sottovento
baricentro del plume risulta pari a:
x l’altezza
hm ( x ) = h + ∆h( x )
h
= altezza fisica del camino,
∆h = innalzamento del plume, plume rise, (variabile con x)
del
I Parametri che definiscono il plume rise sono:
⇒ Condizioni di emissione:
- velocità di emissione dei fumi w0
- temperatura dei fumi T0
Nota: questi parametri dovrebbero sempre comparire in un inventario
delle emissioni e dovrebbero essere sempre rilevati e registrati
quando tali emissioni vengono controllate direttamente.
⇒ Parametri meteorologici:
- velocità del vento U
- temperatura dell’aria Ta
- Stabilità del PBL.
Potenzialità Ascensionale del plume (Galleggiamento)
(Buoyancy Flux):
Fb = w0 r02 g
T0 − Ta
T0
Determinazione del plume rise.
⇒ Ad una distanza x > xmax il plume raggiunge una quota di
livellamento del plume ed Plume Rise all’equilibrio è pari a:
Situazioni Convettive
21.425 F03 4 U
∆h = 
35
 38.710 F0 U
a
a
xmax = 49 Fb5 8
xmax = 119 Fb5 8
se F0 < 55
se F0 ≥ 55
Situazioni Stabili
13
∆hmax
 F 
= 2.6 b 
 UN 
a
xmax = 2.0715
U
N
 g dθ 

N =  ⋅
T
dz
 a

⇒ A distanze intermedie x<xmax, il plume rise è dato da:
Fb1 3 x 2 3
∆h( x ) = 1.6
U
IL MODELLO STAZIONARIO IBRIDO
Crisi del modello gaussiano e nascita del modello ibrido
Journal of Applied Meteorology vol. 28, pp.206-224 (1989)
Several regulatory models (gaussian plume models) were tested ...
with Kincaid, Illinois, and Bull Run, Tennessee tracer datasets .... for
their performance in an “operational” or “regulatory” application, i.e.,
for their ability to predict ground-level concentrations (GLCs) for
specific averaging time -1, 2, 24 h - without regard to the validity or
accuracy of individual model components (plume rise, dispersion
parameters, etc.).
When predicted and observed concentrations at the Kincaid site were
unpaired in space and time, (such a model) predicted the maximun
hourly averaged SO2 GLC to within 30%-70%.
When the concentrations were paired in space and time, none of the
models predicted the concentration field with any accuracy, i.e. the
correlation coefficients between observed and predicted concentrations were
often negative.
S. Hanna
US-EPA + American Meteorological Society (AMS)
Comitato AERMIC
obiettivo ⇒ costruzione di un modello che:
• fosse relativamente semplice e di tipo stazionario,
• capace di simulare realisticamente le situazioni convettive
• capace di utilizzare i parametri della turbolenza atmosferica
• capace di diventare “regulatory”.
Dal Documento Finale:
“ AERMIC’s initial focus were on the regulatory models that are
designed for estimating near-field impacts from a variety of
industrial source types. The basic approch in EPA’s present
regulatory platform for near-field modeling has, with very few
exceptions, remained fundamentallly unchanged since the
beginning of the air programs some 20 years ago. During this
time, significant scientific advances have been made
which have yet to be incorpored into the basic approch.
AERMIC, formed to make a major transformation in regulatory
modeling, took a meaninful step toward this objective by
selecting ISC3 for our initial efforts.
AERMIC chose a phased approch to updating the modular
ISC3 model in the the AERMIC MODEL (AERMOD). “
Struttura del PBL convettivo e variabili di controllo.
Parametri:
⇒ Friction velocity u*
⇒ Flusso Turbolento di calore Sensibile H0
⇒ Lunghezza di Monin-Obukhov L
⇒ Altezza di Rimescolamento zi
Caratteristica principale di una situazione convettiva
La distribuzione della componente verticale w
⇒ ha media nulla,
⇒ non è gaussiana
⇒ non è simmetrica.
Dato che il modello gaussiano stazionario ipotizza per la
componente
w
della
velocità
del
vento
una
distribuzione gaussiana, è evidente la ragione per cui tale
modello fallisce nelle situazioni convettive.
⇒ La velocità verticale più probabile è negativa
⇒ Nel PBL si stabilisce un’alternanza di di flussi
verticali:
→ Updraft
(più intensi ma meno estesi)
→ Downdraft (più estesi ma meno intensi)
Crisi del concetto di quota di livellamento del baricentro.
Esperimenti in campo (campagna CONDORS - Briggs)
Risultati sostanzialmente coincidenti con quelli di laboratorio
C y ( x, z ) =
Q
2π U
⋅ (C dir + C ind )
dove la relazione per il plume diretto è:
 F ∞   − (z − Ψ − 2nz )2 
j
i
+
= ∑  j ⋅ ∑ exp
2


