23 Febbraio 2011
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23 Febbraio 2011
6o Appello – 23/02/2011 1 RICERCA OPERATIVA (a.a. 2009/10) 1) Si applichi l’algoritmo di Kruskal per determinare un albero di copertura di costo minimo sul grafo in figura. Per ogni iterazione si indichino l’arco in esame e se viene applicata l’operazione di inserzione oppure no: nel primo caso mostrare un taglio che certifichi la validità dell’operazione, nel secondo fornire il ciclo individuato dall’algoritmo. Al termine fornire l’albero di copertura di costo minimo individuato. Tale soluzione ottima è unica? Giustificare la risposta. 7 5 1 8 5 1 6 3 2 4 7 6 2 5 4 3 7 6 2) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile riportato sia di costo minimo, ed in caso negativo si determini un altro flusso ammissibile di costo minore inviando flusso lungo un opportuno ciclo. Infine, si modifichi il costo di uno o più archi in modo tale che se anche questo nuovo flusso non è di costo minimo lo diventi, mentre se lo è non lo sia più. Giustificare le risposte. 2 2 x ij ,u ij,c ij bj j 1 3 0,1,2 5, −1 5 −3 2, 3 3, 1, 0,3,4 i 1, 3 1, 2, −3 1 2,4,3 bi 1,1,1 1 3, 4 1 3) Si risolva il problema di PL max −x1 −x1 −x1 −x1 − 2x2 + x2 x2 − x2 − x2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 6 4 2 0 2 mediante l’algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l’indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l’indice entrante, giustificando le risposte. 6o Appello – 23/02/2011 2 4) Si risolva graficamente il problema di PL indicato in figura, utilizzando l’algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l’indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori yB e ηB , l’indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre la degenerazione, sia primale che duale, delle basi visitate dall’algoritmo. A4 A3 A5 A2 c A1 5) La rockstar newyorkese Sarah Stones sta pianificando il suo prossimo tour europeo. La sua manager Mary ha raccolto le richieste dei vari promotori locali: sono giunte n richieste di concerto, i = 1, . . . , n, ciascuna caratterizzata da una località e da una data di svolgimento gi . Mary passa i dati al tour manager Dale per la decisione di quali richieste accettare: oltre al compenso pi promesso, deve considerare il costo fisso C di trasferimento del materiale, dei musicisti e dei tecnici da New York all’Europa ed il medesimo costo per il ritorno, i costi degli spostamenti nonché i vincoli temporali e spaziali. I TIR con il materiale e l’autobus del personale non possono percorrere più di 800 chilometri al giorno, ed è necessario essere nella località di un concerto fin dalla sera prima per montare il palco ed effettuare le prove. Dale elabora la tabella delle distanze dij tra le località dei possibili concerti i e j e valuta in cij il costo del relativo trasferimento. Aiuta Dale formulando in termini di PLI il problema di decidere se effettuare il tour, ed in caso affermativo quali concerti tenere, massimizzando il profitto totale dato dalla differenza dei compensi incassati e dei costi di trasferimento nel rispetto dei vincoli temporali e spaziali. 6) Si risolva la seguente istanza di TSP 2 4 6 5 1 6 8 4 9 3 10 2 2 mediante un algoritmo di B&B che usa: MS1T come rilassamento, nessuna euristica, ed effettua il branching come segue: selezionato un nodo i col più piccolo valore r > 2 di archi dell’MS1T in esso incidenti, crea r(r − 1)/2 figli corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r − 2 di tali archi. Si visiti l’albero delle decisioni a ventaglio, e si inseriscano in coda i figli di un nodo i dell’albero delle decisioni in ordine crescente del nodo j del corrispondente arco (i, j) la cui variabile è fissata a zero (nel caso risulti r = 3). Per ogni nodo dell’albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Si esplorino solamente i primi due livelli dell’albero delle decisioni (la radice conta come un livello); se ciò non è sufficiente a risolvere il problema, si indichi il gap relativo ottenuto, giustificando la risposta.