Equivalenza di solidi e Volumi Nel piano

Equivalenza di solidi e Volumi
Postulati dell’equivalenza tra solidi:
Concetto primitivo : estensione spaziale
1- due solidi uguali sono anche equivalenti (non
viceversa)
Esemplificazione intuitiva: recipienti e liquidi.
2- l’equivalenza tra solidi è una relazione di
equivalenza (simmetrica, riflessiva e transitiva)
Due solidi aventi la stessa estensione si dicono
equivalenti (suvvalenti o prevalenti).
Dati due solidi A e B (che si intersechino al più in
punti della loro superficie, ma non in punti interni) si
definisce somma A+B il solido costituito da tutti i
punti di A e di B. Se un solido C si può decomporre
nella somma di due solidi C = A+B allora B si
definisce solido differenza di A e C.
3- dati due solidi qualsiasi A e B si verifica sempre
uno dei tre casi (A equiv.B, A suvv.B, A prev.B) e
ciascuno esclude gli altri due
4- somme o differenze di solidi equivalenti sono
equivalenti
5- la somma di più solidi gode della proprietà
commutativa e associativa.
Nel piano:
Il metodo usato usualmente nei libri di testo della
scuola secondaria superiore per passare dal concetto
di equivalenza a quello di area (con relative
formule…) segue la seguente traccia:
1
2
- si considerano i poligoni (convessi)
- si introduce tra questi una relazione di equivalenza
che deriva dalla nozione di equiscomponibilità (due
poligoni P e Q sono equiscomponibili se è possibile
scomporre entrambi nello stesso numero finito di
parti poligonali uguali, nel senso della
sovrapponibilità)
- si dimostra (teorema) che ogni poligono è
equiscomponibile con un opportuno rettangolo di
cui un lato è arbitrariamente scelto e il secondo
fissato di conseguenza.
- per estendere rigorosamente la nozione di area al
caso di figure non poligonali si deve fare ricorso a
strumenti di analisi matematica (classi contigue,
limite, estremo superiore ed estremo inferiore,
intergrali…)
Nello spazio:
Se si vuole ripristinare un percorso parallelo a quello
del caso piano, si devono fare le seguenti
osservazioni:
- si considera un famiglia di solidi sui quali applicare
la stessa definizione di equivalenza come
equiscomponibilità: i prismi.
- già con le piramidi è necessario introdurre metodi
infinitesimali: infatti esistono coppie di tetraedri
(piramidi a base triangolare) equivalenti che non
sono equiscomponibili (terzo problema di Hilbert, e
teorema di Dehn-Hadwiger- Boltyanskii sulle
condizioni per l’equiscomponibililtà).
Ricapitolando si affronta il problema di determinare il
volume dei solidi studiati fino ad ora nei seguenti
modi:
Prismi: si ricorre ad un procedimento di
equiscomponibilità (con parallelepipedi di cui si sa
calcolare il volume una volta fissata come unità di
misura il volume di un cubo di spigolo unitario)
analogo a quello utilizzato nel caso piano per i
poligoni.
3
4
Cilindri: il problema tridimensionale viene ricondotto
al problema bidimensionale di approssimare le
circonferenze di base del cilindro con poligono
inscritti e circoscritti e poi il cilindro con prismi di
uguale altezza costruiti con i poligoni utilizzati per le
basi.
Principio di Cavalieri
Se due solidi possono essere posti su di un piano α, in
modo che le sezioni generate da tutti i piani paralleli
ad α siano figure equivalenti, allora i due solidi sono
Piramidi e poliedri: il problema sta nel non poter
utilizzare l’equiscomponibilità, già per un tetraedro.
equivalenti.
In questo caso sono possibili vari approcci didattici:
- verifica sperimentale (contenitori e liquidi)
- dimostrazione con il “Principio di Cavalieri”
(teorema)
- scaloidi inscritti e circoscritti (prelude al calcolo
intergrale)
- calcolo integrale
Coni: si approssima il volume del con quello di
piramidi inscritte e circoscritte.
Sfera: principio di Cavalieri applicato alla scodella di
Galileo
5
6
Osservazione:
sono forti i rischi di fraintendendimento. Per esempio
il principio non vale per figure unidimensionali del
piano comprese tra due rette parallele né per figure
bidimensionali del piano comprese tra due piani
paralleli:
Infatti basta collocare i due prismi sopra uno stesso
piano α in modo tale che stiano nello stesso
semispazio individuato da α. Le sezioni con un piano
parallelo ad α sono uguali alle rispettive basi e quindi
equivalenti e dal Principio di Cavalieri sono
equivalenti i solidi.