2σ zj
j =1 σ zj n =1 

 

2
Cdir
 − (z + Ψ j + 2nzi )2  
 
+ exp
2

 
2
σ
zj

 
e per il plume indiretto è:
 F ∞   − (z + Ψ − 2nz )2 
j
i
+
= ∑  j ⋅ ∑ exp
2


σ
σ
2
j =1  zj n =1 
zj

 

2
Cdir
 − (z − Ψ j + 2nzi )2   
 
+ exp
2


2
σ
zj

  
In definitiva si ha che:
C ( x, y , z ) = C y
 y2 
exp − 2 
2π σ y
 2σ y 
1
σ zj = σ j ⋅ x U
Ψ j = zs + w j ⋅ x U
Confronto tra Cy prodotta da:
⇒
⇒
⇒
⇒
un modello gaussiano normale,
un modello ibrido,
le simulazioni numeriche ad alta risoluzione di Lamb e
i dati di laboratorio di Willis.
Zs=zs/zi
X=x⋅⋅w*/(U⋅⋅zi)
Confronto tra le simulazioni di un modello gaussiano (in alto),
di un modello ibrido (al centro) e i risultati ottenuti in water
tank (in basso) da Perry et al. (1989)
Modelli Euleriani
Il Modello Euleriano
Il modello Euleriano è un modello differenziale basato sulle
equazioni della fluidodinamica che descrivono il PBL, in cui si
tiene conto:
-
del bilancio di massa dell’aria nel suo complesso,
del bilancio della quantità di moto
del bilancio dell’entalpia
del bilancio dell’umidità
della legge dei gas
del bilancio di ciascuna specie inquinante presente in aria.
Nelle equazioni di bilancio delle specie inquinanti presenti si
vengono a trovare due termini importanti:
- un termine di sorgente che rappresenta l’introduzione di inquinante
nel dominio di calcolo,
- un termine che rappresenta i processi di deposizione le reazioni
chimiche che hanno luogo nel PBL.
In linea di principio, il modello euleriano non distingue tra
meteorologia e dispersione degli inquinanti
Esempio Monodimensionale
per una specie chimica
∂u
∂ u ' w'
1 ∂ p
=−
+ fv−
∂t
ρ ∂x
∂z
∂v
1 ∂ p
∂ v' w'
=−
− fu−
∂t
ρ ∂y
∂z
1 ∂ Rn ∂ θ ' w '
∂θ
=
−
∂t
ρC p ∂z
∂z
∂q
∂ q' w'
=−
∂t
∂z
∂C
∂ C ∂ w'C '
= −u
−
+S
∂t
∂x
∂z
Modello Euleriano di tipo K
Tra le possibili relazioni di chiusura, sicuramente la più
utilizzata è la chiusura di tipo K:
in un punto dello spazio, il flusso della specie in una
direzione coordinata risulta proporzionale (attraverso il
coefficiente di diffusività turbolenta relativo a quella
direzione) al gradiente della concentrazione media della
sostanza in quella direzione.
Per esempio, nel caso monodimensionale, tra il flusso turbolento verticale
di sostanza ed il gradiente della concentrazione media della stessa vale la
relazione
Kzz = coefficiente di diffusività
turbolenta in direzione z
w' C ' = − K zz
∂C
∂z
Utilizzando questa chiusura, il sistema complessivo di
equazioni si separa in due modelli indipendenti:
- un modello prognostico di PBL per la ricostruzione dei
campi meteorologici medi e dei principali indicatori della
turbolenza
- un modello di dispersione (Modello Euleriano K) costituito
dalle sole equazioni di bilancio di massa delle differenti
specie
inquinanti
che,
come
unica
informazione
meteorologica, richiede il campo medio del vento ai vari
istanti di interesse.
Equazione di un generico inquinante k che costituisce il modello di
dispersione (si trascura il trasporto lungo la verticale):
Reazioni chimiche dipendenti
dalla concentrazione media
delle specie chimiche
presenti
∂ Ck  ∂ Ck
∂ Ck
∂ Ck
+ u
+v
+w
∂t  ∂x
∂y
∂z
 ∂ 
∂ Ck
 =  K xx
 ∂x 
∂x


