Equazioni di grado superiore al secondo. Soluzione degli esercizi

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JJ
II
J
I
Equazioni di grado superiore al secondo.
Soluzione degli esercizi proposti.
Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
Pagine 1 di 30
Abstract
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Lo scopo di questo lavoro è quello di proporre esercizi
relativi alle equazioni di grado superiore al secondo e le loro
soluzioni.
Pieno Schermo
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Esci
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Esercizi Proposti e loro soluzione
Titolo della Pagina
Esercizio 1
Contenuti
Risolvere l’equazione
JJ
II
J
I
8x3 − 14ax2 − 5a2 x + 2a3 = 0
sapendo che ammette la soluzione x = 2a.
Soluzione
Pagine 2 di 30
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Pieno Schermo
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Il polinomio, poichè ammette x = 2a come soluzione, è divisibile
per il fattore (x − 2a). Calcoliamo con la regola di Ruffini il polinomio risultante.
8 −14a −5a2
2a
16a
4a2
8
2a
−a2
2a3
−2a3
−
L’equazione diviene quindi
Esci
(x − 2a)(8x2 + 2ax − a2 ) = 0
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Oltre a x = 2a, le altre due soluzioni provengono dal secondo
fattore. Per calcolarle lo poniamo uguale a zero.
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(8x2 + 2ax − a2 ) = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 3 di 30
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Pieno Schermo
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Esci
Il ∆ è pari a 4a2 − 4 · 8 · (−a2 ) = 4a2 + 32a2 = 36a2 .
√
−2a ± ∆
−2a ± 6a
x2,3 =
−→ x2,3 =
16
16
Le tre soluzioni sono quindi
x1 = 2a;
a
x2 = − ;
2
x3 =
a
;
4
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Esercizio 2
Trovare le soluzioni reali dell’equazione
Titolo della Pagina
x4 − x3 − x2 − x − 2 = 0
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
Notiamo che l’equazione è soddisfatta sostituendo al posto
dell’incognita il valore x = −1. Il polinomio deve essere allora
divisibile per il fattore (x + 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo
il polinomio risultante.
Pagine 4 di 30
−1
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Pieno Schermo
Chiudi
Esci
1 −1 −1 −1 −2
−1 2 −1 2
1 −2 1 −2 −
L’equazione diventa quindi
(x + 1)(x3 − 2x2 + x − 2) = 0
Tra le possibili soluzioni del secondo polinomio possiamo provare a
sostituire ancora x = ±1, ma con scarso successo. Il valore x = 2
provoca invece l’annullamento del secondo fattore. Questo vuol
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dire che possiamo dividere il secondo fattore per (x − 2). Con la
regola di Ruffini calcoliamo il polinomio risultante.
Titolo della Pagina
2
Contenuti
JJ
II
1 −2
2
1 0
1 −2
0 2
1 −
L’equazione è stata quindi ulteriormente scomposta in
(x + 1)(x − 2)(x2 + 1) = 0
J
I
Pagine 5 di 30
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Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Il terzo fattore, nel campo reale, è strettamente positivo. Poichè
questo fattore non si annulla mai, nel campo reale abbiamo soltanto
due soluzioni
x1 = −1; x2 = 2;
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Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione
Titolo della Pagina
x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12 = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 6 di 30
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Soluzione
Fra le possibili soluzioni iniziamo a provare x = 1. Otteniamo
1 − 2 − 7 + 20 − 12 = 0 −→ −1 + 13 − 12 = 0 −→ 0 = 0;
Poichè x = 1 è soluzione, possiamo dividere il polinomio per il
fattore
(x − 1)
Con la regola di Ruffini possiamo determinare i coefficienti del
polinomio risultante.
Pieno Schermo
1
Chiudi
1 −2 −7 20 −12
1 −1 −8 12
1 −1 −8 12
−
Abbiamo quindi
Esci
(x − 1)(x3 − x2 − 8x + 12) = 0
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Per scomporre il secondo fattore cerchiamo la soluzione sostituendo
x = ±1, ma con scarso successo. Notiamo invece che x = 2 è un
valore che annulla il secondo polinomio, essendo
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23 − 22 − 8 · 2 + 12 = 0 −→ 8 − 4 − 16 + 12 = 0 −→ 0 = 0;
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 7 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Scomponiamo quindi evidenziando un altro fattore (x − 2). Calcoliamo con la regola di Ruffini il polinomio restante.