Equivalenza tra prismi
Corollario: un prisma qualunque è equivalente a un
parallelepipedo rettangolo di base equivalente e di
uguale altezza.
Il seguente teorema discende immediatamente dal
Principio di Cavalieri:
Questo teorema (e di conseguenza il corollario ) si
possono dimostrare direttamente…..
Teorema: prismi di base equivalenti e di uguali
altezze sono equivalenti
7
8
Siano ABC..H e A’B’C’..H’ due parallelepipedi
aventi uguale le basi ABCD e A’B’C’D’ e le
corrispondenti altezze. Per dimostrare che sono
equivalenti pensiamo di spostare il secondo
parallelepipedo sul primo in modo che la sua base si
sovrapponga a quella del primo e i due
parallelogrammi si trovino dalla stessa parte rispetto
alla base. Il secondo parallelepipedo in questa sua
nuova posizione avrà vertici ABCDE˝F˝G˝H˝.
Per dimostrare che questo è equivalente al primo
consideriamo le facce EFGH e E˝F˝G˝H˝ opposte alla
base comune, che sono uguali perché entrambe uguali
ad ABCD, e sono nello stesso piano perché le altezze
sono uguali.
Se le due facce coincidessero, coinciderebbero anche i
parallelepipedi e dunque il teorema sarebbe
dimostrato.
Escluso questo caso, i due parallelogrammi EFGH e
E˝F˝G˝H˝ sono uguali, nello stesso piano e hanno i lati
ordinatamente paralleli, perché paralleli a quelli di
ABCD. I lati possono essere compresi tra le due stesse
parallele o no. Da qui si deducono tre possibilità:
1- le due facce sono comprese tra le stesse parallele
FE˝ e GH˝ :
da qui segue che i due
parallelepipedi ABC..H e
ABC.. H˝ sono compresi tra i
due piani paralleli ADE˝ e
BCH˝, e se le due facce
EFGH e E˝F˝G˝H˝ hanno in
comune un parallelogramma
EF˝G˝H (che può anche
ridursi ad un segmento), i
due parallelepipedi hanno in
comune il prisma che ha per
base ADEF˝ e come spigolo
laterale il segmento AB, mentre le due parti rimanenti
sono i due prismi triangolari AF˝FGBG˝ e
DE˝EHCH˝ che, avendo le facce ordinatamente uguali
9
10
Teorema: due parallelepipedi aventi uguale una base
e la relativa altezza sono fra loro equivalenti
sono uguali. Quindi i due parallelepipedi come somma
di parti uguali sono uguali.
Non trattiamo gli altri due casi:
Idea nel caso di due prismi triangolari con le basi
uguali:
2- facce comprese tra due parallele ma senza punti in
comune
3- facce non comprese tra due parallele.
Si dimostra poi il seguente
Preso G punto medio dello spigolo AB, e costruito il
parallelogramma ACMG, si dimostra che i due prismi
triangolari HPFGBN e PDLMNC sono uguali e
quindi il prisma di partenza è equivalente al
parallelepipedo EHLDAGMC. Facendo la stessa
costruzione per il secondo prisma si trova che è
equivalente ad un parallelepipedo che ha base ed
altezza uguali a quello determinato per il primo
prisma e pertanto è ad esso equivalente (teorema
precedente).
Teorema: due prismi qualsiasi con le basi equivalenti
e uguali altezze sono equivalenti.
Se si considerano due prismi qualsiasi, con le basi
equivalenti B e B’ e le altezze uguali, dal fatto che due
poligoni equivalenti si possono decomporre nello
stesso numero di triangoli uguali, otteniamo che i due
11
12
prismi si possono decomporre nello stesso numero di
prismi triangolari con le basi uguali e le stesse altezze
e quindi equivalenti per la prima parte del teorema.
Equivalenza tra piramidi
Sempre da Principio di Cavalieri segue il:
Teorema: piramidi di basi equivalenti e di uguali
altezze sono equivalenti
Collochiamo le due piramidi sopra uno stesso piano α
in modo tale che stiano nello stesso semispazio
individuato da α. Se le basi sono equivalenti, lo sono
pure le sezioni con un piano parallelo ad α (sono
poligoni simili alle rispettive basi….) e quindi i due
solidi risultano equivalenti e dal Principio di Cavalieri
sono equivalenti i solidi.