 ∂ 
∂ Ck  ∂ 
∂ Ck 
 +  K yy
+
K
zz
 ∂y 
 ∂z 
 + S + R (C1 , C2 ,.., C N )
∂
y
∂
z





S = termine di sorgente
Se, però, si è interessati alla Chimica dell’Atmosfera e
quindi, oltre al trasporto ed alla diffusione turbolenta delle
specie inquinanti, si vogliono trattare anche le reazioni
chimiche che hanno luogo tra tali sostanze
Il problema si complica.
⇒ Si devono individuare le specie chimiche che si vogliono
considerare. Sia N il numero di tali sostanze
Per esempio: si vogliono considerare gli Ossidi di Azoto
ed una loro chimica semplificata.
Specie coinvolte:
NO, NO2
O3 e O2
⇒ Si dovranno considerare N equazioni di conservazione, una per ognuna delle specie chimiche
considerate, visto che siamo interessati alla loro
evoluzione nello spazio e nel tempo.
Per ognuna di queste equazioni dovranno essere
note le condizioni iniziali ed al contorno.
Ognuna di esse dovrà essere opportunamente
approssimata alle differenze finite e trasformata in
un problema algebrico risolubile da parte di un
computer.
Nell’esempio:
Le sostanze considerate sono 4, tuttavia l’Ossigeno presente in
aria non varierà apprezzabilmente nell’atmosfera vista la sua
abbondanza e quindi possiamo ritenerlo costante.
Quindi le sostanze cui siamo interessati sono 3: NO, NO2 e O3.
⇒ Si considerano le reazioni chimiche che coinvolgono le
sostanze considerate. Sia M il numero di tali reazioni.
Nell’esempio:
NO+O3 → NO2+O2
O+O2 → O3
NO2+hν
ν → NO+O
NO2+O → NO+O2
Costante
Costante
Costante
Costante
di
di
di
di
reazione
reazione
reazione
reazione
k1
k2
J
k3
⇒ Per ogni sostanza chimica si scrive la corrispondente
equazione differenziale ordinaria che ne esprime
quantitativamente la cinetica.
Nell’esempio: le sostanze di cui si è interessati sono 3 e le
rispettive equazioni che ne esprimono il tasso di variazione nel
tempo dovuto alle reazioni chimiche sono:
d [NO ]
= J [NO2 ] + k3 [NO2 ]⋅ [O ] − k1 [NO ]⋅ [O3 ]
dt
d [NO2 ]
= k1 [NO ]⋅ [O3 ] − J [NO2 ] − k3 ⋅ [NO2 ]⋅ [O ]
dt
d [O3 ]
= k 2 [O2 ]⋅ [O ] − k1 [NO ]⋅ [O3 ]
dt
Il modello Euleriano, in questo caso, è costituito
dall’insieme delle equazioni differenziali seguenti:
⇒ N equazioni differenziali alle derivate parziali che
esprimono la conservazione delle N sostanze e che
descrivono il loro trasporto e la loro diffusione
turbolenta
⇒ N equazioni differenziali ordinarie che esprimono le
interazioni chimiche che queste sostanze hanno tra
loro e con l’Atmosfera.
A prima vista, le N equazioni differenziali ordinarie relative alla
cinetica chimica sembrerebbero di più facile risoluzione, tuttavia
il fatto che le varie costanti di reazioni siano molto variabili tra
loro, anche di alcuni ordini di grandezza, fa sì che la soluzione
del sistema di equazioni della chimica sia molto critico e timeconsuming.
Osservazioni Conclusive
Il Modello Euleriano con chiusura K è stato molto
utilizzato in passato per ricostruire il trasporto e la
dispersione degli inquinanti su domini di grandi
dimensioni. L’avvento dei modelli lagrangiani, puff
prima ed a particelle poi, ne ha ridimensionato
drasticamente l’uso.
Ciò è dovuto principalmente alla sua limitazione logica
nel rappresentare realisticamente la situazione di
campo vicino, aggravata dal pessimo trattamento del
termine di sorgente.
Vista, però, la relativa facilità con cui è possibile
trattare le reazioni chimiche, attualmente viene
impiegato esclusivamente nel simulare la dispersione
di inquinanti chimicamente reattivi su domini di grande
dimensione.
Modello Lagrangiano a Particelle
Considerazione Preliminare
Visione macroscopica → fluido continuo il cui
stato presenta spiccate caratteristiche pseudocasuali (turbolenza) evidenti nelle irregolarità
delle misure delle principali variabili che lo
descrivono. Tali irregolarità sono ben descritte
adottando un punto di vista statistico.