2
1 −1 −8 12
2
2 −12
1 1 −6 −
Scomponiamo quindi in
(x − 1)(x − 2)(x2 + x − 6) = 0
Nello scomporre il fattore a destra non ha senso riprovare con
x = ±1. Se non erano soluzioni del fattore precedente continueranno a non esserlo del fattore in questione. Possiamo però
riprovare con x = 2, che infatti continua ad essere una soluzione,
e quindi sarà una soluzione con molteplicità 2. Scomponendo ulteriormente per un fattore (x − 2) possiamo calcolare il fattore
direttamente osservando i coefficienti, senza la regola di Ruffini. Il
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fattore risultante è pari a (x+3). Abbiamo in definitiva scomposto
il polinomio di partenza nel prodotto seguente
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(x − 1)(x − 2)2 (x + 3) = 0.
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 8 di 30
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Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Le soluzioni dell’equazione sono quindi
x1 = −3;
x2 = 1;
x3 = x4 = 2;
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Esercizio 4
Risolvere la seguente equazione
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3x5 − 19x4 + 42x3 − 42x2 + 19x − 3 = 0
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
Notiamo che l’equazione è soddisfatta sostituendo al posto dell’incognita
il valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divisibile per il
fattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il polinomio
risultante.
Pagine 9 di 30
1
Indietro
Pieno Schermo
3 −19 42 −42 19 −3
3
−16 26 −16 3
3 −16 26 −16
3
−
L’equazione diventa quindi
(x − 1)(3x4 − 16x3 + 26x2 − 16x + 3) = 0
Chiudi
Esci
Il secondo polinomio si annulla se si sostituisce al posto
dell’incognita il valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divisibile per il fattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il
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Titolo della Pagina
Contenuti
polinomio risultante.
1
3 −16 26 −16 3
3
−13 13 −3
3 −13 13
−3
−
L’equazione diventa quindi
(x − 1)(x − 1)(3x3 − 13x2 + 13x − 3) = 0
JJ
II
J
I
Pagine 10 di 30
Indietro
Il terzo polinomio si annulla se si sostituisce al posto dell’incognita
il valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divisibile per il
fattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il polinomio
risultante.
3 −13 13 −3
1
3
−10 3
3 −10
3
−
L’equazione è stata quindi ulteriormente scomposta in
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
(x − 1)3 (3x2 − 10x + 3) = 0
Quindi tre soluzioni sono x = 1, e le altre due si ricavano da
(
√
x=3
5 ± 25 − 9
5±4
2
=
=
3x − 10x + 3 = 0 −→ x =
3
3
x = 31
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Esercizio 5
Risolvere la seguente equazione
Titolo della Pagina
ax3 − (a2 + 1 − a)x2 − (a2 + 1 − a)x + a = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Soluzione
Bisogna distinguere due casi:
• per a = 0 l’equazione diventa:
(
x=0
−x − x = 0 −→
x = −1
2
Pagine 11 di 30
Indietro
Pieno Schermo
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Esci
• Per a 6= 0 l’equazione è di terzo grado dunque procediamo
alla risoluzione scomponendo con la regola di Ruffini Il polinomio ammette come soluzione x = −1, quindi è divisibile
per il fattore (x + 1). Calcoliamo con la regola di Ruffini il
polinomio risultante.
a −(a2 + 1 − a) −(a2 + 1 − a) a
−1
−a
a2 + 1
−a
2
a
−a − 1
a
−
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L’equazione diviene quindi
(x + 1)(ax2 − (a2 + 1)x − a) = 0
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 12 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Oltre a x = −1, le altre due soluzioni provengono dal secondo
fattore. Per calcolarle lo poniamo uguale a zero.
(ax2 − (a2 + 1)x + a) = 0
Il ∆ è pari a (a2 + 1)2 − 4 · (−a2 ) = a4 + 2a2 + 1 − 4a2 =
a4 + −2a2 + 1 = (a2 + 1)2 .