Volume della piramide
Teorema: Una piramide è equivalente alla terza parte
di un prisma di uguale base e di uguale altezza.
Consideriamo la piramide a base triangolare OABC.
Dal vertice O conduciamo il piano parallelo alla base
ABC e dai punti B e C le parallele allo spigolo OA
fino a intersecare il piano tracciato nei punti E e D. In
questo modo si ottiene un prisma triangolare che ha la
stessa base ABC del tetraedro
(prisma e piramide sono compresi tra piani paralleli).
Il
prisma
risulta
costruito
somma
del
tetraedro dato e di una
piramide
a
base
quadrangolare BCDE e
vertice O.
13
e la stessa altezza
14
Consideriamo il piano passante per le due rette OB e
OD: esso divide la piramide quadrangolare in due
e si decompone quindi la
piramidi triangolari, una di base BED e vertice O e
piramide nella somma di
l’altra di base BCD e vertice O. Le basi sono uguali
piramidi a base triangolare
perché BD è diagonale del parallelogramma BCDE, le
che sono equivalenti ad un
altezze sono uguali perché in comune (distanza di O
terzo di prisma….
dal piano BCDE), quindi le due piramidi sono
equivalenti. Se consideriamo il tetraedro OED con
base il triangolo OED e vertice B, si vede che è
equivalente al tetraedro dato perché ha base uguale e
uguale altezza.
Concludendo, il prisma triangolare è somma di tre
piramidi equivalenti tra loro e perciò ciascuna di esse
è equivalente alla terza parte del prisma con uguale
base e uguale altezza.
Se infine si considera una piramide qualunque, ci si
può ricondurre al caso di un tetraedro. Infatti si può
triangolare la base tracciando e diagonali da uno dei
vertici,
15
16
Volume della Sfera
Il volume della sfera di raggio r si ottiene prendendo i
4/3 del prodotto del cubo del raggio per π.
Lo si può dimostrare con il Principio di Cavalieri.
Consideriamo in un piano un semicerchio di raggio
AB = 2r e, tracciato il raggio OH perpendicolare ad
AB, si conducano per A,B e H le tangenti al
semicerchio, che determinano il rettangolo ADCB di
base 2r e altezza r.
Facendo ruotare questa figura
attorno ad OH, il rettangolo
ABCD descrive un cilindro
con il raggio della base e
l’altezza uguali ad r; il
triangolo rettangolo isoscele
ODC descrive un cono che
ha pure raggio di base ed
altezza uguali ad r, e quindi è
equivalente ad un terzo del
cilindro ottenuto.
Infine il semicerchio descrive un emisfero di raggio r.
17
Se si toglie dal cilindro l’emisfero si ottiene un solido
(la scodella di Galileo), e vogliamo mostrare che
questa scodella è equivalente al cono costruito.
Per il principio di Cavalieri basta mostrare che sono
equivalenti le sezioni determinate, nel cono e nella
scodella, dal piano perpendicolare al segmento OH in
un qualsiasi suo punto E.
Questo piano taglia il piano della figura secondo una
parallela ad AB e, denotando con F,G,L le sue
intersezioni con AD, con l’arco AH e con OD, la
sezione del cono è la circonferenza di raggo EL, la
sezione della scodella è la corona circolare compresa
tra le due circonferenze, concentriche in E, di raggi EF
ed EG.
Pertanto si tratta di dimostrare che
π EL2 = π EF2 - π EG2
cioè
EL2 = EF2 - EG2
Osserviamo che il triangolo rettangolo ELO ha gli
angoli acuti di 45° e quindi EL=EO, mentre
congiungendo O con G, e applicando il teorema di
Pitagora si ottiene:
18
EO2 = OG2 - EG2
Ma, essendo OG = EF = r, e EO = EL, la relazione
sopra diventa
EL2 = EF2 - EG2
Quindi l’equivalenza è dimostrata.
Per ricavare il volume della sfera basta considerare
che, avendo dimostrato che il volume del cono è
uguale a quello della scodella,
Vol(scod.)=Vol(cono)=Vol(cilindro)-Vol (emisfero)
e quindi
Vol(emisfero)=Vol(cilindro)-Vol (cono)
ed essendo il volume del cono 1/3 del volume del
cilindro, segue
Vol(emisfero)=2/3 Vol(cilindro)
Vol(sfera)=4/3 Vol(cilindro)= 4/3 (r)( πr2)
19