Aria del PBL
Visione microscopica → insieme di molecole
di varie specie chimiche in continuo movimento
caotico (pseudo-casuale) nello spazio e nel
tempo.
Il loro movimento non può essere seguito nel
dettaglio, molecola per molecola, ma il risultato
collettivo del loro evolvere nello spazio e nel
tempo può essere catturato in un punto P(x,y,z)
e ad un istante t da una misura (euleriana) fatta
in quel punto.
Elementi di base di un Modello Lagrangiano a Particelle
(LPM)
Particelle
⇒
l’emissione di molecole in P(x0,y0,z0;t0) è simulata con
l’introduzione in P di un numero rilevante di entità
astratte (particelle), cioè di porzioni piccole ed
elementare di sostanza inquinante. Si ha che:
- ogni particella ha un volume irrilevante
- ad ogni particella emessa viene attribuita una massa Q
di sostanza inquinante
- conserva la propria massa (nessuna reazione chimica o di impoverimento per deposizione)
- ha in P(x0,y0,z0;t0) una propria velocità iniziale
- continua il proprio moto negli istanti successivi a t0
descrivendo una traiettoria nello spazio e nel tempo
- le particelle non interagiscono tra loro
- le particelle interagiscono in qualche modo con l’ambiente circostante variando la propria traiettoria istante
dopo istante
Aria del PBL
⇒
viene ancora descritta come un fluido continuo in
moto turbolento.
La sue caratteristiche sono quelle descritte dalla
Micrometeorologia e tale descrizione è di tipo
strettamente euleriano, cioè in ogni punto P(x,y,z;t)
il fluido possiede:
- un vettore velocità media e un valore medio per
le altre grandezze macroscopiche che ne definiscono
lo stato medio
- i momenti di vario ordine relativi alle variabili di
interesse (varianze delle componenti della velocità,
covarianze tra componenti della velocità e tra
queste e la temperatura)
- in qualche modo influenza la traiettoria di ogni
singola particella
Obiettivo del modello
Descrizione ad ogni istante t>t0 della traiettoria di
ogni singola particella
Le caratteristiche macroscopiche del fluido in cui sono
immesse le particelle sono quelle di un fenomeno stocastico
Ipotesi Principe di un LPM
Il movimento di ogni singola particella è la realizzazione
di un processo stocastico continuo
Processo stocastico
⇒ Un processo fisico (es. il movimento di un punto) che evolve
nello spazio e nel tempo a partire da un punto iniziale
P(x0,y0,z0;t0) in modo casuale, con ben precise caratteristiche
statistiche.
⇒ Se lo stesso processo (es. il movimento della stessa particella)
potesse ripetersi un’infinità di altre volte nelle stesse
condizioni (e per la Statistica ciò è possibile), la sua evoluzione
avrebbe infinite realizzazioni a priori diverse.
⇒ Ogni singola particella evolve nello spazio-tempo seguendo le
leggi di un processo stocastico.
⇒ La non interazione ipotizzata per le particelle comporta che i
vari processi stocastici siano tra loro indipendenti .
Logica del LPM
⇒ Le particelle vengono emesse insieme da P(x0,y0,z0;t0)
⇒ Ogni particella segue nel tempo una realizzazione di traiettoria
⇒ La traiettoria di ogni particella è a priori diversa
⇒ LPM segue ogni singola traiettoria
Vento
P(x0,y0,z0;t0)
LPM segue la traiettoria di ogni singola particella
⇒
Ad un istante t considera un punto P(x,y,z;t)
⇒
Individua, centrato su P, un piccolo volume di spazio (es. un
cubo) → volume di campionamento V
⇒
Individua quali particelle si trovano all’istante t entro il
volume di campionamento
⇒
Siano N le particelle presenti, ognuna contenente una
quantità Qi di sostanza inquinante
⇒
Si definisce concentrazione nel punto P all’istante t
N
C ( x, , y , z ; t ) =
∑ Qi
i =1
V
1
2
Volume campionamento
Cubo lato 10 m
4
3
Particella 1 → Q1 =
5 mg/m3
Particella 1 → Q2 = 10 mg/m3
Particella 1 → Q3 =
7 mg/m3
Particella 1 → Q4 = 20 mg/m3
C ( x, y , z ; t ) =