√
(a2 + 1) ± (a2 − 1)
(a2 + 1) ± ∆
−→ x2,3 =
x2,3 =
2a
2a
Le tre soluzioni sono quindi
x1 = −1;
x2 = a;
x3 =
1
;
a
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Esercizio 6
Risolvere la seguente equazione biquadratica
Titolo della Pagina
x4 − 13x2 + 36 = 0
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
In casi come questo è opportuno aiutarsi con un’altra variabile
y = x2 . L’equazione, nella nuova variabile, diventa
y 2 − 13y + 36 = 0.
Pagine 13 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Tale equazione presenta un ∆ = 169 − 4 · 36 = 169 − 144 = 25.
Troviamo le soluzioni in y.
√
13 ± 5
13 ± 25
=
y1,2 =
2
2
Le due soluzioni in y sono dunque y1 = 9 e y2 = 4. Nella variabile
x avremo invece quattro soluzioni reali.
√
√
√
√
x1 = 9 = 3; x2 = − 9 = −3; x3 = 4 = 2; x4 = − 4 = −2;
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Esercizio 7
Risolvere nel campo reale la seguente equazione.
Titolo della Pagina
16
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 14 di 30
x2 − 1
x2 + 1
8
− 17
x2 − 1
x2 + 1
4
+ 1 = 0.
Soluzione
Possiamo utilizzare una nuova variabile
4
2
x −1
.
y=
x2 + 1
In tal modo l’equazione diventa
Indietro
16y 2 − 17y + 1 = 0
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Tale equazione presenta un ∆ = 17 · 17 − 4 · 16 = 289 − 64 = 225.
Troviamo le soluzioni in y.
√
17 ± 225
17 ± 15
y1,2 =
=
32
32
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1
Le due soluzioni in y sono dunque y1 = 1 e y2 = 16
. Nella variabile
x avremo invece più soluzioni reali. Dalla soluzione y1 ricaviamo
Titolo della Pagina
x2 − 1
x2 + 1
4
=1
Contenuti
JJ
II
J
Abbiamo quindi due casi
2
x −1
= 1;
x2 + 1
x2 − 1
x2 + 1
= −1;
I
Il primo porta a
Pagine 15 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
x2 − 1 = x2 + 1 −→ −1 = 1(!)
Cioè a nessuna soluzione. Mentre il secondo caso porta a
x2 − 1 = −x2 − 1 −→ 2x2 = 0
Cioè a due soluzioni coincidenti e pari a zero.
Dalla soluzione y2 ricaviamo
x2 − 1
x2 + 1
4
=
1
24
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 16 di 30
Abbiamo quindi due casi
2
x −1
1
= ;
x2 + 1
2
x2 − 1
x2 + 1
1
=− ;
2
Il primo porta a
x2 − 1 =
√
1 2
(x + 1) −→ 2x2 − 2 = x2 + 1 −→ x2 = 3 −→ x = ± 3;
2
Il secondo caso porta a
1
x2 − 1 = − (x2 + 1) −→ −2x2 + 2 = x2 + 1 −→ −3x2 = −1 −→
2
1
−→ x = ± √ ;
3
Indietro
Le soluzioni sono quindi
Pieno Schermo
x1 = x2 = 0;
Chiudi
Esci
√
x3,4 = ± 3;
1
x5,6 = ± √ ;
3
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Esercizio 8
Risolvere la seguente equazione
Titolo della Pagina
(x − 3)−2 + 4(x − 3)−1 + 3 = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 17 di 30
Indietro
Soluzione
Osserviamo che bisogna escludere dall’insieme delle soluzioni x = 3
perchè annulla i denominatori infatti
(x − 3)−2 + 4(x − 3)−1 + 3 = 0 −→
1
1
+4
+3=0
x−3
x−3
Ora possiamo procedere alla soluzione utilizzando una nuova variabile
y = (x − 3)−1 .
In tal modo l’equazione diventa
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
y 2 + 4y + 3 = 0
Tale equazione presenta un ∆ = 16 − 4 · 3 = 16 − 12 = 4. Troviamo
le soluzioni in y.
√
−4 ± 4
−4 ± 2
y1,2 =
=
2
2
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Titolo della Pagina
Le due soluzioni in y sono dunque y1 = −1 e y2 = −3. Nella
variabile x avremo invece più soluzioni reali.
