Esercizi - Dipartimento di Matematica

Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica
anno accademico 2015/2016 – corso A-L (G. Gaeta & N. Bressan)
Esercizi – Foglio 8 (Probabilità)
Esercizio A.
1. In un esperimento si usano tre topi scelti tra 40 a disposizione del laboratorio. Quante scelte sono possibili?
2. In un esperimento si usano due gatti maschi e due femmine; il laboratorio
ne ha a disposizione 10 maschi e 7 femmine. Quante diverse scelte sono
possibili?
3. Determinare quanti anagrammi (anche di senso non compiuto) esistono
per le seguenti parole: case, libro, mamma, pappagallo.
4. Supponendo che le nascite di maschi e femmine siano in proporzione 1:1,
qual è la probabilità che una famiglia con cinque figli abbia: (a) tutti
maschi; (b) almeno un maschio; (c) non più di due maschi; (d) un solo
maschio.
5. Si decide di gettare per 24 volte due dadi (non truccati). Si può scommettere su due eventi: (A) che non esca mai un doppio sei; (B) si presnta
almeno una volta un doppio sei. Su cosa conviene scommettere?
Esercizio B.
1. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilità che la
somma dei punti sia uguale a 5.
2. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilità che la
somma dei punti sia uguale a 7.
3. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilità che la
somma dei punti sia uguale a 11.
4. Una lotteria ha 100 biglietti, ed assegna 5 premi. Se si acquistano 3
biglietti, qual è la probabilità di vincere almeno un premio?
5. Si tira un dado per 5 volte. Qual è la probabilità che almeno uno dei lanci
dia un 6?
6. Si tira un dado per 5 volte. Qual è la probabilità che almeno uno dei lanci
non dia un 6?
7. La probabilità di indovinare la risposta di un esercizio di Matematica senza
aver studiato è 0.0025. Quanti esercizi un tale studente deve svolgere
1
(senza copiare) perché ci sia una probabilità del 70 per cento che almeno
in uno dia la risposta corretta?
8. Un sistema di circolazione dell’aria è sostenuto da quattro pompe, ognuna
delle quali è in ogni momento guasta con probabilità 0.9. Sapendo che
il sistema può funzionare correttamente anche con una sola pompa in
funzione, qual è la probabilità che il sistema non sia in grado di funzionare?
9. Alla fiera degli “o bej o bej” due studenti tirano contemporaneamente
sullo stesso bersaglio. Sapendo che il primo ha una probabilità 0.6 di fare
centro ed il secondo una probabilità 0.7, qual è la probabilità che almeno
uno colpisca il bersaglio?
10. Nella situazione dell’esercizio precedente, se il bersaglio viene colpito da un
solo colpo, qual è la probabilità che sia stato colpito dal primo studente?
Esercizio C.
1. La probabilità di colpire un bersaglio è 0.6 per ogni colpo; qual è la probabilità di fare almeno un centro con tre colpi?
2. Due scatole contengono cioccolatini fondenti ed al latte con la stessa confezione. Nella scatola A i cioccolatini fondenti sono il 40 %, nella scatola
B il 30 %. Se si prende un cioccolatino da ognuna delle due scatole, qual
è la probabilità che ambedue siano fondenti?
3. E che ambedue siano al latte?
4. Un meccanismo è composto di tre parti, A, B e C, e tutte e tre devono
funzionare affinché il meccanismo funzioni. Sapendo che in fase di produzione la parte A è difettosa con probabilità 0.008, la parte B con probabilità 0.012 e la parte C con probabilità 0.01, qual è la probabilità che il
meccanismo non funzioni?
5. In un magazzino esistono 400 componenti elettroniche che svolgono la
stessa funzione; di queste 180 sono di prima qualità (e si guastano con
probabilità 0.001), 120 di seconda qualità (e si guastano con probabilità
0.005) e 100 di terza qualità (e si guastano con probabilità 0.01). Prendendo un componente a caso, qual è la probabilità che si guasti?
Esercizio D.
1. In un villaggio, 35 persone hanno sangue del gruppo A, 47 del gruppo B,
21 del gruppo AB e 4 del gruppo O. Qual è la probabilità che un individuo
scelto a caso abbia sange del gruppo AB? E del gruppo O?
2. Si sa che in una popolazione i gruppi sanguigni (classificati secondo al
presenza di antigeni A e/o B) hanno le frequenze
f (A) = 0.35, f (B) = 0.42, f (AB) = 0.18, f (O) = 0.05 .
2
Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso abbia l’antigene A? E
l’antigene B?
3. Scegliendo due persone a caso, qual è la probabilità che una abbia gruppo
A e l’altra gruppo B?
4. Le probabilità di essere sordi o ciechi alla nascita sono P (S) = 0.005,
P (C) = 0.0085; quella di essere sia sordi che ciechi è P (SC) = 0.0006.
Quale è la probabilità di essere ciechi e/o sordi?
5. Un raggio di neutroni irraggia due strati di tessuto biologico. La probabilità che un neutrone sia assorbito dal pirmo strato è 0.08, che (dopo
esser passato dal primo senza essere assorbito) sia assorbito dal secondo
strato è 0.15. Qual è la probabilità che un neutrone passi attraverso i due
strati senza essere assorbito?
Esercizio E.
1. Determinare per quali valori del parametro A ∈ R la funzione
f (x) = A x e−x
2
/2
rappresenta una densità di probabilità su I = [0, ∞).
2. Se f (x) del punto precedente (con il valore di A determinato risolvendolo)
rappresenta la densità di probabilità per x, qual è la probabilità che sia
1 ≤ x ≤ 2 ? E che sia x > 10 ?
3. Determinare per quali valori del parametro A ∈ R la funzione
2
f (x) = (x2 − A2 ) e−x
/2
rappresenta una densità di probabilità su I = (−∞, ∞).
4. Determinare per quali valori dei parametri reali A e B la funzione
f (x) = A (x2 − B 2 ) e−x
2
/2
rappresenta una densità di probabilità su I = (−∞, ∞).
5. Per f (x), A e B come nell’esercizio precedente, qual è la probabilità di
avere x ≥ 0 ?
3