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 5 + 10 + 7 + 20 mg
=
⋅ 3 = 42µg / m3
V
10 ⋅10 ⋅10
m
LPM considera come processo stocastico
⇒ non la posizione nel tempo di una singola particella
⇒
ma la sua velocità nel tempo.
Traiettoria nello Spazio delle Fasi (x,y,z,up,vp,wp;t)
Ogni singola componente della velocità è un processo
stocastico
NB. Per semplicità, si ipotizzi che non ci siano interdipendenze tra le
varie componenti della velocità della particella che considereremo
processi stocastici distinti e indipendenti.
Modellizzazione di una generica componente (es. up) della
velocità di una particella
Processo stocastico up
u p ( x, y, z; t ) = u p ( x, y, z; t ) + u 'p (x, y , z; t )
Ipotesi A
La particella si trova immersa nell’aria
e, in media, viene trascinata dal
moto medio dell’atmosfera
Componente Deterministica
up = u
u = velocità media eureliana dell' aria
Ipotesi B
La fluttuazione è propria della
particella e dipende:
- dalla sua storia passata
- dal livello di turbolenza propria
dell’aria circostante
Componente Stocastica
Studio della parte stocastica di una componente della
velocità di una particella
Modello Semplificato
⇒ la particella viene trasportata orizzontalmente dal moto
medio delle masse d’aria (Trasporto deterministico)
u p ( x, y, z; t ) = u p ( x, y, z; t ) = u ( x, y, z; t ) ⇒ u 'p ( x, y, z; t ) = 0
v p ( x, y, z; t ) = v p ( x, y, z; t ) = v( x, y, z; t ) ⇒ v 'p ( x, y, z; t ) = 0
⇒ La particella presenta una traslazione nulla in verticale e
fluttua stocasticamente in verticale
w p ( x, y , z; t ) = w'p ( x, y, z; t )
wp = 0
Processo stocastico w’p
⇓
Dipende dalla storia della particella
Ipotesi C
Processo Stocastico di tipo Markoviano
Il futuro è determinato solo dal presente ed è
indipendente dal passato
(processo senza memoria)
Al processo stocastico w’p si applica direttamente la Teoria
dei Processi Stocastici Markoviani
Al tempo t una particella possiede una fluttuazione di
velocità verticale wp(t)
Secondo la Teoria dei Processi Markoviani, wp al tempo t+dt
(dt intervallo di tempo piccolo) è data dall’Equazione di
Langevin
dw p = w p (t + dt ) − w p (t ) = aw (z , w p , t )⋅ dt + bw (z , w p , t )⋅ dξ
Coefficiente di Drift
Coefficiente di diffusione
Processo Incrementale di
Wiener
Processo stocastico gaussiano
a media nulla e varianza dt.
aw(z,w,t)⋅⋅dt
→ termine deterministico dipendente solo da dt
bw(z,w,t)⋅⋅dξ
ξ
→ termine stocastico dipendente dalla variabile
stocastica dξ
ξ che a sua volta dipende da dt
Risultatati della Simulazione Monte Carlo
Velocità verticale (m/s)
4
3
2
Andamento nel tempo
della velocità verticale
della particella
1
0
-1
-2
-3
-4
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Tempo (s)
Commento
Il modello descrive effettivamente
un processo di diffusione. Se si
riuscisse a porre in relazione aw e
bw alla turbolenza del PBL, sarebbe
possibile ottenere un modello di
dispersione utilizzabile
900
1000
Distribuzione delle
particelle nello spazio
bidimensionale (x,z)
Il modello risulta promettente, ma per usarlo, è
indispensabile
individuare un modo per determinare
i termini aw(z,w,t) e bw(z,w,t)
Tale modo dovrebbe poter consentire di sfruttare al meglio la
conoscenza statistica dell’aria del PBL
Determinazione di bw
bw = C0ε
E’ stato quindi possibile individuare un’espressione del tutto
generale per il Coefficiente di Diffusione bw che dipendente
solo da ε, parametro fondamentale della turbolenza del PBL
Determinazione di aw
L’espressione di aw dipende dal tipo di turbolenza presente
nel PBL. La situazione più semplice è quella di una
turbolenza gaussiana. In questo caso si ha che:
Cε 
aw = − 0 2  ⋅ w
 2σ w 
Note le espressioni di aw e bw, l’equazione di Langevin
può essere impiegata veramente per la determinazione
(numerica) della traiettoria di ogni singola particella
emessa.
 C0ε