Dalla soluzione y1 ricaviamo
(x − 3)−1 = 1
Contenuti
JJ
II
J
I
1
x−3
= −1; −→
+ 1 = 0 −→
Dalla soluzione y2 ricaviamo
(x − 3)−1 = −3
1
x−3
= −3; −→
1
x−3
+ 3 = 0 −→
Pieno Schermo
3x − 8 = 0 −→ x =
Chiudi
Esci
1+x−3
= 0;
x−3
x − 2 = 0 −→ x = 2
Pagine 18 di 30
Indietro
1
x−3
8
3
Le soluzioni sono quindi
x1 = 2
x2 =
8
;
3
1 + 3x − 9
= 0;
x−3
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Esercizio 9
Scomporre in fattori reali il seguente trinomio biquadratico.
Titolo della Pagina
x4 − x2 (4a2 + 1) + 4a2
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 19 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Soluzione
Tra le possibili soluzioni notiamo che sostituendo nel polinomio
x = 1 otteniamo
1 − (4a2 + 1) + 4a2 = 1 − 4a2 − 1 + 4a2 = 0;
Poichè tale valore annulla il polinomio, possiamo evidenziare
nell’espressione un fattore (x−1). Con la regola di Ruffini possiamo
calcolare il polinomio risultante.
0 −(4a2 + 1)
0
1
1
1
−4a2
1 1
−4a2
−4a2
1
4a2
−4a2
−
Dopo una prima scomposizione abbiamo quindi
Esci
(x − 1)(x3 + x2 − 4a2 x − 4a2 ).
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Tra le possibili soluzioni del polinomio di destra, notiamo che sostituendo il valore x = −1, tale polinomio si annulla. Possiamo
quindi evidenziare un altro fattore (x + 1). Con la regola di Ruffini
calcoliamo i coefficienti del polinomio risultante.
1 −4a2
−1
−1
0
1 0 −4a2
1
−4a2
4a2
−
Abbiamo quindi evidenziato un altro fattore
Pagine 20 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
(x − 1)(x + 1)(x2 − 4a2 )
L’ultimo fattore a destra è in realtà una differenza tra quadrati,
facilmente scomponibile, per cui il polinomio risulta riducibile nei
quattro fattori seguenti
(x − 1)(x + 1)(x − 2a)(x + 2a)
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Esercizio 10
Titolo della Pagina
Determinare il parametro k√in modo che una delle soluzioni della
seguente equazione sia x = 3.
Contenuti
x4 − 4x2 + k = 0
JJ
II
J
I
Pagine 21 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Soluzione
√
Affinchè x = 3 sia soluzione, si deve avere che sostituendo quel
valore nella equazione, k sia tale da renderla una identità. Sostituendo la soluzione nota nell’equazione abbiamo
√
√
( 3)4 − 4( 3)2 + k = 0
9−4·3+k =0
−3 + k = 0
k=3
Chiudi
Esci
Per questo valore del parametro siamo sicuri√che la precedente
equazione ha fra le sue soluzioni il valore x = 3.
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Esercizio 11
Risolvere la seguente equazione
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 22 di 30
(2x2 − 18)(x + 2) + 2x
x4 + 2x3 + 2x − 9x(x + 2)
=
x+2
x+2
Soluzione
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = −2 e concentrarci esclusivamente sui numeratori.
x4 + 2x3 + 2x − 9x(x + 2) = (2x2 − 18)(x + 2) + 2x
Sviluppiamo i calcoli:
Indietro
x4 + 2x3 + 2x − 9x2 − 18x = 2x3 − 18x + 4x2 − 36 + 2x
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
x4 − 13x2 + 36 = 0
Ponendo y = x2 si ha
y 2 − 13y + 36 = 0 −→ y =
13 ±
√
169 − 144
=
2
(
√
y=4
13 ± 25
13 ± 5
=
=
=
2
2
y=9
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Dalle due soluzioni si ricavano le quattro soluzioni della disequazione
di partenza.