w(t + ∆t ) = 1 − 2 ⋅ ∆t  ⋅ w(t ) + C0ε ⋅ dξ
 2σ w

Primo Modello Utilizzabile
Modello Monodimensionale di
Dispersione Verticale delle particelle
⇒ Metodo di simulazione di tipo Monte Carlo
⇒ Basato sull’applicazione discreta dell’equazione di
Langevin relativa alla componente verticale w della
velocità delle particelle
N.B. Il risultato che si ottiene da una Simulazione Monodimensionale è la
distribuzione in verticale della concentrazione di un inquinante
integrata nella direzione trasversale rispetto alla direzione di
provenienza del vento
1000
Altura (m)
800
600
400
200
1000
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Distancia de la chimenea (m)
800
600
Un esempio di
Simulazione
Monodimensionale
400
200
1000
2000
0
1
1
3000
2
3
4
4000
5
8
10
15
5000
16
18
20
6000
25
30
40
7000
60
8000
14000
Modello Tridimensionale
Nella realtà → movimento di particelle nello spazio 3D
Teoria 3D ⇒ Molto complessa
In pratica, il movimento di ogni particella è descritto:
⇒ Dal valore delle 3 componenti medie della velocità della
particella (è il moto traslazionale della particella dovuto
al campo medio del vento)
⇒ Dalle 3 equazioni stocastiche che ne definiscono le
fluttuazioni (è la conseguenza combinata della storia
pregressa della particella e dell’azione della turbolenza
dell’aria incontrata nel suo cammino)
⇒ Dalle 3 equazioni cinematiche che definiscono lo
spostamento della particella nell’intervallo temporale dt.
Nel dettaglio, una particella con un moto di traslazione
dovuto alla velocità
(u, v, w)
avrà fluttuazioni di velocità date dalle equazioni di Langevin
u (t + dt ) = u (t ) + au dt + bu dξ
v(t + dt ) = v(t ) + av dt + bv dξ
w(t + dt ) = w(t ) + aw dt + bw dξ
e la sua posizione al tempo t+dt sarà data da
[
]
y (t + dt ) = y (t ) + [v(t + dt ) + v(t + dt )]⋅ dt
z (t + dt ) = z (t ) + [w(t + dt ) + w(t + dt )]⋅ dt
x(t + dt ) = x(t ) + u (t + dt ) + u (t + dt ) ⋅ dt
Le espressioni dei vari coefficienti presenti nelle equazioni
di Langevin sono molto complesse.
Semplificazione
Approssimazione Quasi-Tridimensionale
⇒ Le fluttuazioni u, v, w della velocità della particella sono
tra loro indipendenti;
⇒ Le componenti orizzontali u e v avranno coefficienti au,v e
bu,v congruenti con una turbolenza gaussiana, omogenea
e stazionaria;
⇒ La componente verticale w avrà coefficienti aw e bw
congruenti o con una turbolenza gaussiana non
omogenea o con una turbolenza non gaussiana a seconda
del grado di convettività
Realisticità di una simulazione LPM
Non è mai agevole e semplice verificare l’attendibilità
della simulazione operata da un modello ed in questo il
Modello Lagrangiano a Particelle non fa eccezione.
Questo è dovuto principalmente alla penuria e povertà
della maggior parte dei data-set sperimentali disponibili
allo scopo.
Si presenta, a titolo di esempio, il confronto tra la
concentrazione integrata lungo la direzione trasversale
ottenuta da un tipico LPM (non dei più moderni) ed i
celebri ed affidabili risultati ottenuti da Willis e Deardorff
in laboratorio, tutte in condizioni convettive e relative a
rilasci da una sorgente punto a varie quote.
Risultati molto buoni
Se:
⇒
è noto il vento medio ed i principali indicatori della
turbolenza del PBL in ogni punto dello spazio e ad ogni
istante di interesse (anche nelle situazioni ad orografia
complessa)
⇒
il modello a particelle produce una descrizione realistica