(
√
√
x=2 2
2
√
y = 8 −→ x = 8 −→ x = ± 8 =
x = −2 2
e
Pagine 23 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
√
y = 9 −→ x = 9 −→ x = ± 9 =
2
(
x=3
x = −3
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Esercizio 12
Risolvere la seguente equazione.
Titolo della Pagina
a2
a2
x4 + a4
+
=
.
x2 − a2
x2 + a2
x4 − a2
Contenuti
Soluzione
JJ
II
J
I
Pagine 24 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Scomponiamo i denominatori nei loro fattori
a2
x4 + a4
a2
+ 2
=
2
(x − a)(x + a) x + a
(x − a)(x + a)(x2 + a)
Escludendo i valori che annullano i denominatori x = ±a possiamo riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore comune
m.c.m = (x − a)(x + a)(x2 + a) e concentrarci esclusivamente sui
numeratori.
x4 + a4
a2 (x2 + a) a2 (x2 − a)
+
=
m.c.m
m.c.m
m.c.m
a2 x2 + a3 + a2 x2 − a3 − x4 − a4
(x − a)(x + a)(x2 + a)
x4 − 2a2 x2 + a4 = 0 −→ (x2 − a2 )2 = 0 −→ x = ±a
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 25 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Ma questi valori annullano il denominatore quindi l’equazione impossibile.
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Esercizio 13
Risolvere la seguente equazione senza svolgere le potenze indicate.
Titolo della Pagina
(2x − 5)2 (x2 + 5x − 14)2
= 0.
(x + 7)4
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Bisogna prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero
J
I
Pagine 26 di 30
x 6= −7
dunque concentriamoci sul numeratore
(2x − 5)2 (x2 + 5x − 14)2 = 0
Indietro
Pieno Schermo
Il prodotto di due quantità si annulla se o una o l’altra si annulla
dunque imponiamo:
(2x − 5)2 = 0e(x2 + 5x − 14)2 = 0
Chiudi
Dalla prima otteniamo
Esci
(2x − 5)2 = 0 −→ 2x − 5 = 0 −→ x1 =
5
2
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 27 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Dalla seconda
(x2 + 5x − 14)2 = 0 −→ x2 + 5x − 14 = 0 −→
(
√
x = −7
−5 ± 9
−5 ± 25 + 56
=
=
−→ x2,3 =
2
2
x=2
La soluzione x = −7 deve essere esclusa poichè annulla il denominatore quindi le soluzioni sono
x1 =
5
; x2 = 2
2
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Esercizio 14
Risolvere la seguente equazione senza svolgere le potenze indicate.
Titolo della Pagina
(x − 3)3 + 8
= 0.
x2 − 1
Contenuti
Soluzione
JJ
II
Bisogna prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero
J
I
Pagine 28 di 30
Indietro
x2 − 1 6= 0 −→ x 6= ±1
dunque concentriamoci sul numeratore
(x − 3)3 + 8 = 0 −→ (x − 3)3 = −8 −→ (x − 3) = −2
Le soluzioni sono dunque
Pieno Schermo
x1 = x2 = x3 = 1
Chiudi
Esci
Soluzioni che non possono essere accettate.
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 29 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Esercizio 15
Trovare tre numeri consecutivi sapendo che il loro prodotto è 990.
Soluzione
Prendendo come incognita il numero centrale fra i tre consecutivi,
il prodotto dei tre numeri può essere scritto come (x − 1)x(x + 1).
Ricaviamo quindi il valore di x dalla seguente equazione.
(x−1)x(x+1) = 990 −→ (x2 −x)(x+1)−990 = 0 −→ x3 −x−990 = 0;
Fra le possibili soluzioni di questa equazione possiamo provare a
sostituire ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10...
Per x = 10 il polinomio si annulla. Possiamo quindi evidenziare
un fattore (x − 10). Dalla regola di Ruffini calcoliamo il polinomio
risultante
1 0 −1 −990
10
10 100 990
1 10 99
−
Abbiamo quindi
(x − 10)(x2 + 10x + 99) = 0
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 30 di 30
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Ponendo il secondo fattore uguale a zero si perviene ad un ∆ negativo, per cui il secondo fattore è sempre strettamente maggiore
di zero. L’unica soluzione reale è quindi x = 10 e i tre numeri
ricercati sono 9, 10, 11.