del fenomeno della dispersione degli inquinanti in aria.
Questo è probabilmente l’unico modello, attualmente, in
grado di rappresentare realisticamente la dispersione in
condizioni fortemente convettive.
Presenta ancora qualche difficoltà l’inserimento nel modello
di reazioni chimiche e fotochimiche.
Alcuni Esempi
di applicazione di un
Modello Lagrangiano a Particelle
CIPA – Simulazione di prova MINERVE – SPRAY
31/5/2001 00:00 - 1/6/2001 00:00
Campi di concentrazione e vento orari al suolo
CIPA - Simulazione di prova
31/5/2001 00:00 - 1/6/2001 00:00
Particelle e concentrazioni al suolo – immagini orarie
PROGETTO ERAS
simulazione footprint del Termovalorizzatore di S. Vittore
MinerveObstacles +
MicroSpray
Canyon stradale
Una delle ragioni principali per lo studio, il controllo e la
previsione dell’inquinamento atmosferico è la sua influenza
negativa sulla salute umana e sulla vivibilità dell’ambiente,
soprattutto quello dei centri urbani.
Per poter ottenere utili informazioni in proposito e per poter
meglio predisporre il controllo della qualità dell’aria nei
centri urbani è necessario scendere di scala e descrivere
modellisticamente:
⇒ I flussi d’aria e la distribuzione spaziale all’interno delle
strutture urbane
⇒ La distribuzione altamente disuniforme (nello spazio e nel
tempo) della distribuzione degli inquinanti in aria.
Flow reconstruction
and pollutants dispersion
around Duomo di Firenze
Intro
Simulation conditions
Calculation domain: 300 x 165 x 120 m
Grid resolution: 3 m (horizontal) 5 m (vertical)
Calculation time step: 0.5 sec
Duration: 2.5 hours
Neutral conditions
Emission: passive scalar from road
Background concentration
www.operaduomo.firenze.it
Simulation conditions
Streamlines (10m) and concentration fields (ground)
Total elapsed time = 1 h
Stream
m &step
conc=0m
- movie
Frames10time
100
sec
Vertical streamlines and concentrations
across the cathedral
Total elapsed time = 1 h
Vertical
& conc,
cathedral
Framesstream
time step
= 100
sec - movie
Streamlines and 3D concentration plumes
Total elapsed time = 1 h
3D
stream
& conc
Frames
time
step- movie
= 100 sec
Concentrations on front face
Total elapsed time = 1 h
Conc
on front
Frames
time face
step–=movie
100 sec
Campagna di via D’Azeglio, Bologna
Settore centrale, canyon stradali molto
stretti
20 giorni circa (14/11/2003 – 4/12/2003)
Misure orarie-giornaliere di diversi
inquinanti (PM10, Benzene, NOx) in aree
pedonali e di traffico
Episodi di elevato inquinamento
Disponibilità di dati meteo
City
AreaofofBologna
interest
Main traffic
Pedestrian area
San Petronio
Cathedral
Concentration
measurements
Local meteo
measurements
(sonic anemometers)
Domain and grids
220 x 600 x 1000 m3
∆yground)
= 2m = 1.5m
∆z (close∆x
to =the
N
µg/m3
Comparisons in the traffic area
Benzene Concentration via Farini
MSS
Measured
Benzene Concentrationvia Rizzoli
daily average
MSS
Measured
14
20
12
15
10
10
5
0
1
3
5
7
9
11 13
15
17 19
21
23
30
25
8
15
6
10
4
5
2
0
1
Via Farini
3
5
Measured
Measured
600
9
11
13
15
17
19
21
23
hour
NOx Concentration via Rizzoli
daily average
700
7
Via Rizzoli
NOx
NOx concentration via Farini
MSS
MSS
Measured
700
600
400
500
500
300
200
100
ug/m3
300
400
ug/m3
ug/m3
20
0
hour
MSS
MSS
ug/m3
25
ug/m3
ug/m3
30
benzene
200
100
0
3
5
7
9
11
13
hour
15
17
19
21
23
300
200
100
1
400
0
0
1
Via Farini Via Rizzoli
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23
hour
Grazie per l’attenzione.